1. O documento apresenta um teste de matemática do 11o ano com 6 itens. Deve-se responder de forma clara e justificada, apenas usando calculadora científica. 2. O primeiro item pede para calcular o modulo, vetor unitário e dobro de um vetor dado. O segundo pede um vetor colinear com norma 2. 3. O terceiro item pede uma condição vetorial para definir uma circunferência. O quarto item trata de pontos em uma reta mediatriz e triângulo equilátero.

1. Teste de Avalia¸c˜ao de Matem´atica – 11.º Ano
Instru¸c˜oes de resolu¸c˜ao:
ˆ Responder a todos os itens de forma clara e justificada;
ˆ Nos itens de escolha m´ultipla, apresentar apenas a op¸c˜ao correta como resposta;
ˆ Como suporte de c´alculo, ´e apenas permitido o uso de m´aquina calculadora cient´ıfica;
ˆ Escrever com caneta azul/preta, n˜ao sendo permitido o uso de corretor.
1. Considera, no plano, o vetor u = (2, 5). Indica: |u|, u, u e 2u, u . 2 valores
2. Indica um vetor colinear com u = (−1, 3) e norma 2. 2 valores
3. Usando nota¸c˜ao vetorial, escreve uma condi¸c˜ao que defina, no plano, a circunferˆencia de centro no ponto
A e raio 2. 1 valor
4. No plano, considera a reta r, mediatriz do segmento de reta [AB], onde A e B s˜ao pontos fixos.
(a) Assume que AB = 4. Sabe–se que P ´e um ponto da reta r tal que [ABP] ´e um triˆangulo equil´atero.
Indica o valor exato de
−−→
AB,
−→
AP . 2 valores
(b) Considera a circunferˆencia de diˆametro [AB] e sejam P1 e P2 os pontos de interse¸c˜ao dessa circun-
ferˆencia com a reta r. Tomando
−−→
AB = x, indica, em fun¸c˜ao de x, o valor de
−−−→
P2P1,
−−→
P1B .
3 valores
5. Em R2
, ao conjunto {u, v}, onde u e v s˜ao vetores ortogonais e |u| = |v| = 1 (vetores unit´arios), d´a–se a
designa¸c˜ao base ortonormada de R2
.
(a) Justifica que u e v n˜ao s˜ao colineares. 1 valor
(b) Verifica que {(0, 1), (1, 0)} ´e uma base ortonormada de R2
. Essa base ortonormada ´e ´unica? Se n˜ao,
exemplifica. 2 valores
(c) Mostra que qualquer vetor x de R2
pode ser escrito na forma αu + βv, para algumas constantes α
e β. (Nota que a tua resolu¸c˜ao deve focar–se na determina¸c˜ao das constantes α e β em fun¸c˜ao do
vetor arbitr´ario x). 3 valores
(d) Sabendo que x = αu + βv, indica |x| (a tua resposta deve envolver apenas as constantes α e β).
2 valores
6. Mostra que, dados trˆes vetores n˜ao nulos u, v e w, se u ´e colinear com v e v ´e colinear com w, ent˜ao u ´e
colinear com w. 2 valores

2. 1. |u| =
√
22 + 52 =
√
29, u, u = |u|
2
= 29 e 2u, u = 2 u, u = 2 × 29 = 58.
2. Um vetor colinear com u ´e um vetor da forma ku = (−k, 3k), para algum k real. Portanto, resta
encontrar um valor para k (n˜ao necessariamente ´unico) para o qual a norma de ku seja 2. Ora, |ku| =
|k| |u| = |k|
√
29 = 2 ⇔ k = ±2
√
29
29 . Escolhendo, por exemplo, k = 2
√
29
29 , obt´em–se o vetor 2
√
29
29 u nas
condi¸c˜oes pretendidas.
3. |AP| = 2, onde P ´e um ponto gen´erico da circunferˆencia.
4. (a)
−−→
AB,
−→
AP = |AB| |AP| cos α, onde α ´e o ˆangulo formado pelos vetores. Ora, |AB| = 4 e |AP| =
2
cos 60 , pelo facto de [ABP] ser um triˆangulo equil´atero. Mas ent˜ao,
−−→
AB,
−→
AP = 8
cos 60 cos 60 = 8.
(b) Independentemente da posi¸c˜ao dos pontos P1 e P2 na mediatriz, em valor absoluto, o valor de
−−−→
P2P1,
−−→
P1B ir´a sempre coincidir. Neste caso, tem–se
−−−→
P2P1,
−−→
P1B = x 2 x
2
2
cos 45 = x2
2 .
5. (a) Se u e v, n˜ao nulos, fossem colineares, ent˜ao o produto interno entre eles n˜ao podia ser nulo,
contrariando a hip´otese enunciada.
(b) (1, 0), (0, 1) = 0+0 = 0 e |(1, 0)| =
√
12 + 02 = 1 e |(0, 1)| =
√
02 + 12 = 1, portanto, {(0, 1), (1, 0)}
´e uma base ortonormada de R2
.
(c) Fazendo u, x = u, αu+βv = α u, u +β u, v = α, pelas propriedades do produto interno e pelo
facto de u e v serem ortogonais e unit´arios. Analogamente, se obteria v, x = β. Portanto, todo o
vetor x ∈ R2
´e escrito na forma x = x, u u + x, v v, onde u e v s˜ao vetores ortogonais e unit´arios.
(d) Tem–se |x| = αu + βv, αu + βv = α2
+ β2
, pelas propriedades do produto interno e pelo facto
de u e v serem ortogonais e unit´arios.
6. Como u ´e colinear com v tem–se que existe n tal que u = nv e, igualmente, v = mw, para algum m.
Logo, u = mnw, provando a colinearidade entre u e w.
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