1. Curso: Ciência da Computação
Turma: 3º Semestre
Matemática Discreta
Aula 5
Análise Combinatória
Combinações com elementos repetidos e
Permutações circulares

2. Notas de Aula
✔
O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro
do Gersting.
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3. Resumo
Combinações
– Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados
k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos
escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas
combinações são diferentes quando possuem elementos distintos,
não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Permutações
– Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos
formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros
pela ordem de seus elementos.
Arranjos
– Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de
taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos
numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de
colocação dos elementos.
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4. Fórmulas
Combinações
C(n,k) = n!/(n-k)!k!
Permutações
P(n) = n!
Arranjos
P(n,k) = n!/(n-k)!
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5. Exemplo
Quando anagramas temos da palavra caminhao?
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6. Exemplo
...e os anagramas da palavra ANA?
P(3) = 3! = 3.2.1 = 6
Vamos ver: {ANA, AAN, NAA}
Portanto a conta está errada. Porque?
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7. Eliminando Duplicidades
a. Quantas permutações distintas existem na
palavra LOUSA? 5!
b. Quantas permutações distintas existem na
palavra ANA.
– A princípio podemos pensar que é 3! No entanto
existem letras repetidas. Portanto precisamos
eliminar as palavras que são repetidas.
– Como fazemos isso?
– Tente descobrir uma fórmula para eliminar as
repetições.
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8. Eliminando Duplicidades
Chegou em uma fórmula? Teste para as
palavras:
a. ALUNA
b. JOAO
c. MISSISSIPI
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9. Eliminando Duplicidades
Para eliminar duplicidades precisamos dividir a
permutação da palavra total pelo fatorial de
cada letra que é repetida.
Portanto a fórmula seria n!/n1!n2!n3!...nn!
Onde n é o tamanho da palavra total e os n 1 até nn
são as repetições das letras.
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10. Eliminando Duplicidades
Chegou em uma fórmula? Teste para as
palavras:
a. ALUNA
5!/(2!) = 5.4.3.2!/2! = 60
b. JOAO = 4!/2! = 4.3.2!/2! = 12
c. MISSISSIPI = 11!/4!4! =
11.10.9.8.7.6.5.4!/4!.4.3.2.1 = 110.9.2.7.6.5/6 =
990.18.7.5
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11. Um comitê de duas pessoas precisa ser escolhido dentre quatro
matemáticos e três físicos, e precisa incluir pelo menos um
matemático. Compute os dois valores a seguir
a. C(7, 2) — C(3, 2) (a solução correta — todos os comitês
menos os sem matemáticos)
b. C(4, 1) . C(6,1) (a solução errada — escolhe um matemático e
depois seleciona o outro integrante do comitê)
Perceba que C(4, 1) . C(6, 1) — C(4, 2) nos dá a resposta
correta, porque C(4, 2) é o número de comitês com dois
matemáticos, e esses comitês foram contados duas vezes em
C(4, 1) • C(6, 1).
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12. Permutações e Combinações com
Repetições
Nossas fórmulas para P(n, r) e C(n, r) assumem que
arranjamos ou escolhemos r objetos dentre n objetos
disponíveis usando cada objeto apenas uma vez.
Suponha, no entanto, que podemos reutilizar os n objetos
tantas vezes quantas desejarmos.
Por exemplo, construímos palavras usando as 26 letras
do alfabeto; as palavras podem ser tão grandes quanto
quisermos, e as letras podem ser repetidas.
Ou desejamos sortear cartas de um baralho, repondo-as
após cada sorteio; poderemos sortear quantas cartas
desejarmos com cartas sendo sorteadas repetidamente.
Podemos continuar falando de permutações e
combinações de r objetos n a n, mas com a
possibilidade de repetições, r pode ser maior que n.
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13. Permutações e Combinações com
Repetições
Contar o número de permutações de r objetos n a n
objetos distintos com repetições (ou reposição) é
simples. Temos n opções para a escolha do
primeiro objeto e, uma vez que podemos repetir
esse objeto, n opções para a escolha do segundo
objeto, n opções para o terceiro e assim por
diante. Portanto, o número de permutações de r
objetos n a n com a possibilidade de repetições é
n r.
Para determinar o número de combinações de r
objetos n a n com a possibilidade de repetições,
usamos uma ideia um pouco mais elaborada.
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14. Permutações e Combinações com
Repetições
Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar
cinco pedras escolhidas entre diamantes, rubis
e esmeraldas. De quantas maneiras as pedras
podem ser escolhidas?
5 minutos para pensar.
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15. Permutações e Combinações com
Repetições
Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas.
De quantas maneiras as pedras podem ser escolhidas?
Como não estamos interessados na ordem em que as pedras serão arranjadas, este é um problema de
combinação, e não um problema de permutação. Desejamos obter o número de combinações de cinco objetos
três a três, permitindo repetições. O broche pode ser formado de um diamante, três rubis e uma esmeralda, por
exemplo, ou cinco diamantes.
Podemos representar essas possibilidades representando as pedras escolhidas com asteriscos e a inclusão de
separadores entre elas a fim de representar a distribuição entre os três tipos de pedras. Por exemplo, podemos
representar a escolha de um diamante, três rubis e uma esmeralda por
*|***|*
enquanto que a escolha de cinco diamantes, nenhum rubi e nenhuma esmeralda pode ser representada por
*****||
Estamos, portanto, trabalhando com sete posições (para as cinco pedras e os dois separadores), e as diferentes
escolhas são determinadas por quais posições são ocupadas por asteriscos. Estamos contando, portanto, o
número de maneiras de escolher cinco itens dentre sete, que é C(7, 5) ou
7!/5!2!
Em geral, se usarmos o mesmo esquema para representarmos uma combinação de r objetos dentre n objetos
distintos com a possibilidade de repetições, existirão n — 1 separadores para indicar o número de cópias de
cada um dos n objetos. Isto nos dá r + (n — 1) posições a ser preenchidas, e desejamos obter o número de
maneiras de selecionar r dessas posições. Portanto, o valor que desejamos é
C(r+n-1,r) = (r+n-1)!/(r+n-1-r)!r! = (r+n-1)!/(n-1)!r!
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16. Combinações com Repetições
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes
elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação
com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por
Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são
exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é
repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo,
enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma
correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo
pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com
barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
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17. Exemplo: Combinações com Repetições
Determinar o número de combinações com 4
elementos tomados com repetição de 7 livros.
Auxílio: Crep=Crep(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4
Resposta: Crep=Crep(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210
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18. Exemplo: Combinações com Repetições
Determinar o número de combinações com
repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.
Auxílio: Crep=Crep(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2
Resposta: Crep=Crep(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10
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19. Permutações Circulares
Situação que ocorre quando temos grupos com m
elementos distintos formando uma
circunferência de círculo.
Pc(m) = P(m-1) = (m-1)!
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20. Exemplo: Permutações Circulares
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos
distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode
ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4
pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,BACD,BADC, BCAD, BCDA,
BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB,CDBA, DABC, DACB,
DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
– ABCD=BCDA=CDAB=DABC
– ABDC=BDCA=DCAB=CABD
– ACBD=CBDA=BDAC=DACB
– ACDB=CDBA=DBAC=BACD
– ADBC=DBCA=BCAD=CADB
– ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
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21. Lista de Exercícios
1.Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra:
ARARA?
2.Seis crianças escolhem um pirulito cada, dentre pirulitos vermelhos,
amarelos e verdes. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?
3.Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as
letras da palavra AMA?
4.Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra:
MATEMATICA?
5.De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de
uma mesa retangular?
6.Determinar o número de combinações com repetição de 6 objetos
tomados 1.
7.Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos
tomados 3 a 3.
8.Calcule as fronteiras das fórmulas de permutação com repetição,
combinação com repetição e permutação circular.
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