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Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
Teste de Matemática A
2017 / 2018
Teste N.º 1
Matemática A
Duração do Teste (Caderno 1+ Caderno 2): 90 minutos
11.º Ano de Escolaridade
Nome do aluno: ___________________________________________ N.º: __ Turma: ___
Este teste é constituído por dois cadernos:
 Caderno 1 – com recurso à calculadora;
 Caderno 2 – sem recurso à calculadora.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta.
Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca
aquilo que pretende que não seja classificado.
Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As
respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com
zero pontos.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a
um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
As cotações encontram-se no final do enunciado da prova.
Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e
escreva, na folha de respostas:
 o número do item;
 a letra que identifica a única opção escolhida.
Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e
todas as justificações necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
CADERNO 1: 40 MINUTOS
É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
1. Considere um losango [ 𝐴𝐵𝐶𝐷] tal que:
 tem perímetro igual a 20;
 𝐷𝐴̂ 𝐵 = 30°.
A área do losango [ 𝐴𝐵𝐶𝐷] é:
(A) 6,25 (B) 12,5 (C) 25 (D) 50
2. Na figura, o triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵 e 𝐷 pertence ao lado [ 𝐴𝐵].
Sabe-se ainda que:
 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3 cm
 𝐵𝐴̂ 𝐶 = 20°
 𝐵𝐷̂ 𝐶 = 60°
Determine a medida da área do triângulo [ 𝐴𝐵𝐶].
Apresente o resultado arredondado às décimas.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo cinco casas
decimais.
3. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, a circunferência trigonométrica.
Sabe-se que:
 o ponto 𝐴 está no segundo quadrante e pertence à
circunferência;
 o ponto 𝐷 tem coordenadas (1, 0);
 o ponto 𝐸 tem coordenadas (−1, 0);
 o ponto 𝐶 pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual
à do ponto 𝐷;
 o ponto 𝐵 pertence ao eixo 𝑂𝑦 e é tal que o segmento de reta
[ 𝐴𝐵] é paralelo ao eixo 𝑂𝑥;
 os ângulos 𝐷𝑂𝐶 e 𝐴𝑂𝐸 são geometricamente iguais e cada um deles tem amplitude α
(α ∈ ]
π
4
,
π
2
[).
3.1. Mostre que a área do triângulo [ 𝐴𝐵𝐶], representada a sombreado, é dada em função de α
por 𝐴(α) =
sen α×(1−cosα)
2
.
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
3.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine os valores de α para os quais a área do
triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] é inferior a
1
8
da área do círculo representado na figura.
Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que
visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema, apresentando as
coordenadas dos pontos relevantes para a sua resolução com aproximação às
centésimas.
3.3. Suponha que α é tal que tg(π − α) = −2.
Determine o valor exato de 𝐴 (
3π
2
− α).
FIM DO CADERNO 1
COTAÇÕES (Caderno 1)
Item
Cotação (em pontos)
1. 2. 3.1. 3.2. 3.3.
8 20 20 15 20 83
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
CADERNO 2: 50 MINUTOS
NÃO É PERMITIDO O USO DACALCULADORA.
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
4. Seja [ 𝐴𝐵𝐶] o triângulo representado na figura.
Sabe-se que:
 𝐴𝐵̂ 𝐶 = 105°
 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 30°
 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 2 cm
 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2√3 − 2 cm
Determine o valor exato de 𝐴𝐵̅̅̅̅.
5. O valor exato da expressão seguinte é:
sen2 (
π
13
) − sen (
9π
2
) + cos(2019π) + cos(−
π
3
) + 9 tg(
17π
6
) + cos2 (
3π
4
) + cos2 (
π
13
)
(A) 3√3 (B) −3√3 (C) −1 − 3√3 (D) 1 + 3√3
6. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, uma circunferência de centro 𝑂 e raio 2.
Sabe-se que:
 os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência;
 o ponto 𝐴 tem coordenadas (2,0);
 os pontos 𝐵 e 𝐶 têm a mesma abcissa;
 o ponto 𝐶 tem ordenada zero;
 o ponto 𝐷 tem coordenadas (−6,0);
 a amplitude, em graus, do ângulo 𝐴𝑂𝐵 é 135°.
A medida 𝐵𝐷̅̅̅̅ é igual a:
(A) √37 − 6√2 (B) √42 − 12√3 (C) √40 − 12√2 (D) √
75
2
− 6√3
7. Seja 𝑓 a função, de domínio ℝ {𝑥: 𝑥 ≠
π
2
+ 𝑘π, 𝑘 ∈ ℤ}, definida por:
𝑓( 𝑥) =
(1 + tg 𝑥)2
1 + tg2
𝑥
7.1. Prove, para todo o 𝑥 onde a igualdade tem significado, a seguinte igualdade:
𝑓( 𝑥) = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2
7.2. Determine, no intervalo ]−π,3π[, os valores de 𝑥 tais que 𝑓( 𝑥) = 1 − sen 𝑥.
Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
8. Considere o quadrante em que se tem, para qualquer ângulo 𝑥, tg 𝑥 < 0 e para quaisquer
ângulos 𝑥1 e 𝑥2 , 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ sen 𝑥1 > sen 𝑥2.
Em relação a esse quadrante, considere as seguintes afirmações:
(I) O seno é crescente.
(II) O cosseno é crescente.
(III) A tangente é crescente.
Quanto ao valor lógico das afirmações anteriores, pode concluir-se que:
(A) são todas verdadeiras .
(B) são todas falsas.
(C) apenas (I) e (II) são falsas.
(D) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
9. Qual é o valor exato de sen (arctg (
1
2
)) + cos(arcsen (1))?
(A)
2√5
5
+ 1 (B)
2√5
5
(C)
√5
5
+ 1 (D)
√5
5
10. Resolva, em [−π,π], a seguinte condição:
|2cos 𝑥| > 1
FIM DO CADERNO 2
COTAÇÕES (Caderno 2)
Item
Cotação (em pontos)
4. 5. 6. 7.1. 7.2. 8. 9. 10.
20 8 8 20 25 8 8 20 117

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1.º teste 11

  • 1. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes Teste de Matemática A 2017 / 2018 Teste N.º 1 Matemática A Duração do Teste (Caderno 1+ Caderno 2): 90 minutos 11.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: ___________________________________________ N.º: __ Turma: ___ Este teste é constituído por dois cadernos:  Caderno 1 – com recurso à calculadora;  Caderno 2 – sem recurso à calculadora. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. As cotações encontram-se no final do enunciado da prova. Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas:  o número do item;  a letra que identifica a única opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
  • 2. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes CADERNO 1: 40 MINUTOS É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
  • 3. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 1. Considere um losango [ 𝐴𝐵𝐶𝐷] tal que:  tem perímetro igual a 20;  𝐷𝐴̂ 𝐵 = 30°. A área do losango [ 𝐴𝐵𝐶𝐷] é: (A) 6,25 (B) 12,5 (C) 25 (D) 50 2. Na figura, o triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] é retângulo em 𝐵 e 𝐷 pertence ao lado [ 𝐴𝐵]. Sabe-se ainda que:  𝐴𝐷̅̅̅̅ = 3 cm  𝐵𝐴̂ 𝐶 = 20°  𝐵𝐷̂ 𝐶 = 60° Determine a medida da área do triângulo [ 𝐴𝐵𝐶]. Apresente o resultado arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo cinco casas decimais. 3. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, a circunferência trigonométrica. Sabe-se que:  o ponto 𝐴 está no segundo quadrante e pertence à circunferência;  o ponto 𝐷 tem coordenadas (1, 0);  o ponto 𝐸 tem coordenadas (−1, 0);  o ponto 𝐶 pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual à do ponto 𝐷;  o ponto 𝐵 pertence ao eixo 𝑂𝑦 e é tal que o segmento de reta [ 𝐴𝐵] é paralelo ao eixo 𝑂𝑥;  os ângulos 𝐷𝑂𝐶 e 𝐴𝑂𝐸 são geometricamente iguais e cada um deles tem amplitude α (α ∈ ] π 4 , π 2 [). 3.1. Mostre que a área do triângulo [ 𝐴𝐵𝐶], representada a sombreado, é dada em função de α por 𝐴(α) = sen α×(1−cosα) 2 .
  • 4. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 3.2. Recorrendo à calculadora gráfica, determine os valores de α para os quais a área do triângulo [ 𝐴𝐵𝐶] é inferior a 1 8 da área do círculo representado na figura. Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema, apresentando as coordenadas dos pontos relevantes para a sua resolução com aproximação às centésimas. 3.3. Suponha que α é tal que tg(π − α) = −2. Determine o valor exato de 𝐴 ( 3π 2 − α). FIM DO CADERNO 1 COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos) 1. 2. 3.1. 3.2. 3.3. 8 20 20 15 20 83
  • 5. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes CADERNO 2: 50 MINUTOS NÃO É PERMITIDO O USO DACALCULADORA.
  • 6. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 4. Seja [ 𝐴𝐵𝐶] o triângulo representado na figura. Sabe-se que:  𝐴𝐵̂ 𝐶 = 105°  𝐴𝐶̂ 𝐵 = 30°  𝐴𝐶̅̅̅̅ = 2 cm  𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2√3 − 2 cm Determine o valor exato de 𝐴𝐵̅̅̅̅. 5. O valor exato da expressão seguinte é: sen2 ( π 13 ) − sen ( 9π 2 ) + cos(2019π) + cos(− π 3 ) + 9 tg( 17π 6 ) + cos2 ( 3π 4 ) + cos2 ( π 13 ) (A) 3√3 (B) −3√3 (C) −1 − 3√3 (D) 1 + 3√3 6. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, uma circunferência de centro 𝑂 e raio 2. Sabe-se que:  os pontos 𝐴 e 𝐵 pertencem à circunferência;  o ponto 𝐴 tem coordenadas (2,0);  os pontos 𝐵 e 𝐶 têm a mesma abcissa;  o ponto 𝐶 tem ordenada zero;  o ponto 𝐷 tem coordenadas (−6,0);  a amplitude, em graus, do ângulo 𝐴𝑂𝐵 é 135°. A medida 𝐵𝐷̅̅̅̅ é igual a: (A) √37 − 6√2 (B) √42 − 12√3 (C) √40 − 12√2 (D) √ 75 2 − 6√3 7. Seja 𝑓 a função, de domínio ℝ {𝑥: 𝑥 ≠ π 2 + 𝑘π, 𝑘 ∈ ℤ}, definida por: 𝑓( 𝑥) = (1 + tg 𝑥)2 1 + tg2 𝑥 7.1. Prove, para todo o 𝑥 onde a igualdade tem significado, a seguinte igualdade: 𝑓( 𝑥) = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2 7.2. Determine, no intervalo ]−π,3π[, os valores de 𝑥 tais que 𝑓( 𝑥) = 1 − sen 𝑥.
  • 7. Teste N.º 1 de Matemática A_11.º Ano Expoente11 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 8. Considere o quadrante em que se tem, para qualquer ângulo 𝑥, tg 𝑥 < 0 e para quaisquer ângulos 𝑥1 e 𝑥2 , 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ sen 𝑥1 > sen 𝑥2. Em relação a esse quadrante, considere as seguintes afirmações: (I) O seno é crescente. (II) O cosseno é crescente. (III) A tangente é crescente. Quanto ao valor lógico das afirmações anteriores, pode concluir-se que: (A) são todas verdadeiras . (B) são todas falsas. (C) apenas (I) e (II) são falsas. (D) apenas (II) e (III) são verdadeiras. 9. Qual é o valor exato de sen (arctg ( 1 2 )) + cos(arcsen (1))? (A) 2√5 5 + 1 (B) 2√5 5 (C) √5 5 + 1 (D) √5 5 10. Resolva, em [−π,π], a seguinte condição: |2cos 𝑥| > 1 FIM DO CADERNO 2 COTAÇÕES (Caderno 2) Item Cotação (em pontos) 4. 5. 6. 7.1. 7.2. 8. 9. 10. 20 8 8 20 25 8 8 20 117