O documento apresenta conceitos básicos de conjuntos numéricos e suas operações. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais. Descreve propriedades das operações de adição, subtração e multiplicação. Fornece exemplos de exercícios sobre esses tópicos.

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos
a, b, ... variáveis e parâmetros = igual
A, B, ... conjuntos ≠ diferente
∈ pertence a > maior que
∉ não pertence < menor que
⊂ está contido ≥ maior ou igual a
⊄ não está contido
≤ menor ou igual a
⊃ contém
!n fatorial
⊃ não contém
Σ somatório
∃ existe
Π produtório
∃ não existe
∞ infinito
∃| existe apenas um / existe um único ∫ integral
| tal que
lim limite
∀ todo, qualquer
log logaritmo
⇒ implica (se então)
ln logaritmo natural (neperiano)
⇔ equivale (se e somente se)
números naturais
∪ união de conjuntos
números inteiros
∩ interseção de conjuntos
números racionais
∅ Conjunto vazio
números reais
∨ ou
∧ e
~ negação (lógica)

2. Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b e b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
• Se c >0 ⇒ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
• Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,
independentemente do sentido.



<−
≥
=
0,
0a,
asea
sea
a
Propriedades do Valor Absoluto
• 000 =⇔=≥ aaea
•
22
aa =
• aa =2
• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b
•  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou
• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b |
• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒
a
b
a
b
=
• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular)
• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |

3. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.
O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,...
= { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos
números - 1,-2,-3,... .
= { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}
O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e
b são inteiros com b≠ 0.
= { .....,-3,-2,-1,
2
1
− ,0,
2
1
,1,2,3,....}
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples,
=






∈∈
*
ZbeZa|
b
a
O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação
decimal infinita não é periódica. Ex:
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
π = 3,1415926...
O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos números
irracionais.
IQ U= , sendo =IQ I ∅
Regras Básicas
Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, ba ⋅ , chamado produto de a e
b.
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:

4. • Propriedade comutativa
Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:
a + b = b + a a.
b = b.
a
• Propriedade associativa
Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se
(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)
• Elemento Neutro
Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a,
tem-se:
a + 0 = a a . 1 = a
• Elemento oposto e elemento inverso
Existem únicos números reais, indicados
– a ( chamado oposto) e
a
1
( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que
a + (–a) = 0 a .
a
1
= 1
• Propriedade distributiva
Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se
a (b + c ) = ab + ac
(b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e 0a ≠ então b = c
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a
para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Regras de sinal para quaisquer a e b de
–( –a) = a
(–a)b = – (ab) = a(–b)
(–a)(–b) = ab

5. Subtração
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b
reais.
A regra dos sinais nos diz:
– ( a + b) = – a – b
Divisão
O quociente de b por a, onde a≠ 0, indicado por
a
b
, onde b é o numerador e a o
denominador. Também é chamado fração
a
b
.
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO!!
Soma de frações:
c
ba
c
b
c
a ±
=± (c ≠ 0)
bd
bcad
d
c
b
a ±
=± (b ≠ 0, d ≠ 0)
Produto de frações:
bd
ac
d
c
b
a
=⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0)
Quociente de frações:
d
c
b
a
=
c
d
b
a
⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.

6. EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Quais das proposições são verdadeiras?
a) 3 ∈
d)
2
1
∈
b) N ⊂ e) 4 ∈
c) Z ⊂ f) 3 ∈
2) Complete, usando as propriedades especificadas:
a) 32 . 45 = (comutativa)
b) 5(2 +3 ) = (distributiva)
c) 7 + 0 = (elemento neutro)
d) 3 .
3
1
= (elemento inverso)
3) Efetue:
a) (-4)(-3)=..........
b) (2)(-4)(3) =..............
c) (-3)6 =...............
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:
( ) – (– a + 3) = a + 3
( ) – (1 – a) = –1 + a
( ) –2 – a = – (2 + a)
5) Efetue:
a) =+
3
7
3
1
b) =−
7
3
5
2
c) -2
3
2
+
4
1
=
d) =+−
5
1
4
3
3
2
e) =⋅
3
4
5
8
f) =





−⋅





−
8
6
3
1
g) =
8
3
10
12
h) =
−
7
2
3
2
i) Sendo 0bcd ≠ ,
cd
a
bc
a
− =

7. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V
PROPRIEDADES
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
3) a) 12 b) – 24 c) – 18
REGRA DE SINAL
4) a) F b) V c) V
EFETUE
5) a)
8
3
b)
14 15 1
35 35
−
= −
c)
8 1 32 3 29
3 4 12 12
− +
− + = = −
d)
40 45 12 52 45 7
60 60 60
− + −
= =
e)
32
15
f)
1
4
g)
12 3 12 8 16
.
10 8 10 3 5
÷ = =
h)
2 2 2 7 7
.
3 7 3 2 3
− ÷ = − = −
i)
( )ad ab a d b
bcd bcd
− −
=