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Funções
Matemática A 10.º ANO
Revisões
 Uma função 𝑓 é uma correspondência de cada elemento de A com um e
um só elemento de B.
A função 𝑓 designa-se por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵
 Os elementos de A são os objetos da função
 Os elementos de B são as imagens da função
Função (Aplicação de A em B)
Pedro Teixeira
A
a
b
c
B
α
𝛽
𝛾
𝜇
𝑓
 Dominio: conjunto de todos os objetos de 𝑓
 𝐷𝑓 = 𝐴 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
 Contradomínio corresponde às imagens de 𝑓
 𝐶𝐷𝑓 = 𝐷𝑓
′
= 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 = 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 𝐶
 Conjunto de chegada: corresponde ao conjunto B, que é um conjunto que
contém o contradomínio de 𝑓
 𝐶𝐶 = 𝐵 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇}
 𝐶𝐷𝑓 ⊆ 𝐶𝐶
Pedro Teixeira
Domínio, contradomínio e
conjunto de chegada
Pedro Teixeira
Domínio, contradomínio e conjunto
de chegada
𝐷𝑓
𝐶𝐷𝑓
𝐶𝐶
𝑓 = 𝑔
Se e somente se
 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
Pedro Teixeira
Igualdade de funções
Expressão
algébrica de
𝑓
Expressão
algébrica de
𝑔
 Expressão algébrica 𝑓(𝑥)
 Diagrama de setas
 Gráfico cartesiano
 Gráfico
 Tabela
Pedro Teixeira
Formas de representar uma função
 Fixando um referencial cartesiano num
plano, o gráfico cartesiano de uma dada
função numérica 𝑓, de variável numérica,
é o conjunto constituído pelos pontos
do plano cuja ordenada é a imagem por
𝑓 da abcissa.
 O gráfico cartesiano de 𝑓 chama-se
gráfico de 𝑓 quando esta informação não
for ambígua
 O gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é o conjunto de pares
ordenados (𝑥; 𝑦), onde 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵.
 Representa-se por:
𝐺𝑓 = { 𝑥; 𝑦 : 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
Pedro Teixeira
Gráfico de uma função
Pedro Teixeira
Teste da reta vertical
Função Afim
Representação gráfica de uma
função afim

Função identidade
• A representação gráfica da função identidade
corresponde à bissetriz dos quadrantes impares
x
y
y=x
Pedro Teixeira
Uma função só fica definida se se
conhecer o domínio, o conjunto de
chegada e a correspondência entre
os elementos do domínio e os
elementos do conjunto de chegada
Produto Cartesiano de
Conjuntos
 Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, que se
representa por 𝐴 × 𝐵, é o conjunto dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) tais que a
pertence a A e b pertence a B
𝐴 × 𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}Pedro Teixeira
Produto cartesiano de dois
conjuntos
 Propriedade:
Se #A = m e #B = n , então #A*B= #A*#B=m*n
Se 𝐴 = 𝐵, então 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2
 Recordar:
𝐴 = ℝ
ℝ2
= { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ}
ℝ3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ}
Pedro Teixeira
Produto cartesiano de dois
conjuntos
Generalização sobre
Funções
Função Real de Variável Real
ℝ
a
b
c
ℝ
α
𝛽
𝛾
𝜇
𝑓
𝐶𝐷𝑓
Caracterizar uma função
 Para caracterizar uma função 𝑓 é necessário saber o
seu domínio, 𝐷𝑓, o conjunto de chegada, 𝐶𝐶, e a
expressão analítica, 𝑓(𝑥)
𝑓: 𝐷𝑓 ⟶ 𝐶𝐶
𝑥 𝑓(𝑥)
Também
pode ser o
𝐶𝐷𝑓
Domínio de uma F.R.V.R.
 Quando uma função real de variável real é definida por meio de
uma expressão analítica, e nada é indicado em contrário,
considera-se que o domínio é o conjunto de todos os valores
reais que podemos atribuir à variável, de tal forma que a
expressão obtida tenha significado.
Relativamente ao domínio de uma função:
• O domínio de um radical de índice par são todos os valores não
negativos que o radicando pode tomar
• 𝑓 𝑥 = 𝑛
𝛼, com n par ⟹ 𝑫 𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝜶 ≥ 𝟎}
• O domínio da divisão de polinómios corresponde a todos os
valores de 𝑥 em que o dominador não tome o valor de zero
• 𝑔 𝑥 =
𝑛 𝑥
𝑑 𝑥
⟹ 𝑫 𝒈= {𝒙 ∈ ℝ: 𝒅(𝒙) ≠ 𝟎}
Gráfico de uma Função
 Um conjunto 𝐺 ⊂ 𝐴 × 𝐵 é o gráfico de uma função de A em B quando
e apenas quando para todo o 𝑎 ∈ 𝐴 existir um e somente um elemento
𝑏 ∈ 𝐵, tais que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
Restrição de uma função
Conjunto de imagem de uma
Restrição
Composição de Funções
 Duas funções dizem-se permutáveis se e só se 𝑓 ∘ 𝑔=𝑔 ∘ 𝑓
 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
 𝐷𝑓∘𝑔 = 𝐷𝑔∘𝑓
Pedro Teixeira
Funções permutáveis
Exemplo:
𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑥2
𝑔: 𝑥 ⟼
1
𝑥
A composição de funções goza da propriedade
comutativa:
𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ), para quaisquer três
funções reais de variável real, 𝑓, 𝑔 e ℎ.
Pedro Teixeira
Propriedade associativa da
composição de funções
Função injetiva
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2
O gráfico de uma função injetiva não pode conter pares
ordenados diferentes com a mesma ordenada.
Teste da Reta Horizontal
Teste da Reta Horizontal
 Uma função sobrejetiva é aquela que o contradomínio coincide
com o conjunto de chegada. 𝐶𝐷𝑓 = 𝐶𝐶
Pedro Teixeira
Função Sobrejetiva
Função Sobrejetiva
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Função Bijetiva
Pedro Teixeira
Função inversa de uma
função bijetiva
Seja 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 uma função bijetiva.
Então para qualquer 𝑏 ∈ 𝐵 existe um e um só 𝑎 ∈ 𝐵 tal que
𝑓 𝑎 = 𝑏.
Função inversa
Dados conjuntos 𝐴 e 𝐵 e uma função bijetiva 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵, a
função inversa de 𝑓 é a função 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴, tal que
∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑓−1
𝑏 = 𝑎 ⟺ 𝑓 𝑎 = 𝑏.
Definição
Sabe-se que:
 𝐷𝑓 = 𝐶𝐷 𝑓−1 = 𝐶𝐶𝑓−1
 𝐶𝐶𝑓 = 𝐷 𝑓−1
 Expressão analítica:
Pedro Teixeira
Caracterização de uma função
inversa
𝑓−1
: 𝐶𝐷𝑓 ⟶ 𝐷𝑓
𝑥 𝑓−1(𝑥)
↶
Gráfico da função inversa
Gráfico da função inversa
Se, de algum modo, o gráfico
de 𝑓 coincidir com o gráfico da
sua inversa, então esse ponto
pertence à reta 𝑦 = 𝑥 ⟹
𝑃 𝑥, 𝑥 𝑜𝑢 𝑃(𝑦, 𝑦)
Propriedade das funções inversas
𝑓𝑜𝑓−1 𝑥 = 𝑓−1 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥
Composição da função com a sua inversa
Pedro Teixeira
Função Par
 Uma função é par quando para todo o x pertencente ao domínio
de f, 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
Graficamente, a função tem um eixo de simetria em 𝑂𝑦
 Uma função é impar quando para todo o x
pertencente ao domínio de f, 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Graficamente, objetos simétricos apresentam imagens
simétricas. Esses dois pontos apresentam-se como
simétricos em relação à origem do referencial O.
Pedro Teixeira
Função Impar
Transformações do gráfico
de uma função
Translações
verticais
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𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒄
Translações associadas ao vetor
𝒖 = (𝒂, 𝒃)
𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒃
 Dado um plano munindo de um referencial cartesiano, a
transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦)associa o ponto
𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑥, 𝑎𝑥) designa-se por:
 Contração vertical: 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação vertical: 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação e contração vertical
 Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma
função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔
definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑓(𝑥) é a imagem go gráfico de
𝑓 por uma:
 Contração vertical de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação vertical de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação e contração vertical do
gráfico de uma função
 Dado um plano munido de um referencial cartesiano, a
transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) associa o ponto
𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑎𝑥, 𝑦) designa-se:
 Contração horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1
 Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1
Pedro Teixeira
Dilatação ou contração horizontal
 Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma
função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔
definida em 𝐷𝑔 =
𝑥
𝑎
, 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑎𝑥) é a imagem do
gráfico de 𝑓 por uma:
 Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1
 Contração horizontal de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1
Pedro Teixeira
Dilatação ou contração horizontal
do gráfico de uma função
 Reflexão de eixo Ox
Dado um plano munido de um
referencial cartesiano, o gráfico de uma
função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por
𝑔 𝑥 = −𝑓 𝑥 é a imagem do gráfico de
𝑓 pela reflexão de eixo Ox
Pedro Teixeira
Reflexão de um gráfico de uma
função
 Reflexão de eixo Oy
Dado um plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico de
uma função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = {−𝑥: 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓} por 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥 é a
imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo Oy
Pedro Teixeira
Reflexão de um gráfico de uma
função
 Considere a função 𝑓, de expressão algébrica que
sofreu transformações, tornando-se na função 𝑔, de
expressão algébrica
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑓 𝐵 𝑥 − 𝐶 + 𝐷
 Descreve como cada fator faz variar a função
Pedro Teixeira
Revisão sobre transformação de
uma função
Monotonia e extremos de
uma função
Pedro Teixeira
Zeros de uma função
Pedro Teixeira
Sinal de uma função
 Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes
a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2
Se A= 𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente crescente em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função (estritamente) crescente
 Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes
a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓, então 𝑓 é crescente em sentido lato em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função crescente em sentido lato
Função crescente
Estritamente crescente Crescente em sentido lato
Pedro Teixeira
 Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num
intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a
A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente decrescente em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função (estritamente) decrescente
 Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo
A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A,
Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2)
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2
Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é decrescente em sentido lato em todo o seu
domínio.
Pedro Teixeira
Função decrescente em sentido lato
Função decrescente
Estritamente decrescente Decrescente em sentido lato
Pedro Teixeira
 Dado uma função real de variável real 𝑓 e A⊂
𝐷𝑓, 𝑓 é monótona em A se é (só) crescente ou
(só) decrescente em A.
 Se A=D, diz-se que 𝑓 é monótona.
INTERVALO DE MONOTONIA
 Dada uma função real de variável real
𝑓e I⊂D diz que I é um intervalo de monotonia de 𝑓
se 𝑓 é monótona em I.
Função monótona
 Dada uma função real de variável real, f é constante em
A se para quaisquer elementos 𝑥1 e 𝑥2 de A, 𝑓 𝑥1 =
𝑓 𝑥2 .
 Se A=D, diz-se que f é constante
Matematicamente,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2)
Trata-se de uma função monótona em
sentido lato
Pedro Teixeira
Função constante
 A monotonia da função pode ser apresentada numa tabela de
variação.
 Também pode ser demonstrado por intervalos de monotonia
Estudo da monotonia de uma
função
Pedro Teixeira
Monotonia de uma função afim
Demonstração.
Pedro Teixeira
Monotonia de uma função
quadrática do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐
Demonstração.
∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞[, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞ , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Pedro Teixeira
Função majorada e minorada
 Uma função diz-se majorada, se apresentar o conjunto dos majorantes.
 O conjunto dos majorantes de 𝑓 são todos os valores maiores ou iguais a 𝑀
se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀
 Uma função diz-se minorada, se apresentar o conjunto dos minorantes.
 O conjunto dos minorantes de 𝑓 são todos os valores menores ou iguais a 𝑚
se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚
CC
f(x)
Minorantes Majorantes
 Uma função é majorada se for, simultaneamente, majorada e
minorada.
 Conjunto dos majorante: M = [1; +∞[
 Conjunto dos minorantes: 𝑚 = ] − ∞; −1] Pedro Teixeira
Função limitada
M
m
Pedro Teixeira
Pedro Teixeira
Extremo absoluto
Sendo 𝑓 𝑎 um extremo absoluto, então 𝑓(𝑎) pertence ao conjunto
dos minorantes / majorantes
Pedro Teixeira
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Pedro Teixeira
Extremos relativos
Pedro Teixeira
Conclusões sobre os extremos
relativos
Pedro Teixeira
Concavidade do gráfico de uma
função
Concavidade do gráfico de uma
função
Pedro Teixeira
Critérios de concavidade
 O gráfico de uma função definida, em ℝ, por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
, com 𝑎 ≠
0, tem, em todo o domínio, a concavidade:
 Voltada para cima se 𝑎 > 0
 Voltada para cima se 𝑎 < 0
Demonstra matematicamente
Concavidade do gráfico 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐
Função Quadrática. Função
Módulo.
 Expressões algébricas (𝑎 ≠ 0):
 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), sendo 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função
 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑘
 O gráfico da função quadrática é uma parábola de vértice 𝑉(ℎ; 𝑘) e de
eixo vertical (de simetria) 𝑥 = ℎ
Pedro Teixeira
Função Quadrada
Pedro Teixeira
Funções do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐
, 𝒂 ≠ 𝟎
Pedro Teixeira
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+ 𝒌, 𝒂 ≠ 𝟎
Pedro Teixeira
 Sabe-se que 𝑉(ℎ, 𝑘)
Sejam 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função, ℎ =
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2
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𝑥1+𝑥2
2
Pedro Teixeira
Como determinar o vértice através
dos zeros da função
 Sabe-se que a partir do binómio discriminante, ∆= 𝑏2 −
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função:
Pedro Teixeira
Inequações do segundo grau
 Passos a seguir para realizar uma inequação do segundo grau:
 Colocar a inequação na forma 𝑎𝑥2
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Pedro Teixeira
Inequações do segundo grau
Ou <; ≤; >
Pedro Teixeira
 As funções definida por ramos são as funções que têm uma
expressão algébrica diferente segundo o intervalo em que estão
definidas.
Pedro Teixeira
Funções definida por ramos
Pedro Teixeira
Gráfico de uma função módulo
Pedro Teixeira
Gráfico de uma função 𝒚 = |𝒇 𝒙 |
 A-> dilatação ou contração vertical
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 D -> translação vertical
 O vértice da função
módulo é 𝑉(𝑐; 𝑑).
Pedro Teixeira
Funções do tipo 𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒄 + 𝒅
 𝑥 = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 ∨ 𝑥 = −𝑘, 𝑘 > 0
 𝑥 < 𝑘 ⟺ 𝑥 < 𝑘 ∧ 𝑥 > −𝑘
 𝑥 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑥 ≥ −𝑘
 𝑥 > 𝑘 ⟺ 𝑥 > 𝑘 ∨ 𝑥 < −𝑘
 𝑥 ≥ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≥ 𝑘 ∨ 𝑥 ≤ −𝑘
 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = −𝑦
 * 𝑥 × 𝑦 = 𝑥 × |𝑦|
 * 𝑥 𝑛
= 𝑥 𝑛
, 𝑛 ∈ ℕ
 *
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
Pedro Teixeira
Resolução de equações e
inequações com ramos
Função raiz quadrada.
Função raiz cubica.
Operação com funções
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Funções polinomiais
Pedro Teixeira
Estudo das funções polinomiais
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Estudo das funções polinomiais
Pedro Teixeira
Estudo das funções polinomiais
 Trata-se da inversa da restrição da função quadrática em ℝ0
+
𝑔 𝑥 = 𝑥2
𝑔−1 𝑥 = 𝑥
Pedro Teixeira
Função raiz quadrada
Função raiz quadrada
 Trata-se da inversa da restrição da função cúbica em ℝ
𝑔 𝑥 = 𝑥3
𝑔−1 𝑥 = 3
𝑥
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Função raiz cúbica
Pedro Teixeira
Função raiz cúbica
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Equações irracionais
Pedro Teixeira
Inequações irracionais
Função soma e função produto
Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, as funções:
f + g: Df ∩Dg → IR e f × g: Df ∩Dg → IR
designam-se, respetivamente, por soma de f com g e produto
de f com g e são definidas pelas expressões:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e
(fg)(x) = f(x) × g(x),
respetivamente.
Função quociente
Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, a função:
designa-se por quociente de f por g e é definida pela expressão:
   IRxgDgxDgDf
g
f
 0::
   
 xg
xf
x
g
f






.
Produto de uma função por um escalar
Dada uma função f: Df →IR e um número real α, a função:
designa-se por produto de f pelo escalar α e é definida pela expressão:
IRDff :
    xfxf  
.
Função potência de uma função
Dada uma função f: Df →IR e um número racional r, a função:
designa-se por potência de expoente r de f e é definida pela expressão:
.
Sendo o domínio de fr o conjunto de valores de x Df tais que a expressão
(f(x))r representa um número real.
IRDf r
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:
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Funções matemáticas 10o ano

  • 3.  Uma função 𝑓 é uma correspondência de cada elemento de A com um e um só elemento de B. A função 𝑓 designa-se por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵  Os elementos de A são os objetos da função  Os elementos de B são as imagens da função Função (Aplicação de A em B) Pedro Teixeira A a b c B α 𝛽 𝛾 𝜇 𝑓
  • 4.  Dominio: conjunto de todos os objetos de 𝑓  𝐷𝑓 = 𝐴 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜𝑠 = 𝑎, 𝑏, 𝑐  Contradomínio corresponde às imagens de 𝑓  𝐶𝐷𝑓 = 𝐷𝑓 ′ = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 = 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 𝐶  Conjunto de chegada: corresponde ao conjunto B, que é um conjunto que contém o contradomínio de 𝑓  𝐶𝐶 = 𝐵 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇}  𝐶𝐷𝑓 ⊆ 𝐶𝐶 Pedro Teixeira Domínio, contradomínio e conjunto de chegada
  • 5. Pedro Teixeira Domínio, contradomínio e conjunto de chegada 𝐷𝑓 𝐶𝐷𝑓 𝐶𝐶
  • 6. 𝑓 = 𝑔 Se e somente se  𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)  𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 Pedro Teixeira Igualdade de funções Expressão algébrica de 𝑓 Expressão algébrica de 𝑔
  • 7.  Expressão algébrica 𝑓(𝑥)  Diagrama de setas  Gráfico cartesiano  Gráfico  Tabela Pedro Teixeira Formas de representar uma função  Fixando um referencial cartesiano num plano, o gráfico cartesiano de uma dada função numérica 𝑓, de variável numérica, é o conjunto constituído pelos pontos do plano cuja ordenada é a imagem por 𝑓 da abcissa.  O gráfico cartesiano de 𝑓 chama-se gráfico de 𝑓 quando esta informação não for ambígua
  • 8.  O gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é o conjunto de pares ordenados (𝑥; 𝑦), onde 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵.  Representa-se por: 𝐺𝑓 = { 𝑥; 𝑦 : 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥)} Pedro Teixeira Gráfico de uma função
  • 9. Pedro Teixeira Teste da reta vertical
  • 11. Representação gráfica de uma função afim 
  • 12. Função identidade • A representação gráfica da função identidade corresponde à bissetriz dos quadrantes impares x y y=x
  • 13. Pedro Teixeira Uma função só fica definida se se conhecer o domínio, o conjunto de chegada e a correspondência entre os elementos do domínio e os elementos do conjunto de chegada
  • 15.  Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, que se representa por 𝐴 × 𝐵, é o conjunto dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) tais que a pertence a A e b pertence a B 𝐴 × 𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}Pedro Teixeira Produto cartesiano de dois conjuntos
  • 16.  Propriedade: Se #A = m e #B = n , então #A*B= #A*#B=m*n Se 𝐴 = 𝐵, então 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2  Recordar: 𝐴 = ℝ ℝ2 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ} ℝ3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ} Pedro Teixeira Produto cartesiano de dois conjuntos
  • 18. Função Real de Variável Real ℝ a b c ℝ α 𝛽 𝛾 𝜇 𝑓 𝐶𝐷𝑓
  • 19. Caracterizar uma função  Para caracterizar uma função 𝑓 é necessário saber o seu domínio, 𝐷𝑓, o conjunto de chegada, 𝐶𝐶, e a expressão analítica, 𝑓(𝑥) 𝑓: 𝐷𝑓 ⟶ 𝐶𝐶 𝑥 𝑓(𝑥) Também pode ser o 𝐶𝐷𝑓
  • 20. Domínio de uma F.R.V.R.  Quando uma função real de variável real é definida por meio de uma expressão analítica, e nada é indicado em contrário, considera-se que o domínio é o conjunto de todos os valores reais que podemos atribuir à variável, de tal forma que a expressão obtida tenha significado. Relativamente ao domínio de uma função: • O domínio de um radical de índice par são todos os valores não negativos que o radicando pode tomar • 𝑓 𝑥 = 𝑛 𝛼, com n par ⟹ 𝑫 𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝜶 ≥ 𝟎} • O domínio da divisão de polinómios corresponde a todos os valores de 𝑥 em que o dominador não tome o valor de zero • 𝑔 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑑 𝑥 ⟹ 𝑫 𝒈= {𝒙 ∈ ℝ: 𝒅(𝒙) ≠ 𝟎}
  • 21. Gráfico de uma Função  Um conjunto 𝐺 ⊂ 𝐴 × 𝐵 é o gráfico de uma função de A em B quando e apenas quando para todo o 𝑎 ∈ 𝐴 existir um e somente um elemento 𝑏 ∈ 𝐵, tais que 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
  • 22. Restrição de uma função
  • 23. Conjunto de imagem de uma Restrição
  • 25.  Duas funções dizem-se permutáveis se e só se 𝑓 ∘ 𝑔=𝑔 ∘ 𝑓  𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥  𝐷𝑓∘𝑔 = 𝐷𝑔∘𝑓 Pedro Teixeira Funções permutáveis Exemplo: 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑥2 𝑔: 𝑥 ⟼ 1 𝑥
  • 26. A composição de funções goza da propriedade comutativa: 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ), para quaisquer três funções reais de variável real, 𝑓, 𝑔 e ℎ. Pedro Teixeira Propriedade associativa da composição de funções
  • 27. Função injetiva ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 O gráfico de uma função injetiva não pode conter pares ordenados diferentes com a mesma ordenada.
  • 28. Teste da Reta Horizontal
  • 29. Teste da Reta Horizontal
  • 30.  Uma função sobrejetiva é aquela que o contradomínio coincide com o conjunto de chegada. 𝐶𝐷𝑓 = 𝐶𝐶 Pedro Teixeira Função Sobrejetiva
  • 31. Função Sobrejetiva A função f é sobrejetiva A função g não é sobrejetiva
  • 33. Pedro Teixeira Função inversa de uma função bijetiva Seja 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 uma função bijetiva. Então para qualquer 𝑏 ∈ 𝐵 existe um e um só 𝑎 ∈ 𝐵 tal que 𝑓 𝑎 = 𝑏. Função inversa Dados conjuntos 𝐴 e 𝐵 e uma função bijetiva 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵, a função inversa de 𝑓 é a função 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴, tal que ∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑓−1 𝑏 = 𝑎 ⟺ 𝑓 𝑎 = 𝑏. Definição
  • 34. Sabe-se que:  𝐷𝑓 = 𝐶𝐷 𝑓−1 = 𝐶𝐶𝑓−1  𝐶𝐶𝑓 = 𝐷 𝑓−1  Expressão analítica: Pedro Teixeira Caracterização de uma função inversa 𝑓−1 : 𝐶𝐷𝑓 ⟶ 𝐷𝑓 𝑥 𝑓−1(𝑥) ↶
  • 36. Gráfico da função inversa Se, de algum modo, o gráfico de 𝑓 coincidir com o gráfico da sua inversa, então esse ponto pertence à reta 𝑦 = 𝑥 ⟹ 𝑃 𝑥, 𝑥 𝑜𝑢 𝑃(𝑦, 𝑦)
  • 37. Propriedade das funções inversas 𝑓𝑜𝑓−1 𝑥 = 𝑓−1 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥 Composição da função com a sua inversa
  • 38. Pedro Teixeira Função Par  Uma função é par quando para todo o x pertencente ao domínio de f, 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥) Graficamente, a função tem um eixo de simetria em 𝑂𝑦
  • 39.  Uma função é impar quando para todo o x pertencente ao domínio de f, 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) Graficamente, objetos simétricos apresentam imagens simétricas. Esses dois pontos apresentam-se como simétricos em relação à origem do referencial O. Pedro Teixeira Função Impar
  • 42. Translações horizontais 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒄
  • 43. Translações associadas ao vetor 𝒖 = (𝒂, 𝒃) 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒂 + 𝒃
  • 44.  Dado um plano munindo de um referencial cartesiano, a transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦)associa o ponto 𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑥, 𝑎𝑥) designa-se por:  Contração vertical: 0 < 𝑎 < 1  Dilatação vertical: 𝑎 > 1 Pedro Teixeira Dilatação e contração vertical
  • 45.  Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑓(𝑥) é a imagem go gráfico de 𝑓 por uma:  Contração vertical de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1  Dilatação vertical de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1 Pedro Teixeira Dilatação e contração vertical do gráfico de uma função
  • 46.  Dado um plano munido de um referencial cartesiano, a transformação 𝜑 do plano que ao ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) associa o ponto 𝜑𝑃 = 𝑃′(𝑎𝑥, 𝑦) designa-se:  Contração horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1  Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎 se 0 < 𝑎 < 1 Pedro Teixeira Dilatação ou contração horizontal
  • 47.  Dados um plano munido de um referencial cartesiano e uma função real de variável real 𝑓, diz-se que o gráfico da função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = 𝑥 𝑎 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑎𝑥) é a imagem do gráfico de 𝑓 por uma:  Dilatação horizontal de coeficiente 𝑎, se 0 < 𝑎 < 1  Contração horizontal de coeficiente 𝑎, se 𝑎 > 1 Pedro Teixeira Dilatação ou contração horizontal do gráfico de uma função
  • 48.  Reflexão de eixo Ox Dado um plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico de uma função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = 𝐷𝑓 por 𝑔 𝑥 = −𝑓 𝑥 é a imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo Ox Pedro Teixeira Reflexão de um gráfico de uma função
  • 49.  Reflexão de eixo Oy Dado um plano munido de um referencial cartesiano, o gráfico de uma função 𝑔 definida em 𝐷𝑔 = {−𝑥: 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓} por 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥 é a imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo Oy Pedro Teixeira Reflexão de um gráfico de uma função
  • 50.  Considere a função 𝑓, de expressão algébrica que sofreu transformações, tornando-se na função 𝑔, de expressão algébrica 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑓 𝐵 𝑥 − 𝐶 + 𝐷  Descreve como cada fator faz variar a função Pedro Teixeira Revisão sobre transformação de uma função
  • 51.
  • 52. Monotonia e extremos de uma função
  • 53. Pedro Teixeira Zeros de uma função
  • 54. Pedro Teixeira Sinal de uma função
  • 55.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A, Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2) Matematicamente, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 Se A= 𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente crescente em todo o seu domínio. Pedro Teixeira Função (estritamente) crescente
  • 56.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A, Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2) Matematicamente, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2 Se A=𝐷𝑓, então 𝑓 é crescente em sentido lato em todo o seu domínio. Pedro Teixeira Função crescente em sentido lato
  • 57. Função crescente Estritamente crescente Crescente em sentido lato Pedro Teixeira
  • 58.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A, Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2) Matematicamente, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Pedro Teixeira Função (estritamente) decrescente
  • 59.  Dado uma função real de variável real 𝑓, 𝑓 é crescente num intervalo A se para qualquer dois elementos 𝑥1 𝑒 𝑥2 pertencentes a A, Se 𝑥1 < 𝑥2, então 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2) Matematicamente, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2 Se A=𝐷𝑓 , então 𝑓 é decrescente em sentido lato em todo o seu domínio. Pedro Teixeira Função decrescente em sentido lato
  • 60. Função decrescente Estritamente decrescente Decrescente em sentido lato Pedro Teixeira
  • 61.  Dado uma função real de variável real 𝑓 e A⊂ 𝐷𝑓, 𝑓 é monótona em A se é (só) crescente ou (só) decrescente em A.  Se A=D, diz-se que 𝑓 é monótona. INTERVALO DE MONOTONIA  Dada uma função real de variável real 𝑓e I⊂D diz que I é um intervalo de monotonia de 𝑓 se 𝑓 é monótona em I. Função monótona
  • 62.  Dada uma função real de variável real, f é constante em A se para quaisquer elementos 𝑥1 e 𝑥2 de A, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 .  Se A=D, diz-se que f é constante Matematicamente, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) Trata-se de uma função monótona em sentido lato Pedro Teixeira Função constante
  • 63.  A monotonia da função pode ser apresentada numa tabela de variação.  Também pode ser demonstrado por intervalos de monotonia Estudo da monotonia de uma função
  • 64. Pedro Teixeira Monotonia de uma função afim Demonstração.
  • 65. Pedro Teixeira Monotonia de uma função quadrática do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 Demonstração. ∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞[, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; +∞ , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 > 𝑓(𝑥2) ∀𝑥1, 𝑥2 ∈] − ∞; 0], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
  • 66. Pedro Teixeira Função majorada e minorada  Uma função diz-se majorada, se apresentar o conjunto dos majorantes.  O conjunto dos majorantes de 𝑓 são todos os valores maiores ou iguais a 𝑀 se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀  Uma função diz-se minorada, se apresentar o conjunto dos minorantes.  O conjunto dos minorantes de 𝑓 são todos os valores menores ou iguais a 𝑚 se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑓 𝑥 ≤ 𝑚 CC f(x) Minorantes Majorantes
  • 67.  Uma função é majorada se for, simultaneamente, majorada e minorada.  Conjunto dos majorante: M = [1; +∞[  Conjunto dos minorantes: 𝑚 = ] − ∞; −1] Pedro Teixeira Função limitada M m
  • 69. Pedro Teixeira Extremo absoluto Sendo 𝑓 𝑎 um extremo absoluto, então 𝑓(𝑎) pertence ao conjunto dos minorantes / majorantes
  • 70.
  • 73. Pedro Teixeira Conclusões sobre os extremos relativos
  • 74. Pedro Teixeira Concavidade do gráfico de uma função
  • 75. Concavidade do gráfico de uma função
  • 77.  O gráfico de uma função definida, em ℝ, por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 , com 𝑎 ≠ 0, tem, em todo o domínio, a concavidade:  Voltada para cima se 𝑎 > 0  Voltada para cima se 𝑎 < 0 Demonstra matematicamente Concavidade do gráfico 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐
  • 79.  Expressões algébricas (𝑎 ≠ 0):  𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), sendo 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐  𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘  O gráfico da função quadrática é uma parábola de vértice 𝑉(ℎ; 𝑘) e de eixo vertical (de simetria) 𝑥 = ℎ Pedro Teixeira Função Quadrada
  • 80. Pedro Teixeira Funções do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 , 𝒂 ≠ 𝟎
  • 81. Pedro Teixeira Funções do tipo 𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒌, 𝒂 ≠ 𝟎
  • 83.  Sabe-se que 𝑉(ℎ, 𝑘) Sejam 𝑥1 e 𝑥2 os zeros da função, ℎ = 𝑥1+𝑥2 2 E 𝑘 = 𝑓 ℎ = 𝑓 𝑥1+𝑥2 2 Pedro Teixeira Como determinar o vértice através dos zeros da função
  • 84.  Sabe-se que a partir do binómio discriminante, ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (em 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐), é possível verificar o número de zeros da função: Pedro Teixeira Inequações do segundo grau
  • 85.  Passos a seguir para realizar uma inequação do segundo grau:  Colocar a inequação na forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0  Verificar a concavidade da função 𝑎 > 0 ∶ ↑ 𝑎 < 0 ∶ ↓  Determinar os zeros da função (formula resolvente)  Fazer um esboço da função (faz-se unicamente o 𝑂𝑥)  Determinar o conjunto solução Pedro Teixeira Inequações do segundo grau Ou <; ≤; >
  • 87.  As funções definida por ramos são as funções que têm uma expressão algébrica diferente segundo o intervalo em que estão definidas. Pedro Teixeira Funções definida por ramos
  • 88. Pedro Teixeira Gráfico de uma função módulo
  • 89. Pedro Teixeira Gráfico de uma função 𝒚 = |𝒇 𝒙 |
  • 90.  A-> dilatação ou contração vertical  C -> translação horizontal  D -> translação vertical  O vértice da função módulo é 𝑉(𝑐; 𝑑). Pedro Teixeira Funções do tipo 𝒚 = 𝒂 𝒙 − 𝒄 + 𝒅
  • 91.  𝑥 = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 ∨ 𝑥 = −𝑘, 𝑘 > 0  𝑥 < 𝑘 ⟺ 𝑥 < 𝑘 ∧ 𝑥 > −𝑘  𝑥 ≤ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑥 ≥ −𝑘  𝑥 > 𝑘 ⟺ 𝑥 > 𝑘 ∨ 𝑥 < −𝑘  𝑥 ≥ 𝑘 ⟺ 𝑥 ≥ 𝑘 ∨ 𝑥 ≤ −𝑘  𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 = −𝑦  * 𝑥 × 𝑦 = 𝑥 × |𝑦|  * 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ  * 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 Pedro Teixeira Resolução de equações e inequações com ramos
  • 92. Função raiz quadrada. Função raiz cubica. Operação com funções
  • 94. Pedro Teixeira Estudo das funções polinomiais
  • 95. Pedro Teixeira Estudo das funções polinomiais
  • 96. Pedro Teixeira Estudo das funções polinomiais
  • 97.  Trata-se da inversa da restrição da função quadrática em ℝ0 + 𝑔 𝑥 = 𝑥2 𝑔−1 𝑥 = 𝑥 Pedro Teixeira Função raiz quadrada
  • 99.  Trata-se da inversa da restrição da função cúbica em ℝ 𝑔 𝑥 = 𝑥3 𝑔−1 𝑥 = 3 𝑥 Pedro Teixeira Função raiz cúbica
  • 103. Função soma e função produto Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, as funções: f + g: Df ∩Dg → IR e f × g: Df ∩Dg → IR designam-se, respetivamente, por soma de f com g e produto de f com g e são definidas pelas expressões: (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (fg)(x) = f(x) × g(x), respetivamente.
  • 104. Função quociente Dadas duas funções f: Df →IR e g: Dg →IR, a função: designa-se por quociente de f por g e é definida pela expressão:    IRxgDgxDgDf g f  0::      xg xf x g f       .
  • 105. Produto de uma função por um escalar Dada uma função f: Df →IR e um número real α, a função: designa-se por produto de f pelo escalar α e é definida pela expressão: IRDff :     xfxf   .
  • 106. Função potência de uma função Dada uma função f: Df →IR e um número racional r, a função: designa-se por potência de expoente r de f e é definida pela expressão: . Sendo o domínio de fr o conjunto de valores de x Df tais que a expressão (f(x))r representa um número real. IRDf r f r :     rr xfxf  