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Matrizes
Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é matriz e suas representações.
 Igualdade de matrizes.
 A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz
coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz
triangular, matriz oposta, matriz identidade e
matriz inversa.
 O que é diagonal principal e diagonal secundária.
 Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O que éO que é matrizmatriz??
É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode ser
representadarepresentada entreentre chaveschaves ou entreou entre
colchetescolchetes..
Exemplos:Exemplos:






=





=
104
321
104
321
AouA
São matrizes com 2
linhas e 3 colunas.
Então dizemos que é
uma matriz 2 x 3.
Como é a representação
genérica de uma matriz?
O que éO que é índiceíndice de umde um
elemento?elemento?
É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque o
elemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz.
Exemplo:Exemplo:
O 3 é o elementoO 3 é o elemento aa1212, ou seja, está, ou seja, está
nana 1ª linha1ª linha e nae na 2ª coluna2ª coluna..






=





=
01
32
2221
1211
aa
aa
A
Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AA
e B sãoe B são iguaisiguais??
Quando os elementosQuando os elementos de mesmo índicede mesmo índice sãosão
correspondentescorrespondentes..
Exemplo:Exemplo:
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
,
,,,
baaa
babaLogo
ba
bb
B
aa
aa
A
==
==






==





=
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
(PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que:é tal que:
É correto afirmar que:É correto afirmar que:



=−
≠+
=
jiseji
jiseji
aij
,32
,3






−
−





−










−
−
−









 −−
=
927
651
)
926
571
)
96
25
71
)
92
76
51
)
dc
bAa
SoluçãoSolução
aa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1
aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5
aa1313 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6= 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6
aa2121 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7= 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7
aa2222 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2= 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2
aa2323 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9= 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9
Resposta: D






232221
131211
aaa
aaa



=−
≠+
=
jiseji
jiseji
aij
,32
,3
O que éO que é matriz linhamatriz linha??
É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha..
Exemplo:Exemplo:
É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna..
Exemplo:Exemplo:
( )70342=A
O que éO que é matriz colunamatriz coluna??










=
9
0
2
B
O que éO que é matriz nulamatriz nula??
É uma matriz que apresentaÉ uma matriz que apresenta todostodos osos
elementoselementos iguais aiguais a zerozero..
Exemplos:Exemplos:






=










=
000
000
0000
0000
0000
DC
O que éO que é matrizmatriz
quadradaquadrada??
É a matriz que apresenta oÉ a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo número
dede linhas e colunaslinhas e colunas..
Exemplos:Exemplos:










=
703
140
342
A
Matriz 3 x 3






=
49
10
B
Matriz 2 x 2
Dizemos que a
matriz A é de ordem
3 e que a matriz B é
de ordem 2.
O que éO que é diagonaldiagonal
principalprincipal??
É aÉ a diagonaldiagonal formada pelosformada pelos elementos aelementos aijij,,
sendosendo i=ji=j de uma matriz quadrada.de uma matriz quadrada.
diagonal principaldiagonal secundária
Tente fazer sozinho!
(Ufop-MG) Observe a matriz:
Chama-se traço de uma matriz a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Determine
x e y na matriz acima de tal forma que seu
traço valha 9 e x seja o triplo de y.










y
x
00
40
321
Solução
x = 3y
1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2
x = 3.2  x = 6










y
x
00
40
321
O que éO que é matrizmatriz
diagonaldiagonal??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos os
elementos que não pertencem a diagonalelementos que não pertencem a diagonal
principal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A. A diagonaldiagonal
principalprincipal deve apresentardeve apresentar pelo menos umpelo menos um
elemento diferente de zeroelemento diferente de zero..
Exemplos:Exemplos:










=
700
010
002
A
O que éO que é matrizmatriz
triangulartriangular??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoselementos
abaixo ou acima da diagonal principal sãoabaixo ou acima da diagonal principal são
iguais a zeroiguais a zero..
Exemplos:Exemplos:






=














=










=
10
72
6739
0710
0015
0002
700
310
422
DCB
O que éO que é matrizmatriz opostaoposta??
É aÉ a matrizmatriz cujoscujos elementos são oselementos são os
opostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada.
Exemplos:Exemplos:






−−
−
=−





−
−
=
732
410
732
410
AA






−
−
=−





−
−
=
52
81
52
81
BB
O que éO que é matrizmatriz
transpostatransposta??
É aÉ a matrizmatriz cujascujas colunascolunas sãosão iguais àsiguais às
linhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada.
Exemplo:Exemplo:










−
−
=





−
−
=
74
31
20
732
410 t
AA
Note que o número de linhas
de A é o número de colunas
de At
. O mesmo acontece
com o número de colunas
A é 3x2 e At
=2x3
Tente fazer sozinho!
(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
somente se, At
= A. Se a matriz
É simétrica, então o valor de é:
a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0










−−
−=
131
501
2 2
y
y
xx
A
3
yx +
Solução










−
−
−
=










−−
−
15
30
112
131
501
2
2
2
yx
yx
y
y
xx
112
±=⇒= xx
1−=x
48235 =⇒−=−⇒−=− yyyy
1
3
3
3
41
3
==
+−
=
+ yx
Resposta: letra c
O que éO que é matrizmatriz
identidadeidentidade??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresenta
todos os elementos datodos os elementos da diagonal principaldiagonal principal
iguais aiguais a 11 e ose os outrosoutros elementos iguais aelementos iguais a
zerozero..
Exemplo:Exemplo:






=










=
10
01
100
010
001
23 II
Como somamos ou
subtraímos matrizes?
Basta somar ou subtrair os elementos
correspondentes. As matrizes devem ser
do mesmo tipo (m x n).
Exemplos:










=









−
−
















−
−
=





−
−−
+





−
4
3
10
3
5
1
7
8
9
)
535
353
632
104
103
451
)
b
a
Como multiplicamos uma
matriz por um número real?
Basta multiplicar todos os elementos
da
matriz por esse número real.
Exemplo:










−
−−
=










−
−−
06
33
156
02
11
52
3
Como o tipo da matriz
influencia na multiplicação
de duas matrizes?
Matriz A
4 x 3
Matriz B
3 x 2
Devem ser iguais
O resultado é do tipo 4 x 2
Como efetuamos o
produto de duas
matrizes?
Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz
B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,
onde o elemento cij é calculado multiplicando
ordenadamente os elementos da linha i, da
matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando os produtos obtidos.
Exemplo 1:






=










=
26
13
41
05
23
BeA










=










++
++
++
=
927
515
721
2.41.16.43.1
2.01.56.03.5
2.21.36.23.3
AB
Exemplo 2:






=





=
315
024
31
12
DeC






=






+++
+++
=
9519
3513
3.30.11.32.15.34.1
3.10.21.12.25.14.2
CD
CD
Tente fazer sozinho!
1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
é a matriz nula, x + y é igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2















 −






−
1
201
110
11
01
y
x
Solução






=















 −






− 0
0
1
201
110
11
01
y
x






−
−
=




 −






− 311
110
201
110
11
01
( )
( )






=





+−
−+






=





+−+
−++
0
0
3
10
0
0
1.3.1.1
1.1.1.0
yx
y
yx
yx






=
















−
−
0
0
1
311
110
y
x
.
112
203103
101
CLetra
yx
xxyx
yy
−=+−=+
−=⇒=+−⇒=+−
=⇒=−
2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que
. É verdade que a+b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 9
d) -1
e) -9






=
1
1
a
b
A






−
−−
=
1910
8192
A
Solução
154
5204191
482
1910
819
12
21
1910
819
1
1
1
1
=+−=+
=⇒−=−⇒−=+
−=⇒−=






−
−−
=





+
+






−
−−
=











ba
aaab
bb
aba
bab
a
b
a
b
Resposta: Letra B
O que é matriz inversa?
É matriz X de ordem n, cujo produto com
a matriz A é igual a matriz identidade de
ordem n.
Ou seja,
A.X = X.A = In,
onde X = A-1
A matriz inversa
de A É indicada
por A-1
.
Exemplo:






−
−
=





=
25
13
35
12
BeA
( ) ( )
( ) ( )






=






+−−+
+−−+
=






−
−






=
10
01
2.31.55.33.5
2.11.25.13.2
25
13
35
12
AB
AB
AB
Logo, B = A-1
Tente fazer sozinho!
(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a
matriz inversa de , então:
a) b11 = - ½
b) b12 = -1
c) b21 = 1
d) b22 = -1
e) b22 = - ½






−
=
11
20
A
Solução
1101
2
1
0
2
1
0
002
2
1
12
10
0122
10
01
11
20
−=⇒=+−⇒=+−
=⇒=+−⇒=+−
=⇒=
=⇒=






=





+−+−






=











−
bbdb
aaca
dd
cc
dbca
dc
dc
ba
Resposta:
Letra B
Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 118 a 145.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 287 a 302.
 Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.

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