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C´alculo – Ensino Superior 20/21
Exerc´ıcios sucess˜oes e s´eries
Miguel Fernandes
1. Considere as sucess˜oes un = 1 + 3
n
n
e vn = (−1)n
n .
(a) Determine o limite da sucess˜ao un.
(b) Verifique que vn → 0, usando a defini¸c˜ao de limite de sucess˜oes.
2. Considere uma sucess˜ao limitada vn e uma sucess˜ao divergente (com limite infinito) un.
(a) Mostre que a sucess˜ao wn = un + vn ´e divergente.
(b) Calcule lim
n
cos n + n. A aritm´etica dos limites de sucess˜oes seria conclusiva para este caso? Justi-
fique.
3. Seja x um n´umero real.
(a) Justifique que existe sempre uma sucess˜ao com termos racionais cujo limite ´e x.
(b) Conclua que R, visto como um espa¸co m´etrico, ´e um espa¸co separ´avel.
4. Justifique que n˜ao existe o limite lim
n
cos n.
5. Considere a sucess˜ao definida por recorrˆencia como se segue:
u0 = 1
2
un+1 = u2
n
Mostre que un ´e convergente para zero.
6. Seja an uma sucess˜ao num´erica. Mostre que as s´eries
∞
i=k an e
∞
i=k+n an s˜ao da mesma natureza,
onde k, n ∈ N.
7. Considere a s´erie num´erica
∞
i=0 3−i
.
(a) Como designa a s´erie acima?
(b) Identifique a sucess˜ao das somas parciais associada `a s´erie acima e calcule o seu limite. Conclua
que a s´erie ´e convergente.
8. Use o crit´erio d’Alembert para inferir acerca da natureza da s´erie num´erica
∞
i=1
i
i!
.
9. Estude a natureza das s´eries
∞
i=1
1
i2 e
∞
i=1
1
i2+1 .
10. Estude a natureza da s´erie
∞
i=1 sin 1
2i(i+1) cos 2i+1
2i(i+1) e calcule a sua soma.
Sugest˜ao: sin x − sin y = 2 sin x−y
2 cos x+y
2 .
11. Mostre que
n
k=1 akbk = Anbn −
n−1
k=1 Ak(bk+1 − bk), onde Ak = a1 + a2 + ... + ak.
Corre¸c˜ao
1. (a) un → e3
(b) Fixado > 0 tem–se
(−1)n
n
=
1
n
< ⇔ n >
1
i.e., qualquer que seja a margem de erro em rela¸c˜ao ao limite 0, existir´a sempre uma ordem, que
dever´a ser superior a 1/ , a partir da qual todos os termos da sucess˜ao pertencem a tal margem.
Isso prova o limite em quest˜ao.
2. (a) Como vn ´e limitada resulta que existem constantes m e M tais que m < vn < M e, portanto,
m + un < vn + un < M + un. Agora, como un admite limite infinito, conv´em separar os casos
un → +∞ e un → −∞. No primeiro caso, como vn + un > m + un e claramente m + un → +∞,
facilmente se prova que vn +un → +∞ e, consequentemente, vn +un diverge. O segundo caso segue
analogamente, mostrando o pretendido.
(b) A sucess˜ao dada por n → cos n ´e claramente limitada e a sucess˜ao n → n ´e divergente, com limite
+∞. Portanto, a al´ınea anterior permite concluir que cos n+n → +∞. A aritm´etica para o c´alculo
de limites n˜ao seria conclusiva neste caso, pois n˜ao existe o limite lim
n
cos n (ver exerc´ıcio abaixo).
3. (a) Se x for racional, claramente, a sucess˜ao constante igual a x tem como limite exatamente o racional
x. Se x for irracional, basta considerar a sucess˜ao que adiciona as sucessivas casas decimais ao
inteiro exatamente inferior/superior (conforme o sinal) a x.
(b) R ´e separ´avel, pois o subconjunto Q ´e denso em R (qualquer n´umero real ´e limite de uma sucess˜ao
com termos racionais).
4. Basta considerar as subsucess˜oes n → cos(2nπ) e n → cos((2n + 1)π) com limites diferentes.
5. Comecemos por ver que un ´e decrescente e limitada, resultando a sua convergˆencia. Por um lado,
vejamos que 0 < un < 1/2, resultando na sua limita¸c˜ao. A desiguldade esquerda ´e evidente (o primeiro
termo ´e positivo e os restantes s˜ao os quadrados dos imediatamente anteriores). A desigualdade direita
´e facilmente deduzida por indu¸c˜ao. Por outro lado, un ´e decrecente pois
un+1 − un = u2
n − un = un(un − 1)
e, visto que 0 < un < 1/2, resulta que un+1 < un. Portanto, un ´e convergente. O seu limite, que
designamos por u, adv´em da seguinte sequˆencia
lim
n
un+1 = lim
n
u2
n ⇔ u = u2
⇔ u = 0 ∨ u = 1.
Claramente, o limite 1 ´e contradit´orio com o enquadramento e monotonia da sucess˜ao, pelo que un → 0.
6. Tem–se
∞
i=k an =
k+n−1
i=k an +
∞
i=k+n an e, atendendo a que o termo
k+n−1
i=k an representa uma
constante, o resultado segue.
7. (a) S´erie geom´etrica.
(b) Sk =
k
i=0 3−k
´e a sucess˜ao de somas parciais. O seu limite ´e lim
n
3−0 1−3−n
1−3−1 = 3/2. Portanto, a
s´erie converge e tem soma igual a trˆes meios.
8. Seja un = n/n!. Ent˜ao
lim
n
(n+1)
(n+1)!
n
n!
= lim
n
1
n
= 0 < 1
Page 2
logo, pelo crit´erio d’Alembert, resulta que a s´erie
∞
i=1
i
i!
converge.
9. A s´erie
∞
i=1
1
i2 converge e, pelo teste de compara¸c˜ao, tamb´em
∞
i=1
1
i2+1 converge (ambas s˜ao s´eries de
termos positivos).
10. Tem–se
∞
i=1 sin 1
2i(i+1) cos 2i+1
2i(i+1) =
∞
i=1 sin 1
i − sin 1
i+1 e, portanto, estamos perante uma
s´erie de Mengoli que converge, pois n → sin(1/n) converge para zero, e cuja soma ´e Sn = sin 1.
11. Comecemos por ver que a1 = A1 e, para k > 1, ak = Ak − Ak−1 e, portanto,
n
k=1 akbk = A1b1 + (A2 −
A1)b2 +...+(An −An−1)bn = Anbn −A1(b2 −b1)−...−An−1(bn −bn−1) = Anbn −
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k=1 Ak(bk+1 −bk).
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Cálculo de sucessões e séries numéricas

  • 1. C´alculo – Ensino Superior 20/21 Exerc´ıcios sucess˜oes e s´eries Miguel Fernandes 1. Considere as sucess˜oes un = 1 + 3 n n e vn = (−1)n n . (a) Determine o limite da sucess˜ao un. (b) Verifique que vn → 0, usando a defini¸c˜ao de limite de sucess˜oes. 2. Considere uma sucess˜ao limitada vn e uma sucess˜ao divergente (com limite infinito) un. (a) Mostre que a sucess˜ao wn = un + vn ´e divergente. (b) Calcule lim n cos n + n. A aritm´etica dos limites de sucess˜oes seria conclusiva para este caso? Justi- fique. 3. Seja x um n´umero real. (a) Justifique que existe sempre uma sucess˜ao com termos racionais cujo limite ´e x. (b) Conclua que R, visto como um espa¸co m´etrico, ´e um espa¸co separ´avel. 4. Justifique que n˜ao existe o limite lim n cos n. 5. Considere a sucess˜ao definida por recorrˆencia como se segue: u0 = 1 2 un+1 = u2 n Mostre que un ´e convergente para zero. 6. Seja an uma sucess˜ao num´erica. Mostre que as s´eries ∞ i=k an e ∞ i=k+n an s˜ao da mesma natureza, onde k, n ∈ N. 7. Considere a s´erie num´erica ∞ i=0 3−i . (a) Como designa a s´erie acima? (b) Identifique a sucess˜ao das somas parciais associada `a s´erie acima e calcule o seu limite. Conclua que a s´erie ´e convergente. 8. Use o crit´erio d’Alembert para inferir acerca da natureza da s´erie num´erica ∞ i=1 i i! . 9. Estude a natureza das s´eries ∞ i=1 1 i2 e ∞ i=1 1 i2+1 . 10. Estude a natureza da s´erie ∞ i=1 sin 1 2i(i+1) cos 2i+1 2i(i+1) e calcule a sua soma. Sugest˜ao: sin x − sin y = 2 sin x−y 2 cos x+y 2 . 11. Mostre que n k=1 akbk = Anbn − n−1 k=1 Ak(bk+1 − bk), onde Ak = a1 + a2 + ... + ak.
  • 2. Corre¸c˜ao 1. (a) un → e3 (b) Fixado > 0 tem–se (−1)n n = 1 n < ⇔ n > 1 i.e., qualquer que seja a margem de erro em rela¸c˜ao ao limite 0, existir´a sempre uma ordem, que dever´a ser superior a 1/ , a partir da qual todos os termos da sucess˜ao pertencem a tal margem. Isso prova o limite em quest˜ao. 2. (a) Como vn ´e limitada resulta que existem constantes m e M tais que m < vn < M e, portanto, m + un < vn + un < M + un. Agora, como un admite limite infinito, conv´em separar os casos un → +∞ e un → −∞. No primeiro caso, como vn + un > m + un e claramente m + un → +∞, facilmente se prova que vn +un → +∞ e, consequentemente, vn +un diverge. O segundo caso segue analogamente, mostrando o pretendido. (b) A sucess˜ao dada por n → cos n ´e claramente limitada e a sucess˜ao n → n ´e divergente, com limite +∞. Portanto, a al´ınea anterior permite concluir que cos n+n → +∞. A aritm´etica para o c´alculo de limites n˜ao seria conclusiva neste caso, pois n˜ao existe o limite lim n cos n (ver exerc´ıcio abaixo). 3. (a) Se x for racional, claramente, a sucess˜ao constante igual a x tem como limite exatamente o racional x. Se x for irracional, basta considerar a sucess˜ao que adiciona as sucessivas casas decimais ao inteiro exatamente inferior/superior (conforme o sinal) a x. (b) R ´e separ´avel, pois o subconjunto Q ´e denso em R (qualquer n´umero real ´e limite de uma sucess˜ao com termos racionais). 4. Basta considerar as subsucess˜oes n → cos(2nπ) e n → cos((2n + 1)π) com limites diferentes. 5. Comecemos por ver que un ´e decrescente e limitada, resultando a sua convergˆencia. Por um lado, vejamos que 0 < un < 1/2, resultando na sua limita¸c˜ao. A desiguldade esquerda ´e evidente (o primeiro termo ´e positivo e os restantes s˜ao os quadrados dos imediatamente anteriores). A desigualdade direita ´e facilmente deduzida por indu¸c˜ao. Por outro lado, un ´e decrecente pois un+1 − un = u2 n − un = un(un − 1) e, visto que 0 < un < 1/2, resulta que un+1 < un. Portanto, un ´e convergente. O seu limite, que designamos por u, adv´em da seguinte sequˆencia lim n un+1 = lim n u2 n ⇔ u = u2 ⇔ u = 0 ∨ u = 1. Claramente, o limite 1 ´e contradit´orio com o enquadramento e monotonia da sucess˜ao, pelo que un → 0. 6. Tem–se ∞ i=k an = k+n−1 i=k an + ∞ i=k+n an e, atendendo a que o termo k+n−1 i=k an representa uma constante, o resultado segue. 7. (a) S´erie geom´etrica. (b) Sk = k i=0 3−k ´e a sucess˜ao de somas parciais. O seu limite ´e lim n 3−0 1−3−n 1−3−1 = 3/2. Portanto, a s´erie converge e tem soma igual a trˆes meios. 8. Seja un = n/n!. Ent˜ao lim n (n+1) (n+1)! n n! = lim n 1 n = 0 < 1 Page 2
  • 3. logo, pelo crit´erio d’Alembert, resulta que a s´erie ∞ i=1 i i! converge. 9. A s´erie ∞ i=1 1 i2 converge e, pelo teste de compara¸c˜ao, tamb´em ∞ i=1 1 i2+1 converge (ambas s˜ao s´eries de termos positivos). 10. Tem–se ∞ i=1 sin 1 2i(i+1) cos 2i+1 2i(i+1) = ∞ i=1 sin 1 i − sin 1 i+1 e, portanto, estamos perante uma s´erie de Mengoli que converge, pois n → sin(1/n) converge para zero, e cuja soma ´e Sn = sin 1. 11. Comecemos por ver que a1 = A1 e, para k > 1, ak = Ak − Ak−1 e, portanto, n k=1 akbk = A1b1 + (A2 − A1)b2 +...+(An −An−1)bn = Anbn −A1(b2 −b1)−...−An−1(bn −bn−1) = Anbn − n−1 k=1 Ak(bk+1 −bk). Page 3