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Ana Tapadinhas Explicações – Apoio Escolar
Matemática – Probabilidades – 2013/2014
Experiências aleatórias
Uma experiência, E, diz-se aleatória se o resultado exacto não é conhecido antes da realização
da experiência e é imprevisível.
Exemplos: É uma experiência aleatória perguntar a duas pessoas de uma dada cidade,
escolhidas ao acaso, se são a favor ou contra a despenalização do aborto. Já a situação: “ao
acordar, ir à janela” não constitui uma experiência aleatória pois não lhe está associado um
espaço de resultados.
O espaço de resultados da experiência:
• “ao acordar, ir à janela e ver se chove” é {chove, não chove}.
• “lançar uma moeda ao ar duas vezes e observar a face obtida” é {(ca,ca),(ca,co),
(co,ca),(co,co)}, onde ca representa saída de cara e co representa saída de coroa.
• “lançar duas moedas ao ar e observar a face obtida” é {{ca,ca},{ca,co},{co,co}}.
Experiências deterministas
São aquelas cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem
obtidos.
Espaço amostral
Designa-se por Espaço Amostral e representa-se por Ω, E… o conjunto de todos os resultados
possíveis associados a uma experiência aleatória.
Acontecimento
É o conjunto de todas as partes ou subconjuntos do espaço amostral.
Qualquer subconjunto do espaço amostral designa-se por acontecimento aleatório.
i) Acontecimento Elementar: quando o acontecimento é constituído por um único elemento;
ii) Acontecimento Certo: acontece de certeza
iii)Acontecimento Impossível: quando o acontecimento não contém nenhum elemento do
espaço amostral
iv)Acontecimento composto: Quando o acontecimento é constituído por mais do que um
elemento
Exemplos: O espaço de resultados associado à experiência “Retirar uma bola, ao acaso, de
um saco contendo três bolas azuis e uma verde” é S={A1,A2,A3,V}. O acontecimento:
• B: “retirar uma bola azul” é um acontecimento composto. Escreve-se B={A1,A2,A3}.
• E: “retirar uma bola verde” é um acontecimento elementar. Escreve-se E={V}.
• C: “retirar uma bola colorida” é um acontecimento certo. Escreve-se C=S.
• I: “retirar uma bola vermelha” é um acontecimento impossível. Escreve-se I=∅.
Operações com acontecimentos
Recorrendo a operações com conjuntos, podemos, a partir de acontecimentos dados, definir
novos acontecimentos.
Sejam A e B acontecimentos de um espaço de resultados S.
• Associamos A∪B ao acontecimento “ocorre A ou B”;
• Associamos A∩B ao acontecimento “ocorrem A e B”;
• A e B dizem-se incompatíveis se a sua ocorrência simultânea for o acontecimento
impossível, isto é, A∩B=∅;
• O acontecimento “não ocorre o acontecimento A” diz-se o acontecimento contrário
de A. Associamos-lhe o conjunto complementar de A, A .
Nota: Dois acontecimentos contrários são incompatíveis, mas dois acontecimentos
incompatíveis podem não ser contrários. (Em linguagem de conjuntos: num dado universo, dois
conjuntos complementares são disjuntos, mas dois conjuntos disjuntos podem não ser
complementares.)
Exemplo: Na experiência “extrair, ao acaso, uma carta de um baralho de cinquenta e duas
cartas” os acontecimentos A: “sair um ás” e B: “sair uma figura” são incompatíveis mas não são
contrários. Já os acontecimentos C: “sair uma carta preta” e D: “sair uma carta vermelha” são
contrários (e, obviamente, incompatíveis).
2
Lei de Laplace
ossíveispcasosden
favoráveiscasosden
AP
º
º
)( ≡
Casos favoráveis: Aqueles que queremos que saiam
Casos possíveis: Todos os do espaço amostral
ATENÇÃO:
0≤ P(A) ≤ 1
A probabilidade de um acontecimento impossível é zero.
1º. Axioma: A probabilidade de um qualquer acontecimento A é sempre maior ou igual a zero:
P(A) ≥ 0
2º. Axioma: A probabilidade de um acontecimento certo é 1: P(S) = 1
3º. Axioma: Dados dois acontecimentos incompatíveis, a probabilidade de ocorrer pelo menos
um é igual à soma das probabilidades de cada um: Se A∩B=∅ então P(A∪B)=P(A) + P(B)
A probabilidade segundo a definição clássica ou de Laplace é uma probabilidade segundo a
definição axiomática.
Propriedades
1- P(∅) = 0
2- P( A )=1 – P(A)
3- Se A⊆B então P(A) ≤ P(B)
4- Qualquer que seja o acontecimento A, 0≤P(A)≤1
5- P(A∪B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
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Probabilidades - Resumo teórico 9º Ano

  • 1. Ana Tapadinhas Explicações – Apoio Escolar Matemática – Probabilidades – 2013/2014 Experiências aleatórias Uma experiência, E, diz-se aleatória se o resultado exacto não é conhecido antes da realização da experiência e é imprevisível. Exemplos: É uma experiência aleatória perguntar a duas pessoas de uma dada cidade, escolhidas ao acaso, se são a favor ou contra a despenalização do aborto. Já a situação: “ao acordar, ir à janela” não constitui uma experiência aleatória pois não lhe está associado um espaço de resultados. O espaço de resultados da experiência: • “ao acordar, ir à janela e ver se chove” é {chove, não chove}. • “lançar uma moeda ao ar duas vezes e observar a face obtida” é {(ca,ca),(ca,co), (co,ca),(co,co)}, onde ca representa saída de cara e co representa saída de coroa. • “lançar duas moedas ao ar e observar a face obtida” é {{ca,ca},{ca,co},{co,co}}. Experiências deterministas São aquelas cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. Espaço amostral Designa-se por Espaço Amostral e representa-se por Ω, E… o conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória. Acontecimento É o conjunto de todas as partes ou subconjuntos do espaço amostral. Qualquer subconjunto do espaço amostral designa-se por acontecimento aleatório. i) Acontecimento Elementar: quando o acontecimento é constituído por um único elemento; ii) Acontecimento Certo: acontece de certeza iii)Acontecimento Impossível: quando o acontecimento não contém nenhum elemento do espaço amostral iv)Acontecimento composto: Quando o acontecimento é constituído por mais do que um elemento
  • 2. Exemplos: O espaço de resultados associado à experiência “Retirar uma bola, ao acaso, de um saco contendo três bolas azuis e uma verde” é S={A1,A2,A3,V}. O acontecimento: • B: “retirar uma bola azul” é um acontecimento composto. Escreve-se B={A1,A2,A3}. • E: “retirar uma bola verde” é um acontecimento elementar. Escreve-se E={V}. • C: “retirar uma bola colorida” é um acontecimento certo. Escreve-se C=S. • I: “retirar uma bola vermelha” é um acontecimento impossível. Escreve-se I=∅. Operações com acontecimentos Recorrendo a operações com conjuntos, podemos, a partir de acontecimentos dados, definir novos acontecimentos. Sejam A e B acontecimentos de um espaço de resultados S. • Associamos A∪B ao acontecimento “ocorre A ou B”; • Associamos A∩B ao acontecimento “ocorrem A e B”; • A e B dizem-se incompatíveis se a sua ocorrência simultânea for o acontecimento impossível, isto é, A∩B=∅; • O acontecimento “não ocorre o acontecimento A” diz-se o acontecimento contrário de A. Associamos-lhe o conjunto complementar de A, A . Nota: Dois acontecimentos contrários são incompatíveis, mas dois acontecimentos incompatíveis podem não ser contrários. (Em linguagem de conjuntos: num dado universo, dois conjuntos complementares são disjuntos, mas dois conjuntos disjuntos podem não ser complementares.) Exemplo: Na experiência “extrair, ao acaso, uma carta de um baralho de cinquenta e duas cartas” os acontecimentos A: “sair um ás” e B: “sair uma figura” são incompatíveis mas não são contrários. Já os acontecimentos C: “sair uma carta preta” e D: “sair uma carta vermelha” são contrários (e, obviamente, incompatíveis). 2
  • 3. Lei de Laplace ossíveispcasosden favoráveiscasosden AP º º )( ≡ Casos favoráveis: Aqueles que queremos que saiam Casos possíveis: Todos os do espaço amostral ATENÇÃO: 0≤ P(A) ≤ 1 A probabilidade de um acontecimento impossível é zero. 1º. Axioma: A probabilidade de um qualquer acontecimento A é sempre maior ou igual a zero: P(A) ≥ 0 2º. Axioma: A probabilidade de um acontecimento certo é 1: P(S) = 1 3º. Axioma: Dados dois acontecimentos incompatíveis, a probabilidade de ocorrer pelo menos um é igual à soma das probabilidades de cada um: Se A∩B=∅ então P(A∪B)=P(A) + P(B) A probabilidade segundo a definição clássica ou de Laplace é uma probabilidade segundo a definição axiomática. Propriedades 1- P(∅) = 0 2- P( A )=1 – P(A) 3- Se A⊆B então P(A) ≤ P(B) 4- Qualquer que seja o acontecimento A, 0≤P(A)≤1 5- P(A∪B)=P(A) + P(B) – P(A∩B) 3