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Números Complexos Explorados
- 2. Ao final dessa aula você saberá: O que é um número complexo e sua representação algébrica O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos O que é conjugado As potências de i A representação trigonométrica de um número complexo As operações matemática na forma algébrica e na forma trigonométrica
- 3. O que é umO que é um númeronúmero complexocomplexo?? É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,, sendosendo “a”“a” a partea parte realreal ee “bi”“bi” a partea parte imagináriaimaginária. Também é chamado de número. Também é chamado de número imaginário.imaginário. Exemplos:Exemplos: z = 3 + 5iz = 3 + 5i z = 7iz = 7i z = ½ + 4iz = ½ + 4i Formalmente, escrevemos a parte real assim: Re(z) = a. E a parte imaginária assim: Im(z) = b
- 4. O que é o “O que é o “ii”?”? É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22 = - 1= - 1.. Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da raiz de números negativosraiz de números negativos comcom índice paríndice par.. Exemplo:Exemplo: ii 636)36)(1(36 2 ==−=−
- 5. O que é um númeroO que é um número imaginário puroimaginário puro?? É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0. Exemplos:Exemplos: z = 3iz = 3i z = iz = i z = -10iz = -10i Repare que um número real é um número complexo, com a parte imaginária igual a zero. Exemplo: 2+0i = 2
- 6. Logo, temos que o conjuntos dos Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos. N Z Q R I C
- 7. Como sabemos se doisComo sabemos se dois númerosnúmeros complexoscomplexos sãosão iguaisiguais?? Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos: zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entãose a = c e b = d, então zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos são iguais. Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais.se as partes reais e imaginárias são iguais. Exemplo:Exemplo: Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação: 3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i 3x = 123x = 12 x = 4x = 4 7y = -217y = -21 y = -3y = -3
- 8. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
- 9. SoluçãoSolução m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3 n = 4n = 4
- 10. Como representamos o conjugado de um número complexo? Sendo o número complexo z = a + bi, seu conjugado é representado por: Exemplos: z = 5 + 3i z = - 8i iz 35−= iz 8= biaz −=
- 11. Como calculamos as potências de i? Usando as regras de potência já conhecidas. i0 = 1 i1 = i i2 = - 1 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i Note que a partir do expoente 4, os resultados começam a repetir.
- 12. Exemplo: (PUC-MG) O número complexo (1 + i)10 é igual a: a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i) [(1 + i)2 ]5 = [1 + 2i + i2 ]5 = [1 + 2i - 1]5 = [2i]5 = 32.i5 = 32i letra C
- 13. Tente fazer sozinho! (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em que i2 = -1, o valor de c é: a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
- 14. Solução c = (a + bi)2 – 14i c = a2 + 2abi + b2 i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i c + 0i = (a2 – b2 ) + (2ab – 14)i 2ab – 14 = 0 ab = 7 Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7 Como c é positivo, temos que: c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48 Resposta: letra A.
- 15. ComoComo somamossomamos ouou subtraímossubtraímos númerosnúmeros complexoscomplexos?? BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas partes imagináriaspartes imaginárias.. Exemplos:Exemplos: (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
- 16. Como multiplicamos números complexos? Basta aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: (5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
- 17. Como dividimos números complexos? Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: ( )( ) ( )( ) i i ii ii ii i i 29 19 29 4 29 194 425 615410 2525 2532 25 32 += + = = + −++ = +− ++ = − +
- 18. Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O valor da expressão quando x = i (unidade imaginária) é : a) (i + 1) b) – (i – 1) c) d) e) 1 1 3 2 − − x x ( ) 2 1+i ( ) 2 1−i ( ) 2 1−− i
- 19. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii i iiii i x x −= − = + − = −+ − + = −− − = −− −− = − − = − − 1 2 12 11 22 11 12 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 3 2 3 2 Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i
- 20. Como representamos um número complexo no gráfico? Basta representar a parte real no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i P2 x y P1 3 2 1 -1
- 21. O que é o módulo de um número complexo? É a distância entre a origem e o ponto que corresponde a esse número. Sendo z = a + bi, temos: ρ x y b a P (a,b) ρ=z
- 22. Como calculamos o módulo de um número complexo? Usando a fórmula . Exemplo: 22 baz +== ρ ( ) 243131 31 22 ==+=+= += z iz
- 23. Tente fazer sozinho! (UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor de é: a) b) c) d) e) b a 3 2 5 22 21+
- 25. O que é argumento de um número complexo? É o ângulo que o módulo do número faz com o eixo x. ρ x y b a P (a,b) θ ρ θ ρ θ a b sen = = cos
- 26. Tente fazer sozinho! (URRN) Se z = , então o argumento de z é: a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º ( ) i i − + 1 1 2
- 27. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii ii i i i i i i z +−= − = + − = +− + = − = − −+ = − + = 1 2 22 11 22 1)1( 12 1 2 1 121 1 1 2 ρ θ ρ θ a e b sen == cos ( ) 21111 22 =+=+−=ρ
- 28. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 1 − = − = == θ θsen sen cos 45º135º Logo, o argumento é 135º. Resposta: letra E.
- 29. Como escrevemos a forma trigonométrica de um número complexo? ( )θθρ seniz += cos iz 232 +=Exemplo: ( ) º30 2 1 4 2 2 3 4 32 cos 416412232 2222 =⇒ === === ==+=+=+= θ ρ θ ρ θ ρ b sen a ba Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
- 30. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) A forma algébrica do complexo ize izd izc izb iza éisenz 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 33 2 3 ) 2 33 2 3 ) : 6 7 6 7 cos3 −= +−= −−= −= −−= += ππ
- 32. 2 33 32 3 cos −= =− = a a a ρ θ 2 3 32 1 −= =− = b b b sen ρ θ i 2 3 2 33 −−Logo, a forma algébrica é Resposta: letra C.
- 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonométrica? += += 22 cos3 33 cos2 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]21212121 cos... θθθθρρ +++= isenzz Exemplo: += ++ += 6 5 6 5 cos6. 2323 cos3.2. 21 21 ππ ππππ isenzz isenzz
- 34. Como dividimos complexos na forma trigonométrica? += += 33 cos3 22 cos6 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]2121 2 1 2 1 cos θθθθ ρ ρ −+−= isen z z Exemplo: += −+ −= 66 cos2 3232 cos 3 6 2 1 2 1 ππ ππππ isen z z isen z z
- 35. Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica? += 33 cos2 ππ isenz ( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn += cos. Exemplo: += + = 3 2 3 2 cos4 3 .2 3 .2cos2 2 22 ππ ππ isenz isenz
- 36. Tente fazer sozinho! (UPF-RS) Quanto ao número complexo , a alternativa incorreta é: a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. c) O argumento de z é rad. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. i i z − + = 1 66 2 π ( )ππ seniz += cos6
- 37. Solução a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. ( )( ) ( )( ) i iii ii ii i i z 6 2 12 11 6666 11 166 1 66 == + −++ = +− ++ = − + = 6660 222 ==+=z
- 38. c) O argumento de z é rad. 2 π 2 º90 1 6 6 0 6 0 cos π θ ρ θ ρ θ ==⇒ === === b sen a i i z − + = 1 66
- 39. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. Resposta: letra D. ( )ππ seniz += cos6 ( ) ( )º90º90cos6cos isenisenz +=+= θθρ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 360.136 º180º180cos36 º90.2º90.2cos6 cos 2 2 22 −=+−= =+= =+= =+= iz isenz isenz nisennz nn θθρ