Este teste de matemática cobre funções, limites, equações e derivadas. A questão 1 explora as propriedades de uma função periódica, incluindo seus zeros e limites. A questão 2 calcula as soluções de uma equação trigonométrica. A questão 3 mostra uma identidade trigonométrica. A questão 4 calcula um limite envolvendo funções trigonométricas. A questão 5 deriva uma função e encontra sua primitiva. As questões 6 e 7 abordam limites e desigualdades envolvendo séries e continuidade.

1. Ginásio da Educação Da Vinci – Braga
Teste de Matemática de 12.º Ano
Ano letivo 2020/2021
Duração da prova: 2 horas
Responda às seguintes questões de forma completa e estruturada.
1. Seja f : R {0} −→ R a função definida por f(x) = x sin
π
x
.
(a) Indique três zeros da função f e justifique que f admite uma infinidade de zeros.
(b) Calcule o limite lim
x→+∞
f(x).
(c) Mostre que f é uma função par e use a alı́nea anterior para calcular lim
x→−∞
f(x).
2. Averigue quantas soluções tem a equação
p
cos(2x) = sin x + 1, no intervalo [0, 2π[.
3. Mostre que sin6
x − 3 sin4
x + 2 sin2
x = cos2
x − cos6
x.
4. Calcule o valor do seguinte limite:
lim
x→0
cos x + sin x − 1
x2 + x
e comente a seguinte afirmação:
Numa vizinhança próxima da origem, o gráfico de y = cos x+sin x−1 comporta–se como uma parábola.
5. Seja g : R −→ R a função definida por g(x) = 3 sin(3x) + 2x.
(a) Indique a expressão da derivada da função g.
(b) Encontre uma função G tal que a respetiva função derivada seja igual à função g, isto é, G0
= g.
Responda a uma e só uma das seguintes questões:
6. Mostre que lim
n
sin
n
X
k=1
π
7
k
!
√
3
2
.
7. Seja f : [0, 1] −→ R uma função contı́nua tal que f(0) = f(1). Sendo n um número natural, mostre que
existe x ∈ [0, 1[ tal que:
f(x) = f
x +
1
n
.
Cotação:
Questão 1.: 1.5/2/1.5/2 val.
Questão 2.: 3 val.
Questão 3.: 2 val.
Questão 4.: 3 val.
Questão 5.: 2/2 val.
Questão 6./7.: 1 val.