O documento apresenta questões sobre álgebra linear, incluindo matrizes simétricas, produto de matrizes, determinantes, raízes quadradas de matrizes e subespaços vetoriais. As questões abordam propriedades de sistemas lineares, transformações lineares e operações com subespaços.
Algebra Linear - Matrizes, Determinantes e Subespaços
1. Teste de ´Algebra Linear
Matrizes, Determinantes, Subespa¸cos vetoriais
1. Considere a matriz quadrada A e o vetor coluna b abaixo.
A =
0 −1 2
−1 1 0
2 0 0
b =
3
−2
1
(a) Verifique que a matriz A ´e sim´etrica.
(b) Indique o produto Ab.
(c) Verifique se a matriz A ´e invert´ıvel e se b ´e o ´unico vetor solu¸c˜ao da equa¸c˜ao Ax = Ab.
(d) Verifique se existe λ ∈ R para o qual se tem Ab = λb. Comente.
(e) Resolva o sistema Ax = b.
2. Mostre que, dada uma matriz invert´ıvel A de ordem n, AT
A−1
= In se e s´o se A for sim´etrica.
3. Seja A uma matriz quadrada com determinante n˜ao nulo. Indique det(AT
A−1
).
4. Dada uma matriz quadrada A, designa–se por ra´ız quadrada de A a matriz B tal que B2
= A.
(a) Verifique, exemplificando, que uma matriz pode possuir mais do que uma ra´ız quadrada.
(b) Mostre que as matrizes do conjunto {A ∈ Mn
: det A < 0} n˜ao possuem ra´ız quadrada. Verifique
se essas s˜ao as ´unicas matrizes sem ra´ız quadrada.
(c) Justifique que a propriedade da al´ınea anterior ´e compat´ıvel com o facto de os n´umeros reais
negativos n˜ao possuirem ra´ız quadrada, no sentido usual.
(d) Mostre que a matriz A ´e invert´ıvel se e s´o se a sua ra´ız quadrada tamb´em o for.
5. Sejam T1 e T2 duas transforma¸c˜oes lineares definidas num espa¸co vetorial V (este ´ultimo sobre um corpo
K). Mostre que o conjunto
{x ∈ V : T1(x) = T2(x)}
´e um subespa¸co vetorial de V .
6. Dado um espa¸co vetorial V sobre um corpo K, considere os subespa¸cos vetoriais V1 e V2. Mostre que
V1 ∩V2 ´e tamb´em um subespa¸co vetorial de V . Verifique que V1 ∪V2 n˜ao ´e necessariamente um subespa¸co
vetorial de V .
