Funções, Equações e Inequações Trigonométricas

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_025
Funções
trigonométricas,
equações e
inequações
trigonométricas
A redução ao 1.° quadrante facilita o aluno à
reflexão e ao estudo sobre os âgulos agudos, partindo
somente da variação nos sinais.
Redução do 2.° ao 1.°
quadrante
Seja um arco AP = x, com
2
< x < , observe
que:
AP’ = PA’
AP’ + PA’ =
AP + AP’ = AP’ = – AP AP’ = – x
É imediato que:
sen x = sen( – x)
cos x = – cos( – x)
tg x = sen x
cos x
= sen x ( – x)
– cos x ( – x)
= – tg ( – x)
cotg x = – cotg( – x)
sec x = – sec( – x)
cossec x = cossec( – x)
Exemplos:``
sen
2
3
= sen ( –
2
3
) = sen
3
= 3
2
cos
2
3
= – cos ( –
2
3
) = – cos
3
=
–1
2
sen 150º = sen(180º –150º) = sen 30º =
1
2
cos 150º = – cos(180º –150º) = – cos 30º = 3
2
–

2
EM_V_MAT_025
Redução do 3.º ao 1.º
quadrante
Seja um arco AP = x, tal que < x < 3
2
e P’ o
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro.
Temos:
AP – AP’ = x –
É imediato que:
sen x = – sen(x – )
cos x = – cos(x – )
tg x = sen x
cos x
= – sen x (x – )
– cos x (x – )
= tg (x – )
cotg x = cotg(x – )
sec x = – sec(x – )
cossec x = – cossec(x – )
Redução do 4.º ao 1.º
quadrante
Seja o arco AP = x, tal que
3
2 < x < 2 e P’ o
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos
cossenos. Temos:
AP + PA = 2
PA = AP’
x + AP’ = 2 AP’ = 2 – x
É imediato que:
sen x = – sen (2 – x)
cos x = cos (2 – x)
tg x = – tg (2 – x)
cotg x = – cotg (2 – x)
sec x = sec (2 – x)
cossec x = – cossec (2 – x)
Fórmulas
de adição e diferença
Conhecidas as funções trigonométricas de dois
arcos de medidas a e b, vamos obter fórmulas para
calcular as funções trigonométricas da soma (a + b)
e da diferença (a – b).
Cosseno da soma
No ciclo, construímos dois arcos AC e BD que
possuem a mesma medida, portanto, as cordas
AC e BD são iguais.
As coordenadas dos pontos A, B, C e D em rela-
ção ao sistema cartesiano mOn são: A(1; 0),
B(cos a; sen a), C(cos(a + b); sen(a + b) e
D[cos(–b); sen(–b)] = D(cos b; –sen b).
Aplicando a fórmula da distância entre dois
pontos da geometria analítica, temos:
d2
= (xC
– xA
)2
+(yC
– yA
)2
=AC
= [cos(a + b) – 1]2
+ [sen(a + b) – 0]2
= cos2
(a + b) – 2 cos(a + b) + 1 sen2
(a + b) =
= 2 – 2 cos(a + b)
d2
= (xD
– xB
)2
+(yD
– yB
)2
=BD
= (cos b – cos a)2
+ (–sen b – sen a)2
=
= cos2
– 2 cos a . cos b + cos2
a + sen2
b +
+ 2 sen a . sen b + sen2
a = 2 – 2 cos a . cos b +
+ 2 sen a . sen b
dAC = dBD ⇒ 2 – 2cos(a+b) = 2 – 2cos a . cos b
+ 2sen a . sen b

3
EM_V_MAT_025
então, vem a fórmula:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Cosseno da diferença
cos(a – b) = cos[a + (–b)] =
= cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)
então:
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Seno da soma
sen(a + b) = cos[ π
2
– (a + b)] =
cos[(
π
2
– a)] = cos ( π
2
– a) . cos b +
+ sen (
π
2
– a) . sen b
então:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Seno da diferença
Analogamente, temos:
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
Tangente da soma
tg(a+b) =
sen(a+b)
cos(a+b)
Desenvolvendo, encontramos:
tg(a+b) =
tg a+tg b
1– tg a . tgb
a, b e (a+b) devem ser diferentes de
π
+ kπ
2
Tangente da diferença
Analogamente, temos:
tg(a – b) =
tg a – tg b
1+ tg a . tgb
com a, b e (a – b) diferente de
π
kπ
2
Arco duplo
Cos 2a
cos 2a = cos(a + a) = cos a, cos a – sen a . sen a
então: cos 2a = cos2
a – sen2
a
Sen 2a
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a .
cos a
então: sen 2a = 2 sen a . cos a
Tg 2a
tg 2a = tg(a+a) =
tg a + tg a
1– tg a . tg a
então:
tg 2a =
2 tg a
1 – tg2
a
Transformação em produto
O objetivo é transformar uma soma algébrica de
funções trigonométricas de arcos em um produto de
funções trigonométricas dos mesmos arcos.
Vimos que:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (I)
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (III)
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (IV)
Somando ou subtraindo, temos:
(I) + (II) cos (a + b) + cos (a – b) =
2 cos a . cos b
(I) – (II) cos (a + b) – cos (a – b) =
– 2sen a . sen b
+

4
EM_V_MAT_025
(III) + (IV) sen (a + b) + sen (a – b) =
2 sen a . cos b
(III) – (IV) sen (a + b) – sen (a – b) =
2 sen b . cos a
Fazendo-se:
a+b=p
⇒
a–b=q
a =
p+q
2
b =
p – q
2
Substituindo, obtemos:
Função seno
Definição
Consideremos um arco AP = x e seja N a proje-
ção ortogonal de P sobre o eixo (n) dos senos.
Por definição, chama-se seno do arco AP a me-
dida algébrica do segmento ON.
sen x =
ON
OP
ON
1
sen x =ON
Observe que a um arco AP qualquer de determi-
nação x corresponde a um único segmento ON, cuja
medida algébrica representaremos por y.
Portanto, podemos definir uma função de R em
R, tal que a cada x associa um y = sen x = ON.
Variação da função seno
x sen x
x = 0º sen x = 0
0º < x < 90º sen x > 0
x = 90º sen x = 0
90º < x < 180º sen x > 0
x = 180º sen x = 0
180º < x < 270º sen x < 0
cos p + cos q = 2 cos
p + q
. cos
p – q
2 2
cos p – cos q = – 2 sen
p + q
. sen
p – q
2 2
sen p + sen q = 2 sen
p + q
. cos
p – q
2 2
sen p – sen q = 2 sen
p – q
. cos
p + q
2 2
Quadrantes
Consideremos um ciclo trigonométrico de ori-
gem A e os eixos m e n que dividem a circunferência
em quatro arcos: AB, BA, A’B’ e B’A. Dado um arco AP
ou ângulo central AÔP (AP = AÔP = x), temos:
x está no 1.º quadrante ⇔ P AB
x está no 2.º quadrante ⇔ P BA’
x está no 3.º quadrante ⇔ P A’B’
x está no 4.º quadrante ⇔ P B’A

5
EM_V_MAT_025
x = 270º sen x = –1
270º < x < 360º sen x < 0
x = 36º sen x = 0
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (ON) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função seno é uma função periódica e seu
período é 2π.
Gráfico
Propriedades
A função seno (y – sen x) é periódica e seua)
período é 2π.
A função y = sen x é ímpar [sen(–x) = – sen x].b)
A função y = sen x é crescente no 1.º e 4.ºc)
quadrantes e decrescentes no 2.º e 3.º qua-
drantes.
Sinaisd)
D(f) = Re)
Função cosseno
Definição
1
Consideremos um arco AP = x e seja M a proje-
ção ortogonal de P sobre o eixo (m) dos cossenos.
Por definição, chama-se cosseno do arco AP a
medida algébrica de OM .
Variação da função cosseno
x sen x
x = 0º cos x = 1
0º < x < 90º cos x > 0
x = 90º cos x = 0
90º < x < 180º cos x < 0
x = 180º cos x = –1
180º < x < 270º cos x < 0
x = 270º cos x = 0
270º < x < 360º cos x > 0
x = 360º cos x = 1
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (OM) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função cosseno é uma função periódica e
seu período é 2π.

6
EM_V_MAT_025
Propriedades
A função cosseno (y = cos x) é periódica ea)
seu período é 2π.
A função y = cos x é par [cos(–x) = cos x].b)
É crescente no 3.º e 4.º quadrantes e decres-c)
centes no 1.º e 2.º quadrantes.
Sinaisd)
D(f) = Re)
Função tangente
Definição
Dado um arco AP = x, com x real e x = 90º + k .
180º (k ∈ Z). Consideremos a reta 2OP e seja T a inter-
seção com das tangentes (t). Denominamos tangente
de AP a medida algébrica do segmento AT.
OA = R = 1
AT
tg x =
OA
tg x = AT
1
tg x =AT
De forma análoga,
teremos: y = tg x (função tangente)
Variação da função tangente
180º < x < 270º
Gráfico
Propriedades
A função tangente é periódica e seu período éa)
π. De fato, a cada meia volta verificamos que
os valores da função y = tg x se repetem.
A função y = tg x é ímpar [tg(–x) = – tg x].b)
A função y = tg x é crescente quando x per-c)
corre qualquer um dos quatro quadrantes.

7
EM_V_MAT_025
Sinaisd)
D(f) =e) {x ∈ R/x ≠ π + kπ, k ∈ Z}
2
Equações trigonométricas
Na resolução de uma equação (ou inequação)
trigonométrica é importante saber:
sen sen
= + 2k
ou,
= ( – ) + 2k
k Z
Exemplos:``
a) sen x = sen 60º
x = 60º + 360º . k ou x = 120º + 360 . k; k Z
b) sen x = sen 5
3
x = 5
3
+2k ou x = – 2
3
+ 2k ; k Z
c) sen x = 1
2
sen x = sen 30º
x = 30º + 360º . k ou x = 150º + 360º . k; k Z
cos = cos
= + 2k
ou,
= (2 – ) + 2k
k Z
Exemplos:``
a) cos x = cos 45º
x = 45º + 360º . k ou x = 315º + 360º . k; k Z
b) cos x = cos 2
3
x = 2
3
2k ou x = 4
3
+ 2k ; k Z
c) cos x = –1
cos x = cos 180º
x = 180º + 360º . k, k Z
tg = tg { = + k , k Z
Exemplos:``
a) tg x = tg 30º
x = 30º + 180º . k, k Z
b) tg x = –1
tg x = tg 135º
x = 135º + 180 . k; k Z
c) tg x = tg
2
Como tg
2
não existe, não existe x.
Inequações trigonométricas
Nas inequações trigonométricas, devemos
achar o intervalo satisfatório.
Exemplos:``
Ache as soluções das inequações para x [0, 2 ].
a) sen x 1
2
sen x
sen 30o
sen 150o
S = [30º, 150º]

8
EM_V_MAT_025
b) cos x < – 1
2
cos x <
cos 120o
cos 240o
S = ]120º, 240º[
c)
tg x 1
tg x
tg 45°
tg 225°
S =
4
,
2
5
4
, 3
2
Se sen1. =
1
3
, então o valor de sen (25 + ) –
sen (88 – ) é:
–a)
1
3
1
3
b)
–c) 3
2
0d)
2
3
e)
Solução:`` D
sen (25 + ) – sen (88 – ) =
sen ( + ) – sen (2 – ) =
– sen – (– sen ) =
– sen + sen = 0
Para x =2. 3 , determine o valor da expressão:
E =
cos sec (2 + x)
cotg x + 2 . sec x + 2
Solução:``
1
sen (2p + x)
E =
1
tg x + p
2
. 1
cos x + p
2
1
sen x
E =
1
sen x + p
2
E =
sen x + p
2
sen x
=
sen x
cos x
3
E =
2
1
2
3=
O seno de um dos ângulos de um losango é igual a3.
1
2
,
portanto a tangente do maior ângulo interno é:
–1a)
–b) 3
2
–c) 3
3
d) 3
3
3
2
e)

9
EM_V_MAT_025
Solução:`` C
Se sen =
1
2
e + = 180º
= 180º – (θ > )
sen = sen (180º – )
sen = sen
1
2
= sen
sen2
+ cos2
= 1
1
2
2
+ cos2
= 1 cos = 3
2
,
como > tg = – 3
3
Simplifique a expressão:4.
sen(a+b) – sen(a – b)
cos(a+b) – cos(a – b)
Solução:``
sen a cos b + sen b cos a – (sen a cos b – sen b cos a)
cos a cos b – sen a sen b – (cos a cos b + sen a sen b)
sen a cos b + sen b cos a - sen a cos b+sen b cos a
cos a cos b – sen a sen b – cos a cos b – sen a sen b
2 . sen b . cos a
= –
cos a
= – cot g a
–2 . sen a . sen b sen a
Calcule cos 22º 30’.5.
Solução:``
cos 2 = cos2
– sen2
cos 2 = 2 cos2
– 1
cos2
= 1 + cos2
2
1 + cos2
2
cos = ±
cos 22,5°= +
2
1+
2
2
cos 22,5° =
2 2
2
Calcular y = sen6. 2
24º – sen2
6º, dado sen 18º = 5 – 1
4
.
Solução:``
sen2
24º – sen2
6º = (sen 24º+sen 6º)(sen 24º – sen 6º) =
2.sen 30°
2
. cos 18°
2
2.sen 18°
2
. cos 30°
2
=
2 . sen 15º . cos 9º . 2 . sen 9º . cos 15º =
2 . sen 15º . cos 15º . 2 . sen 9º . cos 9º =
sen 30º . sen 18º =
1
2
=. 5 – 1
4
5 – 1
8
O valor máximo assumido por7. y =
5 cos x + 3
2
é igual a:
4a)
3b)
2c)
6d)
5e)
Solução:``
Como –1 ≤ cos x ≤ 1 temos
y =
5 . 1 + 3
→ y = 4
2
Obter o domínio da função:8. f(x) =
1 + tg x
sen 2x
.
Solução:``
Dom
tg x
sen x
tg x x k k Z
sen x x k k
.
,
,
≠
≠



≠ → ≠ + ∈
≠ → ≠ ∈
0
2 0
0
2
2 0 2
π
π
π ZZ x k k Z
Dom x R x k k Z
→ ≠ ∈
= ∈ ≠ ∈
π
π
2
2
,
. { / , }
Um professor de eletricidade mostrou para seus alunos9.
um dispositivo eletrônico que transforma as correntes
alternadas em um único polo e o seu gráfico fica parecido
com o da função
f x
sen x
( ) = +2
2
Esboce o gráfico desta função.

10
EM_V_MAT_025
Solução:``
f x
sen x
'( ) = +2
2
f x
sen x
( ) = +2
2
O número de raízes da equação sen x + cos x = 0, no10.
intervalo [0, 2 ], é:
0a)
1b)
2c)
3d)
4e)
Solução:``
sen x + cos x = 0 sen x = – cos x
sen x
cos x
= –1 ⇒ tg x = –1 . S = 3
4
, 7
4
O número de soluções serão duas.
Determine o conjunto solução da inequação sen x . cos11.
x > 0, para x [0, 2 ].
Solução:``
Serão os quadrantes onde sen x e cos x possuam o
mesmo sinal.
S = 0,
2
, 3
2
Pedro foi ao parque e observou que a roda12. gigante
tinha 2m de raio e o ponto mais baixo fica a 1m do solo.
Considerando a roda gigante como um círculo trigo-
nométrico e o ponto mais baixo como início, quantos
graus a roda gigante rotaciona para uma pessoa atingir
a altura exata de 4m?
Solução:``
A roda rotaciona 120º ou 240º.
(PUC-SP)1. O valor de sen 1 200o
é igual a:
cos 60a) o
– sen 60b) o
cos 30c) o
– sen 30d) o
cos 45e) o
(Cescea-SP) O valor da expressão 2.
cos 150o
+ sen 300o
– tg 225o
– cos 90o
é:
− −3 1a)
− +3 1b)
3 1+c)
− −3 3
2
d)
(Uberlândia) Simplificando-se a expressão:3.
2cos
86
3
3
11
4
π π
− tg , obtém-se:
–4a)
−2 3b)
2c)

11
EM_V_MAT_025
1 3+d)
4e)
(UFF)4. cos sen cotx x tg x gx+ + + − − +( ) 


 ( )π
π
2
, em
que 0
2
< <x
π
, é equivalente a:
2
2sen x
a)
xb)
2 cos 2xc)
tgx
x
d)
x cotg xe)
(Unificado) Se x é um ângulo agudo, tg(90° + x) é5.
igual a:
tga) x
cotgb) x
– tgc) x
– cotgd) x
1+ tge) x
Sendo dado que:6.
sen cos
cos
180 90
360 180
3
2
° − ⋅ ° −
° − ⋅ ° +
=
( ) ( )
( ) ( )
x x
tg x x
. Tem-se neces-
sariamente:
cos x =
1
2
a)
x
o
= 60b)
90° < x < 180°c)
tgx = − 3d)
x = 45e) O
Para todo x real, podemos afirmar que:7.
cos cosx x= − +( )πa)
cos cosx x= + −( )πb)
cos senx x= − −( )π 2c)
− = −( )cos cosx x2πd)
cos senx x= +( )2πe)
(Fuvest)8. Sendo sen ,α =
9
10
com 0
2
< <α
π
, tem-se:
sen sen senα
π
α< <
3
2a)
sen sen sen
π
α α
3
2< <b)
sen sen senα α
π
< <2
3
c)
sen sen sen2
3
α
π
α< <d)
sen sen sen2
3
α α
π
< <e)
(PUC) Se sen9. x =
3
5
, um possível valor de sen 2x é:
4
5
a)
6
5
b)
5
12
c)
24
25
d)
12
13
e)
(UERJ)10. Lembrandoquecos (a+b)=cosa.cosb–sena
. sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b cos a
demonstre as identidades:a)
cos1) 2 2 12
θ θ( ) = −cos
cos2) 3 4 3
3
θ θ θ( ) = −cos cos
Sabendo-se que11. x y− = °60 , assinale a alter-
nativa que corresponde ao valor da expressão
cos cos sen senx y x y+ + +( ) ( )2 2
1a)
1
2
b)
2c)
3d)
3
2
e)
(Unificado)12. Considerando-se sen . sen ,x =
1
2
25
6
π
o valor de cos 2x será:
7
8
a)
5
8
b)

12
EM_V_MAT_025
3
8
c)
3
4
d)
1
2
e)
(PUC)13. Os ângulos agudos a e b são tais que tg a =
1
3
e tg b =
1
2
. O ângulo a + b é igual a:
arctg
1
2
a)
30°b)
45°c)
60°d)
90°e)
(UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos14.
os valores possíveis para sen2x + cos2x.
O domínio máximo da função dada por15.
f x x( ) 


= −sec 2
3
π
é o conjunto:
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
π
π
2
a) onde k ∈Ζ
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
5
12 2
π π
b) onde k ∈Ζ
x R x k∈ = +
{ }| ,
5
12 2
π π
c) onde k ∈Ζ
x R x k∈ = +
{ }| ,
π π
6 2
d) onde k ∈Ζ
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
π π
6 2
e) onde k ∈Ζ
(Unificado)16. Assinale o gráfico que representa a função
real definida por y x= −2 sen .
a)
2
1
3
x0
y
π/2 π 3π/2 2π
b)
1
-1
2
-2
0
y
xπ/2
π 3π/2
2π
c)
0
1
y
-1
x
π/2
π 3π/2 2π
d)
0
-1
-2
-3
y
x
π/2 π 3π/2 2π
e)
0
1
2
3
Y
xπ/2 π 3π/2 2π
(Rural) Analise o gráfico abaixo:17.
f(x)
2
0 π 2π 3π 4π
-2
x
A função f R: ,0 4π[ ]→ que pode ter como gráfico o
desenho acima é f ( x ) igual a:
− ( )2 2sen xa)
4 3sen x( )b)
− ( )3 2sen xc)
−



2
2
sen
x
d)
2
2
sen
x


e)

13
EM_V_MAT_025
Construa o gráfico da função18. f R: , ,− →




3
2
4
π
defi-
nida por f x
se x
x se x
( )




=
≤ ≤
− ≤ <
1 0 4
3
2
0
,
cos ,
π
(PUC) Seja19. f x x x( ) ( )= 2
. cos π função definida em
R. Então, f f2 2( ) ( )− − vale:
16a)
8b)
4c)
2d)
0e)
A função que melhor se adapta ao gráfico é:20.
2
1
0 ππ 3π 2π
2 2
x
y
y x= +1 sena)
y
x
= cos
2
b)
y x= +1 senc)
y x x= +sen cosd)
y x= +1 2sene)
(Unificado) Se cos21. 2
1
4
x = , então tg x
2
é igual a:
3
5
a)
5
8
b)
8
5
c)
5
3
d)
8
3
e)
(Unirio)22. Oconjunto-soluçãodaequação sen cos ,x x=
sendo 0 2≤ <x π, é:
π
4
{ }a)
π
3
{ }b)
5
4
π
{ }c)
π π
3
4
3
,
{ }d)
π π
4
5
4
,
{ }e)
(UFRJ)23. Resolva a equação para x [0,2p]:
sen . . sec cos . cot . cos sec .x tg x x x g x x=
(Unirio) O conjunto-solução da equação24. cos ,2
1
2
x =
onde x é um arco da 1.ª volta positiva, é dado por:
60 300° °{ },a)
30 300° °{ },b)
30 150° °{ },c)
30 150 210 330° ° ° °{ }, , ,d)
15 165 195 345° ° ° °{ }, , ,e)
(UFF)25. Determine o valor do número real m na equação
m = sen cos cos ,2 2 2
2 2x x x m− + + =( )
(UCBA)26. Se θ
π
π∈



2
; , os valores reais de m, para os
quais cos ,θ =
−3 1
4
m
são tais que:
m >
1
3
a)
m < 3b)
− < <1
1
3
mc)
− < <
1
3
1md)
m ou m> < −
5
3
1e)

14
EM_V_MAT_025
(Unirio) O valor numérico da expressão1.
sen cos
sec cos sec cot
π
π
4
240 750
2
1200
9
4
5
+
+
 




o
tg
o
o
g
π
6
2




3 2
6
+( )a)
−
+( )3 2
6
b)
3 2
6
−( )c)
−
−( )3 2
6
d)
0e)
Dados: tg 252. o
= a e m=
-
+
tg
o
tg
o
tg
o
tg
o
205 115
245 335
, o valor de
m é:
1
1
+
-
a
a
2
2
a)
a
a
+
−
1
1
b)
ac)
0d)
1 + ae) 2
(Cesgranrio) O valor de cos3. 29 4 16 3π π( ) ( )+ tg é:
3 2
2
−
a)
3 2
2
+
b)
− −3 2 2 3
6
c)
1
1
+
-
a
a
2
2
d)
+ +3
2
2
e)
Simplificando a expressão:4.
( )( )
( )( ) ( )cos
cos
sen
sen
sec
cos sec
90
270
180 90
o
x
o
x
o
x
x
o
x+
+ +
–
+
–
+
–xx
cos xa)
– 1b)
1c)
0d)
3e)
Simplificando a expressão:5.
y
x x
x x
=
+ ⋅ +
+ ⋅ −
( ) ( )
( ) ( )
sen sen
cos cos
3 2 3 2
2
π π
π π
y = tg xa)
y = cotg xb)
y = sen xc)
y = cos xd)
y =1e)
(Unificado) Sendo6.
A
x x
x
=
− − +
−
( ) ( )




7 5 3 3
8
2
cos cos
sen
π π
π
com x k≠ +
π
π
2
, k Z∈ , então:
A = -1a)
2A = 1b)
2A + 1 = 0c)
4A + 5 = 0d)
5A – 4 = 0e)
(UEPG) O quadrante em que a tangente, a co-tangente,7.
a secante e o cosseno são negativos é o:
1ºa)
2ºb)
3ºc)
4ºd)
n.d.a.e)
SendoA8. = + + + +cos cos cos cos12 25 38 168
o o o o
K .
Calcular o valor de 1 + 2A
.
(Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos B e D9.
são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor
de sen Â é:

15
EM_V_MAT_025
A
2x
2x x
x
B
C
D
5
5
a)
2 5
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
2
e)
(Cesgranrio) No retângulo ABCD da figura AB = 5,10.
BC = 3 e CM = MN = NB. Determine tg MÂN.
D
A
C
B
N
M
(UFF)11. Sendo k Z∈ , n N e x R∈ ∈* , a expressão
sen cos senx x x
n
+ −( ) ( )



2
2 é equivalente a:
sen 2k
n
π( )[ ]a)
cos 2k
n
π π+( )[ ]b)
cos nkπ( )c)
sen 2
2
k
n
π
π
+









d)
sen nkπ( )e)
(UFF)12. Se ˆ ,M ˆ ˆN e P são ângulos internos de um triângulo
não-retângulo, pode-se afirmar que tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ +
é:
–1a)
0b)
1
tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ +
c)
tgM tgN tgPˆ . ˆ . ˆd)
tgM tgN tgPˆ . ˆ ˆ+e)
(PUC) A soma das soluções de sen 2x = cos x contidas13.
no intervalo fechado 0 2, π[ ] é:
3
2
π
a)
2πb)
5
2
π
c)
3πd)
7
2
π
e)
O valor de14. sen , cos ,22 5 22 5
2
° + °( ) é:
1 2
2
−
a)
1 2
2
+
b)
2 2
2
+
c)
2 2
2
−
d)
1e)
Simplificando-se15. y = ° + ° − °cos cos cos ,80 40 20
obtém-se:
0a)
sen 20°b)
1c)
1
2
d)
-1e)
(UFRRJ) Em um triângulo ABC, cujos ângulos são16.
designados por A, B e C supõe-se que:
2 0
2
tg A tg B tg C e A= + < <
π
. A relação que vale
neste triângulo é:
tg B tg C. = 3a)
cos cosB C A+ =( ) 2b)
cos secB C A− =( ) 2c)
tg B tg C tg. = 3d)
tg B tg C tg A. =e)

16
EM_V_MAT_025
(Fuvest) O valor de17. tg g10 10 20° + ° °( )cot sen é:
1
2
a)
1b)
2c)
5
2
d)
4e)
(UERJ)18. Considere a função real, de variável real x,
definida por f x x x x( ) [ ]= − + ∈1 0 2
2
sen cos , , .π
Utilizando esses dados, responda aos itens A e B.
Calculea) f π( ).
Esboce o gráfico cartesiano e f.b)
(Unirio) Assinale o gráfico que melhor representa a19.
função real definida por y x= −cos .1
a)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1
x
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
b)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1
x
0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
c)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2
x
d)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
x
e)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
x
(Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gráfico da20.
função
2π 4π
-2
2
sen xa)
2 sen xb)
2
2
sen
x
c)
2 sen 2xd)
sen 2xe)
(UFF)21. A figura abaixo representa parte do gráfico das
funções y senxey x= =cos .
−2π −π π x
P
Q
R
y
− 3π
2
−
π
2
π
2
Sobre os pontos P, Q e R são feitas as afirmações:
O pontoI) P(x, y) é tal, que x é um arco do 2.º qua-
drante.
O pontoII) Q(x, y) é tal, que x é um arco do 3.º qua-
drante.
O pontoIII) R(x, y) pertende à reta y = x.
Destas afirmações, é(são) verdadeira(s) apenas a(s)
de número(s):
Ia)
IIb)

17
EM_V_MAT_025
IIIc)
I e IId)
II e IIIe)
(UERJ)22. O aluno que estudar Cálculo poderá provar
com facilidade que a área da superfície plana limitada
pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no intervalo
0
2
≤ ≤x
π
, como ilustra o gráfico abaixo, é igual a 1.
y
x
0
1 Área = 1
2
π
A partir dessa informação, pode-se concluir que a área
limitada pelos gráficos de f(x) = cos x e f(x) = 0, no
intervalo
−
≤ ≤
π π
2
3
2
x , é:
0a)
3b)
4c)
5d)
6e)
(Unirio) Considerando que o movimento de um23.
determinado pêndulo é definido pela equação
x t= +



3
2 6
cos ,
π π
em que x é a posição da mas-
sa do pêndulo (em m) no instante t (em s) em relação à
posição de equilíbrio (x = 0) e convencionando o deslo-
camento à direita como positivo, e negativo à esquerda,
como mostra a figura, determine:
x = 0 x > 0x < 0
o gráfico do deslocamento em função do tempo,a)
equivalente a um período completo da função.
a distância máxima do corpo à posição de equilí-b)
brio.
o período do pêndulo.c)
a posição do corpo em t = 1s.d)
(Unirio)24. O menor valor real e positivo de x tal que
4
1
2
−
=
senx
é:
πa)
π
2
b)
π
3
c)
π
4
d)
π
6
e)
(PUC)25. Resolva a equação sen cos .
2 2 1
2
x x− =
(Cesgranrio)26. Se 0
2
< <x
π
, a equação sen :
1
0
x
=
tem uma infinidade de soluções.a)
não tem solução.b)
tem somente uma solução.c)
tem exatamente quatro soluções.d)
tem um número finito, maior do que quatro, de so-e)
luções.
(Unicamp) Ache todos os valores de x, no intervalo27.
0 2, ,π[ ] para os quais sen cos .x x+ =
+2 3
2
Determine os valores de28. x ∈[ ]0, π tais que
4 3cos secx x=
Resolvendo a equação29. cos sen ,θ( )= 1 obtém-se:
θ = 0a)
θ
π
=
2
b)
θ π= ∈k k, Ζc)
θ π= ∈2k k, Ζd)
θ π= + ∈( )2 1k k, Ζe)
(Cesgranrio)30. Das equações abaixo, aquela que tem
maior número de raízes no intervalo 0 10
6
≤ ≤x é:
sen x3
0=a)
sen x
2
0=b)
sen x = 0c)
sen x
1
2
0=d)
sen x3
0=e)
(Unirio)31. Obtenha o conjunto solução da inequação
sen , ,2
0 5x = sendo 0 2≤ <x π.

18
EM_V_MAT_025
(UFF)32. Determine o(s) valor(es) de x IR∈ que
satisfaz(em) a desigualdade: cos sen2
2 1x x≥ +( )
No intervalo 0 < x < 233. π, a equação trigonométrica:
sen sen sen ... sen :9 8 7
1 0x x x x+ + + + + =
Não tem soluçãoa)
Tem uma soluçãob)
Tem duas soluçõesc)
Tem três soluçõesd)
Tem infinitas soluçõese)
(Unicamp) Encontre todas as soluções o sistema:34.
sen
sen
x y
x y
+ =
− =
( )
( )



0
0
que satisfazem
0 0≤ ≤ ≤ ≤x e yπ π.

19
EM_V_MAT_025
C1.
A2.
C3.
A4.
D5.
A6.
A7.
D8.
D9.
Demonstração.10.
D11.
A12.
C13.
-1 e 114.
E15.
E16.
D17.
18.
1
1 2 3 4
− π
2
- π
2
- 3π
E19.
A20.
A21.
E22.
S =






π π π π
4
3
4
5
4
7
4
, , ,23.
D24.
125.
C26.

20
EM_V_MAT_025
B1.
A2.
D3.
E4.
B5.
C6.
B7.
28.
C9.
5
27
10.
D11.
D12.
D13.
C14.
A15.
A16.
C17.
18.
Zeroa)
2
0 2 ππ2
π
2
3π
b)
D19.
C20.
B21.
C22.
A23.
3
2
33
3
5
3
9
3
8
3
11
3
14
-3
E24.
x k k z= ± ∈
π π
2 6
,25.
A26.
π π π π
6 3
7
6
4
3
, , ,






27.
S =






π π
6
5
6
,28.
C29.
A30.
A solução da equação é31.
π π π π
4
3
4
5
4
7
4
, , ,






4 3
2
k
k Z
+


 ∈π,,32.
B33.
0 0 0 0
2 2
, , , , , , , , ,( ) ( ) ( ) ( ) 









π π π π
π π
34.

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