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Explicações Ensino Secundário
Miguel Fernandes
Ano Letivo 2017/2018
Trigonometria – 11.º Ano
1. Numa circunferência de raio 10𝑚, determine o comprimento do arco oposto ao ângulo
ao centro de:
a)
4𝜋
5
b) 110º
2. Um ângulo central a uma circunferência de raio 8 corresponde a um arco de
comprimento 10𝜋. Calcule a medida desse ângulo em radianos e graus.
3. Estude as seguintes funções quanto ao domínio, contradomínio, zeros, período e
extremos. Esboce os gráficos das mesmas.
a) sen (2𝑥)
c) sen (𝑥 +
𝜋
2
)
d) cos (2𝑥) + 1
4. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [𝑂𝑃𝑅].
O ponto 𝑃 desloca-se ao longo da
circunferência, no primeiro quadrante.
O ponto 𝑅 desloca-se ao longo do eixo 𝑂𝑥, de
tal modo que o triângulo [𝑂𝑃𝑅] é sempre
isósceles.
Sendo 𝛼 a amplitude, em radianos, do
ângulo 𝑅𝑂𝑃, qual das expressões seguintes dá:
4.1. O perímetro do triângulo [𝑂𝑃𝑅]?
(A) 2(1 + sen 𝛼)
(B) 2(1 + cos 𝛼)
(C) 1 + sen 𝛼 + cos 𝛼
(D) 1 + sen 𝛼. cos 𝛼
4.2. A área do triângulo [𝑂𝑃𝑅]?
(A)
1 + sen α.cosα
2
(B)
(1 + cos α).senα
2
(C) sen 𝛼. cos 𝛼
(D) 2. sen 𝛼. cos 𝛼
2
Explicações Ensino Secundário
Miguel Fernandes
5. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, um arco
de circunferência 𝐴𝐵, de centro na origem do referencial e raio
igual a 1.
A reta 𝑟 tem equação 𝑦 = 1.
O ponto 𝐶 pertence ao arco 𝐴𝐵.
Seja 𝛼 a amplitude do ângulo 𝐴𝑂𝐶.
Qual das expressões seguintes dá a distância 𝑑 do ponto 𝐶 à
reta 𝑟?
(A) 1 + sen 𝛼
(B) 1 − sen 𝛼
(C) 1 + cos 𝛼
(D) 1 − cos 𝛼
6. Seja 𝑥 ∈ ]0,
𝜋
2
[.
Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A) cos (𝜋 − 𝑥)
(B) sen (𝜋 − 𝑥)
(C) cos (
3𝜋
2
− 𝑥)
(D) sen (
3𝜋
2
− 𝑥)
7. Na figura está representado um triângulo [𝐴𝐵𝐶] com dois ângulos de amplitude 𝛼 e
um ângulo de amplitude 𝛽.
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas
condições?
(A) cos 𝛽 = sen (2𝛼)
(B) cos 𝛽 = cos (2𝛼)
(C) cos 𝛽 = −sen (2𝛼)
(D) cos 𝛽 = −cos (2𝛼)
8. Seja 𝜃 um valor pertencente ao intervalo ]
𝜋
2
, 𝜋[.
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A) cos 𝜃 − sen 𝜃
(B) sen 𝜃 × cos 𝜃
(C) sen 𝜃 × tg 𝜃
(D) sen 𝜃 − tg 𝜃
3
Explicações Ensino Secundário
Miguel Fernandes
9. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o círculo trigonométrico.
Os pontos 𝑃 e 𝑄 pertencem à circunferência, sendo a reta
𝑃𝑄 paralela ao eixo 𝑂𝑥.
O ponto 𝑅 pertence ao eixo 𝑂𝑥. O ângulo 𝑅𝑂𝑃 tem 53° de
amplitude.
Qual é o perímetro do triângulo [ 𝑂𝑃𝑄] (valor aproximado
às décimas)?
(A) 3,2
(B) 3,4
(C) 3,6
(D) 3,8
10. A Inês olhou para o relógio quando este marcava 10ℎ 45𝑚𝑖𝑛.
Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro
dos minutos tinha rodado −3𝜋 radianos.
Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?
(A) 11ℎ 15𝑚𝑖𝑛
(B) 11ℎ 45𝑚𝑖𝑛
(C) 12ℎ 15𝑚𝑖𝑛
(D) 13ℎ 45𝑚𝑖𝑛
11. Na figura estão representados, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦:
 o círculo trigonométrico;
 o raio o.n. [ 𝑂𝐵] deste círculo;
 o arco de circunferência 𝐴𝐵, de centro no ponto 𝐶.
Tal como a figura sugere, o ponto 𝐵 pertence ao primeiro
quadrante, os pontos 𝐴 e 𝐶 pertencem ao eixo 𝑂𝑥 e a
reta 𝐵𝐶 é perpendicular a este eixo.
Seja 𝜃 a amplitude do ângulo 𝐴𝑂𝐵.
Qual a abcissa do ponto 𝐴?
(A) 1 + sen 𝜃
(B) 1 + cos 𝜃
(C) cos 𝜃 + sen 𝜃
(D) 1 + cos 𝜃 + sen 𝜃
12. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a
traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo
𝑂𝑥.
Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude?
(A) (B) (C) (D)
4
Explicações Ensino Secundário
Miguel Fernandes
13. Na figura, está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
 a reta 𝑟 é tangente à circunferência no ponto 𝐴(1,0);
 a reta 𝑠 passa na origem do referencial e interseta
a reta 𝑟 no ponto 𝑃, cuja ordenada é 2;
 o ponto 𝑄, situado no terceiro quadrante, pertence
à reta 𝑠.
Seja 𝛼 a amplitude, em radianos, do ângulo orientado,
assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo
positivo 𝑂𝑥 e por lado extremidade a semirreta 𝑂𝑄.
Qual é o valor de 𝛼, arredondado às centésimas?
(A) 4,23
(B) 4,25
(C) 4,27
(D) 4,29
14. Considere o triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] representado na figura.
Sabe-se que:
 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 2
 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 30°
Seja 𝛼 = 𝐵𝐴̂ 𝐶.
Qual das expressões seguintes representa 𝐵𝐶̅̅̅̅,
em função de 𝛼?
(A) 4sen α
(B) 6sen α
(C) 4cos α
(D) 6cos α
15. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer 𝑥
pertencente ao intervalo ]𝜋,
3𝜋
2
[?
(A) sen 𝑥 + cos 𝑥
(B)
cos 𝑥
tg 𝑥
(C) tg 𝑥 − sen 𝑥
(D) sen 𝑥 × tg 𝑥

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Trigonometria 11.º Ano - Ficha de trabalho

  • 1. 1 Explicações Ensino Secundário Miguel Fernandes Ano Letivo 2017/2018 Trigonometria – 11.º Ano 1. Numa circunferência de raio 10𝑚, determine o comprimento do arco oposto ao ângulo ao centro de: a) 4𝜋 5 b) 110º 2. Um ângulo central a uma circunferência de raio 8 corresponde a um arco de comprimento 10𝜋. Calcule a medida desse ângulo em radianos e graus. 3. Estude as seguintes funções quanto ao domínio, contradomínio, zeros, período e extremos. Esboce os gráficos das mesmas. a) sen (2𝑥) c) sen (𝑥 + 𝜋 2 ) d) cos (2𝑥) + 1 4. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [𝑂𝑃𝑅]. O ponto 𝑃 desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. O ponto 𝑅 desloca-se ao longo do eixo 𝑂𝑥, de tal modo que o triângulo [𝑂𝑃𝑅] é sempre isósceles. Sendo 𝛼 a amplitude, em radianos, do ângulo 𝑅𝑂𝑃, qual das expressões seguintes dá: 4.1. O perímetro do triângulo [𝑂𝑃𝑅]? (A) 2(1 + sen 𝛼) (B) 2(1 + cos 𝛼) (C) 1 + sen 𝛼 + cos 𝛼 (D) 1 + sen 𝛼. cos 𝛼 4.2. A área do triângulo [𝑂𝑃𝑅]? (A) 1 + sen α.cosα 2 (B) (1 + cos α).senα 2 (C) sen 𝛼. cos 𝛼 (D) 2. sen 𝛼. cos 𝛼
  • 2. 2 Explicações Ensino Secundário Miguel Fernandes 5. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, um arco de circunferência 𝐴𝐵, de centro na origem do referencial e raio igual a 1. A reta 𝑟 tem equação 𝑦 = 1. O ponto 𝐶 pertence ao arco 𝐴𝐵. Seja 𝛼 a amplitude do ângulo 𝐴𝑂𝐶. Qual das expressões seguintes dá a distância 𝑑 do ponto 𝐶 à reta 𝑟? (A) 1 + sen 𝛼 (B) 1 − sen 𝛼 (C) 1 + cos 𝛼 (D) 1 − cos 𝛼 6. Seja 𝑥 ∈ ]0, 𝜋 2 [. Qual das expressões seguintes designa um número positivo? (A) cos (𝜋 − 𝑥) (B) sen (𝜋 − 𝑥) (C) cos ( 3𝜋 2 − 𝑥) (D) sen ( 3𝜋 2 − 𝑥) 7. Na figura está representado um triângulo [𝐴𝐵𝐶] com dois ângulos de amplitude 𝛼 e um ângulo de amplitude 𝛽. Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições? (A) cos 𝛽 = sen (2𝛼) (B) cos 𝛽 = cos (2𝛼) (C) cos 𝛽 = −sen (2𝛼) (D) cos 𝛽 = −cos (2𝛼) 8. Seja 𝜃 um valor pertencente ao intervalo ] 𝜋 2 , 𝜋[. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo? (A) cos 𝜃 − sen 𝜃 (B) sen 𝜃 × cos 𝜃 (C) sen 𝜃 × tg 𝜃 (D) sen 𝜃 − tg 𝜃
  • 3. 3 Explicações Ensino Secundário Miguel Fernandes 9. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o círculo trigonométrico. Os pontos 𝑃 e 𝑄 pertencem à circunferência, sendo a reta 𝑃𝑄 paralela ao eixo 𝑂𝑥. O ponto 𝑅 pertence ao eixo 𝑂𝑥. O ângulo 𝑅𝑂𝑃 tem 53° de amplitude. Qual é o perímetro do triângulo [ 𝑂𝑃𝑄] (valor aproximado às décimas)? (A) 3,2 (B) 3,4 (C) 3,6 (D) 3,8 10. A Inês olhou para o relógio quando este marcava 10ℎ 45𝑚𝑖𝑛. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado −3𝜋 radianos. Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante? (A) 11ℎ 15𝑚𝑖𝑛 (B) 11ℎ 45𝑚𝑖𝑛 (C) 12ℎ 15𝑚𝑖𝑛 (D) 13ℎ 45𝑚𝑖𝑛 11. Na figura estão representados, em referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦:  o círculo trigonométrico;  o raio o.n. [ 𝑂𝐵] deste círculo;  o arco de circunferência 𝐴𝐵, de centro no ponto 𝐶. Tal como a figura sugere, o ponto 𝐵 pertence ao primeiro quadrante, os pontos 𝐴 e 𝐶 pertencem ao eixo 𝑂𝑥 e a reta 𝐵𝐶 é perpendicular a este eixo. Seja 𝜃 a amplitude do ângulo 𝐴𝑂𝐵. Qual a abcissa do ponto 𝐴? (A) 1 + sen 𝜃 (B) 1 + cos 𝜃 (C) cos 𝜃 + sen 𝜃 (D) 1 + cos 𝜃 + sen 𝜃 12. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo 𝑂𝑥. Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude? (A) (B) (C) (D)
  • 4. 4 Explicações Ensino Secundário Miguel Fernandes 13. Na figura, está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que:  a reta 𝑟 é tangente à circunferência no ponto 𝐴(1,0);  a reta 𝑠 passa na origem do referencial e interseta a reta 𝑟 no ponto 𝑃, cuja ordenada é 2;  o ponto 𝑄, situado no terceiro quadrante, pertence à reta 𝑠. Seja 𝛼 a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo 𝑂𝑥 e por lado extremidade a semirreta 𝑂𝑄. Qual é o valor de 𝛼, arredondado às centésimas? (A) 4,23 (B) 4,25 (C) 4,27 (D) 4,29 14. Considere o triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] representado na figura. Sabe-se que:  𝐴𝐵̅̅̅̅ = 2  𝐴𝐶̂ 𝐵 = 30° Seja 𝛼 = 𝐵𝐴̂ 𝐶. Qual das expressões seguintes representa 𝐵𝐶̅̅̅̅, em função de 𝛼? (A) 4sen α (B) 6sen α (C) 4cos α (D) 6cos α 15. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer 𝑥 pertencente ao intervalo ]𝜋, 3𝜋 2 [? (A) sen 𝑥 + cos 𝑥 (B) cos 𝑥 tg 𝑥 (C) tg 𝑥 − sen 𝑥 (D) sen 𝑥 × tg 𝑥