Ficha2 Derivadas

1. Ginásio da Educação da Vinci – Braga
Matemática A – 12.º Ano
Assunto: Derivadas
Miguel Fernandes
1. Seja, para cada m ∈ N, fm : [0, 2π[ −→ R definida por fm(x) = sin(m!πx).
(a) Determine o perı́odo das funções f1, f2 e f3 e averigue qual será a tendência à medida que se
aumenta o valor de m.
(b) Identifique, se existirem, os zeros das funções f1, f2 e f3.
(c) Mostre que a função fm+1 tem m+1 vezes mais zeros do que a função fm, para todo m ∈ N. Defina
a sucessão (vm)m que, a cada m ∈ N, atribui o número de zeros da respetiva função fm.
(d) Mostre que a sucessão um = fm(1/1000) é nula a partir de uma certa ordem. Quantos termos dessa
sucessão, no máximo, serão não nulos? Justifique.
(e) Mostre que fm+1(x) =
1
m!π
fm(mx) [fm(x)]
0
+
1
mm!π
fm(x) [fm(mx)]
0
.
2. Dê exemplo de uma função contı́nua que não seja derivável.
3. Estude a monotonia da função f(x) = cos x + x, no intervalo x ∈ [0, 2π[.
4. Seja f : R −→ R uma função derivável tal que f0
(x) > 0, para todo x ∈ R.
(a) Conclua que f é estritamente crescente no seu domı́nio.
(b) Mostre que as funções f +f, f ◦f,
√
f também são estritamente crescentes nos respetivos domı́nios:
i. Usando a definição de monotonia estrita;
ii. Averiguando o sinal das derivadas.
(c) Podemos garantir que f2
é também estritamente crescente? Se não, em que condições (por exem-
plo) podemos garantir esse facto? Justifique devidamente, sustentando a sua resposta através de
exemplos.
5. Seja f : R −→ R uma função derivável tal que f0
admite 5 zeros.
(a) Justifique que f terá no máximo 5 extremos. Dê exemplos em que f tem exatamente 5 extremos.
(b) Admita que f admite dois zeros. Mostre que existe um ponto entre eles onde f0
se anula.
6. Uma partı́cula percorre a reta real segundo a lei:
x(t) = −x4
+ 3x + 1
onde x(t) é a posição da partı́cula no instante t.
(a) Justifique que a partı́cula executa um movimento contı́nuo ao longo da reta, isto é, que a partı́cula
não ”salta”entre posições.
(b) Indique o(s) instante(s) de tempo em que a partı́cula inverte o sentido de marcha.
(c) Indique a velocidade da partı́cula no instante t = 2.
7. Verifique que a função f : R −→ R definida por:
f(x) =



x2
cos
1
x
x 6= 0
0 x = 0
é derivável com derivada descontı́nua.