O documento trata de limites envolvendo funções trigonométricas. Aborda o cálculo de vários limites como limx→0 sin(x)/x, limx→0 tan(x)/x e limx→0 (sin(x)+cos(x))/x, interpretando-os geometricamente. Discutem-se também limites envolvendo combinações de funções trigonométricas e arcossinas.

1. Gin´asio da Educa¸c˜ao da Vinci – Braga
Matem´atica A – 12.º Ano
Assunto: Limite sin x/x, x → 0
Miguel Fernandes
1. Considere a tabela abaixo.
Fun¸c˜oes/Argumentos π/4 π/8 π/16 π/32 π/64
sin x
x
sin x/x
(a) Preencha a tabela, usando aproxima¸c˜oes de 3 casas decimais (os valores que constam na primeira
linha est˜ao expressos em radianos).
(b) Comente os resultados obtidos na al´ınea anterior, referindo o significado dos valores obtidos na
terceira linha da tabela.
(c) Indique o valor do limite lim
x→0
sin x
x
e conclua.
(d) Usando a m´aquina calculadora gr´afica, esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f : R {0} → R definida por
f(x) =
sin x
x
. Verifique o valor do limite referido na al´ınea anterior.
(e) Agora, esboce os gr´aficos das fun¸c˜oes x → x e x → sin x, numa vizinhan¸ca do ponto 0, e comente.
(f) Conclua que lim
x→0
arcsin x
x
= 1.
2. Interprete geometricamente o limite lim
x→0
sin x
x
. Indique, usando esses argumentos geom´etricos, o valor
do limite lim
x→0
tan x
x
.
3. Calcule, se existirem, o valor dos seguintes limites:
(a) lim
x→0
sin x + cos x
x
(b) lim
x→0
sin2
x
x
(c) lim
x→0
sin(2x)
x2
(d) lim
x→α
sin(x − α)
x − α
, α ∈ R
(e) lim
x→0
sin(x + α)
x2 − α
, α ∈ R.
4. Mostre que:
lim
x→0
cos x − 1
x
= 0
e indique o valor da derivada da fun¸c˜ao x → cos x, no ponto x = 0.
5. Indique, se existirem, o valor dos limites lim
x→+∞
sin x e lim
x→+∞
sin x
x
. Justifique se existe contrariedade
com a aritm´etica de limites.
6. Mostre que:
lim
x→ 1
2
1 − 4x2
arcsin(1 − 2x)
= 2.