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Matem´atica – 9.º Ano
Propriedades de n´umeros reais e Intervalos
(Exerc´ıcios de grau de dificuldade m´edio/elevado**)
Miguel Fernandes
1. Considere o conjunto B = [−1, 3]. Escreva, usando nota¸c˜ao intervalar, os conjuntos:
(a) A = {x ∈ R : 3x ∈ B};
(b) B = {x ∈ R : 2x − 9 ∈ B};
(c) C = x ∈ R : x2
∈ B ;
(d) D = x ∈ R : x3
∈ B ;
(e) E = x ∈ R+
0 :
√
x ∈ B .
2. Indique um intervalo I limitado tal que:
(a) I = x ∈ R : x2
∈ I ;
(b) I = x ∈ R+
0 :
√
x ∈ I ;
(c) I = x ∈ R  {0} : 1
x ∈ I .
3. Verifique que n˜ao existe nenhum intervalo I limitado tal que I = {x ∈ R : x + 1 ∈ I}.
4. Dado dois conjuntos n˜ao vazios X e Y em R, diz–se que X est´a contido em Y (ou Y cont´em X) se
sempre que x ∈ X, ent˜ao x ∈ Y .
(a) Indique conjuntos contidos em [1, 3] e {4}.
(b) Dados X e Y contidos em Z, mostre que X ∩ Y e X ∪ Y est˜ao contidos em Z.
(c) Dˆe exemplos de dois conjuntos X e Y tais que X ∩ Y est´a contido num terceiro conjunto Z, mas
nem X nem Y est˜ao contidos em Z.
(d) Mostre que se X ∪ Y est´a contido em Z, ent˜ao cada um dos conjuntos X e Y est´a contido em Z.
(e) Quantos conjuntos (n˜ao vazios) est˜ao contidos em {3, 4}? E em {3, 4, 5}? Justifique devidamente.
5. Um conjunto n˜ao vazio A de R ´e designado por cone sempre que se x ∈ A, ent˜ao kx ∈ A, para qualquer
k positivo.
(a) Justifique que os conjuntos [0, +∞[ e {0} s˜ao cones.
(b) Mostre que um intervalo limitado n˜ao pode ser um cone.
(c) Mostre que a interse¸c˜ao e a reuni˜ao de dois cones ´e um cone.
(d) Dado um conjunto n˜ao vazio X de R, designa–se por cone gerado por X ao menor cone que cont´em
X e denota–se por co(X). Isto significa que, para qualquer cone Z que cont´em X, tem–se co(X)
contido em Z.
i. Mostre que co(X) ´e o conjunto de todos os reais da forma kx, onde x ∈ X e k > 0.
ii. Indique co({1}), co(]3, 10]) e co([−1, 2]).
iii. Existe algum conjunto singular S tal que co(S) = R{0}? E se o conjunto tiver dois elementos?
Justifique devidamente.
iv. Indique co(Z) e co(Q) e compare os conjuntos obtidos. Comente devidamente.
v. Indique um conjunto Y tal que co(Y ) ´e constitu´ıdo apenas por um elemento. Y ´e o ´unico
conjunto sobre R nessas condi¸c˜oes? Justifique a sua resposta.
vi. Mostre que se X est´a contido em Y , ent˜ao co(X) est´a contido em co(Y ).
1. (a) O conjunto B compreeende todos os n´umeros reais que satisfazem a condi¸c˜ao −1 ≤ x ≤ 3. Por
outro lado, as propriedades dos n´umeros reais permitem–nos escrever a equivalˆencia −1
3 ≤ x ≤ 1 ⇔
−1 ≤ 3x ≤ 3. Portanto, A = −1
3 , 1 .
(b) Procedendo de modo an´alogo `a al´ınea anterior, obt´em–se B = [4, 6].
(c) C = −
√
3,
√
3 .
(d) D = −1, 3
√
3 .
(e) E = [0, 9].
2. (a) Por exemplo, I = [−1, 1].
(b) Por exemplo, I = [0, 1].
(c) Por exemplo, I = 1
2 , 2 .
3. Como I ´e um intervalo limitado ent˜ao existe um n´umero x ∈ I tal que x − 1 /∈ I. Mas ent˜ao se fosse
verdade que I = {x ∈ R : x + 1 ∈ I}, ent˜ao x = (x − 1) + 1 ∈ I implicaria que x − 1 ∈ I, o que contradiz
o acima descrito.
4. (a) Para o primeiro intervalo tem–se, por exemplo, {1}. No caso do segundo conjunto, a ´unica solu¸c˜ao
´e o pr´oprio do conjunto {4}.
(b) Por hip´otese todo o elemento de X est´a em Z e o mesmo para todo o elemento de Y . Seja z ∈ X ∩Y .
Ent˜ao z ∈ X e z ∈ Y e, usando a hip´otese, tem–se portanto z ∈ Z. Isto mostra que X ∩ Y est´a
contido em Z. Seja w ∈ X ∪Y . Ent˜ao w ∈ X ou w ∈ Y e, em qualquer dos casos, usando a hip´otese
acima, resulta w ∈ Z. Isso mostra que X ∪ Y est´a contido em Z.
(c) Por exemplo X = ]−∞, 0], Y = [0, +∞] e Z = {0}.
(d) Por hip´otese, tem–se que todo o elemento de X ∪ Y ´e um elemento de Z. Seja x ∈ X, ent˜ao
x ∈ X ∪ Y e, usando a hip´otese, resulta x ∈ Z. Analogamente, se mostra para o conjunto Y .
(e) Em {3, 4}, est˜ao contidos os trˆes conjuntos {3}, {4} e {3, 4}. Em {3, 4, 5}, est˜ao contidos os sete
conjuntos {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} e {3, 4, 5}.
5. (a) Seja x ≥ 0. Ent˜ao kx ≥ 0, para qualquer k > 0, pelas propriedades dos n´umeros reais. Isso mostra
que [0, +∞[ ´e um cone. No caso do conjunto {0}, a verifica¸c˜ao ´e trivial dado que 0 ´e elemento
absorvente em R.
(b) Vamos admitir que um intervalo limitado I ´e um cone. Ent˜ao existe um elemento x ∈ I tal que
2x /∈ I. Mas como I ´e um cone, tem–se 2x ∈ I, o que contraria a conclus˜ao acima. Logo um
intervalo limitado n˜ao pode ser um cone.
(c) A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do exerc´ıcio (b) de 4.
(d) i. Comecemos por mostrar que o conjunto, que passamos a designar por X∗
, de todos os reais
da forma kx ´e um cone que cont´em X, onde x ∈ X e k > 0. Em primeiro lugar, tomando
k = 1 tem–se claramente que X est´a contido em X∗
. Agora, tamb´em ´e evidente que X∗
´e um
cone, pois, dado y ∈ X∗
, tem–se que y ´e da forma y = λx para alguns λ > 0 e x ∈ X. Mas
ent˜ao ´e claro que αy = αλx ∈ X∗
, para qualquer α > 0, porque αλ > 0 e x ∈ X. Agora, falta
mostrar que X∗
´e o menor cone que cont´em X. Ora, se Z ´e um cone que cont´em X, ent˜ao, para
qualquer x ∈ X e k > 0, tem–se kx ∈ Z e esta ´ultima condi¸c˜ao mostra que X∗
est´a contido em
Z. Portanto, X∗
= co(X).
ii. co({1}) = co(]3, 10]) = ]0, +∞[, co([−1, 2]) = R.
iii. N˜ao existe nenhum conjunto singular tal que o seu cone gerado seja toda a reta real exceto o
0. De facto, seja S = {s} esse conjunto singular. Se s > 0, ent˜ao co(S) = ]0, +∞[; se s = 0,
ent˜ao co(S) = {0}; se s < 0, ent˜ao co(S) = ]−∞, 0[. Para o segundo caso, basta considerar o
conjunto X = {−1, 1}.
iv. co(Z) = co(Q) = R.
Page 2
v. Y = {0}, tem–se co(Y ) = {0} e este ´e o ´unico conjunto nestas condi¸c˜oes (para verificar tal,
basta assumir que existe X = {0} ∪ Z tal que co(X) ´e singular, para algum conjunto Z = {0}
n˜ao vazio, e chegar a uma contradi¸c˜ao.)
vi. Para este exerc´ıcio basta usar a propriedade da subal´ınea i.
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Propriedades de números reais e intervalos

  • 1. Matem´atica – 9.º Ano Propriedades de n´umeros reais e Intervalos (Exerc´ıcios de grau de dificuldade m´edio/elevado**) Miguel Fernandes 1. Considere o conjunto B = [−1, 3]. Escreva, usando nota¸c˜ao intervalar, os conjuntos: (a) A = {x ∈ R : 3x ∈ B}; (b) B = {x ∈ R : 2x − 9 ∈ B}; (c) C = x ∈ R : x2 ∈ B ; (d) D = x ∈ R : x3 ∈ B ; (e) E = x ∈ R+ 0 : √ x ∈ B . 2. Indique um intervalo I limitado tal que: (a) I = x ∈ R : x2 ∈ I ; (b) I = x ∈ R+ 0 : √ x ∈ I ; (c) I = x ∈ R {0} : 1 x ∈ I . 3. Verifique que n˜ao existe nenhum intervalo I limitado tal que I = {x ∈ R : x + 1 ∈ I}. 4. Dado dois conjuntos n˜ao vazios X e Y em R, diz–se que X est´a contido em Y (ou Y cont´em X) se sempre que x ∈ X, ent˜ao x ∈ Y . (a) Indique conjuntos contidos em [1, 3] e {4}. (b) Dados X e Y contidos em Z, mostre que X ∩ Y e X ∪ Y est˜ao contidos em Z. (c) Dˆe exemplos de dois conjuntos X e Y tais que X ∩ Y est´a contido num terceiro conjunto Z, mas nem X nem Y est˜ao contidos em Z. (d) Mostre que se X ∪ Y est´a contido em Z, ent˜ao cada um dos conjuntos X e Y est´a contido em Z. (e) Quantos conjuntos (n˜ao vazios) est˜ao contidos em {3, 4}? E em {3, 4, 5}? Justifique devidamente. 5. Um conjunto n˜ao vazio A de R ´e designado por cone sempre que se x ∈ A, ent˜ao kx ∈ A, para qualquer k positivo. (a) Justifique que os conjuntos [0, +∞[ e {0} s˜ao cones. (b) Mostre que um intervalo limitado n˜ao pode ser um cone. (c) Mostre que a interse¸c˜ao e a reuni˜ao de dois cones ´e um cone. (d) Dado um conjunto n˜ao vazio X de R, designa–se por cone gerado por X ao menor cone que cont´em X e denota–se por co(X). Isto significa que, para qualquer cone Z que cont´em X, tem–se co(X) contido em Z. i. Mostre que co(X) ´e o conjunto de todos os reais da forma kx, onde x ∈ X e k > 0. ii. Indique co({1}), co(]3, 10]) e co([−1, 2]). iii. Existe algum conjunto singular S tal que co(S) = R{0}? E se o conjunto tiver dois elementos? Justifique devidamente. iv. Indique co(Z) e co(Q) e compare os conjuntos obtidos. Comente devidamente. v. Indique um conjunto Y tal que co(Y ) ´e constitu´ıdo apenas por um elemento. Y ´e o ´unico conjunto sobre R nessas condi¸c˜oes? Justifique a sua resposta. vi. Mostre que se X est´a contido em Y , ent˜ao co(X) est´a contido em co(Y ).
  • 2. 1. (a) O conjunto B compreeende todos os n´umeros reais que satisfazem a condi¸c˜ao −1 ≤ x ≤ 3. Por outro lado, as propriedades dos n´umeros reais permitem–nos escrever a equivalˆencia −1 3 ≤ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 3x ≤ 3. Portanto, A = −1 3 , 1 . (b) Procedendo de modo an´alogo `a al´ınea anterior, obt´em–se B = [4, 6]. (c) C = − √ 3, √ 3 . (d) D = −1, 3 √ 3 . (e) E = [0, 9]. 2. (a) Por exemplo, I = [−1, 1]. (b) Por exemplo, I = [0, 1]. (c) Por exemplo, I = 1 2 , 2 . 3. Como I ´e um intervalo limitado ent˜ao existe um n´umero x ∈ I tal que x − 1 /∈ I. Mas ent˜ao se fosse verdade que I = {x ∈ R : x + 1 ∈ I}, ent˜ao x = (x − 1) + 1 ∈ I implicaria que x − 1 ∈ I, o que contradiz o acima descrito. 4. (a) Para o primeiro intervalo tem–se, por exemplo, {1}. No caso do segundo conjunto, a ´unica solu¸c˜ao ´e o pr´oprio do conjunto {4}. (b) Por hip´otese todo o elemento de X est´a em Z e o mesmo para todo o elemento de Y . Seja z ∈ X ∩Y . Ent˜ao z ∈ X e z ∈ Y e, usando a hip´otese, tem–se portanto z ∈ Z. Isto mostra que X ∩ Y est´a contido em Z. Seja w ∈ X ∪Y . Ent˜ao w ∈ X ou w ∈ Y e, em qualquer dos casos, usando a hip´otese acima, resulta w ∈ Z. Isso mostra que X ∪ Y est´a contido em Z. (c) Por exemplo X = ]−∞, 0], Y = [0, +∞] e Z = {0}. (d) Por hip´otese, tem–se que todo o elemento de X ∪ Y ´e um elemento de Z. Seja x ∈ X, ent˜ao x ∈ X ∪ Y e, usando a hip´otese, resulta x ∈ Z. Analogamente, se mostra para o conjunto Y . (e) Em {3, 4}, est˜ao contidos os trˆes conjuntos {3}, {4} e {3, 4}. Em {3, 4, 5}, est˜ao contidos os sete conjuntos {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} e {3, 4, 5}. 5. (a) Seja x ≥ 0. Ent˜ao kx ≥ 0, para qualquer k > 0, pelas propriedades dos n´umeros reais. Isso mostra que [0, +∞[ ´e um cone. No caso do conjunto {0}, a verifica¸c˜ao ´e trivial dado que 0 ´e elemento absorvente em R. (b) Vamos admitir que um intervalo limitado I ´e um cone. Ent˜ao existe um elemento x ∈ I tal que 2x /∈ I. Mas como I ´e um cone, tem–se 2x ∈ I, o que contraria a conclus˜ao acima. Logo um intervalo limitado n˜ao pode ser um cone. (c) A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do exerc´ıcio (b) de 4. (d) i. Comecemos por mostrar que o conjunto, que passamos a designar por X∗ , de todos os reais da forma kx ´e um cone que cont´em X, onde x ∈ X e k > 0. Em primeiro lugar, tomando k = 1 tem–se claramente que X est´a contido em X∗ . Agora, tamb´em ´e evidente que X∗ ´e um cone, pois, dado y ∈ X∗ , tem–se que y ´e da forma y = λx para alguns λ > 0 e x ∈ X. Mas ent˜ao ´e claro que αy = αλx ∈ X∗ , para qualquer α > 0, porque αλ > 0 e x ∈ X. Agora, falta mostrar que X∗ ´e o menor cone que cont´em X. Ora, se Z ´e um cone que cont´em X, ent˜ao, para qualquer x ∈ X e k > 0, tem–se kx ∈ Z e esta ´ultima condi¸c˜ao mostra que X∗ est´a contido em Z. Portanto, X∗ = co(X). ii. co({1}) = co(]3, 10]) = ]0, +∞[, co([−1, 2]) = R. iii. N˜ao existe nenhum conjunto singular tal que o seu cone gerado seja toda a reta real exceto o 0. De facto, seja S = {s} esse conjunto singular. Se s > 0, ent˜ao co(S) = ]0, +∞[; se s = 0, ent˜ao co(S) = {0}; se s < 0, ent˜ao co(S) = ]−∞, 0[. Para o segundo caso, basta considerar o conjunto X = {−1, 1}. iv. co(Z) = co(Q) = R. Page 2
  • 3. v. Y = {0}, tem–se co(Y ) = {0} e este ´e o ´unico conjunto nestas condi¸c˜oes (para verificar tal, basta assumir que existe X = {0} ∪ Z tal que co(X) ´e singular, para algum conjunto Z = {0} n˜ao vazio, e chegar a uma contradi¸c˜ao.) vi. Para este exerc´ıcio basta usar a propriedade da subal´ınea i. Page 3