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TRIGONOMETRIA<br />A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.<br />TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />É o triângulo que contém um ângulo reto.<br />23495-4445No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede 90°.<br />Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B.<br />No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:<br />O lado a, cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, b cateto maior, chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado c que é o maior dos lados, é chamado de hipotenusa.<br />TEOREMA DE PITÁGORAS<br />Enunciado:<br />“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.<br />Demonstração:<br />23495196215Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos: <br />A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4.<br />As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados a, b e c, e áreas iguais a  12  ∙ab. A figura 5 é um QUADRADO de lado c e área igual  c².<br />Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a (a+b) temos:<br /> a+b2=a²+2ab+b², verificando o valor da área 5, temos:<br /> c2=a+b2-4∙(12ab) , de onde podemos verificar que: c2=a²+2ab+b²-2ab) e, assim concluímos que:<br />469074560960c2=a²+b²cqd.<br />Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo.<br />RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />-43180295275Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos a e b. Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa c, temos os segmentos: CD (h) igual altura relativa à hipotenusa c, AD (m) igual a projeção do cateto b sobre a hipotenusa c e BD (n) igual a projeção do cateto a sobre a hipotenusa c.<br />A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC.<br />Deste modo temos: ⊿ABC∼⊿ACD∼⊿CBD<br />I Triângulo ABCII Triângulo ADCIII Triângulo CDB<br />De I e II temos ⊿ABC∼⊿ACD, então podemos fazer:<br />1 - bm=ah⇒bh=ma2 - bm=cb⇒b²=mc<br />De II e III temos ⊿ACD∼⊿CBD, então podemos fazer:<br />3 - mh=hn⇒h²=mn<br />De I e III temos ⊿ABC∼⊿CBD, então podemos fazer:<br />4 - bh=ca⇒ab=ch5 - ca=an⇒a²=nc<br />443357072390<br />Exercício 2 – Dado o triângulo abaixo, sabendo que AB=20 e BC=15, medido em centímetros, calcule, a medida de AC a medida de AE, a medida de BE, a medida de CE e a área do triângulo ABC. <br />Exercício 3 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de segmento MN.<br />421449533020Exercício 4 – No triângulo dado calcule o valor numérico das medidas indicadas por letras. <br />FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />421449519050<br />Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é oposto à hipotenusa.<br />São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.<br />FUNÇÃO SENO<br />Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então teremos:<br />sen A=cateto oposto ao ângulo Ahipotenusa , isto é, senA=ac<br />FUNÇÃO COSSENO<br />Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”.<br />cosA=cateto adjacente ao ângulo Ahipotenusa , isto é, cosA=bc<br />FUNÇÃO TANGENTE<br />Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo”.<br />tgA=cateto oposto ao ângulo Acateto adjacente ao ângulo A , isto é, tgA=ab<br />RELAÇÕES FUNDAMENTAIS<br />1ª – Tomando-se senA=ac⇒a=c∙senA e cosA=bc⇒b=c∙cosA, como tg A=ab temos tgA=c∙senA c∙cosA logo podemos concluir que: tgA=senA cosA<br />2ª – Da dedução anterior temos: a=c∙senA e b=c∙cosA, elevando as igualdades ao quadrado temos, a²=c²∙sen²A e b²=c²∙cos²A. Somando a² com b², vem a²+b²=c²∙sen²A+c²∙cos²A. Pelo teorema de Pitágoras a²+b²=c², logo teremos a expressão c²=c²∙sen²A+c²∙cos²A, pondo c² em evidência vem: c²=c²∙(sen2A+cos2A), ou seja,  sen2A+cos2A=1<br />3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: A+B=90° e o lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo senA=cosB<br />Demonstração:<br />Na figura do topo da página, temos: senA=ac e cos A=bc para o ângulo A e senB=bc e cosB=ac para o ângulo B. Desse modo temos: senA=cosB<br />CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE<br />Ângulo de 30° e 60°<br />23495314960Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60°. Traçando-se a mediana AD dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60°.<br />Cálculo do valor numérico de H.<br />Pelo teorema de Pitágoras temos: L²=H²+(L2)², de onde L²=H²+L²4⇒H²=L²-L²4  ou  H²=3L²4.<br />De onde vem H=3L²4··; concluindo H=L32<br />Seno, cosseno e tangente de 30°:<br />Da definição de seno temos sen30=L/2L⇒sen30=L2L ou seja: sen30=12<br />Da definição de cosseno temos cos30=HL⇒cos30=L32L ou seja: cos30=32<br />De tg30=sen30 cos30⇒tg30=1/23/2⇒tg30=13 ou seja: tg30=33<br />Seno, cosseno e tangente de 60°:<br />Aplicando a relação para ângulos complementares temos:<br />sen60=32, cos60=12 e tg60=sen60 cos60⇒tg60=3/21/2⇒tg30=3<br />Ângulo de 45°<br />22860243205Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C medem 45°, respectivamente. O ângulo A=B+C, mede 90°.<br />Cálculo do valor numérico de M.<br />Pelo teorema de Pitágoras temos: M²=L²+L², isto é: M²=2L²⇒M=L2<br />Seno, cosseno e tangente de 45°:<br />Da definição de seno temos sen45=LM⇒sen45=LL2 ou seja: sen45=22<br />Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, cos45=22, ou seja: sen45=cos45⇒tg45=1<br />Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0°) até o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90°), enquanto que o cateto adjacente pode variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0°) até 0 (para o ângulo de 90°). <br />Temos as seguintes relações a mais:<br />sen0=0hipotenusa=0  e   sen90=hipotenusahipotenusa=1<br />cos0=hipotenusahipotenusa=1  e cos90=0hipotenusa=0<br />tg0=01=0  e tg90=10=∄  (o símbolo ∄ significa não existe)<br />Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das principais funções trigonométricas de 0° a 90°.<br />FunçõesÂngulos0°30°45°60°90°sen01222321cos13222120tg03313∄<br />Exercício 5 – Dado  senx=12  calcule o valor de cosx e tgx.<br />Exercício 6 – Sendo tgx=3 calcule o valor de cosx e senx.<br />Exercício 7 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a 55 calcule o valor do seno e tangente desse ângulo.<br />Exercício 8 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos agudos, é igual 3. 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Antonio e Bento ocupam os pontos A e B formando o segmento de reta AB e Carlos está num ponto C, de modo que o segmento AC forma um ângulo de 30° com AB e o segmento BC forma um ângulo de 45° com AB. Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de 4,0 m:<br />Desenhe um triângulo para ilustrar o problema.<br />Calcule a distância entre Antonio e Bento.<br />Calcule a distância entre Bento e Carlos.<br />Exercício 13 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos CAB e ACB são iguais e medem 75°. Determine a largura do rio, considerando o cos75=0,25·.<br />TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO<br />Círculo, ou circunferência trigonométrica é o círculo ou circunferência de raio igual a 1, (uma unidade).<br />3995420104775CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:<br />Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma posição, simultaneamente no espaço, são entidades geométricas diferentes. O círculo refere-se a área contornada pela circunferência. Não tem sentido falar em área da circunferência, bem como comprimento do círculo. <br />4062095440055ÂNGULO E ARCO<br />Outras duas entidades relacionadas com círculo e circunferência, são ângulos e arcos: ângulos estão relacionados com áreas (círculo) e arcos estão relacionados com comprimento (circunferência) <br />UNIDADES DE MEDIDAS<br />Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.<br />GRAU<br />Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência<br />Exercício 14 –<br />Exercício 15 –<br />
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  • 1. TRIGONOMETRIA<br />A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.<br />TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />É o triângulo que contém um ângulo reto.<br />23495-4445No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede 90°.<br />Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B.<br />No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:<br />O lado a, cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, b cateto maior, chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado c que é o maior dos lados, é chamado de hipotenusa.<br />TEOREMA DE PITÁGORAS<br />Enunciado:<br />“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.<br />Demonstração:<br />23495196215Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos: <br />A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4.<br />As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados a, b e c, e áreas iguais a 12 ∙ab. A figura 5 é um QUADRADO de lado c e área igual c².<br />Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a (a+b) temos:<br /> a+b2=a²+2ab+b², verificando o valor da área 5, temos:<br /> c2=a+b2-4∙(12ab) , de onde podemos verificar que: c2=a²+2ab+b²-2ab) e, assim concluímos que:<br />469074560960c2=a²+b²cqd.<br />Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo.<br />RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />-43180295275Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos a e b. Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa c, temos os segmentos: CD (h) igual altura relativa à hipotenusa c, AD (m) igual a projeção do cateto b sobre a hipotenusa c e BD (n) igual a projeção do cateto a sobre a hipotenusa c.<br />A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC.<br />Deste modo temos: ⊿ABC∼⊿ACD∼⊿CBD<br />I Triângulo ABCII Triângulo ADCIII Triângulo CDB<br />De I e II temos ⊿ABC∼⊿ACD, então podemos fazer:<br />1 - bm=ah⇒bh=ma2 - bm=cb⇒b²=mc<br />De II e III temos ⊿ACD∼⊿CBD, então podemos fazer:<br />3 - mh=hn⇒h²=mn<br />De I e III temos ⊿ABC∼⊿CBD, então podemos fazer:<br />4 - bh=ca⇒ab=ch5 - ca=an⇒a²=nc<br />443357072390<br />Exercício 2 – Dado o triângulo abaixo, sabendo que AB=20 e BC=15, medido em centímetros, calcule, a medida de AC a medida de AE, a medida de BE, a medida de CE e a área do triângulo ABC. <br />Exercício 3 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de segmento MN.<br />421449533020Exercício 4 – No triângulo dado calcule o valor numérico das medidas indicadas por letras. <br />FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />421449519050<br />Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é oposto à hipotenusa.<br />São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.<br />FUNÇÃO SENO<br />Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então teremos:<br />sen A=cateto oposto ao ângulo Ahipotenusa , isto é, senA=ac<br />FUNÇÃO COSSENO<br />Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”.<br />cosA=cateto adjacente ao ângulo Ahipotenusa , isto é, cosA=bc<br />FUNÇÃO TANGENTE<br />Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo”.<br />tgA=cateto oposto ao ângulo Acateto adjacente ao ângulo A , isto é, tgA=ab<br />RELAÇÕES FUNDAMENTAIS<br />1ª – Tomando-se senA=ac⇒a=c∙senA e cosA=bc⇒b=c∙cosA, como tg A=ab temos tgA=c∙senA c∙cosA logo podemos concluir que: tgA=senA cosA<br />2ª – Da dedução anterior temos: a=c∙senA e b=c∙cosA, elevando as igualdades ao quadrado temos, a²=c²∙sen²A e b²=c²∙cos²A. Somando a² com b², vem a²+b²=c²∙sen²A+c²∙cos²A. Pelo teorema de Pitágoras a²+b²=c², logo teremos a expressão c²=c²∙sen²A+c²∙cos²A, pondo c² em evidência vem: c²=c²∙(sen2A+cos2A), ou seja, sen2A+cos2A=1<br />3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: A+B=90° e o lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo senA=cosB<br />Demonstração:<br />Na figura do topo da página, temos: senA=ac e cos A=bc para o ângulo A e senB=bc e cosB=ac para o ângulo B. Desse modo temos: senA=cosB<br />CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE<br />Ângulo de 30° e 60°<br />23495314960Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60°. Traçando-se a mediana AD dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60°.<br />Cálculo do valor numérico de H.<br />Pelo teorema de Pitágoras temos: L²=H²+(L2)², de onde L²=H²+L²4⇒H²=L²-L²4 ou H²=3L²4.<br />De onde vem H=3L²4··; concluindo H=L32<br />Seno, cosseno e tangente de 30°:<br />Da definição de seno temos sen30=L/2L⇒sen30=L2L ou seja: sen30=12<br />Da definição de cosseno temos cos30=HL⇒cos30=L32L ou seja: cos30=32<br />De tg30=sen30 cos30⇒tg30=1/23/2⇒tg30=13 ou seja: tg30=33<br />Seno, cosseno e tangente de 60°:<br />Aplicando a relação para ângulos complementares temos:<br />sen60=32, cos60=12 e tg60=sen60 cos60⇒tg60=3/21/2⇒tg30=3<br />Ângulo de 45°<br />22860243205Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C medem 45°, respectivamente. O ângulo A=B+C, mede 90°.<br />Cálculo do valor numérico de M.<br />Pelo teorema de Pitágoras temos: M²=L²+L², isto é: M²=2L²⇒M=L2<br />Seno, cosseno e tangente de 45°:<br />Da definição de seno temos sen45=LM⇒sen45=LL2 ou seja: sen45=22<br />Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, cos45=22, ou seja: sen45=cos45⇒tg45=1<br />Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0°) até o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90°), enquanto que o cateto adjacente pode variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0°) até 0 (para o ângulo de 90°). <br />Temos as seguintes relações a mais:<br />sen0=0hipotenusa=0 e sen90=hipotenusahipotenusa=1<br />cos0=hipotenusahipotenusa=1 e cos90=0hipotenusa=0<br />tg0=01=0 e tg90=10=∄ (o símbolo ∄ significa não existe)<br />Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das principais funções trigonométricas de 0° a 90°.<br />FunçõesÂngulos0°30°45°60°90°sen01222321cos13222120tg03313∄<br />Exercício 5 – Dado senx=12 calcule o valor de cosx e tgx.<br />Exercício 6 – Sendo tgx=3 calcule o valor de cosx e senx.<br />Exercício 7 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a 55 calcule o valor do seno e tangente desse ângulo.<br />Exercício 8 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos agudos, é igual 3. Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo?<br />Exercício 9 – No exercício anterior quais os ângulos agudo do triângulo dado?<br />Exercício 10 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de 60° igual a 17,3 cm. Qual a medida do cateto adjacente e a da hipotenusa? (Considere 3=1,73).<br />Exercício 11 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja. Sabendo que o ângulo de visão do observador é de 30° com a horizontal e, considerando 3=1,73 responda as alternativas:<br />Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema.<br />445262085725Calcule a distância do observador ao avião. <br />Calcule a distância do observador à igreja. <br />Exercício 9 – (OM-SP) Na figura, o ∆ABCé retângulo em B e ∡ACB=30°. O segmento AD é bissetriz do ângulo ∡BAC e AB=6m. Determine a medida de DC.<br />Exercício 12 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos A e B formando o segmento de reta AB e Carlos está num ponto C, de modo que o segmento AC forma um ângulo de 30° com AB e o segmento BC forma um ângulo de 45° com AB. Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de 4,0 m:<br />Desenhe um triângulo para ilustrar o problema.<br />Calcule a distância entre Antonio e Bento.<br />Calcule a distância entre Bento e Carlos.<br />Exercício 13 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos CAB e ACB são iguais e medem 75°. Determine a largura do rio, considerando o cos75=0,25·.<br />TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO<br />Círculo, ou circunferência trigonométrica é o círculo ou circunferência de raio igual a 1, (uma unidade).<br />3995420104775CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:<br />Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma posição, simultaneamente no espaço, são entidades geométricas diferentes. O círculo refere-se a área contornada pela circunferência. Não tem sentido falar em área da circunferência, bem como comprimento do círculo. <br />4062095440055ÂNGULO E ARCO<br />Outras duas entidades relacionadas com círculo e circunferência, são ângulos e arcos: ângulos estão relacionados com áreas (círculo) e arcos estão relacionados com comprimento (circunferência) <br />UNIDADES DE MEDIDAS<br />Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.<br />GRAU<br />Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência<br />Exercício 14 –<br />Exercício 15 –<br />