ESTATISTICA

1. ESTATÍSTICA
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2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é um dos campos mais aliciantes da Matemática. Parte dos acontecimentos do dia a
dia tropeça no conceito de azar ou de sorte e estabelece leis que permitem “medir a sorte”. Odete Bernardes
2.1. Experimento Aleatório
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que
o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca;
b) que, como pensamos, ele ganhe;
c) que empate.
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos
aleatórios ou experimentos aleatórios.
Definição 1: Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob
condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis, e será denotado por  (épsilon).
Devemos raciocinar em termos de materiais ideais. Por exemplo, moedas com as faces cara e coroa,
dados com material homogêneo.
Exemplo 1
1. Jogar uma moeda para verificar a face que ficará voltada para cima.
2. Jogar um dado para verificar a face superior.
3. Testar uma peça para verificar se está ou não perfeita.
4. Retirar uma bola de uma urna que contenha uma bola branca, uma azul, uma cinza, uma vermelha e
uma verde e observar a cor da bola premiada.
Se deixarmos uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfície poderemos
anotar o tempo t, de queda livre. Este fenômeno é classificado como determinístico (Física).
2.2. Espaço Amostral
Definição 2: Denomina-se Espaço Amostral ao conjunto formado por todos os resultados de um experimento
aleatório, representado por S.
Exemplo 2
Dos experimentos do exemplo 1, os respectivos espaços amostrais são:
a) S1 = ____________________________________
b) S2 = ____________________________________
c) S3 = _________________________________________________
d) S4 = ___________________________________________________________
2.3. Eventos
Definição 3: Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Notação: A, B, C, D, E,...
Assim, qualquer que seja E, se SE  , então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo, este é o evento que sabemos que irá ocorrer antes mesmo da
realização da experiência.

2. ESTATÍSTICA
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Exemplo 3 Ocorrência de Cara ou Coroa no lançamento de uma moeda.
Se SE  e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.
Se E , E é chamado evento impossível, ou seja, o evento é constituído por nenhum resultado do
espaço amostral de um experimento aleatório. É o evento que jamais irá ocorrer.
Exemplo 4 Ocorrência de Paus e Ouro na mesma carta.
Ilustração dos conceitos vistos
Exemplo 3
No lançamento de um dado, onde S =  ________________________ , temos:
a)   SA  6,4,2 ; logo, A é um evento de S.
b)   SB  6,5,4,3,2,1 ; logo, B é um evento ___________________ de S.
c)   SC  4 ; logo, C é um evento __________________________ de S.
d) SD  ; logo, D é um evento ___________________________ de S.

3. ESTATÍSTICA
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2.4. Probabilidade
Probabilidade é a parte da Estatística que tem por objetivo atribuir um valor numérico que represente
de forma clara e correta a chance que cada evento tem quando se executa um experimento aleatório.
Este valor numérico é representado por um número relativo, isto é, compreendido entre zero e um; pelo
qual pode ser transformado em porcentagem.
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos
de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Definição 4: Chamamos de probabilidade de um evento A  SA  o número real P(A), tal que:
)(
)(
)(
Sn
An
AP 
onde: n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S.
Exemplo 5
a) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:
b) Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular:
- a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
- a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”.
- a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”.
- a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”.
c) Quais destes eventos têm probabilidade igual a 0 (ou muito próximo a zero) e quais têm probabilidade
igual a 1 (ou muito próximo a 1)?
- A noite suceder ao dia
- Todos os políticos falarem a verdade o tempo todo
- Você achar um cheque de um milhão de reais dentre as páginas de um livro pego na biblioteca
- Ocorrer um incêndio nesta sala
2.5. Eventos Mutuamente Exclusivos (ME)
Definição 5: Os eventos A e B se dizem Mutuamente Exclusivos (ME) se a ocorrência de um deles exclui
(impossibilita) a ocorrência do outro.
Nota: Em termos matemáticos é o mesmo que dizer:  BA .
Existe sempre a relação:
)()()( BPAPBAP  .

4. ESTATÍSTICA
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4
Exemplo 6
No lançamento de um dado os eventos A “obter o número 3” e B “obter um número par”, são mutuamente
exclusivos. Encontrar a probabilidade de ocorrer A ou B.
2.6. Eventos Complementares
Definição 6: Os eventos A e B se dizem complementares se satisfizerem simultaneamente as duas condições:
a) Forem ME, isto é,  BA ;
b) SBA  .
Notação: O complementar do evento A é denotado por A .
Assim, temos:
)(1)( APAP 
Exemplo 7: Se A for a ocorrência de Cara no lançamento de uma moeda, então Coroa será o evento A , ou
evento complementar de A.
2.7. Eventos Independentes
Definição 7: Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Se dois eventos, A e B são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é
igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos, ou seja:
     BPAPBAP  .
Exemplo 6
Lançamos dois dados. Sejam os eventos A “obter 6 no primeiro dado” e B “obter 4 no segundo dado”.
Encontrar a probabilidade de obter, simultaneamente, 6 no primeiro e 4 no segundo.
Obs.: Não confundir Eventos Mutuamente Exclusivos com Eventos Independentes.
* Eventos Mutuamente Exclusivos: a ocorrência de um implica a NÃO ocorrência do outro, ou seja, não
ocorrem simultaneamente.
* Eventos Independentes: a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro, mas ambos podem ocorrer
simultaneamente.

5. ESTATÍSTICA
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5
2.8. Principais Propriedades da Probabilidade
P1. 0)( P .
P2. )(1)( APAP  .
P3. )()()()( BAPBPAPBAP  A e B quaisquer eventos. Obs.: Se A e B forem ME, então
     BPAPBAP 
P4.       )()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP 
P5. Se BA  então )()( BPAP  .
2.9. Baralho Padrão de Cartas de Jogo
Exemplo 7
Seleciona-se uma carta de um baralho normal. Determine a probabilidade dos seguintes eventos ocorrerem:
a) A “selecionar um 7 de ouros”;
b) B “selecionar uma carta de ouro”;
c) C “selecionar uma carta de ouro, copas, paus ou espada”.
EXERCÍCIOS
1. No experimento aleatório  , seu espaço amostral é:
 jihgfedcbaS ,,,,,,,,,
sejam os seguintes eventos associados a  :
 cbaA ,,  jihgB ,,,  fedcC ,,,
 jihgfedD ,,,,,,  gfaE ,,
a) Verifique quais pares de eventos são:
a1. Mutuamente Exclusivos
a2. Complementares
b) Encontre o complementar de C e o de D.
2. Temos do exercício anterior que:
)(AP = )(BP = )(CP =
)( CAP  = )( BAP  = )( CBP  =
R: 0,30; 0,40; 0,40; 0,10; 0,00; 0,00
3. A probabilidade de um evento A qualquer, varia no intervalo _____  )(AP _____.
4. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Suponha que são sorteadas duas bolas ao
acaso, sem reposição.
a) Qual a probabilidade das duas bolas serem brancas?
( ) 0,05 ( ) 0,08 ( ) 0,10 ( ) 0,12 ( ) 0,15

6. ESTATÍSTICA
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b) Qual a probabilidade das duas bolas serem vermelhas?
( ) 0,30 ( ) 0,35 ( ) 0,40 ( ) 0,45 ( ) 0,50
c) Qual a probabilidade da 1ª ser vermelha e a 2ª ser branca?
( ) 0,20 ( ) 0,30 ( ) 0,35 ( ) 0,40 ( ) 0,45
5. Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira:
(1) Experimentos Aleatórios ( ) Qualquer subconjunto do espaço amostral.
(2) Evento ( )
)(
)(
Sn
An
.
(3) Probabilidade de um evento A
( ) O conjunto formado por todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório.
(4) Espaço Amostral ( ) O resultado final depende do acaso.
6. Considerando um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, e o experimento aleatório “Retirar uma peça do lote”
vamos calcular:
a) a probabilidade do evento A “obter uma peça defeituosa”.
b) a probabilidade do evento B “obter uma peça não defeituosa”. R: 0,3333; 0,6667
7. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. R: 0,1111
8. De dois baralhos de 52 cartas, cada, retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma
carta do segundo. Qual a probabilidade de ocorrer o evento A “obter um rei do primeiro baralho” e B
“obter um 5 de paus do segundo”? R: 0,0015
9. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1
verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente,
branca, preta e verde? R: 0,0370
10. De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a
primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus? R: 0,0004
11. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não-inferior a 5? R: 0,3333
12. Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10. R:
0,1667
13. Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número par aparece no lançamento de um dado.

7. ESTATÍSTICA
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b) Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.
c) Uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.
d) Uma só coroa aparece no lançamento de três moedas. R: 0,5000; 0,2308; 0,2500; 0,3750
14. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a
probabilidade de:
a) o número ser divisível por 5;
b) o número terminar em 3;
c) o número ser divisível por 4 e por 6. R: 0,2000; 0,1000; 0,0800
15. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a) a soma ser menor que 4;
b) a soma ser 9;
c) o primeiro ser maior que o segundo;
d) a soma ser menor ou igual a 5. R: 0,0833; 0,1111; 0,4167; 0,2778
16. Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a) não ocorrer cara nenhuma vez;
b) obter-se cara na primeira ou na segunda jogada. R: 0,2500; 0,5000
ou – exclusivo
17. Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.
a) Qual é a probabilidade de que este número seja ímpar?
b) Qual é a probabilidade de que este número seja ímpar e divisível por 3? R: 0,4286; 0,1429
18. Um empresário supersticioso, quando necessita viajar, escolhe o modelo de transporte através do
lançamento de uma moeda: se sair cara viaja de ônibus, se sair coroa, viaja de avião. Numa semana em que
tiver de fazer exatamente 4 viagens, ache a probabilidade de que ele faça:
a) Nenhuma de avião;
b) Exatamente duas de ônibus;
c) Pelo menos uma de avião. R: 0,0625; 0,3750; 0,9375
19. Para fazer escolha do dia da semana (6 dias úteis) de folga de um funcionário o Diretor de uma empresa
joga um dado e a face voltada para cima indicará o dia de folga, sendo que nesta empresa trabalha um casal
(esposo / esposa). Em uma semana ache a probabilidade de que, para este casal ocorra a seguinte folga:
a) Esposo e esposa no mesmo dia;
b) Esposa antes do esposo;
c) Esposo e esposa em dias seqüenciais. R: 0,1667; 0,4167; 0,2778
20. Na parte de higiene de um supermercado, possui uma prateleira de Pasta Dental. A tabela abaixo mostra a
disponibilidade nesta prateleira:
Marca Quantia de Pasta Dental por tamanho Total
75g 90g 120g
Close-Up 12 10 8
Sorriso 18 12 11
Colgate 22 14 7

8. ESTATÍSTICA
EQUIPE DE MÉTODOS QUANTITATIVOS - ALFA
8
Phillips 8 12 6
Total
Um comprador pega uma destas embalagens totalmente ao acaso. Ache a probabilidade de que o
produto comprado:
a) Seja Colgate ou Phillips;
b) Seja Close-Up ou de 120g;
c) Não seja Phillips;
d) Não seja de 75g, nem Close-Up. R: 0,4929; 0,3857; 0,8143; 0,4429
21. O departamento de entrega de uma distribuidora possui 5 veículos numerados de 1 a 5. Para cada entrega é
feito um sorteio. No dia em que houver 2 entregas simultâneas, ache a probabilidade dos veículos que farão
as entregas serem:
a) De numeração seqüencial;
b) Todos de numeração par;
c) Um de numeração par e o outro ímpar;
d) Pelo menos um de numeração maior que 3. R: 0,4000; 0,1000; 0,6000; 0,7000
22. O Conselho Norte-americano de Investigação de Riscos e Segurança Química é responsável por determinar
as causas principais de acidentes industriais. Desde sua criação em 1998, identificou 83 acidentes que
foram causados por falhas em sistemas de gestão (Process Safety Progress, dez. 2004). A tabela a seguir dá
um detalhamento das causas principais desses 83 acidentes.
Categoria de causa de
sistemas de gestão
Número de
incidentes
Engenharia e projeto 27
Procedimento e práticas 24
Gerência e supervisão 22
Treinamento e comunicação 10
Total 83
a) Determine e interprete a probabilidade de que um acidente industrial seja causado por engenharia ou
projeto defeituosos. (0,3253)
b) Determine e interprete a probabilidade de que um acidente industrial seja causado por alguma outra
coisa diferente de procedimentos e práticas defeituosas. (0,7108)
c) Determine e interprete a probabilidade de que um acidente industrial seja causado por gerência e
supervisão ou treinamento e comunicação. (0,3855)
23. De acordo com o Journal of Business Venturing (vol. 17, 2002), 27% de todos os pequenos negócios cujos
donos são brancos não hispânicos nos Estados Unidos são empresas de propriedade de mulheres. Se
Fonte: Blair, A. S. “Management system failures identified in
incidents investigated by the U. S. Chemical Safety and
Hazard Investigation Board”. Process Safety Progress, v. 23,
n. 4, dez. 2004.

9. ESTATÍSTICA
EQUIPE DE MÉTODOS QUANTITATIVOS - ALFA
9
selecionarmos, ao acaso, um pequeno negócio cujo dono seja um branco não hispânico, qual será a
probabilidade de que seja uma empresa de propriedade de um homem?
24. O Organization Development Journal (verão, 2006) relatou os resultados de um levantamento feito com
gerentes de recursos humanos de grandes empresas localizadas em uma cidade do sudeste norte-americano.
O foco do estudo foi o comportamento dos empregados – especificamente, absenteísmo, disposição para o
trabalho e rotatividade. O estudo mostrou que 55% dos gerentes de RH tiveram problemas com
absenteísmo dos empregados e que 41% tiveram problemas com rotatividade. Suponha que 22% dos
gerentes de RH tenham enfrentado problemas com absenteísmo e também com rotatividade. Use essa
informação para achar a probabilidade de que um gerente de RH selecionado dentro do grupo pesquisado
tenha tido problemas com absenteísmo ou com a rotatividade dos empregados. (74%)
25. O E*Trade Group Inc. foi a primeira companhia a proporcionar a negociação de ações on-line para seus
clientes, oferecendo uma alternativa às firmas de investimento tradicionais. De acordo com a Business
Week, as negociações de ações representam uma parte significativa do negócio de corretagem. A seguinte
tabela mostra o número de contas on-line e tradicionais de cinco corretoras importantes.
Corretora Contas on-line Contas tradicionais Total de contas
Fidelity Investiments 2,8 milhões 8,0 milhões 10,8 milhões
Merrill Lynch & Co. 0 8,0 milhões 8,0 milhões
Charles Schwab % Co. 2,8 milhões 3,5 milhões 6,3 milhões
TD Waterhouse Group Inc. 1,0 milhões 1,1 milhões 2,1 milhões
E*Trade Group Inc. 1,24 milhões 0 1,24 milhões
Totais 7,84 milhões 20,6 milhões 28,44 milhões
Fonte: Business Week, 18 out. 1999, p. 185-186.
Suponha que um cliente seja escolhido ao acaso da população de contas descritas na tabela. Considere
os seguintes eventos:
A “A conta é com a Merrill Lynch”
B “A conta é on-line”
C “A conta é com a E*Trade e é on-line”
D “A conta é com a TD Waterhouse ou com a E*Trade e é uma conta on-line”
E “A conta é com a E*Trade”
a) Determine a probabilidade dos eventos anteriormente mencionados.
b) Determine )( BAP  .
c) Determine )( BAP  .
d) Determine )( EBP  .
e) Determine )( EAP  .
R: a) 0,2813; 0,2757; 0,0436; 0,0788;0,0436; b) 0; c) 0,5570; d) 0; e) 0,3249.
26. O American Journal of Public Health (jan. 2002) relatou um estudo a respeito de cadeirantes idosos que
vivem em casa. Foi realizada uma pesquisa com uma amostra de 306 cadeirantes, com 65 anos ou mais de
idade, para saber se sofreram uma queda violenta durante o ano e se as suas casas foram estruturalmente

10. ESTATÍSTICA
EQUIPE DE MÉTODOS QUANTITATIVOS - ALFA
10
modificadas de uma das seguintes maneiras: modificações no banheiro, nas portas e nos corredores mais
largos, modificações na cozinha, instalação de brilhos e portas fáceis de abrir. O resumo das respostas está
na tabela a seguir. Suponha que selecionemos, ao acaso, um dos 306 cadeirantes pesquisados.
Mudanças nas casas Queda(s) violentas Sem quedas Total
Todas as 5 2 7 9
Pelo menos 1, mas não todas 26 162 188
Nenhuma 20 89 109
Total 48 258 306
a) Determine a probabilidade de que o cadeirante tenha tido uma queda violenta. (0,1569)
b) Determine a probabilidade de que o cadeirante tenha todas as cinco modificações instaladas em casa.
(0,0294)
c) Determine a probabilidade de que o cadeirante não tenha sofrido quedas e nenhuma das modificações
instaladas em casa. (0,2908)
d) Determine a probabilidade de que o cadeirante tenha todas as cinco modificações instaladas em casa ou
sofreram quedas violentas. (0,1797)
27. Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determine a
probabilidade de a bola extraída ser:
a) vermelha
b) branca
c) azul
d) não-vermelha
e) vermelha ou branca
28. Da mesma caixa do problema anterior, extraem-se três bolas sucessivamente. Determine a probabilidade de
as mesmas serem extraídas na ordem vermelho-branca-azul, (a) havendo reposição, (b) não havendo
reposição.
29. Joga-se um dado “honesto” duas vezes. Determinar a probabilidade de se obter 4, 5 ou 6 na 1ª jogada e 1, 2,
3 ou 4 na 2ª jogada.
30. Determinar a probabilidade de não se obter 7 ou 11 em nenhuma de duas jogadas de dois dados honestos.
31. Extraem-se aleatoriamente duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. Determine a probabilidade de
serem ambas ases, se a primeira carta (a) é reposta, (b) não é reposta.
"Certas derrotas preparam-nos para grandes vitórias"
(Max-Pol Fouchet)
Fonte: Berg, K., Hines, M., e Allen, S. “Wheelchair users at home: few home modifications and many injurious falls.”
American Journal of Public Health, vol. 92, n. 1, jan. 2002 (Tabela 1)