1. O documento apresenta exercícios sobre sucessões e séries numéricas. Inclui questões sobre limites de sucessões, convergência e divergência de séries, e identificação da natureza de determinadas séries.

1. C´alculo – Ensino Superior 20/21
Exerc´ıcios sucess˜oes e s´eries
Miguel Fernandes
1. Considere as sucess˜oes un = 1 + 3
n
n
e vn = (−1)n
n .
(a) Determine o limite da sucess˜ao un.
(b) Verifique que vn → 0, usando a defini¸c˜ao de limite de sucess˜oes.
2. Considere uma sucess˜ao limitada vn e uma sucess˜ao divergente (com limite infinito) un.
(a) Mostre que a sucess˜ao wn = un + vn ´e divergente.
(b) Calcule lim
n
cos n + n. A aritm´etica dos limites de sucess˜oes seria conclusiva para este caso? Justi-
fique.
3. Seja x um n´umero real.
(a) Justifique que existe sempre uma sucess˜ao com termos racionais cujo limite ´e x.
(b) Conclua que R, visto como um espa¸co m´etrico, ´e um espa¸co separ´avel.
4. Justifique que n˜ao existe o limite lim
n
cos n.
5. Considere a sucess˜ao definida por recorrˆencia como se segue:
u0 = 1
2
un+1 = u2
n
Mostre que un ´e convergente para zero.
6. Seja an uma sucess˜ao num´erica. Mostre que as s´eries
∞
i=k an e
∞
i=k+n an s˜ao da mesma natureza,
onde k, n ∈ N.
7. Considere a s´erie num´erica
∞
i=0 3−i
.
(a) Como designa a s´erie acima?
(b) Identifique a sucess˜ao das somas parciais associada `a s´erie acima e calcule o seu limite. Conclua
que a s´erie ´e convergente.
8. Use o crit´erio d’Alembert para inferir acerca da natureza da s´erie num´erica
∞
i=1
i
i!
.
9. Estude a natureza das s´eries
∞
i=1
1
i2 e
∞
i=1
1
i2+1 .
10. Estude a natureza da s´erie
∞
i=1 sin 1
2i(i+1) cos 2i+1
2i(i+1) e calcule a sua soma.
Sugest˜ao: sin x − sin y = 2 sin x−y
2 cos x+y
2 .
11. Mostre que
n
k=1 akbk = Anbn −
n−1
k=1 Ak(bk+1 − bk), onde Ak = a1 + a2 + ... + ak.