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Prova-modelo 1
(Estrutura baseada na Informação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017)
330
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
Cotações
Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre-
sente sempre o valor exato.
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
1.	 Quantos números naturais pares, com quatro algarismos diferentes, se podem escrever?
	(A)	2296	 (B)	2520	 (C)	2016	 (D)	3600
2.	 Seja E um conjunto finito, P uma probabilidade em ​
𝒫 ​(E)​ e ​
A , B ∈ 𝒫 ​(E)​ com ​
P ​(A)​  0​ e
​
P ​(B)​  0​.
	 Sabe-se que ​
P​ ​
(A)​
 = 5 P​ ​
(A ∩ B)​ e ​
P​ ​
(A ∪ B)​
 = 2 P​ ​
(B)​.
	 Qual é o valor da probabilidade condicionada ​
P​ ​
(A | B)​?
	(A)	​​ 1 
__ 
2
 ​​	 (B)	​​ 1 
__ 
3
 ​​	 (C)	​​ 1 
__ 
4
 ​​	 (D)	​​ 1 
__ 
5
 ​​
3.	 Seja ​​
(​
u​
n​​​
)​​ a sucessão definida por recorrência do modo seguinte:
	​​
⎧
 
⎨ 
⎩
 ​
u​
1​​  = 100
​
 
​
u​
n + 1​​  + 1 = ​
u​
n​​  , ∀n ∈ ℕ
​​​
	 A soma dos k primeiros termos de ​​
(​
u​
n​​​
)​​ é igual a 0 .
	 O valor de k é:
	(A)	100 	(B)	101 	(C)	200 	(D)	201
4.	 Num saco estão seis bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
	 4.1.	 Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as dez bolas do saco.
		
Determine a probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas (sair pelo
menos uma bola branca entre duas bolas pretas).
		 Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
	 4.2.	
Admita agora que, tomando como ponto de partida a constituição inicial, se colocaram mais
algumas bolas pretas no saco.
		
Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente e sem reposição,
duas bolas do saco e em registar a cor das bolas extraídas.
		 Relativamente a esta experiência aleatória considere os acontecimentos:
		 A : “A primeira bola retirada é branca” 		 B : “A segunda bola retirada é preta”
		
Sabendo que o valor da probabilidade condicionada ​
P​ ​
(B | A)​ é ​​ 
3
 
__ 
4
 ​​, determine o número de
		 bolas pretas que foram posteriormente colocadas no saco.
5
5
5
15
15
Prova-modelo 1
331
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
5.	 Seja f a função, de domínio ​
ℝ​, definida por:
​
f​ ​
(x)​
 = ​
⎧
 
⎪
 
⎨ 
⎪
 
⎩
 ​
x​​ 2
​​e​​ 
x + 1
​
​ 
se
​ 
x ⩽ 0
​
   
x ln​ ​(​ x + 1 
____ 
x
 ​
)​
 + 3x
​ 
se
​ 
x  0
​​​
	 5.1.	Determine ​​f ' 
​
(− 1)​ recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.
	 5.2.	 Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ​ − 1​ .
		 
Mostre que existe um ponto do gráfico da função f , cuja abcissa pertence ao intervalo
​​ ] 
− ​ 1 
__ 
2
 ​,  − ​ 1 
__ 
4
 ​ [ 
​​, em que a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela à reta t .
		 Sugestão: Recorra ao Teorema de Bolzano­‑Cauchy.
	 5.3.	 O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando ​
x → + ∞​ .
		 Determine a equação reduzida dessa assíntota.
6.	 Considere a função f , de domínio ​
ℝ​, definida por ​
f​ ​
(x)​
 = ​
e​​ x
​ .
	
Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o triân-
gulo ​​ [ABC] 
​ .
x
O
y
C
A
B
f
D
	 Sabe-se que:
	 • o ponto A tem coordenadas ​
(​
0 , 1)​;
	 • 
o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ​​ 
] 
​
0 , 2 
[ 
​​ ;
	 • 
o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B ;
	 • ​​ [CD] 
​ é a altura do triângulo ​​ 
[ABC] 
​ relativa à base ​​ 
[AB] 
​ e é tal que ​​
‾ 
CD​  = 1​ .
	
Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica.
	 Na sua resposta deve:
	 – equacionar o problema;
	 – 
reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida-
mente identificados;
	 – indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Fim do Caderno 1
15
10
10
15
Provas-modelo
332
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
7.	 Seja f uma função de domínio R , diferenciável em todos os pontos do domínio, tal que:
	 • ​
f​ ​
(x)​
  0 , ∀x ∈ ℝ​
	 • ​
f​ ​
(1)​
 = f '​
(1)​
 = e​
	 Considere a função h , de domínio R , definida por ​
h​ ​
(x)​
 = f​ ​
(x)​
 × ln ​
 
[f​ ​
(x)​
] 
​.
	 O valor de ​
h'​
(1)​ é:
	(A)	e	 (B)	2e	 (C)	​​e​​ 2
​​	 (D)	0
8.	 Seja g a função definida por ​
g ​
(x)​
 = π − 2 arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 
​
)​.
	
Em qual das opções seguintes se apresentam, respetivamente, o domínio e o contradomínio da
função g ?
	(A)	​
​
 
[− π ,  π ] 
​ e ​
 
[π − 2 ,  π + 2] 
​ 	(B)	​
​
 
[− 1 ,  1 ] 
​ e ​
 
[0 ,  2π] 
​
	(C)	​
​
 
[− ​
 
1 
__ 
2
 
​
 ,  ​
 
1 
__ 
2
 
​
] 
​ e ​
 
[− ​
 
π
 
__ 
2
 
​
 ,  ​
 
π
 
__ 
2
 
​
 ] 
​ 	(D)	​
​
 
[− 2 ,  2 ] 
​ e ​
 
[0 ,  2π ] 
​
9.	 
Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro O e
raio 2 .
x
y
A
C
B
α
O
	 Sabe-se que:
	 • 
o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox , o ponto B tem coordenadas ​
(​
0 , 1)​ e o
ponto  C pertence à circunferência;
	 • ​
α​ é a amplitude, em radianos, do ângulo AOC , com ​
α ∈ ​ ] 
0 ,  ​ 
π
 
__ 
2
 ​ [ 
​​ .
	
Qual das expressões seguintes representa, em função de ​
α​, o comprimento do segmento de
reta ​​ [BC] 
​ ?
	(A)	​
​
 
√ 
_________
 
5 − 4 sin α 
​
​	 (B)	​
​
 
√ 
_________
 
5 − 4 cos α 
​
​	 (C)	​
​
 
√ 
_________
 
2 − 2 sin α 
​
​	 (D)	​
​
 
√ 
_________
 
2 − 2 cos α 
​
10.	 Seja a um número real não nulo.
	
Considere, num referencial ortonormado Oxyz , a reta r e o plano ​
β​ definidos, respetivamente,
por:
​
(​
x , y , z)​
 = ​
(1 , 0 , 1)​
 + k ​
(4 − 3a , 0 , 1)​, k ∈ ℝ​    e    ​
x + az = 1​
	 Sabendo que a reta r é paralela ao plano ​
β​, qual é o valor de a ?
	(A)	2	 (B)	1	 (C)	​​ 1 
__ 
3
 ​​	 (D)	 - 3
5
5
5
5
Prova-modelo 1
333
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
11.	 Na figura está representado um referencial ortonormado Oxyz .
	
Os pontos A e B têm coordenadas ​
(​
6 , 6 , 0)​ e ​
(​
0 , 0 , 3)​,
respetivamente.
	
O ponto P desloca-se sobre a reta AB de tal modo
que é sempre vértice de uma pirâmide em que a base é
um quadrado contido no plano xOy .
	
A medida do lado do quadrado é igual à abcissa do
ponto P e a cota de P varia entre 0 e 3 .
	 11.1.	
Mostre que o volume da pirâmide, em função da abcissa x do ponto P , é dado por:
​
V​ ​
(x)​
 = ​
x​​ 2
​  − ​ ​
x​​ 
3
​
 
___ 
6
 ​​, com ​
x ∈ ​ ] 
0 , 6 
[ 
​​
	 11.2.	Determine a altura da pirâmide de volume máximo.
12.	
Na figura estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos: z , z1 ,
z2 , z3 e z4 .
O 1 Re(z)
Im(z)
z4
z2
z3
z1
z
	 Qual é o número complexo que pode ser igual a ​
z + ​
z​​ 
3
​​ ?
	(A)	 z1	 (B)	 z2 	 (C)	 z3	 (D)	 z4
13.	 Em ​
ℂ​, conjunto dos números complexos, considere ​
z = ​ 
​
 
√ 
__
 
3 
​
 − ​  i​​ 11
​
 
_________ 
​
 
√ 
__
 
2 
​
 ​e​​
i ​ 
π
 
__ 
4
 ​
​  − 1
 ​​ .
	 Determine o menor número natural n tal que ​​
z​​ n
​ é um número real negativo.
14.	 Considere a função ​
f​ definida em ​
ℝ​
 
+
​ por ​
f ​
(x)​
 = ​
 
1 − 2 ln x 
________ 
4x
  ​.
	 14.1.	
Estude a função ​
f​ quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão
do seu gráfico.
	 14.2.	
Resolva a inequação ​
f ​
(x)​
  f ​
(2x)​.
		 Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
15.	 Sejam ​
f​ e ​
g​ funções diferenciáveis em ​
ℝ​ tais que ​
g ​
(x)​
 = x × f ​
(x)​.
	
Sabe-se que, para determinado ​
a ∈ ℝ​, a reta tangente ao gráfico de ​
f​ no ponto de abcissa ​
a​ é
paralela à reta tangente ao gráfico de ​
g​ no ponto com a mesma abcissa ​
a​.
	 Mostre que ​
f ​
(a)​
 = ​
(1 − a)​
 × ​
f ' 
​
 ​
(a)​.
Fim do Caderno 2
y
x
O
P
A
B
z
15
10
5
15
15
10
15
Sugestão de resolução
334
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
Caderno 1
1.	 1.° A	 2.° A	 3.° A	 4.° A
	
9	8	7	1	 Números cujo algarismo das unidades é 0 .
	
8	8	7	4	 Números cujo algarismo das unidades é 2 , 4 , 6 ou 8 .
9 × 8 × 7 × 1 + 8 × 8 × 7 × 4 = 504 + 1792 = 2296
Resposta: (A)
2.	​
P​ ​
(A ∪ B)​
 = P​ ​
(A)​
 + P​ ​
(B)​
 − P​ ​
(A ∩ B)​⇔
⇔ ​
2 P​ ​
(B)​
 = 5 P​ ​
(A ∩ B)​
 + P​ ​
(B)​
 − P​ ​
(A ∩ B)​ ⇔
⇔ ​
2 P​ ​
(B)​
 − P​ ​
(B)​
 = 5 P​ ​
(A ∩ B)​
 − P​ ​
(A ∩ B)​ ⇔
⇔ ​
P​ ​
(B)​
 = 4 P​ ​
(A ∩ B)​ ⇔ ​​ 
P​ ​
(A ∩ B)​
 
________ 
P​ ​
(B)​
 ​  = ​ 1 
__ 
4
 ​​ ⇔
⇔ ​
P​ ​
(A | B)​
 = ​ 1 
__ 
4
 ​​
Resposta: (C)
3.	​​
⎧
 
⎨ 
⎩
 ​
​
u​
1​​​
 = 100
​
 
​
u​
n + 1​​  +  1 = ​
u​
n​​​, ∀n ∈ ℕ
​​​ ⇔ ​​
⎧
 
⎨ 
⎩
 ​
​
u​
1​​​
 = 100
​
 
​
u​
n + 1​​  − ​u​
n​​​
 = − 1 , ∀n ∈ ℕ
​​​
​​(​
u​
n​​​
)​​ é uma progressão aritmética de razão - 1 sendo ​​
u​
1​​​
 = 100​ .
​​u​
n​​​
 = 100 + ​
(n − 1)​
 × ​
(− 1)​ ⇔
⇔ ​​
u​
n​​​
 = 100 − n + 1​ ⇔
⇔ ​​
u​
n​​​
 = 101 − n​
​​S​
k​​​
 = ​ 
​
u​
1​​  + ​u​
k​​​
 
______ 
2
 ​  × k = ​ 
100 + 101 − k
 
___________ 
2
 ​  × k = ​ 
​
(201 − k)​
k
 
________ 
2
 ​​
​​S​
k​​​
 = 0​ ⇔ ​​ 
​
(201 − k)​
k
 
________ 
2
 ​  = 0​ ⇔ ​
(201 − k)​
k = 0​ ⇔
	 ⇔ ​
201 − k = 0 ∨ k = 0  ​
⇔​
 
​
 
k ∈ ℕ
 
​
  k = 201​
Resposta: (D)
4.	
4.1.	Começamos por calcular a probabilidade do acontecimento contrário (as quatro bolas pretas saírem
todas seguidas).
Número de casos possíveis: ​
10!​
Número de casos favoráveis: ​
4! × 6! × 7​
​
P = ​ 
4! × 6! × 7
 
_________ 
10!
 ​
 = ​  1 
___ 
30
 ​​
A probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas é:
​
1 − P = 1 − ​  1 
___ 
30
 ​  = ​ 
29
 
___ 
30
 ​​
4.2.	Seja n o número de bolas pretas posteriormente colocadas no saco.
Bolas brancas: 6
Bolas pretas: 4 + n
Total: 6 + 4 + n = 10 + n
​
P​ ​
(A)​
 = 5 P​ ​
(A ∩ B)​ e ​
P​ ​
(A ∪ B)​
 = 2 P​ ​
(B)​
​​S​
N​​​
 = ​ 
​
u​
1​​+ ​u​
N​​​
 
______ 
2
 ​  × N​
Prova-modelo 1
335
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
​
P​ ​
(A)​
 = ​ 
6
 
_____ 
10 + n
 ​
​
P​ ​
(B | A)​
 = ​ 4 + n 
____ 
9 + n
 ​​	 (após ser retirada uma bola branca ficaram na caixa 9 + n bolas sendo 4 + n pretas)
​
P​ ​
(B | A)​
 = ​ 
3
 
__ 
4
 ​​ ⇔ ​​ 4 + n 
____ 
9 + n
 ​ = ​ 
3
 
__ 
4
 ​​ ⇔ ​
16 + 4n = 27 + 3n​ ⇔ ​
n = 11​
Foram colocadas no saco 11 bolas pretas.
5.	
5.1.	​​f ' ​​
(− 1)​
 = ​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​
 ​ 
f​ ​
(− 1 + h)​
 − f​ ​
(− 1)​
  
______________ 
h
 ​
​  = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​​ 
​
(− 1 + h)​
​​ 
2
​ ​e​​ 
​
(− ​
1 + h)​
 + 1
​  − 1
  
____________________ 
h
 ​ =​
	 = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​​ 
​
(h − 1)​
​​ 
2
​
 ​
e​​ 
h
​  − 1
  
____________ 
h
 ​
​  = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​
 ​ 
​
(​
h​​ 
2
​  − 2h + 1)​
 ​
e​​ 
​
h
​ − 1
  
_________________ 
h
 ​ =​
	 = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​​ 
​
(​
h​​ 
2
​  − 2h)​ ​
e​​ 
​
h
​ + ​
e​​ 
​
h
​ − 1
  
__________________ 
h
 ​
​  = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​ ​ 
h​ ​
(h − 2)​
 ​
e​​ 
​
h
​
 
__________ 
h
 ​
 + ​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​
 ​ 
​
e​​ 
h
​ − 1
 
______ 
h
 ​ =​
	 = ​
​
 ​
lim​
 
h → 0
​
 
​
  ​​ [​
(h − 2)​
 ​
e​​ 
​
h
​] ​ + 1​  = ​  − 2 + 1 = − 1​
5.2.	A reta t , tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ​ − 1​, tem declive igual a ​​
f ' ​​
(− 1)​
 = − 1​ .
Qualquer reta paralela a t tem declive ​ − 1​ .
Pretende-se provar que existe ​
x ∈ ​ ] − ​ 1 
__ 
2
 ​,  − ​ 1 
__ 
4
 ​ [ ​​ tal que ​​
f ' ​​
(x)​
 = − 1​ .
No intervalo ​​ ] − ∞ , 0​
 [ ​​ a função ​​
f ' 
​ é definida por:
​​f ' ​​
(x)​
 = ​​(​ x​​ 
2
​
e​​ 
​
x + 1
​)​ ' ​​  = ​
2x ​
e​​ 
​
x + 1
​ + ​ x​​ 
2
​
 ​
e​​ 
​
x + 1
​​  = ​
x ​
e​​ 
​
x + 1
​
 ​
(2 + x)​
• ​​f ' ​​ é uma função contínua em ​​ 
] − ∞ , 0 [ ​​ por ser definida pelo produto e composta de funções
contínuas (funções polinomiais e função exponencial). Logo, ​​
f ' ​​ é contínua em ​​ [− ​ 1 
__ 
2
 ​ ,  − ​ 1 
__ 
4
 ​] ​​ .
• ​​f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
2
 ​)​  = ​
(− ​ 1 
__ 
2
 ​)​
 ​
e​​
− ​ 1 
__ 
2
 ​ +  1
​
 ​
(2 − ​ 1 
__ 
2
 ​)​
 ≈ − 1,24​
​​f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
4
 ​)​  = ​
(− ​ 1 
__ 
4
 ​)​
 ​
e​​
− ​
 ​
1 
____ 
4
 ​ +  1
​
 ​
(2 − ​ 1 
__ 
4
 ​)​
 ≈ − 0,93​
​
− 1,24  − 1  − 0,93​, ou seja, ​​
f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
2
 ​)​
  − 1  ​
f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
4
 ​)​​
Pelo Teorema de Bolzano­‑Cauchy:
​​
⎧
 
⎪
 
⎨ 
⎪
 
⎩
 ​
​
f ' ​ é contínua em ​ [− ​
 1 
__ 
2
 ​,  − ​ 1 
__ 
4
 ​] ​
​
   
​
f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
2
 ​)​
  − 1  ​
f ' ​​
(− ​ 1 
__ 
4
 ​)​
 ​​​ ​  ⇒  ∃x ∈ ​ ] − ​ 1 
__ 
2
 ​,  − ​ 1 
__ 
4
 ​ [ ​ :  ​
f ' ​​
(x)​
 = − 1​
5.3.	​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
f​ ​
(x)​
 
____ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
x ln​​ ​
(​ x + 1 
____ 
x
 ​
)​ + 3x
  
____________ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ [​
ln​​ ​
(​ x + 1 
____ 
x
 ​
)​ + 3] ​​  = 
	 = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​ + 3 = ​
ln 1 + 3 = 0 + 3 = 3​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
 [f​ ​
(x)​
 − 3x] ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ [x ln​​ ​
(​ x + 1 
____ 
x
 ​
)​ + 3x − 3x] ​​  = 
	 = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ [x ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​] ​​  = 
	 = ​​  lim​
 
y → 0
​​ ​  1 
____ 
​
e​​ 
y
​  - 1
 ​ × y​  = 
	 = ​​  1 
_______ 
​  lim​
 
y → 0
​​ ​  1 
____ 
​
e​​ 
y
​  - 1
 ​
 = ​ 1 
__ 
1
 ​ = 1​
Logo, a reta de equação ​
y = 3x + 1​ é uma assíntota oblíqua ao gráfico de f quando ​
x → + ∞​ .
​
y = ln ​
(1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​⇔ ​e​​ 
y
​ = 1 + ​ 1 
__ 
x
 ​⇔
​
⇔ ​ 1 
__ 
x
 ​= ​e​​ 
y
​ - 1 ⇔ x = ​  1 
______ 
​e​​ 
y
​ - 1
 ​​
Se x → + ∞ , y → 0 .
Sugestão de resolução
336
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
6.	​
A​ ​
(0 , 1)​
​
B​ ​(x , ​
e​​ 
​
x
​)​ com ​
x ∈ ​ ] 0 , 2 [ ​​
​
C​ ​(0 , ​
e​​ 
​
x
​)​
​​‾ 
CD​  = 1​
​​‾ 
AC​  = ​ | ​
e​​ 
​
x
​ − 1 | ​  = ​
e​​ 
​
x
​ − 1​, porque se ​
x  0 , ​
e​​ 
x
​ − 1  0​ .
​​‾ 
BC​  = ​
 | x − 0 | ​
 = x​, porque ​
x  0​ .
​​‾ 
AB​  = ​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​ ​​
A área do triângulo ​​ [ABC] ​​ pode ser calculada por dois processos:
​​A​
 [ABC] ​
​​​
 = ​ 
​
‾ 
BC​  × ​
‾ 
AC​
 
_______ 
2
 ​  = ​ 
x​ ​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​
 
_________ 
2
 ​​
​​A​
 [ABC] ​
​​​
 = ​ 
​
‾ 
AB​  × ​
‾ 
CD​
 
________ 
2
 ​  = ​ 
​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​
 ​
 ​  × 1
  
_________________ 
2
 ​  = ​ 
​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​
 ​
 ​
  
______________ 
2
 ​​

A abcissa do ponto B terá de ser solução da equação ​​ 
x​ ​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​
 
_________ 
2
 ​  = ​ 
​ √ 
____________
 
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​ ​
  
_____________ 
2
 ​​ no intervalo ​​ ] 0 , 2​
 [ ​​ .
​​ 
x​ ​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​
 
_________ 
2
 ​  = ​ 
​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​ ​
  
_____________ 
2
 ​​ ⇔ ​
x​ ​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​  = ​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​ ​​

Na calculadora gráfica, fazendo:
• ​​Y​
1​​​
 = x​ ​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​
• ​​Y​
2​​​
 = ​ √ 
____________
  
​ x​​ 
2
​  + ​​(​
e​​ 
​
x
​ − 1)​​​ 
2
​ ​​
determinou-se a abcissa do ponto de interseção dos respetivos gráficos.
x
O 1,14 2
y
Y1 Y2
A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 1,14 .
Caderno 2
7.	​
h​ ​
(x)​
 = f​ ​
(x)​
 × ​
ln​
 [f​ ​
(x)​
] ​
​
h'​
(x)​
 = ​​ [f ​
(x)​
 × ln ​ [f​​ ​
(x)​
] ​] ​ ' ​​  = 
	 = ​​f ' ​​
(x)​
 × ​
ln ​
 [​
f​ ​
(x)​
] ​
 + f​​ ​
(x)​
 × ​​ [ln ​ [f​​ ​
(x)​
] ​] ​ ' ​​  = 
	 = ​​f ' ​​
(x)​
 × ​
ln ​
 [​
f​ ​
(x)​
] ​
 + f​ ​
(x)​
 × ​ 
​
f ' ​​
(x)​
 
____ 
f​ ​
(x)​
 ​​  = 
	 = ​​f ' ​​
(x)​
 × ​
ln ​ [​
f​ ​
(x)​
] ​  + ​
f ' ​​
(x)​
Como ​
f​ ​
(1)​
 = ​
f ' ​​
(1)​
 = ​
e​, então:
​
h'​
(1)​
 = ​
f ' ​​
(1)​
 × ​
ln ​
 [​
f​ ​
(1)​
] ​
 + ​
f ' ​​
(1)​
 = ​
e × ln​e + e = e × ​
1 + ​
e = ​
2​
e​
Resposta: (B)
Prova-modelo 1
337
CPEN-MA12
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8.	 ​
g ​
(x)​
 = π − 2 arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
• ​
D​
g​
 = ​
{ 
x ∈ ℝ :  − 1 ≤ ​
 x 
__ 
2
 ​
 ≤ 1} 
​
​
− 1 ≤ ​
 x 
__ 
2
 ​
 ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2​
​
D​
g​
 = ​
 [ − 2 ,  2 ] ​
• Contradomínio de g :
Para ​
− 1 ≤ ​
 x 
__ 
2
 ​
 ≤ 1​, temos:
​
− ​
 
π
 
__ 
2
 ​
 ≤ arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
 ≤ ​
 
π
 
__ 
2
 ​
  ⇔  − π ≤ − 2 arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
 ≤ π  ⇔  π − π ≤ π − 2 arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
 ≤ π + π​
 
​
⇔  0 ≤ π − 2 arcsin ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
 ≤ 2π​
Logo, ​​
D​ g​ 
' ​ = ​
 [ 0 ,  2π ] ​.
Resposta: (D)
9.	 Sejam ​
(a , b)​ as coordenadas do ponto C .
​​ 
a
 
__ 
2
 ​  = cos α​ ⇔ ​
a = 2 cos α​
​​ 
b
 
__ 
2
 ​  = sin α​ ⇔ ​
b = 2 sin α​
​
C​ ​
(2​
 cos ​
α , 2​
 sin ​
α)​
​
B​ ​
(0 , 1)​
​​‾ 
BC​  = ​ √ 
_________________________
   
​
(2​
 cos ​
α − 0)​
​​ 
2
​
  + ​
​
(2​
 sin ​
α − 1)​
​​ 
2
​
 ​
 ​ =​
	 = ​​ √ 
__________________________
   
4​
 ​cos​​ 
​
2
​
 α + 4​
 ​sin​​ 
​
2
​
 α − 4​
 sin ​
α + 1 ​ =​
	 = ​​ √ 
__________________________
   
4​ ​(​
cos​​ 
​
2
​
 α + ​
sin​​ 
​
2
​
 α)​
 + 1 − 4​
 sin ​
α ​ =​
	 = ​
​
 
√ 
________________
  
4 × 1 + 1 − 4​
 sin ​
α ​
 = ​
 
√ 
__________
 
5 − 4​
 sin ​
α ​
Resposta: (A)
10.	​
r : ​
(x , y , z)​
 = ​
(1 , 0 , 1)​
 + k​ ​
(4 − 3a , 0 , 1)​, k ∈ ℝ​
​​ r 
➝
 ​
 ​
(4 − 3a , 0 , 1)​ é um vetor diretor da reta r .
​
β :  x + az = 1​
​​u 
➝
 ​ ​
(1 , 0 , a)​ é um vetor perpendicular ao plano ​
β​.
Se a reta r é paralela ao plano ​
β​, então ​​ r 
➝
 ​
 ⊥ ​
u 
➝
 ​​, pelo que ​​ r 
➝
 ​
  ​
u 
➝
 ​= 0​.
​​ r 
➝
 ​
  ​
u 
➝
 ​ = 0​ ⇔ ​
(​
4 − 3a , 0 , 1)​
  ​
(1 , 0 , a)​
 = 0​ ⇔ ​
(4 − 3a)​
 × 1 + 1 × a = 0​ ⇔ ​
4 − 3a + a = 0​ ⇔
	 ⇔ ​
4 − 2a = 0​ ⇔ ​
2a = 4​ ⇔ ​
a = 2​
Resposta: (A)
11.	​
A​ ​
(6 , 6 , 0)​ e ​
B​ ​
(0 , 0 , 3)​
11.1.	​​ 
→
 
AB ​
 = B − A = ​
(0 , 0 , 3)​
 − ​
(6 , 6 , 0)​
 = ​
(− 6 ,  − 6 , 3)​
 = −  6​ ​(1 , 1 ,  − ​ 1 
__ 
2
 ​)​
Reta AB : ​
(​
x , y , z)​
 = ​
(0 , 0 , 3)​
 + k​ ​(1 , 1 ,  − ​ 1 
__ 
2
 ​)​, k ∈ ℝ​
Um ponto da reta AB é da forma ​
(x , y , z)​
 = ​
(k , k , 3 − ​ k 
__ 
2
 ​)​
 , k ∈ ℝ​ .
Se x é abcissa do ponto P , as coordenadas de P são ​​
(x , x , 3 − ​ x 
__ 
2
 ​)​​ com ​
x ∈ ​ ] 0 , 6​
 [ ​​ .
A medida da aresta da base da pirâmide é x e a altura é ​
3 − ​ x 
__ 
2
 ​​. Logo, o volume é dado por:
​
V​ ​
(x)​
 = ​ 1 
__ 
3
 ​  × ​ x​​ 
2
​  × ​
(3 − ​ x 
__ 
2
 ​)​  = ​ x​​ 
2
​  − ​ ​ x​​ 
3
​
 
__ 
6
 ​​, com ​
x ∈ ​ ] 0 , 6 [ ​​
​​ [- 1 ,  1] 
​  → ​ [- ​ 
π
 
_ 
2
 ​ ,  ​ 
π
 
_ 
2
 ​] 
​​
​
x  ⤻ arcsin x​
x
y
A
C
b
a
2
B
a
O
CPEN-MA12-22
Sugestão de resolução
338
CPEN-MA12
©
Porto
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11.2.	​​V ' ​ ​
(x)​
 = ​​(​ x​​ 
2
​  − ​ ​ x​​ 
3
​
 
__ 
6
 ​
)​ 
'
 ​  = 2x − ​ 
3
 
__ 
6
 ​ ​ x​​ 
2
​  = 2x − ​ 1 
__ 
2
 ​ ​ x​​ 
2
​​
​​V ' ​ ​
(x)​
 = 0​ ⇔ ​
2x − ​ 1 
__ 
2
 ​ ​ x​​ 
2
​  = 0​ ⇔ ​
x​ ​(2 − ​ 1 
__ 
2
 ​ x)​ = 0​ ⇔
⇔ ​
x = 0 ∨ 2 − ​ 1 
__ 
2
 ​ x = 0​ ⇔ ​
x = 0 ∨ x = 4​
Como ​
x ∈ ​ ] 0 , 6​
 [ ​​, vem x = 4 .
x 0 4 6
​​V ' 
​ + 0 -
V £ Máx. ¢
O volume da pirâmide é máximo para x = 4 .
Se x = 4 , a altura da pirâmide é ​
3 − ​ 4 
__ 
2
 ​  = 1​ .
A altura da pirâmide de volume máximo é igual a 1 .
12.	 Como ​
 | z | ​
 = 1​ , ​​ | ​ z​​ 
3
​ | ​  = 1​ .
​Arg ​
(​
​ z​​ 
3
​
)​  = 3 Arg ​
(​
z)​
De entre os números complexos representados, podemos concluir
(pela regra do paralelogramo) que ​
z + ​ z​​ 
3
​​ só pode ser igual a ​​
z​
4​​​.
Resposta: (D)
13.	 ​
z = ​ 
​
 
√ 
__
 
3 ​
 − ​
​  i​​ 
​
11
​
 
_________ 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
e​​
i ​ 
π
 
__ 
4
 ​
​  − 1
 ​​  = ​​ 
​
 
√ 
__
 
3 ​
 − ​  i​​ 
​
4 × 2 + 3
​
  
____________________
  
​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
(​
cos ​ 
π
 
__ 
4
 ​  + ​
i ​
sin ​ 
π
 
__ 
4
 ​)​  − 1
 ​​ =
	= ​​ 
​
 
√ 
__
 
3 ​
 − ​  i​​ 
​
3
​
  
__________________
  
​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
(​ 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
___ 
2
 ​  + ​ 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
___ 
2
 ​
 ​
i)​ − ​
1
 ​​  = ​​ 
​
 
√ 
__
 
3 ​
 − ​
(− ​
i)​
 
__________ 
1 + ​
i − ​
1
 ​ =​
	 
= ​​ 
​
 
√ 
__
 
3 ​
 + i​
 
______ 
i​
 ​​  = ​​ 
​
(​
 
√ 
__
 
3 ​
 + i)​  × ​
(− i)​
  
______________ 
i​
 × ​
(− ​
i)​
 ​ =​ ​​ 
 − ​
 
√ 
__
 
3 ​
 ​
i + ​
1
 
________ 
1
 ​​  = ​
1 − ​
 
√ 
__
 
3 ​
 ​
i​
​
 | z | ​
 = ​ √ 
_____________
  
​
1​​ 
2
​  + ​​(− ​
 
√ 
__
 
3 ​
)​
​​ 
2
​
 ​
 ​​  = ​
​
 
√ 
____
 
1 + 3 ​
 = 2​
Seja ​
Arg ​
(​
z)​= θ​ .
​​
⎧
 
⎪
 
⎨ 
⎪
 
⎩
 ​tan θ = ​ 
 − ​
 
√ 
__
 
3 ​
 
_____ 
1
 ​  = − ​
 
√ 
__
 
3 ​
  
θ ∈ 4.° ​
Q
 ​​​ ​  ⇒ Arg ​
(​
z)​= − ​ 
π
 
__ 
3
 ​​
​
z = 2 ​e​​
i​ ​(− ​ 
π
 
__ 
3
 ​)​
​​
​​ z​​ 
n
​ = ​​(2 ​e​​
i​ ​(− ​ 
π
 
__ 
3
 ​)​
)​​​ 
n
​ = ​
2​​ 
n
​ ​e​​
i​ ​(− ​ 
nπ
 
___ 
3
 ​
)​
​​
​​ z​​ 
n
​ é um número real negativo ⇔ ​
− ​ 
nπ
 
___ 
3
 ​  = π + 2kπ , k ∈ ℤ​ ⇔ ​
− n = 3 + 6k , k ∈ ℤ​ ⇔
	 ⇔ ​
n = − 3 − 6k , k ∈ ℤ​
O menor número natural n é 3 e obtém-se para ​
k = - 1​.
O 1 Re(z)
Im(z)
z4
z3
z
a
3a
Prova-modelo 1
339
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14.	​
f ​
(x)​
 = ​
 1 − 2 ln x 
________ 
4x
  ​, ​
D​
f​
 = ​
ℝ​
 
+
​
14.1.	​​f ' 
​ ​
(x)​
 = ​ 
​
(1 − 2 ln x)​
 
' 
​
 ​
(4x)​
 − ​
(1 − 2 ln x)​
  ​
(4x)​
 
' 
​
   
____________________________
  
​
(4x)​
 
2
​
 ​
 = ​
 
​
(0 − 2 × ​
 1 
__ 
x
 ​
)​
 ​
(4x)​
 − ​
(1 − 2 ln x)​
 × 4
   
_________________________
  
16 ​
 
x​
 
2
​
  ​
 =​
	​
= ​
 
− 8 − 4 + 8 ln x
 
___________ 
16 ​
 
x​
 
2
​
  ​
 = ​
 
− 12 + 8 ln x
 
__________ 
16 ​
 
x​
 
2
​
  ​
 = ​
 
4 × ​
(− 3 + 2 ln x)​
  
_____________ 
16 ​
 
x​
 
2
​
  ​
 = ​
 
− 3 + 2 ln x
 
_________ 
4 ​
 
x​
 
2
​
  ​
​​f   
​ ​
(x)​
 = ​ 
​
(− 3 + 2 ln x)​
 
' 
​
 ​
(4 ​
 
x​
 
2
​
)​
 − ​
(− 3 + 2 ln x)​
 ​
(4 ​
 
x​
 
2
​
)​
 
' 
​
   
__________________________________
  
​
(4 ​
 
x​
 
2
​
)​
 
2
​
 ​
 = ​
 
2 × ​
 1 
__ 
x
 ​
 × 4 ​
 
x​
 
2
​
 − ​
(− 3 + 2 ln x)​
 × 8x
   
_________________________
  
16 ​
 
x​
 
4
​
  ​
 =​
	​
= ​
 
8x + 24x − 16x ln x
  
_______________ 
16 ​
 
x​
 
4
​
  ​
 = ​
 
32x − 16x ln x
 
___________ 
16 ​
 
x​
 
4
​
  ​
 = ​
 
16x ​
(2 − ln x)​
 
___________ 
16 ​
 
x​
 
4
​
  ​
 = ​
 2 − ln x 
______ 
​
 
x​
 
3
​
  ​
​​f   
​ ​
(x)​
 = 0 ⇔ ​
 2 − ln x 
______ 
​
 
x​
 
3
​
  ​
 = 0  ​
⇔​
 
x  0
 ​
  2 − ln x = 0  ⇔  ln x = 2  ⇔  x = ​
e​
 
2
​
Dado que ​
∀ x ∈ ​
ℝ​
 
+
​, ​
 
x​
 
3
​
  0​, o sinal de ​​
f   
​ depende apenas do sinal de ​
2 − ln x​.
x 0 ​
e​
 
2
​
+ ∞​
​​f   
​ + 0 -
​
f​
⌒
⌒
P.I.
O gráfico da função ​
g​ tem a concavidade voltada para cima em ​
 ]  0 ,  ​
e​
 
2
​
  [ ​ e tem a concavidade vol-
tada para baixo em ​
 ]  ​
e​
 
2
​
 ,  + ∞  [ ​. O ponto de abcissa ​
e​
 
2
​ é um ponto de inflexão.
14.2.	​
f ​
(x)​
  f ​
(2x)​
  ⇔  ​
 1 − 2 ln x 
_______ 
4x
  ​
  ​
 
1 − 2 ln ​
(2x)​
 
__________ 
4 × ​
(2x)​
  ​
 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  ​
 1 − 2 ln x 
_______ 
4x
  ​
 
(× 2)
​
  ​
 − ​
 
1 − 2 ln ​
(2x)​
 
__________ 
8x
  ​
  0 ∧ x  0  ⇔  ​
 
2 − 4 ln x − 1 + 2 ln ​
(2x)​
  
__________________ 
8x
  ​
  0 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  1 − 4 ln x + 2 ln ​
(2x)​
  0 ∧ x  0  ⇔  − 4 ln x + 2 ln ​
(2x)​
  − 1 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  2 ln x − ln ​
(2x)​
  ​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  ln ​
 
x​
 
2
​
 − ln ​
(2x)​
  ​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  ln ​
(​
 ​
 
x​
 
2
​
 
___ 
2x
 ​
)​
  ​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔  ln ​
(​
 x 
__ 
2
 ​
)​
  ​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  ​
 x 
__ 
2
 ​
  ​
e​​
​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔  x  2 ​
e​​
​
 1 
__ 
2
 ​
 ∧ x  0  ⇔​
	​
⇔  x  2 ​
 
√ 
__
 
e ​
 ∧ x  0  ⇔  x ∈ ​
 ]  0 , 2 ​
 
√ 
__
 
e ​
  [ ​
​
S = ​
 ]  0 ,  2 ​
 
√ 
__
 
e ​
  [ ​
15.	​
g ​
(x)​
 = x × f ​
(x)​
​​g ' 
​ ​
(x)​
 = ​
 [x × f ​
(x)​
] ​
  
' ​ = ​
x ' 
​ × f ​
(x)​
 + x × ​
f ' 
​ ​
(x)​
 = f ​
(x)​
 + x × ​
f ' 
​ ​
(x)​
Se a reta tangente ao gráfico de ​
f​ no ponto de abcissa ​
a​ é paralela à reta tangente ao gráfico de ​
g​ no
ponto de abcissa ​
a​, então as duas retas têm o mesmo declive, ou seja, ​​
f ' 
​ ​
(a)​
 = ​
g ' 
​ ​
(a)​.
Como ​​
g ' 
​ ​
(x)​
 = f ​
(x)​
 + x × ​
f ' 
​ ​
(x)​, então ​​
g ' 
​ ​
(a)​
 = f ​
(a)​
 + a × ​
f ' 
​ ​
(a)​.
​​f ' 
​ ​
(a)​
 = ​
g ' 
​ ​
(a)​
 ⇔ ​
f ' 
​ ​
(a)​
 = f ​
(a)​
 + a × ​
f ' 
​ ​
(a)​
  ⇔​
​
⇔ ​
f ' 
​ ​
(a)​
 − a × ​
f ' 
​ ​
(a)​
 = f ​
(a)​
  ⇔​
​
⇔ ​
f ' 
​ ​
(a)​
 ​
(1 − a)​
 = f ​
(a)​
  ⇔​
​
⇔  f ​
(a)​
 = ​
(1 − a)​
 × ​
f ' 
​ ​
(a)​
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Prova-modelo 2
(Estrutura baseada na Informação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017)
Cotações
Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre-
sente sempre o valor exato.
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
1.	 
Considere os dois primeiros elementos e os dois últimos de uma certa linha do Triângulo de Pascal.
Sabe-se que o produto desses quatro elementos é igual a 441 .
	 Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?
	(A)	1540	 (B)	 231 	 (C)	1330	 (D)	210
2.	 
Um saco tem 10 bolas, numeradas de 1 a 10 . Extraem-se, ao acaso, duas dessas bolas e
multiplicam-se os respetivos números.
	 Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 12 ?
	(A)	​​  1 
___ 
45
 ​​	 (B)	​​  2 
___ 
45
 ​​ 	 (C)	​​  1 
___ 
15
 ​​	 (D)	​​  4 
___ 
45
 ​​
3.	
Numa escola secundária, relativamente aos alunos do 12.° ano que realizaram o exame de Mate-
mática A no ano letivo anterior, verificou-se que:
	 • 96% dos alunos com classificação positiva no exame de Matemática A obtiveram colocação no
ensino superior, na 1.ª opção de candidatura;
	 • 90% dos alunos colocados no ensino superior na 1.ª opção de candidatura obtiveram classifica-
ção positiva no exame de Matemática A;
	 • 
quatro em cada cinco alunos foram colocados no ensino superior, na 1.ª opção de candidatura.
	 3.1.	
Escolhido um desses alunos ao acaso, qual é a probabilidade de ter obtido classificação po-
sitiva no exame de Matemática A?
	 3.2.	
Admita que dos alunos dessa escola colocados no ensino superior na 1.ª opção de candida-
tura apenas 16 não obtiveram positiva no exame de Matemática A.
		 Quantos alunos do 12.° ano realizaram o exame de Matemática A nessa escola?
4.	 
No referencial ortonormado xOy da figura está represen-
tada a elipse de centro na origem e focos E e F pertencen-
tes ao eixo Ox .
	
Tal como a figura sugere, a elipse interseta o eixo Ox nos
pontos A e C e o eixo Oy nos pontos B e D .
	 Sabe-se que ​
‾ 
ED​
 = 3​ e ​
‾ 
EF​
 = 4​.
	
Na unidade considerada e com arredondamento às décimas,
o perímetro do triângulo ​
 
[DEC] 
​ é igual a:
	(A)	 11,7 	 (B)	7,8
	(C)	 10,2 	 (D)	11,0
5
5
15
5
O
y
A E C
D
B
F x
15
341
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Prova-modelo 2
5.	
Na figura está representada em referencial ortonormado Oxyz a pirâmide quadrangular regular
​​ [ABCDV] 
​ .
y
x
B C
A D
V
O
z
A
	 Sabe-se que:
	 • 
a base ​​ 
[ABCD] 
​ está contida no plano xOy ;
	 • 
o ponto A tem coordenadas ​
(​
1 , 1 , 0)​;
	 • 
o ponto C tem abcissa positiva e igual à ordenada;
	 • ​​ 
→
 
AC ​
​
  ​ 
→
 
AV ​
​
 = 16​
	 5.1.	
Considere o ponto P de coordenadas ​
( 
2​
 ,  − 1 ,  2 
)​. Determine a amplitude do ângulo OAP .
		 Apresente o resultado em graus com aproximação à décima do grau.
	 5.2.	
Determine as coordenadas do ponto C .
6.	 Considere a função f , de domínio ​​
ℝ​​ 
+
​, definida por ​
f​ ​
(x)​
 = ln x​ .
	
Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o paralelo-
gramo ​​ [OABC] 
​ .
x
1 5
A
O
C B
f
y
	 Sabe-se que:
	 • o ponto A pertence ao eixo Ox ;
	 • 
o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ​​ 
] 
​
1 , 5 
[ 
​​ ;
	 • o ponto C pertence à bissetriz do primeiro quadrante;
	 • ​​ [OABC] 
​ é um paralelogramo de área igual a 3 .
	 Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica.
	 Na sua resposta deve:
	 – escrever uma expressão da área do paralelogramo ​​ 
[OABC] 
​ em função da abcissa do ponto B ;
	 – equacionar o problema;
	 – 
reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida-
mente identificados;
	 – indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Fim do Caderno 1
15
15
15
Provas-modelo
342
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Caderno 2
(não é permitido o uso de calculadora)
7.	 Na figura está representado, no plano complexo, um segmento de reta.
	
Qual das condições seguintes pode definir, no conjunto dos números complexos ​
ℂ​, esse con-
junto de pontos?
	(A)	​Arg​ ​
(z − 2)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 
| z − 1 − i | 
​
 ⩽ 1​
	(B)	​Arg ​
(z − 2)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 
| z − 1 − i | 
​
 ⩽ ​
 
√ 
__
 
2 
​
	(C)	​Arg ​
(z − 1)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 
| z − 1 − i | 
​
 ⩽ 1​
	(D)	​Arg ​
(z − 1)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 
| z − 1 − i | 
​
 ⩽ ​
 
√ 
__
 
2 
​
8.	 Em ​
ℂ​, conjunto dos números complexos, considere ​
z = ​ 
​
(2 − ​
i)​
​​ 
3
​  − 9​  i​​ 
31
​
  
____________ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 
​
 i
 ​
​ .
	 Determine as raízes cúbicas de ​
z​ .
9.	 Seja ​​
(​
x​
n​​​
)​​ a sucessão de termo geral ​​
x​
n​​​
 = ​ n + 1 
_____ 
​
 
√ 
__
 
n 
​
 ​​ .
	 Seja f uma função de domínio ​​
ℝ​​ 
+
​​ .
	 Sabe-se que ​
lim f​ ​(​
x​
n​​​
)​  = 1​ .
	 Em qual das opções seguintes pode estar definida a função f ?
	(A)	​​D​
f​​​
 = ℝ  ​
{ 
0} 
​ e ​
f​ ​
(x)​
 = x​​ ​(​
e​​
​ 1 
__ 
x
 ​
​
 − 1)​​ 	 (B)	​​D​
f​​​
 = ℝ  ​
{ 
0} 
​ e ​
f​ ​
(x)​
 = ​ 
​
e​​ 
x
​
 − 1
 
______ 
x
 ​
​
	(C)	​​D​
f​​​
 = ​
ℝ​​ 
+
​​ e ​
f​ ​
(x)​
 = ​ 
ln ​
(x + 1)​
 
_______ 
x
 ​
​ 	 (D)	​​D​
f​​​
 = ​
ℝ​​ 
+
​​ e ​
f​ ​
(x)​
 = ​ ln x 
___ 
x
 ​
​
10.	 
Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy ,
parte do gráfico de uma função polinomial ​
f​.
	 Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico tem abcissa 0 .
	 Seja ​​
f 
 
​ a segunda derivada de ​
f​ e ​
a​ um número real positivo.
	 Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
	(A)	​​f 
 
​
 ​
(a)​
 + ​
f 
 
​
 ​
(0)​
  0​ 		 	(B)	​​f 
 
​
 ​
(− a)​
 + ​
f 
 
​
 ​
(a)​
 = 0​
	(C)	​​f 
 
​
 ​
(a)​
 × f ​
(0)​
  0​ 		 	(D)	​​f 
 
​
 ​
(− a)​
 × ​
f 
 
​
 ​
(a)​
 ≤ 0​
11.	 Qual das expressões seguintes é o termo geral de uma progressão aritmética decrescente?
	 (A)	​​a​
n​​​
 = ​
log​
3​​ ​2​​ n
​ 	 (B)	​​b​
n​​​
 = ​
log​
3​​ ​​(​ 1 
__ 
2
 ​)​
​​ 
n
​ 	 (C)	​​c​
n​​​
 = ​
e​​ 
3n
​
​	 (D)	​​d​
n​​​
 = ​
e​​
− ​ n 
__ 
3
 ​
​​
12.	 Considere a função f , de domínio ​
ℝ​, definida por:
​
f​ ​
(x)​
 = ​
⎧
 
⎪
 
⎨ 
⎪
 
⎩
 ​
k − ​  x 
______ 
​
e​​ 
x + 3
​
 ​
​ 
se
​ 
x  0
​
   
3 ln ​
(x + 1)​
 + 2x − 1
​ 
se
​ 
x ≥ 0
​​​    (k é um número real)
	 12.1.	
Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa ​
− 3​ passa na
origem do referencial.
		 Determine o valor de k .
5
O Re(z)
Im(z)
15
5
f
x
y
O
5
5
15
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Prova-modelo 2
	 12.2.	Verifique se o gráfico da função f admite uma assíntota quando ​
x → + ∞​ .
	 12.3.	
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão
no intervalo ​​ 
] 
​
0 ,  + ∞ 
[ 
​ .
13.	 
Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro O e
raio 1 .
	 Sabe-se que:
	 • 
o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox ;
	 • 
o ponto B tem coordenadas ​
(− ​
1 , 0)​;
	 • 
o ponto C pertence à circunferência;
	 • ​α​ é a amplitude, em radianos, do ângulo ABC , com ​
α ∈ ​ ] 
0 ,  ​ 
π
 
__ 
4
 ​ [ 
​​ .
	
Qual das expressões seguintes representa, em função de ​
α​,
a área do triângulo ​​ 
[OCB] 
​ ?
	(A)	​​ 
sin α
 
_____ 
2
 ​​	 (B)	​
sin α cos α​ 	(C)	​
sin ​
(2α)​	 (D)	​​ 
cos ​
(2α)​
 
________ 
2
 ​​
14.	
Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , a circunferência de centro na
origem do referencial e raio 1 .
x
y
A
B
P
a
O
d (a)
	
O ponto A é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox .
	 O ponto B tem coordenadas ​​
(1 , 1)​​ .
	
Considere que o ponto P , partindo do ponto A , se desloca sobre a circunferência, dando uma
volta completa no sentido positivo.
	
Para cada posição do ponto P , seja ​
α​ a amplitude, em radianos, do ângulo AOP ​​
(α ∈ ​
[0 , 2π 
[​
)​ .
	Seja d a função que, a cada valor de ​
α​, associa a distância, ​
d​ ​
(α)​, do ponto P ao ponto B .
	 14.1.	Mostre que ​
d​ ​
(α)​
 = ​
 
√ 
________________
  
3 − 2 cos α − 2 sin α 
​.
	 14.2.	Estude a função d quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
15.	 
Calcule o valor de ​​ lim​
 
x→​
1​​+
​
​​ 
​
(x − 1)​
 ​
x​
 2
​
 − 1
​.
Fim do Caderno 2
10
10
5
x
y
A
B
C
O
a
10
15
10
Sugestão de resolução
344
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Caderno 1
1.	
Em qualquer linha do Triângulo de Pascal o primeiro elemento e o último são iguais a 1 .
Por outro lado, o segundo elemento é igual ao penúltimo.
Seja n o segundo elemento da linha em causa.
​
1 × n × n × 1 = 441​ ⇔ ​​
n​​ 
2
​  = 441 ​
⇔​
 
​
 
n   0
 
​
 n = 21​
Trata-se da linha de ordem 21 ​​
(n = 21)​​ .
A linha seguinte é a de ordem 22 ​​
(n = 22)​​ .
O terceiro elemento da linha seguinte é igual a ​​​
22
​ C​ 2​​​
 = 231​ .
Resposta: (B)
2.	 Número de casos possíveis: ​
​​
10
​ C​ 2​​  = 45​
Número de casos favoráveis:
	 Os divisores de 12 menores ou iguais a 10 são 1 , 2 , 3 , 4 e 6 .
	 Portanto, há dois casos favoráveis: 2 × 6 e 3 × 4 .
​
P = ​  2 
___ 
45
 ​​
Resposta: (B)
3.	 Sejam M e C os acontecimentos:
M : “O aluno escolhido obteve classificação positiva no exame de Matemática A.”
C : “O aluno escolhido foi colocado no ensino superior na 1.a
opção de candidatura.”
É dado que:
• ​
P​ ​
(C | M)​
 = 0,96​
• ​
P​ ​
(M | C)​
 = 0,9​
• ​
P​ ​
(C)​
 = ​ 4 
__ 
5
 ​​
3.1.	Pretende-se determinar ​
P​ ​
(M)​.
​
P ​
(C | M)​
 = ​
 
P ​
(C ∩ M)​
 
_________ 
P ​
(M)​
  ​
  ⇔  0,96 = ​
 
P ​
(C)​
 × P ​
(M | C)​
  
_____________ 
P ​
(M)​
  ​
 ​​⇔  0,96 = ​
 
​
 4 
__ 
5
 ​
 × 0,9
 
_______ 
P ​
(M)​
  ​
  ⇔  P ​
(M)​
 × 0,96 = 0,72  ⇔​
	​
⇔  P ​
(M)​
 = ​
 
0,72
 
____ 
0,96
 ​
  ⇔  P ​
(M)​
 = 0,75​
A probabilidade de o aluno ter obtido classificação positiva no exame de Matemática A é igual a ​
0,75​.
3.2.	Seja n o número de alunos do 12.° ano que realizaram o exame de Matemática A nessa escola.
Como dos alunos colocados no ensino superior na 1.a
opção de candidatura apenas 16 não obtiveram
positiva no exame de Matemática A, temos que ​
P​​ ​(C ∩ ​
‾ 
M​)​ = ​ 
16
 
___ 
n
 ​
​ .
Por outro lado: 	​
P​​ ​(C ∩ ​
‾ 
M​)​ = P​ ​
(C)​
 − P​ ​
(M ∩ C)​
​  = ​​ 4 
__ 
5
 ​  − ​ 4 
__ 
5
 ​  × 0,9 = 0,08​
ou 	​
P​​ ​
(C ∩ ​
‾ 
M​)​ = P​ ​
(C)​
 × P​​ ​(​
‾ 
M​ | C)​ = ​ 4 
__ 
5
 ​  × ​
(1 − 0,9)​
 = 0,08​
​​ 
16
 
___ 
n
 ​
 = 0,08​ ⇔ ​
16 = 0,08n​ ⇔ ​
n = ​ 
16
 
_____ 
0,08
 ​​ ⇔ ​
n = 200​
Nessa escola, realizaram o exame de Matemática A 200 alunos.
Resposta: (A)
Prova-modelo 2
345
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
4.	 ​
‾ 
DE​
 + ​
‾ 
DF​
 = 2a  ⇔​
​
⇔  ​
‾ 
DE​
 + ​
‾ 
DE​
 = 2a  ⇔​
​
⇔  3 + 3 = 2a  ⇔  a = 3​
​
‾ 
EF​
 = 4  ⇔  2c = 4  ⇔  c = 2​
​
a​
 
2
​
 = ​
b​
 
2
​
 + ​
 c​
 
2
​
​
3​
 
2
​
 = ​
b​
 
2
​
 + ​
2​
 
2
​
 ⇔ ​
b​
 
2
​
 = 9 − 4  ⇔  b = ​
 
√ 
__
 
5 ​
Portanto, ​
‾ 
OD​
 = b = ​
 
√ 
__
 
5 ​ e ​
‾ 
OC​
 = a = 3​ .
​
‾ 
DC​
 
 2
​
 = ​
‾ 
OD​
 
 2
​
 + ​
‾ 
OC​
 
 2
​
​
‾ 
DC​
 
 2
​
 = ​
(​
 
√ 
__
 
5 ​
)​
​​ 
 2
​
 + ​
3​
 
2
​
  ⇔  ​
‾ 
DC​
 
 2
​
 = 5 + 9 ⇔ ​
‾ 
DC​
 = ​
 
√ 
___
 
14 ​
​
Perímetro​
 [DEC] ​
 = ​
‾ 
DE​
 + ​
‾ 
EO​
 + ​
‾ 
OC​
 + ​
‾ 
DC​
 = 3 + 2 + 3 + ​
 
√ 
___
 
14 ​
 = 8 + ​
 
√ 
___
 
14 ​
 ≈ 11,7​
Resposta: (A)
5.	​
A​ ​
(1 , 1 , 0)​
5.1.	​
P ​
( 2​
 , − 1 , 2 )​
​
 
→
 
AO ​
 = O − A = ​
( 0 ​
, 0 , 0)​
 − ​
( 1 , 1 , 0 )​
 = ​
( − 1 , − 1 , 0 )​
​
 
→
 
AP ​
 = P − A = ​
( 2​
 , − 1 , 2 )​
 − ​
( 1 , 1 , 0 )​
 = ​
( 1 , − 2 , 2 )​
​
cos ​
(O​
 ˆ 
A ​
P)​
 = cos ​
(​ 
ˆ
 
​
 
→
 
AO ​
 , ​
 
→
 
AP ​
)​
 = ​
 
​
 
→
 
AO ​
 ⋅ ​
 
→
 
AP ​
 
_____________
  
​
‖​
 
→
 
AO ​
‖​
 × ​
‖​
 
→
 
AP ​
‖​
 ​
 = ​
 
​
( − 1 , − 1 , 0 )​
 ⋅ ​
( 1 , − 2 , 2 )​
   
__________________________
  
​
 
√ 
_______
 
1 + 1 + 0 ​
 × ​
 
√ 
_______
 
1 + 4 + 4 ​
  ​
 = ​
 
− 1 + 2 + 0
 
________ 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 × ​
 
√ 
__
 
9 ​
 ​
 = ​
  1 
___ 
3 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
Se ​
cos ​
(O​
 ˆ 
A ​
P)​
 = ​
  1 
___ 
3 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​, então ​
O​
 ˆ 
A ​
P ≈ 76,4°​ .
5.2.	​
C​ ​
(x , x , 0)​, x  0
Seja E o centro da base da pirâmide.
O ponto E é o ponto médio de ​​ [AC] 
​:
​
E​ ​(​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  ​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  0)​​
A altura da pirâmide é ​
h = ​
‾ 
EV​​ .
O vértice V tem abcissa e ordenada iguais às de E :
​
V​ ​(​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  ​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  h)​
​​ 
→
 
AC ​
 = C − A = ​
(x , x , 0)​
 − ​
(1 , 1 , 0)​
 = ​
(x − 1 , x − 1 , 0)​
​​ 
→
 
AV ​
 = V − A = ​
(​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  ​ x + 1 
____ 
2
 ​
 ,  h)​ − ​
(1 , 1 , 0)​
 = ​
(​ x + 1 
____ 
2
 ​  − 1 ,  ​ x + 1 
____ 
2
 ​  − 1 , h)​ = ​
(​ x − 1 
____ 
2
 ​
 ,  ​ x − 1 
____ 
2
 ​
 ,  h)​
​​ 
→
 
AC ​
  ​ 
→
 
AV ​
 = ​
(x − 1 , x − 1 , 0)​
  ​
(​ x − 1 
____ 
2
 ​
 ,  ​ x − 1 
____ 
2
 ​
 ,  h)​ = ​ 
​
(x − 1)​
​​ 
2
​
 
_______ 
2
 ​  + ​ 
​
(x − 1)​
​​ 
2
​
 
_______ 
2
 ​  + 0 × h​  = 
	 = ​
2 × ​ 
​
(x − 1)​
​​ 
2
​
 
_______ 
2
 ​  = ​
​
(x − 1)​
​​ 
2
​​
​​ 
→
 
AC ​
  ​ 
→
 
AV ​
  = 16​ ⇔ ​​
​
(x − 1)​
​​ 
2
​  = 16​ ⇔
	 ⇔ ​​
​
(x − 1)​
​​ 
2
​  = ​
4​​ 
2
​​ ⇔
	 ⇔ ​
x − 1 = 4 ∨ x − 1 = − 4​ ⇔
	 ⇔ ​
x = 5 ∨ x = − 3​
Como x  0 , temos ​
x = 5​, pelo que ​
C​ ​
(5 , 5 , 0)​.
3 5
y
A E 2 O
E C
D
B
F
3
x
Definição de elipse
​
‾ 
DF​
 = ​
‾ 
DE​
​​‾ 
ED​ = 3​
y
x
B C
A D
V
O
z
h
E
Sugestão de resolução
346
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
6.	 Seja x a abcissa do ponto B .
​
B​ ​
(x , ​
ln x)​ com ​
x ∈ ​ ] 
1 , 5 [ 
​​
C pertence à reta de equação ​
y = x​ e tem ordenada igual à de B porque, sendo ​​ [OABC] 
​ um paralelo-
gramo, a reta CB é paralela ao eixo Ox .
​
C​ ​
(​
ln x , ​
ln x)​
​​‾ 
BC​  = ​
 | x − ​
ln x | ​
A altura do paralelogramo é igual a ​
ln x​, ordenada do ponto B .
​​A​
 [OABC] ​
​​​
 = ​
base × altura = ​
 | ​
x − ​
ln x | ​
 × ​
ln x​
Pretende-se resolver a equação: ​​
A​
 [OABC] ​
​​​
 = 3​ ⇔ ​
 | x − ​
ln x | ​
 × ​
ln x = 3​ .
Ao recorrer à calculadora gráfica obteve-se a abcissa do ponto de interseção do gráfico de 	​​
Y​
1​​​
 = ​
 | x − ​
ln x | ​
 × ​
ln x​ com o gráfico de ​​
Y​
2​​​
 = 3​ .
x
O
y
3,62 5
3
1
Y1
Y2
A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 3,62 .
Caderno 2
7.	​Arg ​
(​
z − 2)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 | z − 1 − ​
i | ​
 ⩽​
1​	​Arg ​
(​
z − 2)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 | ​
z − 1 − ​
i | ​
 ⩽​
 
√ 
__
 
2 ​
	
0 1 x
y
	
0
1
x
y
​Arg ​
(​
z − ​
1)​
 = ​ 
3π​
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 | ​
z − ​
1 − ​
i | ​
 ⩽​
1​	​Arg ​
(​
z − 1)​
 = ​ 
3π
 
___ 
4
 ​  ∧  ​
 | ​
z − 1 − ​
i | ​
 ⩽​
 
√ 
__
 
2 ​
	
0 1 x
y
	
0
1
x
y
Resposta: (A)
8.	​
z = ​ 
​
(2 − ​
i)​
​​ 
​
3
​  − 9​  i​​ 
​
31
​
  
____________ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i​
 ​  = ​ 
​
(2 − ​
i)​
​​ 
​
2
​  × ​
(2 − ​
i)​
 − ​
9​  i​​ 
​
4 × 7 + 3
​
  
_________________________
  
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i​
 ​​  = 
	 
= ​​ 
​
(4 − 4 i + ​  i​​ 
​
2
​
)​  × ​
(2 − ​
i)​
 − ​
9​
​  i​​ 
​
3
​
   
_______________________
  
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i​
 ​  = ​ 
​
(3 − 4 ​
i)​
 ​
(​
2 − ​
i)​
 + ​
9 ​
i
  
_______________ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i
 ​
 ​
​  = 
	 
= ​​ 
6 − 3 ​
i − ​
8​
 i − ​
4 + 9 ​
i
  
______________ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i​
 ​  = ​ 2 − 2 ​
i 
_____ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 ​
i​
 ​​  = ​
​
 
2 ​
(1 − i)​
 
________ 
2 ​
 
√ 
__
 
2 ​
 i 
 ​
 = ​
 
​
(1 − i )​
 ​
(− ​
 
√ 
__
 
2 ​
 i)​
  
____________
 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 i ​
(− ​
 
√ 
__
 
2 ​
 i)​
  ​
 = ​
	​
= ​
 
− ​
 
√ 
__
 
2 ​
 i − ​
 
√ 
__
 
2 ​
 
_______ 
2
  ​
 = − ​
 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
__ 
2
  ​
 − ​
 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
__ 
2
  ​
 i = ​
e​​
i ​
(−​
 
3π
 
___ 
4
 ​
)​
Prova-modelo 2
347
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
Cálculo auxiliar:
	​
​
 | z | ​
 = ​ √ 
_________________
  
​
(− ​
 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
__ 
2
  ​
)​
​​ 
2
​
 + ​
(− ​
 
​
 
√ 
__
 
2 ​
 
__ 
2
  ​
)​
​​ 
2
​ ​ = ​
 
√ 
_____
 
​
 1 
__ 
2
 ​
 + ​
 1 
__ 
2
 ​
 ​
 = 1
​
	 Seja ​
Arg ​
(z)​
 = θ​ .
	​​
⎧
 
⎨ 
⎩
 ​
tan θ = 1
​
 
θ ∈ 3.° Q
​​  ⇒  θ = − π + ​
 
π
 
__ 
4
 ​
 = − ​
 
3π
 
___ 
4
 
​
 
3
 
√ 
__
 
z ​
 = ​ 
3
 
√ 
_______
 
 ​
e​​
i ​
(− ​
 
3π
 
___ 
4
 ​
)​
​ ​ = ​
 
3
 
√ 
__
 
1 ​​
e​​
i ​
(​
 
− ​
 
3π
 
___ 
4
 ​
 
_____ 
3
  ​
 + ​
 
2kπ
 
____ 
3
  ​
)​
 = ​
e​​
i ​
(− ​
 
π
 
__ 
4
 ​
 + ​
 
2kπ
 
____ 
3
  ​
)​
 =
​ ​
e​​
i ​
(​
 
−3π + 8kπ
 
__________ 
12
  ​
)​
 ; k = 0 , 1 , 2​
Para ​
k = 0​: ​
z​
0​
 = ​
e​​
i ​
(− ​
 
3π
 
___ 
12
 ​
)​
 = ​
e​​
i ​
(− ​
 
π
 
__ 
4
 ​
)​
​​
Para ​
k = 1​: ​
z​
1​
 = ​
e​​
i ​
(​
 
5π
 
___ 
12
 ​
)​
​​
Para ​
k = 2​: ​
z​
2​
 = ​
e​​
i ​
(​
 
13π
 
____ 
12
 ​
)​
​​
As raízes cúbicas de z são: ​​
e​​
i ​
(− ​
 
π
 
__ 
4
 ​
)​
​​ , ​​e​​
i ​
(​
 
5π
 
___ 
12
 ​
)​
​​ , ​​e​​
i ​
(​
 
13π
 
____ 
12
 ​
)​
​​ .
9.	​
lim ​
x​
n​​​
​  = ​
lim​
 ​ n + 1 
____ 
​
 
√ 
__
 
n ​
 ​​  = ​
lim​
 ​ 
1 + ​ 1 
__ 
n
 ​
 
_____ 
​ 
​
 
√ 
__
 
n ​
 
___ 
n
 ​
​  = ​
lim​
 ​ 
1 + ​ 1 
__ 
n
 ​
 
_____ 
​ √ 
___
 
​  n 
___ 
​
n​​ 
2
​
 ​ ​
 ​​  = ​
lim​
 ​ 
1 + ​ 1 
__ 
n
 ​
 
_____ 
​ √ 
__
 
​ 1 
__ 
n
 ​ ​
 ​
 = ​ 
1 + 0
 
_____ 
​
0​​ 
+
​ 
 ​  = + ∞​
​
lim f​(​x​
n​​​
)​​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 f​ ​
(x)​
 = 1​
Opção (A):
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 f​ ​
(x)​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ [x​​ ​(​
e​​
​ 1 
__ 
x
 ​
​ − 1)​
] 
​​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
​
e​​
​ 1 
__ 
x
 ​
​ − 1
 
______ 
​ 1 
__ 
x
 ​
= ​
 ​
lim​
 
y →0
​
 
​
  ​
 ​ 
​
e​​ 
​
y
​ − 1
 
______ 
y
 ​
 = 1​
Opção (B):
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 f​ ​
(x)​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
​
e​​ 
​
x
​ − 1
 
______ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
(​ 
​
e​​ 
​
x
​
 
__ 
x
 ​
 − ​ 1 
__ 
x
 ​)​ = + ∞ − 0 = + ∞​
Opção (C):
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 f​ ​
(x)​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
​
ln ​
(​
x + 1)​
 
_______ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
​
ln​
​ [x​ ​(1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​] 
​
  
____________ 
x
 ​
​  = 
	​
= ​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
​
ln x + ​
ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​
  
_____________ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ ​
ln x 
___ 
x
 ​
 + ​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ 
​
ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​
 
_________ 
x
 ​
 =​
 
	​
= 0 + ​ 
0
 
____ 
 + ∞
 ​
 = 0​
Opção (D):
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 f​ ​
(x)​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ ​
ln x 
___ 
x
 ​
 = 0​
Resposta: (A)
​
y = ​ 1 
__ 
x
 ​​
Se x → + ∞ , y → 0 .
Sugestão de resolução
348
CPEN-MA12
©
Porto
Editora
10.	
Sabe-se que ​
f​ é uma função duas vezes diferenciável em ​
ℝ​ (função polinomial) e que o seu gráfico tem
a concavidade voltada para baixo em ​
 ] − ∞ ,  0 [ ​ e a concavidade voltada para cima em ​
 ]  0 ,  + ∞  [ ​.
Logo, ​
∀ x ∈ ​
 ] − ∞ ,  0  [ ​, ​
f  
​ ​
(x)​
 ≤ 0​ e ​
∀ x ∈ ​
 ] 0 , + ∞ [ ​, ​
f  
​ ​
(x)​
 ≥ 0​ .
Então, ​​
f  
​ ​
(− a)​
 ≤ 0​, ​​
f  
​ ​
(0)​
 = 0​ e ​​
f  
​ ​
(a)​
 ≥ 0​ .
Da observação do gráfico também se pode concluir que ​
f ​
(0)​
  0​.
Assim:
• Se ​​
f  
​ ​
(0)​
 = 0​ e ​​
f  
​ ​
(a)​
 ≥ 0​, então ​​
f  
​ ​
(a)​
 + ​
f  
​ ​
(0)​
 ≥ 0​. 	 (a opção (A) é falsa)
• ​​
f  
​ ​
(− a)​
 ≤ 0​ e ​​
f  
​ ​
(a)​
 ≥ 0​ não garante que ​​
f  
​ ​
(− a)​
 + ​
f  
​ ​
(a)​
 = 0​ 	 (a opção (B) é falsa)
• Como ​
f ​
(0)​
  0​ e ​​
f  
​ ​
(a)​
 ≥ 0​, então ​​
f  
​ ​
(a)​
 × f ​
(0)​
 ≥ 0​.	 (a opção (C) é falsa)
• Se ​​
f  
​ ​
(− a)​
 ≤ 0​ e ​​
f  
​ ​
(a)​
 ≥ 0​, então ​​
f  
​ ​
(− a)​
 × ​
f  
​ ​
(a)​
 ≤ 0​.	 (a opção (D) é verdadeira)
Resposta: (D)
11.	​​a​
n​​​
 = ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
n
​
​​a​
n + 1​​​
 − ​
a​
n​​​
 = ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
n + 1
​ − ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
n
​ = ​
log​
3​​​
 ​ ​
2​​ 
n + 1
​ 
______ 
​
2​​ 
n
​
 ​
 = ​
log​
3​​​
 2​
​​(​
a​
n​​​
)​​ é uma progressão aritmética de razão ​
r = ​
log​
3​​​
 2​. Como ​
r  0​, ​​
a​
n + 1​​ - ​
a​n​​  0 , ∀ n ∈ ℕ​, pelo que a
progressão aritmética é crescente.
​​b​
n​​​
 = ​
log​
3​​​
 ​​(​ 1 
__ 
2
 ​)​​​ 
n
​ = ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
− n
​
​​b​
n + 1​​  − ​b​
n​​​
 = ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
− ​
(n + 1)​
​  − ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
− n
​ = ​
log​
3​​​
 ​ ​
2​​ 
− n − 1
​
 
______ 
​
2​​ 
− n
​
 ​
 = ​
log​
3​​​
 ​
2​​ 
− 1
​  = − ​
log​
3​​​
 2​
​​(​
b​
n​​​
)​​ é uma progressão aritmética de razão ​
r = − ​
log​
3​​​
 2​. Como ​
r  0​, ​​
b​
n + 1​​ - ​
b​n​​  0 , ∀ n ∈ ℕ​, pelo que
a progressão aritmética é decrescente.
Resposta: (B)
12.	​f​ ​
(x)​
 = ​
⎧
 
⎪
 
⎨ 
⎪
 
⎩
 ​
k − ​  x 
_____ 
​
e​​ 
​
x + 3
​
 ​
​ 
​
se​
​ 
x  0
​
   
3 ln ​
(​
x + 1)​
 + 2x − 1
​ 
​
se​
​ 
x ≥ 0
​​​
12.1.	
Seja ​
y = mx + b​ a equação reduzida da reta t , tangente ao gráfico da função f , no ponto de
abcissa ​
− 3​ .
Sabemos que ​
m = ​
f ' 
​ ​
(− 3)​ e ​
b = 0​, dado que a reta t passa na origem do referencial.
Em ​​ ] − ∞ , 0​
 [ 
​​ :
​​f ' 
​
(x)​
 = ​​
(
k − ​  x 
_____ 
​
e​​ 
​
x + 3
​
 ​
)
​ ' 
​  = 0 − ​
(
​ 
x'​
e​​ 
​
x + 3
​ − x​ ​​(​
e​​ 
​
x + 3
​)​ ' 
​
  
_______________ 
​​(​
e​​ 
​
x + 3
​)​​​ 
2
​
 ​
)
​​  = 
	 = ​  − ​ 
​
e​​ 
​
x + 3
​ − x ​
e​​ 
​
x + 3
​
 
___________ 
​​(​
e​​ 
​
x + 3
​)​​​ 
2
​
 ​  = − ​ 
​
e​​ 
​
x + 3
​ ​
(1 − x)​
 
__________ 
​​(​
e​​ 
​
x + 3
​)​​​ 
2
​
 ​  = ​ x − 1 
_____ 
​
e​​ 
​
x + 3
​
 ​​
​
m = ​
f ' 
​
(− 3)​
 = ​ 
 − 3 − 1
 
_______ 
​
e​​ 
− ​
3 + 3
​
 ​  = ​  − 4 
____ 
​
e​​ 
​
0
​
 ​  = − 4​
​
f​ ​
(− 3)​
 = k − ​ 
 − 3
 
_____ 
​
e​​ 
− ​
3 + 3
​
 ​  = k + ​ 
3
 
__ 
​
e​​ 
​
0
​
 ​  = k + 3​
Ponto de tangência: ​
(− 3 , k + 3)​
Equação reduzida da reta t : ​
y = − 4x​  (​
m = − 4​ e ​
b = 0​)
O ponto de tangência de coordenadas ​
(− 3 , k + 3)​ pertence à reta de equação ​
y = − 4x​ .
Portanto:
​
k + 3 = − 4 × ​
(− 3)​ ⇔ ​
k = 12 − 3​ ⇔ ​
k = 9​
Prova-modelo 2
349
CPEN-MA12
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Porto
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12.2.	
Seja ​
y = mx + b​ a equação reduzida da assíntota ao gráfico da função f quando ​
x → + ∞​, caso
exista.
​
m​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
f​ ​
(x)​
 
____ 
x
 ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
3 ln ​
(​
x + 1)​
 + 2x − 1
  
______________ 
x
 ​
​  = 
	 = ​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
(​ 
3 ln ​
(​
x + 1)​
 
________ 
x
 ​
 + ​ 2x 
___ 
x
 ​
 − ​ 1 
__ 
x
 ​)​​  = ​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​​ 
3 ln ​
(​
x + 1)​
 
________ 
x
 ​
 + ​
  ​
lim​
 
x→ + ∞
​
 
​
  ​
 ​
(2 − ​ 1 
__ 
x
 ​)​ =​
 
	​
= 3 ​
  ​
lim​
 
x→ + ∞
​
 
​
  ​
 ​ 
​
ln ​
(​
x + 1)​
 
_______ 
x
 ​
 + 2 − 0 ​  =​​
 
​
(​ ∞ 
__ 
∞
 ​
)​
	​
= 3 ​
  ​
lim​
 
x→ + ∞
​
 
​
  ​
 ​ 
​
ln ​ [​
x​ ​(1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​] 
​
  
____________ 
x
 ​
 + 2 =​
 
	​
= 3 ​
  ​
lim​
 
x→ + ∞
​
 
​
  ​
 ​ 
​
ln ​
x + ​
ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​
  
_____________ 
x
 ​
 + 2​  = 
	 
= ​
3 ​ [ ​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​ ​
ln ​
x 
___ 
x
 ​
 + ​
  ​
lim​
 
x→ + ∞
​
 
​
  ​
 ​ 
​
ln ​
(​
1 + ​ 1 
__ 
x
 ​)​
 
_________ 
x
 ​
] 
​+ 2​  = 
	 
= ​
3 × ​
(0 + ​  ​
ln ​
1 
____ 
 + ∞
 ​
)​
 + 2 =  3​ ​
(0 + 0)​
 + 2 = 2​
​
b​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
 [f​ ​
(x)​
 − mx] ​
​  = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
 [3 ln ​
(​
x + 1)​
 + 2x − 1 − 2x] ​
​  = 
	 = ​
​
​  lim​
 
x → + ∞
​​​
 ​
 [3 ln ​
(​
x + 1)​
 − 1] ​
 = + ∞ − 1 = + ∞​
Como ​
b ∉ ℝ​, o gráfico da função f não admite assíntota quando ​
x → + ∞​ .
12.3.	Em ​​ ] 
0 ,  + ∞​
 [ 
​​, temos:
​​f ' 
​ ​
(x)​
 = ​
 [3 ln ​
(​
x + 1)​
 + 2x − 1] ​
 ' = 3​
 [​
ln ​
(​
x + 1)​
] ​
 ' + ​
(2x − 1)​
 '​  = 
	 
= ​
3 × ​ 
​
(x + 1)​
 '
 
______ 
x + 1
 ​  + 2 = ​ 
3
 
____ 
x + 1
 ​  + 2​
​​f  
​ ​
(x)​
 = ​​(​ 
3
 
____ 
x + 1
 ​  + 2)​ 
'
 
​  = ​ 
 − 3
 
_______ 
​
(x + 1)​
​​ 
2
​
 ​  + 0 = − ​ 
3
 
_______ 
​
(x + 1)​
​​ 
2
​
 ​​
​  − ​ 
3
 
_______ 
​
(x + 1)​
​​ 
2
​
 ​   0 , ∀x ∈ ​ ] 
0 ,  + ∞​
 [ 
​​
Como ​​f  
​ ​
(x)​
  0 , ∀x ∈ ​ ] 
0 ,  + ∞​
 [ 
​​, podemos concluir que o gráfico da função f tem a concavidade
voltada para baixo em ​​ 
] 
0 ,  + ∞ [ ​​. Logo, o gráfico da função f não tem pontos de inflexão neste
intervalo.
13.	 Se ​
A​B ̂ 
​C = α​, então ​
A​O ̂ 
​
C = 2α​ .
​​‾ 
CD​  = sin ​
(​
2α)​
​​A​
 [OCB] ​
​​​
 = ​ 
​
‾ 
BO​  × ​
‾ 
CD​
 
________ 
2
 ​  = ​ 
1 × ​
sin ​
(​
2α)​
 
___________ 
2
 ​​  = 
	​
= ​ 
2​
 sin ​
α cos α
 
__________ 
2
 ​  =​
 
	​
= sin α cos α​
Resposta: (B)
x
y
A
D
B
C
O
a 2a
Sugestão de resolução
350
CPEN-MA12
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Porto
Editora
14.	
Dado que o ponto P pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio 1 , as suas coor-
denadas são ​
(​
cos α , ​
sin α)​.
14.1.	 Sejam ​
P​ ​
(​
cos α , ​
sin α)​ e ​
B​ ​
(1 , 1)​.
​​‾ 
BP​  = ​ √ 
______________________
   
​
(1 − cos α)​
​​ 
2
​
  + ​
​
(1 − ​
sin α)​
​​ 
2
​
 ​
 ​  = ​ √ 
__________________________________
    
1 − 2​
 cos ​
α + ​
cos​​ 
​
2
​
 α + 1 − 2​
 sin ​
α + ​
​
sin​​ 
​
2
​
 α ​​  = 
	 = ​​ √ 
_________________________________
    
2 + ​
(​
cos​​ 
​
2
​
 α + ​
sin​​ 
​
2
​
 α)​
 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​ = ​
 
√ 
______________________
  
2 + 1 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
​  = 
	 = ​
​
 
√ 
___________________
  
3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
​
d​ ​
(α)​
 = ​
 
√ 
___________________
  
3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
14.2.	​​d ' 
​ ​
(α)​
 = ​​(​
 
√ 
_______________
  
3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
)​ 
'
 
​  = ​​ [​
(3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α)​
​​
​ 1 
__ 
2
 ​
​
] 
​ 
'
 ​ =​
	 = ​​ 1 
__ 
2
 ​ ​
(3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α)​
​​
​ ​
1 
____ 
2
 ​  − 1
​
  × ​
​
(3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α)​
  ' 
​  =​
	  = ​​ 1 
__ 
2
 ​ ​
(3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α)​
​​
− ​ ​
1 
____ 
2
 ​
​
  × ​
(2​
 sin ​
α − 2​
 cos ​
α)​
 =​
	 
= ​​ 1 
__ 
2
 ​  × ​  1 
___________________
  
​
(3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α)​
​​
​ 1 
__ 
2
 ​
​
 ​  ×  2​ ​
(​
sin α − ​
cos α)​
 =​
	 
= ​​ 
sin α − cos α
  
___________________
  
​
 
√ 
___________________
  
3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
 ​​
​​d ' 
​ ​
(α)​
 = 0​ ⇔ ​​ 
sin α − cos α
  
___________________
  
​
 
√ 
___________________
  
3 − 2​
 cos ​
α − 2​
 sin ​
α ​
 ​  = 0 ∧ α ∈ ​
 [0 , 2π​
 [​ ⇔​
	 ⇔ ​
sin α − ​
cos α = 0 ∧ α ∈ ​
 [0 , 2π​
 [​ ⇔​
	 ⇔ ​
sin α = ​
cos α ∧ α ∈ ​
 [0 , 2π​
 [​ ⇔ ​
α = ​ 
π
 
__ 
4
 ​  ∨ α = ​ 
5π
 
___ 
4
 ​​
​α​ 0 ​​ 
π
 
__ 
4
 ​​ ​​ 
5π
 
___ 
4
 ​​ 2​
π​
​​d ' 
​ - 0 + 0 -
d 1 ¢ £ ¢
Máx. Mín. Máx.
A função d é estritamente decrescente em ​​ 
[0 ,  ​ 
π
 
__ 
4
 ​] 
​​ e em ​​
[​ 
5π
 
___ 
4
 ​
  , 2π 
[​ e estritamente crescente
em ​​ [​ 
π
 
__ 
4
 ​ ,  ​ 
5π
 
___ 
4
 ​
] 
​​ .
d admite máximos relativos para ​
α = 0​ e ​
α = ​ 
5π
 
___ 
4
 ​​ e um mínimo relativo para ​
α = ​ 
π
 
__ 
4
 ​​ .
15.	​​  lim​
 
x → ​
1​​+
​
​​ ​
(x − 1)​
 
​
 
x​
 
2
​
−1
​
 = ​
e​​ 
​  lim​
 
x→​
1​​+
​
​​​
 [​
(​
 
x​
 
2
​
 − 1)​
 ln ​
(x − 1)​
] ​
 = ​
e​
 
0
​
 = 1​ dado que:
​​  lim​
 
x →​
 1​​+
​
​​ ​
 [​
(​
 
x​
 
2
​
 − 1)​
 ln ​
(x − 1)​
] ​
 = ​  lim​
 
x → ​
1​​+
​
​​ ​
 [​
(x + 1)​
 ​
(x − 1)​
 ln ​
(x − 1)​
] ​
 =​
	​
= ​  lim​
 
x → ​
1​​+
​
​​ ​
(x + 1)​
 × ​
 lim​
 
x → ​
1​
 
+
​
 ​
 [​
(x − 1)​
 ln ​
(x − 1)​
] ​
 =​
	​
= 2 × ​  lim​
 
x → ​
1​​+
​
​​ ​
 [​
(x − 1)​
 ln ​
(x − 1)​
] ​
 =​
	​
= 2 × ​
  lim​
 
y → +∞
​
 ​
 
[
​
 1 
__ 
y
 ​
 ln ​
(
​
 1 
__ 
y
 ​
)
​
]
 ​
 = 2 × ​
  lim​
 
y → +∞
​
 ​
(
​
 1 
__ 
y
 ​
 ln ​
 
y​
 
−1
​
)
​
 =​
	​
= − 2 × ​
  lim​
 
y → +∞
​
 ​
 
ln y
 
____ 
y
  ​
 = − 2 × 0 = 0​
​y = ​  1 
__ 
x - 1
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A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
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EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_CARLA MORAIS_22_23
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Propostas de provas-modelo.pdf

  • 1. Prova-modelo 1 (Estrutura baseada na Informação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017) 330 CPEN-MA12 © Porto Editora Cotações Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre- sente sempre o valor exato. Caderno 1 (é permitido o uso de calculadora) 1. Quantos números naturais pares, com quatro algarismos diferentes, se podem escrever? (A) 2296 (B) 2520 (C) 2016 (D) 3600 2. Seja E um conjunto finito, P uma probabilidade em ​ 𝒫 ​(E)​ e ​ A , B ∈ 𝒫 ​(E)​ com ​ P ​(A)​ 0​ e ​ P ​(B)​ 0​. Sabe-se que ​ P​ ​ (A)​  = 5 P​ ​ (A ∩ B)​ e ​ P​ ​ (A ∪ B)​  = 2 P​ ​ (B)​. Qual é o valor da probabilidade condicionada ​ P​ ​ (A | B)​? (A) ​​ 1  __  2  ​​ (B) ​​ 1  __  3  ​​ (C) ​​ 1  __  4  ​​ (D) ​​ 1  __  5  ​​ 3. Seja ​​ (​ u​ n​​​ )​​ a sucessão definida por recorrência do modo seguinte: ​​ ⎧   ⎨  ⎩  ​ u​ 1​​  = 100 ​   ​ u​ n + 1​​  + 1 = ​ u​ n​​  , ∀n ∈ ℕ ​​​ A soma dos k primeiros termos de ​​ (​ u​ n​​​ )​​ é igual a 0 . O valor de k é: (A) 100 (B) 101 (C) 200 (D) 201 4. Num saco estão seis bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato. 4.1. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as dez bolas do saco. Determine a probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas (sair pelo menos uma bola branca entre duas bolas pretas). Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 4.2. Admita agora que, tomando como ponto de partida a constituição inicial, se colocaram mais algumas bolas pretas no saco. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco e em registar a cor das bolas extraídas. Relativamente a esta experiência aleatória considere os acontecimentos: A : “A primeira bola retirada é branca” B : “A segunda bola retirada é preta” Sabendo que o valor da probabilidade condicionada ​ P​ ​ (B | A)​ é ​​  3   __  4  ​​, determine o número de bolas pretas que foram posteriormente colocadas no saco. 5 5 5 15 15
  • 2. Prova-modelo 1 331 CPEN-MA12 © Porto Editora 5. Seja f a função, de domínio ​ ℝ​, definida por: ​ f​ ​ (x)​  = ​ ⎧   ⎪   ⎨  ⎪   ⎩  ​ x​​ 2 ​​e​​  x + 1 ​ ​  se ​  x ⩽ 0 ​     x ln​ ​(​ x + 1  ____  x  ​ )​  + 3x ​  se ​  x  0 ​​​ 5.1. Determine ​​f '  ​ (− 1)​ recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto. 5.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ​ − 1​ . Mostre que existe um ponto do gráfico da função f , cuja abcissa pertence ao intervalo ​​ ]  − ​ 1  __  2  ​,  − ​ 1  __  4  ​ [  ​​, em que a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela à reta t . Sugestão: Recorra ao Teorema de Bolzano­‑Cauchy. 5.3. O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando ​ x → + ∞​ . Determine a equação reduzida dessa assíntota. 6. Considere a função f , de domínio ​ ℝ​, definida por ​ f​ ​ (x)​  = ​ e​​ x ​ . Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o triân- gulo ​​ [ABC]  ​ . x O y C A B f D Sabe-se que: • o ponto A tem coordenadas ​ (​ 0 , 1)​; • o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ​​  ]  ​ 0 , 2  [  ​​ ; • o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B ; • ​​ [CD]  ​ é a altura do triângulo ​​  [ABC]  ​ relativa à base ​​  [AB]  ​ e é tal que ​​ ‾  CD​  = 1​ . Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta deve: – equacionar o problema; – reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida- mente identificados; – indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. Fim do Caderno 1 15 10 10 15
  • 3. Provas-modelo 332 CPEN-MA12 © Porto Editora Caderno 2 (não é permitido o uso de calculadora) 7. Seja f uma função de domínio R , diferenciável em todos os pontos do domínio, tal que: • ​ f​ ​ (x)​   0 , ∀x ∈ ℝ​ • ​ f​ ​ (1)​  = f '​ (1)​  = e​ Considere a função h , de domínio R , definida por ​ h​ ​ (x)​  = f​ ​ (x)​  × ln ​   [f​ ​ (x)​ ]  ​. O valor de ​ h'​ (1)​ é: (A) e (B) 2e (C) ​​e​​ 2 ​​ (D) 0 8. Seja g a função definida por ​ g ​ (x)​  = π − 2 arcsin ​ (​  x  __  2   ​ )​. Em qual das opções seguintes se apresentam, respetivamente, o domínio e o contradomínio da função g ? (A) ​ ​   [− π ,  π ]  ​ e ​   [π − 2 ,  π + 2]  ​ (B) ​ ​   [− 1 ,  1 ]  ​ e ​   [0 ,  2π]  ​ (C) ​ ​   [− ​   1  __  2   ​  ,  ​   1  __  2   ​ ]  ​ e ​   [− ​   π   __  2   ​  ,  ​   π   __  2   ​  ]  ​ (D) ​ ​   [− 2 ,  2 ]  ​ e ​   [0 ,  2π ]  ​ 9. Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro O e raio 2 . x y A C B α O Sabe-se que: • o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox , o ponto B tem coordenadas ​ (​ 0 , 1)​ e o ponto  C pertence à circunferência; • ​ α​ é a amplitude, em radianos, do ângulo AOC , com ​ α ∈ ​ ]  0 ,  ​  π   __  2  ​ [  ​​ . Qual das expressões seguintes representa, em função de ​ α​, o comprimento do segmento de reta ​​ [BC]  ​ ? (A) ​ ​   √  _________   5 − 4 sin α  ​ ​ (B) ​ ​   √  _________   5 − 4 cos α  ​ ​ (C) ​ ​   √  _________   2 − 2 sin α  ​ ​ (D) ​ ​   √  _________   2 − 2 cos α  ​ 10. Seja a um número real não nulo. Considere, num referencial ortonormado Oxyz , a reta r e o plano ​ β​ definidos, respetivamente, por: ​ (​ x , y , z)​  = ​ (1 , 0 , 1)​  + k ​ (4 − 3a , 0 , 1)​, k ∈ ℝ​    e    ​ x + az = 1​ Sabendo que a reta r é paralela ao plano ​ β​, qual é o valor de a ? (A) 2 (B) 1 (C) ​​ 1  __  3  ​​ (D) - 3 5 5 5 5
  • 4. Prova-modelo 1 333 CPEN-MA12 © Porto Editora 11. Na figura está representado um referencial ortonormado Oxyz . Os pontos A e B têm coordenadas ​ (​ 6 , 6 , 0)​ e ​ (​ 0 , 0 , 3)​, respetivamente. O ponto P desloca-se sobre a reta AB de tal modo que é sempre vértice de uma pirâmide em que a base é um quadrado contido no plano xOy . A medida do lado do quadrado é igual à abcissa do ponto P e a cota de P varia entre 0 e 3 . 11.1. Mostre que o volume da pirâmide, em função da abcissa x do ponto P , é dado por: ​ V​ ​ (x)​  = ​ x​​ 2 ​  − ​ ​ x​​  3 ​   ___  6  ​​, com ​ x ∈ ​ ]  0 , 6  [  ​​ 11.2. Determine a altura da pirâmide de volume máximo. 12. Na figura estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos: z , z1 , z2 , z3 e z4 . O 1 Re(z) Im(z) z4 z2 z3 z1 z Qual é o número complexo que pode ser igual a ​ z + ​ z​​  3 ​​ ? (A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 13. Em ​ ℂ​, conjunto dos números complexos, considere ​ z = ​  ​   √  __   3  ​  − ​  i​​ 11 ​   _________  ​   √  __   2  ​  ​e​​ i ​  π   __  4  ​ ​  − 1  ​​ . Determine o menor número natural n tal que ​​ z​​ n ​ é um número real negativo. 14. Considere a função ​ f​ definida em ​ ℝ​   + ​ por ​ f ​ (x)​  = ​   1 − 2 ln x  ________  4x   ​. 14.1. Estude a função ​ f​ quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão do seu gráfico. 14.2. Resolva a inequação ​ f ​ (x)​   f ​ (2x)​. Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais. 15. Sejam ​ f​ e ​ g​ funções diferenciáveis em ​ ℝ​ tais que ​ g ​ (x)​  = x × f ​ (x)​. Sabe-se que, para determinado ​ a ∈ ℝ​, a reta tangente ao gráfico de ​ f​ no ponto de abcissa ​ a​ é paralela à reta tangente ao gráfico de ​ g​ no ponto com a mesma abcissa ​ a​. Mostre que ​ f ​ (a)​  = ​ (1 − a)​  × ​ f '  ​  ​ (a)​. Fim do Caderno 2 y x O P A B z 15 10 5 15 15 10 15
  • 5. Sugestão de resolução 334 CPEN-MA12 © Porto Editora Caderno 1 1. 1.° A 2.° A 3.° A 4.° A 9 8 7 1 Números cujo algarismo das unidades é 0 . 8 8 7 4 Números cujo algarismo das unidades é 2 , 4 , 6 ou 8 . 9 × 8 × 7 × 1 + 8 × 8 × 7 × 4 = 504 + 1792 = 2296 Resposta: (A) 2. ​ P​ ​ (A ∪ B)​  = P​ ​ (A)​  + P​ ​ (B)​  − P​ ​ (A ∩ B)​⇔ ⇔ ​ 2 P​ ​ (B)​  = 5 P​ ​ (A ∩ B)​  + P​ ​ (B)​  − P​ ​ (A ∩ B)​ ⇔ ⇔ ​ 2 P​ ​ (B)​  − P​ ​ (B)​  = 5 P​ ​ (A ∩ B)​  − P​ ​ (A ∩ B)​ ⇔ ⇔ ​ P​ ​ (B)​  = 4 P​ ​ (A ∩ B)​ ⇔ ​​  P​ ​ (A ∩ B)​   ________  P​ ​ (B)​  ​  = ​ 1  __  4  ​​ ⇔ ⇔ ​ P​ ​ (A | B)​  = ​ 1  __  4  ​​ Resposta: (C) 3. ​​ ⎧   ⎨  ⎩  ​ ​ u​ 1​​​  = 100 ​   ​ u​ n + 1​​  +  1 = ​ u​ n​​​, ∀n ∈ ℕ ​​​ ⇔ ​​ ⎧   ⎨  ⎩  ​ ​ u​ 1​​​  = 100 ​   ​ u​ n + 1​​  − ​u​ n​​​  = − 1 , ∀n ∈ ℕ ​​​ ​​(​ u​ n​​​ )​​ é uma progressão aritmética de razão - 1 sendo ​​ u​ 1​​​  = 100​ . ​​u​ n​​​  = 100 + ​ (n − 1)​  × ​ (− 1)​ ⇔ ⇔ ​​ u​ n​​​  = 100 − n + 1​ ⇔ ⇔ ​​ u​ n​​​  = 101 − n​ ​​S​ k​​​  = ​  ​ u​ 1​​  + ​u​ k​​​   ______  2  ​  × k = ​  100 + 101 − k   ___________  2  ​  × k = ​  ​ (201 − k)​ k   ________  2  ​​ ​​S​ k​​​  = 0​ ⇔ ​​  ​ (201 − k)​ k   ________  2  ​  = 0​ ⇔ ​ (201 − k)​ k = 0​ ⇔ ⇔ ​ 201 − k = 0 ∨ k = 0  ​ ⇔​   ​   k ∈ ℕ   ​   k = 201​ Resposta: (D) 4. 4.1. Começamos por calcular a probabilidade do acontecimento contrário (as quatro bolas pretas saírem todas seguidas). Número de casos possíveis: ​ 10!​ Número de casos favoráveis: ​ 4! × 6! × 7​ ​ P = ​  4! × 6! × 7   _________  10!  ​  = ​  1  ___  30  ​​ A probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas é: ​ 1 − P = 1 − ​  1  ___  30  ​  = ​  29   ___  30  ​​ 4.2. Seja n o número de bolas pretas posteriormente colocadas no saco. Bolas brancas: 6 Bolas pretas: 4 + n Total: 6 + 4 + n = 10 + n ​ P​ ​ (A)​  = 5 P​ ​ (A ∩ B)​ e ​ P​ ​ (A ∪ B)​  = 2 P​ ​ (B)​ ​​S​ N​​​  = ​  ​ u​ 1​​+ ​u​ N​​​   ______  2  ​  × N​
  • 6. Prova-modelo 1 335 CPEN-MA12 © Porto Editora ​ P​ ​ (A)​  = ​  6   _____  10 + n  ​ ​ P​ ​ (B | A)​  = ​ 4 + n  ____  9 + n  ​​ (após ser retirada uma bola branca ficaram na caixa 9 + n bolas sendo 4 + n pretas) ​ P​ ​ (B | A)​  = ​  3   __  4  ​​ ⇔ ​​ 4 + n  ____  9 + n  ​ = ​  3   __  4  ​​ ⇔ ​ 16 + 4n = 27 + 3n​ ⇔ ​ n = 11​ Foram colocadas no saco 11 bolas pretas. 5. 5.1. ​​f ' ​​ (− 1)​  = ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​  ​  f​ ​ (− 1 + h)​  − f​ ​ (− 1)​    ______________  h  ​ ​  = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​​  ​ (− 1 + h)​ ​​  2 ​ ​e​​  ​ (− ​ 1 + h)​  + 1 ​  − 1    ____________________  h  ​ =​ = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​​  ​ (h − 1)​ ​​  2 ​  ​ e​​  h ​  − 1    ____________  h  ​ ​  = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​  ​  ​ (​ h​​  2 ​  − 2h + 1)​  ​ e​​  ​ h ​ − 1    _________________  h  ​ =​ = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​​  ​ (​ h​​  2 ​  − 2h)​ ​ e​​  ​ h ​ + ​ e​​  ​ h ​ − 1    __________________  h  ​ ​  = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​ ​  h​ ​ (h − 2)​  ​ e​​  ​ h ​   __________  h  ​  + ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​  ​  ​ e​​  h ​ − 1   ______  h  ​ =​ = ​ ​  ​ lim​   h → 0 ​   ​   ​​ [​ (h − 2)​  ​ e​​  ​ h ​] ​ + 1​  = ​  − 2 + 1 = − 1​ 5.2. A reta t , tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ​ − 1​, tem declive igual a ​​ f ' ​​ (− 1)​  = − 1​ . Qualquer reta paralela a t tem declive ​ − 1​ . Pretende-se provar que existe ​ x ∈ ​ ] − ​ 1  __  2  ​,  − ​ 1  __  4  ​ [ ​​ tal que ​​ f ' ​​ (x)​  = − 1​ . No intervalo ​​ ] − ∞ , 0​  [ ​​ a função ​​ f '  ​ é definida por: ​​f ' ​​ (x)​  = ​​(​ x​​  2 ​ e​​  ​ x + 1 ​)​ ' ​​  = ​ 2x ​ e​​  ​ x + 1 ​ + ​ x​​  2 ​  ​ e​​  ​ x + 1 ​​  = ​ x ​ e​​  ​ x + 1 ​  ​ (2 + x)​ • ​​f ' ​​ é uma função contínua em ​​  ] − ∞ , 0 [ ​​ por ser definida pelo produto e composta de funções contínuas (funções polinomiais e função exponencial). Logo, ​​ f ' ​​ é contínua em ​​ [− ​ 1  __  2  ​ ,  − ​ 1  __  4  ​] ​​ . • ​​f ' ​​ (− ​ 1  __  2  ​)​  = ​ (− ​ 1  __  2  ​)​  ​ e​​ − ​ 1  __  2  ​ +  1 ​  ​ (2 − ​ 1  __  2  ​)​  ≈ − 1,24​ ​​f ' ​​ (− ​ 1  __  4  ​)​  = ​ (− ​ 1  __  4  ​)​  ​ e​​ − ​  ​ 1  ____  4  ​ +  1 ​  ​ (2 − ​ 1  __  4  ​)​  ≈ − 0,93​ ​ − 1,24  − 1  − 0,93​, ou seja, ​​ f ' ​​ (− ​ 1  __  2  ​)​   − 1  ​ f ' ​​ (− ​ 1  __  4  ​)​​ Pelo Teorema de Bolzano­‑Cauchy: ​​ ⎧   ⎪   ⎨  ⎪   ⎩  ​ ​ f ' ​ é contínua em ​ [− ​  1  __  2  ​,  − ​ 1  __  4  ​] ​ ​     ​ f ' ​​ (− ​ 1  __  2  ​)​   − 1  ​ f ' ​​ (− ​ 1  __  4  ​)​  ​​​ ​  ⇒  ∃x ∈ ​ ] − ​ 1  __  2  ​,  − ​ 1  __  4  ​ [ ​ :  ​ f ' ​​ (x)​  = − 1​ 5.3. ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  f​ ​ (x)​   ____  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  x ln​​ ​ (​ x + 1  ____  x  ​ )​ + 3x    ____________  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ [​ ln​​ ​ (​ x + 1  ____  x  ​ )​ + 3] ​​  =  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​ + 3 = ​ ln 1 + 3 = 0 + 3 = 3​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​  [f​ ​ (x)​  − 3x] ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ [x ln​​ ​ (​ x + 1  ____  x  ​ )​ + 3x − 3x] ​​  =  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ [x ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​] ​​  =  = ​​  lim​   y → 0 ​​ ​  1  ____  ​ e​​  y ​  - 1  ​ × y​  =  = ​​  1  _______  ​  lim​   y → 0 ​​ ​  1  ____  ​ e​​  y ​  - 1  ​  = ​ 1  __  1  ​ = 1​ Logo, a reta de equação ​ y = 3x + 1​ é uma assíntota oblíqua ao gráfico de f quando ​ x → + ∞​ . ​ y = ln ​ (1 + ​ 1  __  x  ​)​⇔ ​e​​  y ​ = 1 + ​ 1  __  x  ​⇔ ​ ⇔ ​ 1  __  x  ​= ​e​​  y ​ - 1 ⇔ x = ​  1  ______  ​e​​  y ​ - 1  ​​ Se x → + ∞ , y → 0 .
  • 7. Sugestão de resolução 336 CPEN-MA12 © Porto Editora 6. ​ A​ ​ (0 , 1)​ ​ B​ ​(x , ​ e​​  ​ x ​)​ com ​ x ∈ ​ ] 0 , 2 [ ​​ ​ C​ ​(0 , ​ e​​  ​ x ​)​ ​​‾  CD​  = 1​ ​​‾  AC​  = ​ | ​ e​​  ​ x ​ − 1 | ​  = ​ e​​  ​ x ​ − 1​, porque se ​ x  0 , ​ e​​  x ​ − 1  0​ . ​​‾  BC​  = ​  | x − 0 | ​  = x​, porque ​ x  0​ . ​​‾  AB​  = ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​ ​​ A área do triângulo ​​ [ABC] ​​ pode ser calculada por dois processos: ​​A​  [ABC] ​ ​​​  = ​  ​ ‾  BC​  × ​ ‾  AC​   _______  2  ​  = ​  x​ ​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​   _________  2  ​​ ​​A​  [ABC] ​ ​​​  = ​  ​ ‾  AB​  × ​ ‾  CD​   ________  2  ​  = ​  ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​  ​  ​  × 1    _________________  2  ​  = ​  ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​  ​  ​    ______________  2  ​​ A abcissa do ponto B terá de ser solução da equação ​​  x​ ​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​   _________  2  ​  = ​  ​ √  ____________   ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​ ​    _____________  2  ​​ no intervalo ​​ ] 0 , 2​  [ ​​ . ​​  x​ ​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​   _________  2  ​  = ​  ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​ ​    _____________  2  ​​ ⇔ ​ x​ ​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​  = ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​ ​​ Na calculadora gráfica, fazendo: • ​​Y​ 1​​​  = x​ ​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​ • ​​Y​ 2​​​  = ​ √  ____________    ​ x​​  2 ​  + ​​(​ e​​  ​ x ​ − 1)​​​  2 ​ ​​ determinou-se a abcissa do ponto de interseção dos respetivos gráficos. x O 1,14 2 y Y1 Y2 A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 1,14 . Caderno 2 7. ​ h​ ​ (x)​  = f​ ​ (x)​  × ​ ln​  [f​ ​ (x)​ ] ​ ​ h'​ (x)​  = ​​ [f ​ (x)​  × ln ​ [f​​ ​ (x)​ ] ​] ​ ' ​​  =  = ​​f ' ​​ (x)​  × ​ ln ​  [​ f​ ​ (x)​ ] ​  + f​​ ​ (x)​  × ​​ [ln ​ [f​​ ​ (x)​ ] ​] ​ ' ​​  =  = ​​f ' ​​ (x)​  × ​ ln ​  [​ f​ ​ (x)​ ] ​  + f​ ​ (x)​  × ​  ​ f ' ​​ (x)​   ____  f​ ​ (x)​  ​​  =  = ​​f ' ​​ (x)​  × ​ ln ​ [​ f​ ​ (x)​ ] ​  + ​ f ' ​​ (x)​ Como ​ f​ ​ (1)​  = ​ f ' ​​ (1)​  = ​ e​, então: ​ h'​ (1)​  = ​ f ' ​​ (1)​  × ​ ln ​  [​ f​ ​ (1)​ ] ​  + ​ f ' ​​ (1)​  = ​ e × ln​e + e = e × ​ 1 + ​ e = ​ 2​ e​ Resposta: (B)
  • 8. Prova-modelo 1 337 CPEN-MA12 © Porto Editora 8. ​ g ​ (x)​  = π − 2 arcsin ​ (​  x  __  2  ​ )​ • ​ D​ g​  = ​ {  x ∈ ℝ :  − 1 ≤ ​  x  __  2  ​  ≤ 1}  ​ ​ − 1 ≤ ​  x  __  2  ​  ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2​ ​ D​ g​  = ​  [ − 2 ,  2 ] ​ • Contradomínio de g : Para ​ − 1 ≤ ​  x  __  2  ​  ≤ 1​, temos: ​ − ​   π   __  2  ​  ≤ arcsin ​ (​  x  __  2  ​ )​  ≤ ​   π   __  2  ​   ⇔  − π ≤ − 2 arcsin ​ (​  x  __  2  ​ )​  ≤ π  ⇔  π − π ≤ π − 2 arcsin ​ (​  x  __  2  ​ )​  ≤ π + π​   ​ ⇔  0 ≤ π − 2 arcsin ​ (​  x  __  2  ​ )​  ≤ 2π​ Logo, ​​ D​ g​  ' ​ = ​  [ 0 ,  2π ] ​. Resposta: (D) 9. Sejam ​ (a , b)​ as coordenadas do ponto C . ​​  a   __  2  ​  = cos α​ ⇔ ​ a = 2 cos α​ ​​  b   __  2  ​  = sin α​ ⇔ ​ b = 2 sin α​ ​ C​ ​ (2​  cos ​ α , 2​  sin ​ α)​ ​ B​ ​ (0 , 1)​ ​​‾  BC​  = ​ √  _________________________     ​ (2​  cos ​ α − 0)​ ​​  2 ​   + ​ ​ (2​  sin ​ α − 1)​ ​​  2 ​  ​  ​ =​ = ​​ √  __________________________     4​  ​cos​​  ​ 2 ​  α + 4​  ​sin​​  ​ 2 ​  α − 4​  sin ​ α + 1 ​ =​ = ​​ √  __________________________     4​ ​(​ cos​​  ​ 2 ​  α + ​ sin​​  ​ 2 ​  α)​  + 1 − 4​  sin ​ α ​ =​ = ​ ​   √  ________________    4 × 1 + 1 − 4​  sin ​ α ​  = ​   √  __________   5 − 4​  sin ​ α ​ Resposta: (A) 10. ​ r : ​ (x , y , z)​  = ​ (1 , 0 , 1)​  + k​ ​ (4 − 3a , 0 , 1)​, k ∈ ℝ​ ​​ r  ➝  ​  ​ (4 − 3a , 0 , 1)​ é um vetor diretor da reta r . ​ β :  x + az = 1​ ​​u  ➝  ​ ​ (1 , 0 , a)​ é um vetor perpendicular ao plano ​ β​. Se a reta r é paralela ao plano ​ β​, então ​​ r  ➝  ​  ⊥ ​ u  ➝  ​​, pelo que ​​ r  ➝  ​   ​ u  ➝  ​= 0​. ​​ r  ➝  ​   ​ u  ➝  ​ = 0​ ⇔ ​ (​ 4 − 3a , 0 , 1)​   ​ (1 , 0 , a)​  = 0​ ⇔ ​ (4 − 3a)​  × 1 + 1 × a = 0​ ⇔ ​ 4 − 3a + a = 0​ ⇔ ⇔ ​ 4 − 2a = 0​ ⇔ ​ 2a = 4​ ⇔ ​ a = 2​ Resposta: (A) 11. ​ A​ ​ (6 , 6 , 0)​ e ​ B​ ​ (0 , 0 , 3)​ 11.1. ​​  →   AB ​  = B − A = ​ (0 , 0 , 3)​  − ​ (6 , 6 , 0)​  = ​ (− 6 ,  − 6 , 3)​  = −  6​ ​(1 , 1 ,  − ​ 1  __  2  ​)​ Reta AB : ​ (​ x , y , z)​  = ​ (0 , 0 , 3)​  + k​ ​(1 , 1 ,  − ​ 1  __  2  ​)​, k ∈ ℝ​ Um ponto da reta AB é da forma ​ (x , y , z)​  = ​ (k , k , 3 − ​ k  __  2  ​)​  , k ∈ ℝ​ . Se x é abcissa do ponto P , as coordenadas de P são ​​ (x , x , 3 − ​ x  __  2  ​)​​ com ​ x ∈ ​ ] 0 , 6​  [ ​​ . A medida da aresta da base da pirâmide é x e a altura é ​ 3 − ​ x  __  2  ​​. Logo, o volume é dado por: ​ V​ ​ (x)​  = ​ 1  __  3  ​  × ​ x​​  2 ​  × ​ (3 − ​ x  __  2  ​)​  = ​ x​​  2 ​  − ​ ​ x​​  3 ​   __  6  ​​, com ​ x ∈ ​ ] 0 , 6 [ ​​ ​​ [- 1 ,  1]  ​  → ​ [- ​  π   _  2  ​ ,  ​  π   _  2  ​]  ​​ ​ x  ⤻ arcsin x​ x y A C b a 2 B a O CPEN-MA12-22
  • 9. Sugestão de resolução 338 CPEN-MA12 © Porto Editora 11.2. ​​V ' ​ ​ (x)​  = ​​(​ x​​  2 ​  − ​ ​ x​​  3 ​   __  6  ​ )​  '  ​  = 2x − ​  3   __  6  ​ ​ x​​  2 ​  = 2x − ​ 1  __  2  ​ ​ x​​  2 ​​ ​​V ' ​ ​ (x)​  = 0​ ⇔ ​ 2x − ​ 1  __  2  ​ ​ x​​  2 ​  = 0​ ⇔ ​ x​ ​(2 − ​ 1  __  2  ​ x)​ = 0​ ⇔ ⇔ ​ x = 0 ∨ 2 − ​ 1  __  2  ​ x = 0​ ⇔ ​ x = 0 ∨ x = 4​ Como ​ x ∈ ​ ] 0 , 6​  [ ​​, vem x = 4 . x 0 4 6 ​​V '  ​ + 0 - V £ Máx. ¢ O volume da pirâmide é máximo para x = 4 . Se x = 4 , a altura da pirâmide é ​ 3 − ​ 4  __  2  ​  = 1​ . A altura da pirâmide de volume máximo é igual a 1 . 12. Como ​  | z | ​  = 1​ , ​​ | ​ z​​  3 ​ | ​  = 1​ . ​Arg ​ (​ ​ z​​  3 ​ )​  = 3 Arg ​ (​ z)​ De entre os números complexos representados, podemos concluir (pela regra do paralelogramo) que ​ z + ​ z​​  3 ​​ só pode ser igual a ​​ z​ 4​​​. Resposta: (D) 13. ​ z = ​  ​   √  __   3 ​  − ​ ​  i​​  ​ 11 ​   _________  ​   √  __   2 ​  ​ e​​ i ​  π   __  4  ​ ​  − 1  ​​  = ​​  ​   √  __   3 ​  − ​  i​​  ​ 4 × 2 + 3 ​    ____________________    ​   √  __   2 ​  ​ (​ cos ​  π   __  4  ​  + ​ i ​ sin ​  π   __  4  ​)​  − 1  ​​ = = ​​  ​   √  __   3 ​  − ​  i​​  ​ 3 ​    __________________    ​   √  __   2 ​  ​ (​  ​   √  __   2 ​   ___  2  ​  + ​  ​   √  __   2 ​   ___  2  ​  ​ i)​ − ​ 1  ​​  = ​​  ​   √  __   3 ​  − ​ (− ​ i)​   __________  1 + ​ i − ​ 1  ​ =​   = ​​  ​   √  __   3 ​  + i​   ______  i​  ​​  = ​​  ​ (​   √  __   3 ​  + i)​  × ​ (− i)​    ______________  i​  × ​ (− ​ i)​  ​ =​ ​​   − ​   √  __   3 ​  ​ i + ​ 1   ________  1  ​​  = ​ 1 − ​   √  __   3 ​  ​ i​ ​  | z | ​  = ​ √  _____________    ​ 1​​  2 ​  + ​​(− ​   √  __   3 ​ )​ ​​  2 ​  ​  ​​  = ​ ​   √  ____   1 + 3 ​  = 2​ Seja ​ Arg ​ (​ z)​= θ​ . ​​ ⎧   ⎪   ⎨  ⎪   ⎩  ​tan θ = ​   − ​   √  __   3 ​   _____  1  ​  = − ​   √  __   3 ​    θ ∈ 4.° ​ Q  ​​​ ​  ⇒ Arg ​ (​ z)​= − ​  π   __  3  ​​ ​ z = 2 ​e​​ i​ ​(− ​  π   __  3  ​)​ ​​ ​​ z​​  n ​ = ​​(2 ​e​​ i​ ​(− ​  π   __  3  ​)​ )​​​  n ​ = ​ 2​​  n ​ ​e​​ i​ ​(− ​  nπ   ___  3  ​ )​ ​​ ​​ z​​  n ​ é um número real negativo ⇔ ​ − ​  nπ   ___  3  ​  = π + 2kπ , k ∈ ℤ​ ⇔ ​ − n = 3 + 6k , k ∈ ℤ​ ⇔ ⇔ ​ n = − 3 − 6k , k ∈ ℤ​ O menor número natural n é 3 e obtém-se para ​ k = - 1​. O 1 Re(z) Im(z) z4 z3 z a 3a
  • 10. Prova-modelo 1 339 CPEN-MA12 © Porto Editora 14. ​ f ​ (x)​  = ​  1 − 2 ln x  ________  4x   ​, ​ D​ f​  = ​ ℝ​   + ​ 14.1. ​​f '  ​ ​ (x)​  = ​  ​ (1 − 2 ln x)​   '  ​  ​ (4x)​  − ​ (1 − 2 ln x)​   ​ (4x)​   '  ​     ____________________________    ​ (4x)​   2 ​  ​  = ​   ​ (0 − 2 × ​  1  __  x  ​ )​  ​ (4x)​  − ​ (1 − 2 ln x)​  × 4     _________________________    16 ​   x​   2 ​   ​  =​ ​ = ​   − 8 − 4 + 8 ln x   ___________  16 ​   x​   2 ​   ​  = ​   − 12 + 8 ln x   __________  16 ​   x​   2 ​   ​  = ​   4 × ​ (− 3 + 2 ln x)​    _____________  16 ​   x​   2 ​   ​  = ​   − 3 + 2 ln x   _________  4 ​   x​   2 ​   ​ ​​f    ​ ​ (x)​  = ​  ​ (− 3 + 2 ln x)​   '  ​  ​ (4 ​   x​   2 ​ )​  − ​ (− 3 + 2 ln x)​  ​ (4 ​   x​   2 ​ )​   '  ​     __________________________________    ​ (4 ​   x​   2 ​ )​   2 ​  ​  = ​   2 × ​  1  __  x  ​  × 4 ​   x​   2 ​  − ​ (− 3 + 2 ln x)​  × 8x     _________________________    16 ​   x​   4 ​   ​  =​ ​ = ​   8x + 24x − 16x ln x    _______________  16 ​   x​   4 ​   ​  = ​   32x − 16x ln x   ___________  16 ​   x​   4 ​   ​  = ​   16x ​ (2 − ln x)​   ___________  16 ​   x​   4 ​   ​  = ​  2 − ln x  ______  ​   x​   3 ​   ​ ​​f    ​ ​ (x)​  = 0 ⇔ ​  2 − ln x  ______  ​   x​   3 ​   ​  = 0  ​ ⇔​   x  0  ​   2 − ln x = 0  ⇔  ln x = 2  ⇔  x = ​ e​   2 ​ Dado que ​ ∀ x ∈ ​ ℝ​   + ​, ​   x​   3 ​   0​, o sinal de ​​ f    ​ depende apenas do sinal de ​ 2 − ln x​. x 0 ​ e​   2 ​ + ∞​ ​​f    ​ + 0 - ​ f​ ⌒ ⌒ P.I. O gráfico da função ​ g​ tem a concavidade voltada para cima em ​  ]  0 ,  ​ e​   2 ​   [ ​ e tem a concavidade vol- tada para baixo em ​  ]  ​ e​   2 ​  ,  + ∞  [ ​. O ponto de abcissa ​ e​   2 ​ é um ponto de inflexão. 14.2. ​ f ​ (x)​   f ​ (2x)​   ⇔  ​  1 − 2 ln x  _______  4x   ​   ​   1 − 2 ln ​ (2x)​   __________  4 × ​ (2x)​   ​  ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  ​  1 − 2 ln x  _______  4x   ​   (× 2) ​   ​  − ​   1 − 2 ln ​ (2x)​   __________  8x   ​   0 ∧ x  0  ⇔  ​   2 − 4 ln x − 1 + 2 ln ​ (2x)​    __________________  8x   ​   0 ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  1 − 4 ln x + 2 ln ​ (2x)​   0 ∧ x  0  ⇔  − 4 ln x + 2 ln ​ (2x)​   − 1 ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  2 ln x − ln ​ (2x)​   ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  ln ​   x​   2 ​  − ln ​ (2x)​   ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  ln ​ (​  ​   x​   2 ​   ___  2x  ​ )​   ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔  ln ​ (​  x  __  2  ​ )​   ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  ​  x  __  2  ​   ​ e​​ ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔  x  2 ​ e​​ ​  1  __  2  ​  ∧ x  0  ⇔​ ​ ⇔  x  2 ​   √  __   e ​  ∧ x  0  ⇔  x ∈ ​  ]  0 , 2 ​   √  __   e ​   [ ​ ​ S = ​  ]  0 ,  2 ​   √  __   e ​   [ ​ 15. ​ g ​ (x)​  = x × f ​ (x)​ ​​g '  ​ ​ (x)​  = ​  [x × f ​ (x)​ ] ​    ' ​ = ​ x '  ​ × f ​ (x)​  + x × ​ f '  ​ ​ (x)​  = f ​ (x)​  + x × ​ f '  ​ ​ (x)​ Se a reta tangente ao gráfico de ​ f​ no ponto de abcissa ​ a​ é paralela à reta tangente ao gráfico de ​ g​ no ponto de abcissa ​ a​, então as duas retas têm o mesmo declive, ou seja, ​​ f '  ​ ​ (a)​  = ​ g '  ​ ​ (a)​. Como ​​ g '  ​ ​ (x)​  = f ​ (x)​  + x × ​ f '  ​ ​ (x)​, então ​​ g '  ​ ​ (a)​  = f ​ (a)​  + a × ​ f '  ​ ​ (a)​. ​​f '  ​ ​ (a)​  = ​ g '  ​ ​ (a)​  ⇔ ​ f '  ​ ​ (a)​  = f ​ (a)​  + a × ​ f '  ​ ​ (a)​   ⇔​ ​ ⇔ ​ f '  ​ ​ (a)​  − a × ​ f '  ​ ​ (a)​  = f ​ (a)​   ⇔​ ​ ⇔ ​ f '  ​ ​ (a)​  ​ (1 − a)​  = f ​ (a)​   ⇔​ ​ ⇔  f ​ (a)​  = ​ (1 − a)​  × ​ f '  ​ ​ (a)​
  • 11. 340 CPEN-MA12 © Porto Editora Prova-modelo 2 (Estrutura baseada na Informação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017) Cotações Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre- sente sempre o valor exato. Caderno 1 (é permitido o uso de calculadora) 1. Considere os dois primeiros elementos e os dois últimos de uma certa linha do Triângulo de Pascal. Sabe-se que o produto desses quatro elementos é igual a 441 . Qual é o terceiro elemento da linha seguinte? (A) 1540 (B) 231 (C) 1330 (D) 210 2. Um saco tem 10 bolas, numeradas de 1 a 10 . Extraem-se, ao acaso, duas dessas bolas e multiplicam-se os respetivos números. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 12 ? (A) ​​  1  ___  45  ​​ (B) ​​  2  ___  45  ​​ (C) ​​  1  ___  15  ​​ (D) ​​  4  ___  45  ​​ 3. Numa escola secundária, relativamente aos alunos do 12.° ano que realizaram o exame de Mate- mática A no ano letivo anterior, verificou-se que: • 96% dos alunos com classificação positiva no exame de Matemática A obtiveram colocação no ensino superior, na 1.ª opção de candidatura; • 90% dos alunos colocados no ensino superior na 1.ª opção de candidatura obtiveram classifica- ção positiva no exame de Matemática A; • quatro em cada cinco alunos foram colocados no ensino superior, na 1.ª opção de candidatura. 3.1. Escolhido um desses alunos ao acaso, qual é a probabilidade de ter obtido classificação po- sitiva no exame de Matemática A? 3.2. Admita que dos alunos dessa escola colocados no ensino superior na 1.ª opção de candida- tura apenas 16 não obtiveram positiva no exame de Matemática A. Quantos alunos do 12.° ano realizaram o exame de Matemática A nessa escola? 4. No referencial ortonormado xOy da figura está represen- tada a elipse de centro na origem e focos E e F pertencen- tes ao eixo Ox . Tal como a figura sugere, a elipse interseta o eixo Ox nos pontos A e C e o eixo Oy nos pontos B e D . Sabe-se que ​ ‾  ED​  = 3​ e ​ ‾  EF​  = 4​. Na unidade considerada e com arredondamento às décimas, o perímetro do triângulo ​   [DEC]  ​ é igual a: (A) 11,7 (B) 7,8 (C) 10,2 (D) 11,0 5 5 15 5 O y A E C D B F x 15
  • 12. 341 CPEN-MA12 © Porto Editora Prova-modelo 2 5. Na figura está representada em referencial ortonormado Oxyz a pirâmide quadrangular regular ​​ [ABCDV]  ​ . y x B C A D V O z A Sabe-se que: • a base ​​  [ABCD]  ​ está contida no plano xOy ; • o ponto A tem coordenadas ​ (​ 1 , 1 , 0)​; • o ponto C tem abcissa positiva e igual à ordenada; • ​​  →   AC ​ ​   ​  →   AV ​ ​  = 16​ 5.1. Considere o ponto P de coordenadas ​ (  2​  ,  − 1 ,  2  )​. Determine a amplitude do ângulo OAP . Apresente o resultado em graus com aproximação à décima do grau. 5.2. Determine as coordenadas do ponto C . 6. Considere a função f , de domínio ​​ ℝ​​  + ​, definida por ​ f​ ​ (x)​  = ln x​ . Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o paralelo- gramo ​​ [OABC]  ​ . x 1 5 A O C B f y Sabe-se que: • o ponto A pertence ao eixo Ox ; • o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ​​  ]  ​ 1 , 5  [  ​​ ; • o ponto C pertence à bissetriz do primeiro quadrante; • ​​ [OABC]  ​ é um paralelogramo de área igual a 3 . Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta deve: – escrever uma expressão da área do paralelogramo ​​  [OABC]  ​ em função da abcissa do ponto B ; – equacionar o problema; – reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida- mente identificados; – indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. Fim do Caderno 1 15 15 15
  • 13. Provas-modelo 342 CPEN-MA12 © Porto Editora Caderno 2 (não é permitido o uso de calculadora) 7. Na figura está representado, no plano complexo, um segmento de reta. Qual das condições seguintes pode definir, no conjunto dos números complexos ​ ℂ​, esse con- junto de pontos? (A) ​Arg​ ​ (z − 2)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​   | z − 1 − i |  ​  ⩽ 1​ (B) ​Arg ​ (z − 2)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​   | z − 1 − i |  ​  ⩽ ​   √  __   2  ​ (C) ​Arg ​ (z − 1)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​   | z − 1 − i |  ​  ⩽ 1​ (D) ​Arg ​ (z − 1)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​   | z − 1 − i |  ​  ⩽ ​   √  __   2  ​ 8. Em ​ ℂ​, conjunto dos números complexos, considere ​ z = ​  ​ (2 − ​ i)​ ​​  3 ​  − 9​  i​​  31 ​    ____________  2 ​   √  __   2  ​  i  ​ ​ . Determine as raízes cúbicas de ​ z​ . 9. Seja ​​ (​ x​ n​​​ )​​ a sucessão de termo geral ​​ x​ n​​​  = ​ n + 1  _____  ​   √  __   n  ​  ​​ . Seja f uma função de domínio ​​ ℝ​​  + ​​ . Sabe-se que ​ lim f​ ​(​ x​ n​​​ )​  = 1​ . Em qual das opções seguintes pode estar definida a função f ? (A) ​​D​ f​​​  = ℝ  ​ {  0}  ​ e ​ f​ ​ (x)​  = x​​ ​(​ e​​ ​ 1  __  x  ​ ​  − 1)​​ (B) ​​D​ f​​​  = ℝ  ​ {  0}  ​ e ​ f​ ​ (x)​  = ​  ​ e​​  x ​  − 1   ______  x  ​ ​ (C) ​​D​ f​​​  = ​ ℝ​​  + ​​ e ​ f​ ​ (x)​  = ​  ln ​ (x + 1)​   _______  x  ​ ​ (D) ​​D​ f​​​  = ​ ℝ​​  + ​​ e ​ f​ ​ (x)​  = ​ ln x  ___  x  ​ ​ 10. Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , parte do gráfico de uma função polinomial ​ f​. Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico tem abcissa 0 . Seja ​​ f    ​ a segunda derivada de ​ f​ e ​ a​ um número real positivo. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) ​​f    ​  ​ (a)​  + ​ f    ​  ​ (0)​   0​ (B) ​​f    ​  ​ (− a)​  + ​ f    ​  ​ (a)​  = 0​ (C) ​​f    ​  ​ (a)​  × f ​ (0)​   0​ (D) ​​f    ​  ​ (− a)​  × ​ f    ​  ​ (a)​  ≤ 0​ 11. Qual das expressões seguintes é o termo geral de uma progressão aritmética decrescente? (A) ​​a​ n​​​  = ​ log​ 3​​ ​2​​ n ​ (B) ​​b​ n​​​  = ​ log​ 3​​ ​​(​ 1  __  2  ​)​ ​​  n ​ (C) ​​c​ n​​​  = ​ e​​  3n ​ ​ (D) ​​d​ n​​​  = ​ e​​ − ​ n  __  3  ​ ​​ 12. Considere a função f , de domínio ​ ℝ​, definida por: ​ f​ ​ (x)​  = ​ ⎧   ⎪   ⎨  ⎪   ⎩  ​ k − ​  x  ______  ​ e​​  x + 3 ​  ​ ​  se ​  x  0 ​     3 ln ​ (x + 1)​  + 2x − 1 ​  se ​  x ≥ 0 ​​​    (k é um número real) 12.1. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa ​ − 3​ passa na origem do referencial. Determine o valor de k . 5 O Re(z) Im(z) 15 5 f x y O 5 5 15
  • 14. 343 CPEN-MA12 © Porto Editora Prova-modelo 2 12.2. Verifique se o gráfico da função f admite uma assíntota quando ​ x → + ∞​ . 12.3. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão no intervalo ​​  ]  ​ 0 ,  + ∞  [  ​ . 13. Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro O e raio 1 . Sabe-se que: • o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox ; • o ponto B tem coordenadas ​ (− ​ 1 , 0)​; • o ponto C pertence à circunferência; • ​α​ é a amplitude, em radianos, do ângulo ABC , com ​ α ∈ ​ ]  0 ,  ​  π   __  4  ​ [  ​​ . Qual das expressões seguintes representa, em função de ​ α​, a área do triângulo ​​  [OCB]  ​ ? (A) ​​  sin α   _____  2  ​​ (B) ​ sin α cos α​ (C) ​ sin ​ (2α)​ (D) ​​  cos ​ (2α)​   ________  2  ​​ 14. Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , a circunferência de centro na origem do referencial e raio 1 . x y A B P a O d (a) O ponto A é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox . O ponto B tem coordenadas ​​ (1 , 1)​​ . Considere que o ponto P , partindo do ponto A , se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa no sentido positivo. Para cada posição do ponto P , seja ​ α​ a amplitude, em radianos, do ângulo AOP ​​ (α ∈ ​ [0 , 2π  [​ )​ . Seja d a função que, a cada valor de ​ α​, associa a distância, ​ d​ ​ (α)​, do ponto P ao ponto B . 14.1. Mostre que ​ d​ ​ (α)​  = ​   √  ________________    3 − 2 cos α − 2 sin α  ​. 14.2. Estude a função d quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. 15. Calcule o valor de ​​ lim​   x→​ 1​​+ ​ ​​  ​ (x − 1)​  ​ x​  2 ​  − 1 ​. Fim do Caderno 2 10 10 5 x y A B C O a 10 15 10
  • 15. Sugestão de resolução 344 CPEN-MA12 © Porto Editora Caderno 1 1. Em qualquer linha do Triângulo de Pascal o primeiro elemento e o último são iguais a 1 . Por outro lado, o segundo elemento é igual ao penúltimo. Seja n o segundo elemento da linha em causa. ​ 1 × n × n × 1 = 441​ ⇔ ​​ n​​  2 ​  = 441 ​ ⇔​   ​   n   0   ​  n = 21​ Trata-se da linha de ordem 21 ​​ (n = 21)​​ . A linha seguinte é a de ordem 22 ​​ (n = 22)​​ . O terceiro elemento da linha seguinte é igual a ​​​ 22 ​ C​ 2​​​  = 231​ . Resposta: (B) 2. Número de casos possíveis: ​ ​​ 10 ​ C​ 2​​  = 45​ Número de casos favoráveis: Os divisores de 12 menores ou iguais a 10 são 1 , 2 , 3 , 4 e 6 . Portanto, há dois casos favoráveis: 2 × 6 e 3 × 4 . ​ P = ​  2  ___  45  ​​ Resposta: (B) 3. Sejam M e C os acontecimentos: M : “O aluno escolhido obteve classificação positiva no exame de Matemática A.” C : “O aluno escolhido foi colocado no ensino superior na 1.a opção de candidatura.” É dado que: • ​ P​ ​ (C | M)​  = 0,96​ • ​ P​ ​ (M | C)​  = 0,9​ • ​ P​ ​ (C)​  = ​ 4  __  5  ​​ 3.1. Pretende-se determinar ​ P​ ​ (M)​. ​ P ​ (C | M)​  = ​   P ​ (C ∩ M)​   _________  P ​ (M)​   ​   ⇔  0,96 = ​   P ​ (C)​  × P ​ (M | C)​    _____________  P ​ (M)​   ​  ​​⇔  0,96 = ​   ​  4  __  5  ​  × 0,9   _______  P ​ (M)​   ​   ⇔  P ​ (M)​  × 0,96 = 0,72  ⇔​ ​ ⇔  P ​ (M)​  = ​   0,72   ____  0,96  ​   ⇔  P ​ (M)​  = 0,75​ A probabilidade de o aluno ter obtido classificação positiva no exame de Matemática A é igual a ​ 0,75​. 3.2. Seja n o número de alunos do 12.° ano que realizaram o exame de Matemática A nessa escola. Como dos alunos colocados no ensino superior na 1.a opção de candidatura apenas 16 não obtiveram positiva no exame de Matemática A, temos que ​ P​​ ​(C ∩ ​ ‾  M​)​ = ​  16   ___  n  ​ ​ . Por outro lado: ​ P​​ ​(C ∩ ​ ‾  M​)​ = P​ ​ (C)​  − P​ ​ (M ∩ C)​ ​  = ​​ 4  __  5  ​  − ​ 4  __  5  ​  × 0,9 = 0,08​ ou ​ P​​ ​ (C ∩ ​ ‾  M​)​ = P​ ​ (C)​  × P​​ ​(​ ‾  M​ | C)​ = ​ 4  __  5  ​  × ​ (1 − 0,9)​  = 0,08​ ​​  16   ___  n  ​  = 0,08​ ⇔ ​ 16 = 0,08n​ ⇔ ​ n = ​  16   _____  0,08  ​​ ⇔ ​ n = 200​ Nessa escola, realizaram o exame de Matemática A 200 alunos. Resposta: (A)
  • 16. Prova-modelo 2 345 CPEN-MA12 © Porto Editora 4. ​ ‾  DE​  + ​ ‾  DF​  = 2a  ⇔​ ​ ⇔  ​ ‾  DE​  + ​ ‾  DE​  = 2a  ⇔​ ​ ⇔  3 + 3 = 2a  ⇔  a = 3​ ​ ‾  EF​  = 4  ⇔  2c = 4  ⇔  c = 2​ ​ a​   2 ​  = ​ b​   2 ​  + ​  c​   2 ​ ​ 3​   2 ​  = ​ b​   2 ​  + ​ 2​   2 ​  ⇔ ​ b​   2 ​  = 9 − 4  ⇔  b = ​   √  __   5 ​ Portanto, ​ ‾  OD​  = b = ​   √  __   5 ​ e ​ ‾  OC​  = a = 3​ . ​ ‾  DC​    2 ​  = ​ ‾  OD​    2 ​  + ​ ‾  OC​    2 ​ ​ ‾  DC​    2 ​  = ​ (​   √  __   5 ​ )​ ​​   2 ​  + ​ 3​   2 ​   ⇔  ​ ‾  DC​    2 ​  = 5 + 9 ⇔ ​ ‾  DC​  = ​   √  ___   14 ​ ​ Perímetro​  [DEC] ​  = ​ ‾  DE​  + ​ ‾  EO​  + ​ ‾  OC​  + ​ ‾  DC​  = 3 + 2 + 3 + ​   √  ___   14 ​  = 8 + ​   √  ___   14 ​  ≈ 11,7​ Resposta: (A) 5. ​ A​ ​ (1 , 1 , 0)​ 5.1. ​ P ​ ( 2​  , − 1 , 2 )​ ​   →   AO ​  = O − A = ​ ( 0 ​ , 0 , 0)​  − ​ ( 1 , 1 , 0 )​  = ​ ( − 1 , − 1 , 0 )​ ​   →   AP ​  = P − A = ​ ( 2​  , − 1 , 2 )​  − ​ ( 1 , 1 , 0 )​  = ​ ( 1 , − 2 , 2 )​ ​ cos ​ (O​  ˆ  A ​ P)​  = cos ​ (​  ˆ   ​   →   AO ​  , ​   →   AP ​ )​  = ​   ​   →   AO ​  ⋅ ​   →   AP ​   _____________    ​ ‖​   →   AO ​ ‖​  × ​ ‖​   →   AP ​ ‖​  ​  = ​   ​ ( − 1 , − 1 , 0 )​  ⋅ ​ ( 1 , − 2 , 2 )​     __________________________    ​   √  _______   1 + 1 + 0 ​  × ​   √  _______   1 + 4 + 4 ​   ​  = ​   − 1 + 2 + 0   ________  ​   √  __   2 ​  × ​   √  __   9 ​  ​  = ​   1  ___  3 ​   √  __   2 ​  ​ Se ​ cos ​ (O​  ˆ  A ​ P)​  = ​   1  ___  3 ​   √  __   2 ​  ​, então ​ O​  ˆ  A ​ P ≈ 76,4°​ . 5.2. ​ C​ ​ (x , x , 0)​, x 0 Seja E o centro da base da pirâmide. O ponto E é o ponto médio de ​​ [AC]  ​: ​ E​ ​(​ x + 1  ____  2  ​  ,  ​ x + 1  ____  2  ​  ,  0)​​ A altura da pirâmide é ​ h = ​ ‾  EV​​ . O vértice V tem abcissa e ordenada iguais às de E : ​ V​ ​(​ x + 1  ____  2  ​  ,  ​ x + 1  ____  2  ​  ,  h)​ ​​  →   AC ​  = C − A = ​ (x , x , 0)​  − ​ (1 , 1 , 0)​  = ​ (x − 1 , x − 1 , 0)​ ​​  →   AV ​  = V − A = ​ (​ x + 1  ____  2  ​  ,  ​ x + 1  ____  2  ​  ,  h)​ − ​ (1 , 1 , 0)​  = ​ (​ x + 1  ____  2  ​  − 1 ,  ​ x + 1  ____  2  ​  − 1 , h)​ = ​ (​ x − 1  ____  2  ​  ,  ​ x − 1  ____  2  ​  ,  h)​ ​​  →   AC ​   ​  →   AV ​  = ​ (x − 1 , x − 1 , 0)​   ​ (​ x − 1  ____  2  ​  ,  ​ x − 1  ____  2  ​  ,  h)​ = ​  ​ (x − 1)​ ​​  2 ​   _______  2  ​  + ​  ​ (x − 1)​ ​​  2 ​   _______  2  ​  + 0 × h​  =  = ​ 2 × ​  ​ (x − 1)​ ​​  2 ​   _______  2  ​  = ​ ​ (x − 1)​ ​​  2 ​​ ​​  →   AC ​   ​  →   AV ​   = 16​ ⇔ ​​ ​ (x − 1)​ ​​  2 ​  = 16​ ⇔ ⇔ ​​ ​ (x − 1)​ ​​  2 ​  = ​ 4​​  2 ​​ ⇔ ⇔ ​ x − 1 = 4 ∨ x − 1 = − 4​ ⇔ ⇔ ​ x = 5 ∨ x = − 3​ Como x 0 , temos ​ x = 5​, pelo que ​ C​ ​ (5 , 5 , 0)​. 3 5 y A E 2 O E C D B F 3 x Definição de elipse ​ ‾  DF​  = ​ ‾  DE​ ​​‾  ED​ = 3​ y x B C A D V O z h E
  • 17. Sugestão de resolução 346 CPEN-MA12 © Porto Editora 6. Seja x a abcissa do ponto B . ​ B​ ​ (x , ​ ln x)​ com ​ x ∈ ​ ]  1 , 5 [  ​​ C pertence à reta de equação ​ y = x​ e tem ordenada igual à de B porque, sendo ​​ [OABC]  ​ um paralelo- gramo, a reta CB é paralela ao eixo Ox . ​ C​ ​ (​ ln x , ​ ln x)​ ​​‾  BC​  = ​  | x − ​ ln x | ​ A altura do paralelogramo é igual a ​ ln x​, ordenada do ponto B . ​​A​  [OABC] ​ ​​​  = ​ base × altura = ​  | ​ x − ​ ln x | ​  × ​ ln x​ Pretende-se resolver a equação: ​​ A​  [OABC] ​ ​​​  = 3​ ⇔ ​  | x − ​ ln x | ​  × ​ ln x = 3​ . Ao recorrer à calculadora gráfica obteve-se a abcissa do ponto de interseção do gráfico de ​​ Y​ 1​​​  = ​  | x − ​ ln x | ​  × ​ ln x​ com o gráfico de ​​ Y​ 2​​​  = 3​ . x O y 3,62 5 3 1 Y1 Y2 A abcissa do ponto B é aproximadamente igual a 3,62 . Caderno 2 7. ​Arg ​ (​ z − 2)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​  | z − 1 − ​ i | ​  ⩽​ 1​ ​Arg ​ (​ z − 2)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​  | ​ z − 1 − ​ i | ​  ⩽​   √  __   2 ​ 0 1 x y 0 1 x y ​Arg ​ (​ z − ​ 1)​  = ​  3π​   ___  4  ​  ∧  ​  | ​ z − ​ 1 − ​ i | ​  ⩽​ 1​ ​Arg ​ (​ z − 1)​  = ​  3π   ___  4  ​  ∧  ​  | ​ z − 1 − ​ i | ​  ⩽​   √  __   2 ​ 0 1 x y 0 1 x y Resposta: (A) 8. ​ z = ​  ​ (2 − ​ i)​ ​​  ​ 3 ​  − 9​  i​​  ​ 31 ​    ____________  2 ​   √  __   2 ​  ​ i​  ​  = ​  ​ (2 − ​ i)​ ​​  ​ 2 ​  × ​ (2 − ​ i)​  − ​ 9​  i​​  ​ 4 × 7 + 3 ​    _________________________    2 ​   √  __   2 ​  ​ i​  ​​  =    = ​​  ​ (4 − 4 i + ​  i​​  ​ 2 ​ )​  × ​ (2 − ​ i)​  − ​ 9​ ​  i​​  ​ 3 ​     _______________________    2 ​   √  __   2 ​  ​ i​  ​  = ​  ​ (3 − 4 ​ i)​  ​ (​ 2 − ​ i)​  + ​ 9 ​ i    _______________  2 ​   √  __   2 ​  ​ i  ​  ​ ​  =    = ​​  6 − 3 ​ i − ​ 8​  i − ​ 4 + 9 ​ i    ______________  2 ​   √  __   2 ​  ​ i​  ​  = ​ 2 − 2 ​ i  _____  2 ​   √  __   2 ​  ​ i​  ​​  = ​ ​   2 ​ (1 − i)​   ________  2 ​   √  __   2 ​  i   ​  = ​   ​ (1 − i )​  ​ (− ​   √  __   2 ​  i)​    ____________   ​   √  __   2 ​  i ​ (− ​   √  __   2 ​  i)​   ​  = ​ ​ = ​   − ​   √  __   2 ​  i − ​   √  __   2 ​   _______  2   ​  = − ​   ​   √  __   2 ​   __  2   ​  − ​   ​   √  __   2 ​   __  2   ​  i = ​ e​​ i ​ (−​   3π   ___  4  ​ )​
  • 18. Prova-modelo 2 347 CPEN-MA12 © Porto Editora Cálculo auxiliar: ​ ​  | z | ​  = ​ √  _________________    ​ (− ​   ​   √  __   2 ​   __  2   ​ )​ ​​  2 ​  + ​ (− ​   ​   √  __   2 ​   __  2   ​ )​ ​​  2 ​ ​ = ​   √  _____   ​  1  __  2  ​  + ​  1  __  2  ​  ​  = 1 ​ Seja ​ Arg ​ (z)​  = θ​ . ​​ ⎧   ⎨  ⎩  ​ tan θ = 1 ​   θ ∈ 3.° Q ​​  ⇒  θ = − π + ​   π   __  4  ​  = − ​   3π   ___  4   ​   3   √  __   z ​  = ​  3   √  _______    ​ e​​ i ​ (− ​   3π   ___  4  ​ )​ ​ ​ = ​   3   √  __   1 ​​ e​​ i ​ (​   − ​   3π   ___  4  ​   _____  3   ​  + ​   2kπ   ____  3   ​ )​  = ​ e​​ i ​ (− ​   π   __  4  ​  + ​   2kπ   ____  3   ​ )​  = ​ ​ e​​ i ​ (​   −3π + 8kπ   __________  12   ​ )​  ; k = 0 , 1 , 2​ Para ​ k = 0​: ​ z​ 0​  = ​ e​​ i ​ (− ​   3π   ___  12  ​ )​  = ​ e​​ i ​ (− ​   π   __  4  ​ )​ ​​ Para ​ k = 1​: ​ z​ 1​  = ​ e​​ i ​ (​   5π   ___  12  ​ )​ ​​ Para ​ k = 2​: ​ z​ 2​  = ​ e​​ i ​ (​   13π   ____  12  ​ )​ ​​ As raízes cúbicas de z são: ​​ e​​ i ​ (− ​   π   __  4  ​ )​ ​​ , ​​e​​ i ​ (​   5π   ___  12  ​ )​ ​​ , ​​e​​ i ​ (​   13π   ____  12  ​ )​ ​​ . 9. ​ lim ​ x​ n​​​ ​  = ​ lim​  ​ n + 1  ____  ​   √  __   n ​  ​​  = ​ lim​  ​  1 + ​ 1  __  n  ​   _____  ​  ​   √  __   n ​   ___  n  ​ ​  = ​ lim​  ​  1 + ​ 1  __  n  ​   _____  ​ √  ___   ​  n  ___  ​ n​​  2 ​  ​ ​  ​​  = ​ lim​  ​  1 + ​ 1  __  n  ​   _____  ​ √  __   ​ 1  __  n  ​ ​  ​  = ​  1 + 0   _____  ​ 0​​  + ​   ​  = + ∞​ ​ lim f​(​x​ n​​​ )​​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  f​ ​ (x)​  = 1​ Opção (A): ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  f​ ​ (x)​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ [x​​ ​(​ e​​ ​ 1  __  x  ​ ​ − 1)​ ]  ​​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  ​ e​​ ​ 1  __  x  ​ ​ − 1   ______  ​ 1  __  x  ​ = ​  ​ lim​   y →0 ​   ​   ​  ​  ​ e​​  ​ y ​ − 1   ______  y  ​  = 1​ Opção (B): ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  f​ ​ (x)​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  ​ e​​  ​ x ​ − 1   ______  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ (​  ​ e​​  ​ x ​   __  x  ​  − ​ 1  __  x  ​)​ = + ∞ − 0 = + ∞​ Opção (C): ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  f​ ​ (x)​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  ​ ln ​ (​ x + 1)​   _______  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  ​ ln​ ​ [x​ ​(1 + ​ 1  __  x  ​)​]  ​    ____________  x  ​ ​  =  ​ = ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  ​ ln x + ​ ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​    _____________  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​ ​ ln x  ___  x  ​  + ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​  ​ ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​   _________  x  ​  =​   ​ = 0 + ​  0   ____   + ∞  ​  = 0​ Opção (D): ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  f​ ​ (x)​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​ ​ ln x  ___  x  ​  = 0​ Resposta: (A) ​ y = ​ 1  __  x  ​​ Se x → + ∞ , y → 0 .
  • 19. Sugestão de resolução 348 CPEN-MA12 © Porto Editora 10. Sabe-se que ​ f​ é uma função duas vezes diferenciável em ​ ℝ​ (função polinomial) e que o seu gráfico tem a concavidade voltada para baixo em ​  ] − ∞ ,  0 [ ​ e a concavidade voltada para cima em ​  ]  0 ,  + ∞  [ ​. Logo, ​ ∀ x ∈ ​  ] − ∞ ,  0  [ ​, ​ f   ​ ​ (x)​  ≤ 0​ e ​ ∀ x ∈ ​  ] 0 , + ∞ [ ​, ​ f   ​ ​ (x)​  ≥ 0​ . Então, ​​ f   ​ ​ (− a)​  ≤ 0​, ​​ f   ​ ​ (0)​  = 0​ e ​​ f   ​ ​ (a)​  ≥ 0​ . Da observação do gráfico também se pode concluir que ​ f ​ (0)​   0​. Assim: • Se ​​ f   ​ ​ (0)​  = 0​ e ​​ f   ​ ​ (a)​  ≥ 0​, então ​​ f   ​ ​ (a)​  + ​ f   ​ ​ (0)​  ≥ 0​. (a opção (A) é falsa) • ​​ f   ​ ​ (− a)​  ≤ 0​ e ​​ f   ​ ​ (a)​  ≥ 0​ não garante que ​​ f   ​ ​ (− a)​  + ​ f   ​ ​ (a)​  = 0​ (a opção (B) é falsa) • Como ​ f ​ (0)​   0​ e ​​ f   ​ ​ (a)​  ≥ 0​, então ​​ f   ​ ​ (a)​  × f ​ (0)​  ≥ 0​. (a opção (C) é falsa) • Se ​​ f   ​ ​ (− a)​  ≤ 0​ e ​​ f   ​ ​ (a)​  ≥ 0​, então ​​ f   ​ ​ (− a)​  × ​ f   ​ ​ (a)​  ≤ 0​. (a opção (D) é verdadeira) Resposta: (D) 11. ​​a​ n​​​  = ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  n ​ ​​a​ n + 1​​​  − ​ a​ n​​​  = ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  n + 1 ​ − ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  n ​ = ​ log​ 3​​​  ​ ​ 2​​  n + 1 ​  ______  ​ 2​​  n ​  ​  = ​ log​ 3​​​  2​ ​​(​ a​ n​​​ )​​ é uma progressão aritmética de razão ​ r = ​ log​ 3​​​  2​. Como ​ r  0​, ​​ a​ n + 1​​ - ​ a​n​​ 0 , ∀ n ∈ ℕ​, pelo que a progressão aritmética é crescente. ​​b​ n​​​  = ​ log​ 3​​​  ​​(​ 1  __  2  ​)​​​  n ​ = ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  − n ​ ​​b​ n + 1​​  − ​b​ n​​​  = ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  − ​ (n + 1)​ ​  − ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  − n ​ = ​ log​ 3​​​  ​ ​ 2​​  − n − 1 ​   ______  ​ 2​​  − n ​  ​  = ​ log​ 3​​​  ​ 2​​  − 1 ​  = − ​ log​ 3​​​  2​ ​​(​ b​ n​​​ )​​ é uma progressão aritmética de razão ​ r = − ​ log​ 3​​​  2​. Como ​ r  0​, ​​ b​ n + 1​​ - ​ b​n​​ 0 , ∀ n ∈ ℕ​, pelo que a progressão aritmética é decrescente. Resposta: (B) 12. ​f​ ​ (x)​  = ​ ⎧   ⎪   ⎨  ⎪   ⎩  ​ k − ​  x  _____  ​ e​​  ​ x + 3 ​  ​ ​  ​ se​ ​  x  0 ​     3 ln ​ (​ x + 1)​  + 2x − 1 ​  ​ se​ ​  x ≥ 0 ​​​ 12.1. Seja ​ y = mx + b​ a equação reduzida da reta t , tangente ao gráfico da função f , no ponto de abcissa ​ − 3​ . Sabemos que ​ m = ​ f '  ​ ​ (− 3)​ e ​ b = 0​, dado que a reta t passa na origem do referencial. Em ​​ ] − ∞ , 0​  [  ​​ : ​​f '  ​ (x)​  = ​​ ( k − ​  x  _____  ​ e​​  ​ x + 3 ​  ​ ) ​ '  ​  = 0 − ​ ( ​  x'​ e​​  ​ x + 3 ​ − x​ ​​(​ e​​  ​ x + 3 ​)​ '  ​    _______________  ​​(​ e​​  ​ x + 3 ​)​​​  2 ​  ​ ) ​​  =  = ​  − ​  ​ e​​  ​ x + 3 ​ − x ​ e​​  ​ x + 3 ​   ___________  ​​(​ e​​  ​ x + 3 ​)​​​  2 ​  ​  = − ​  ​ e​​  ​ x + 3 ​ ​ (1 − x)​   __________  ​​(​ e​​  ​ x + 3 ​)​​​  2 ​  ​  = ​ x − 1  _____  ​ e​​  ​ x + 3 ​  ​​ ​ m = ​ f '  ​ (− 3)​  = ​   − 3 − 1   _______  ​ e​​  − ​ 3 + 3 ​  ​  = ​  − 4  ____  ​ e​​  ​ 0 ​  ​  = − 4​ ​ f​ ​ (− 3)​  = k − ​   − 3   _____  ​ e​​  − ​ 3 + 3 ​  ​  = k + ​  3   __  ​ e​​  ​ 0 ​  ​  = k + 3​ Ponto de tangência: ​ (− 3 , k + 3)​ Equação reduzida da reta t : ​ y = − 4x​  (​ m = − 4​ e ​ b = 0​) O ponto de tangência de coordenadas ​ (− 3 , k + 3)​ pertence à reta de equação ​ y = − 4x​ . Portanto: ​ k + 3 = − 4 × ​ (− 3)​ ⇔ ​ k = 12 − 3​ ⇔ ​ k = 9​
  • 20. Prova-modelo 2 349 CPEN-MA12 © Porto Editora 12.2. Seja ​ y = mx + b​ a equação reduzida da assíntota ao gráfico da função f quando ​ x → + ∞​, caso exista. ​ m​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  f​ ​ (x)​   ____  x  ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  3 ln ​ (​ x + 1)​  + 2x − 1    ______________  x  ​ ​  =  = ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ (​  3 ln ​ (​ x + 1)​   ________  x  ​  + ​ 2x  ___  x  ​  − ​ 1  __  x  ​)​​  = ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​​  3 ln ​ (​ x + 1)​   ________  x  ​  + ​   ​ lim​   x→ + ∞ ​   ​   ​  ​ (2 − ​ 1  __  x  ​)​ =​   ​ = 3 ​   ​ lim​   x→ + ∞ ​   ​   ​  ​  ​ ln ​ (​ x + 1)​   _______  x  ​  + 2 − 0 ​  =​​   ​ (​ ∞  __  ∞  ​ )​ ​ = 3 ​   ​ lim​   x→ + ∞ ​   ​   ​  ​  ​ ln ​ [​ x​ ​(1 + ​ 1  __  x  ​)​]  ​    ____________  x  ​  + 2 =​   ​ = 3 ​   ​ lim​   x→ + ∞ ​   ​   ​  ​  ​ ln ​ x + ​ ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​    _____________  x  ​  + 2​  =    = ​ 3 ​ [ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​ ​ ln ​ x  ___  x  ​  + ​   ​ lim​   x→ + ∞ ​   ​   ​  ​  ​ ln ​ (​ 1 + ​ 1  __  x  ​)​   _________  x  ​ ]  ​+ 2​  =    = ​ 3 × ​ (0 + ​  ​ ln ​ 1  ____   + ∞  ​ )​  + 2 =  3​ ​ (0 + 0)​  + 2 = 2​ ​ b​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​  [f​ ​ (x)​  − mx] ​ ​  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​  [3 ln ​ (​ x + 1)​  + 2x − 1 − 2x] ​ ​  =  = ​ ​ ​  lim​   x → + ∞ ​​​  ​  [3 ln ​ (​ x + 1)​  − 1] ​  = + ∞ − 1 = + ∞​ Como ​ b ∉ ℝ​, o gráfico da função f não admite assíntota quando ​ x → + ∞​ . 12.3. Em ​​ ]  0 ,  + ∞​  [  ​​, temos: ​​f '  ​ ​ (x)​  = ​  [3 ln ​ (​ x + 1)​  + 2x − 1] ​  ' = 3​  [​ ln ​ (​ x + 1)​ ] ​  ' + ​ (2x − 1)​  '​  =    = ​ 3 × ​  ​ (x + 1)​  '   ______  x + 1  ​  + 2 = ​  3   ____  x + 1  ​  + 2​ ​​f   ​ ​ (x)​  = ​​(​  3   ____  x + 1  ​  + 2)​  '   ​  = ​   − 3   _______  ​ (x + 1)​ ​​  2 ​  ​  + 0 = − ​  3   _______  ​ (x + 1)​ ​​  2 ​  ​​ ​  − ​  3   _______  ​ (x + 1)​ ​​  2 ​  ​   0 , ∀x ∈ ​ ]  0 ,  + ∞​  [  ​​ Como ​​f   ​ ​ (x)​   0 , ∀x ∈ ​ ]  0 ,  + ∞​  [  ​​, podemos concluir que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em ​​  ]  0 ,  + ∞ [ ​​. Logo, o gráfico da função f não tem pontos de inflexão neste intervalo. 13. Se ​ A​B ̂  ​C = α​, então ​ A​O ̂  ​ C = 2α​ . ​​‾  CD​  = sin ​ (​ 2α)​ ​​A​  [OCB] ​ ​​​  = ​  ​ ‾  BO​  × ​ ‾  CD​   ________  2  ​  = ​  1 × ​ sin ​ (​ 2α)​   ___________  2  ​​  =  ​ = ​  2​  sin ​ α cos α   __________  2  ​  =​   ​ = sin α cos α​ Resposta: (B) x y A D B C O a 2a
  • 21. Sugestão de resolução 350 CPEN-MA12 © Porto Editora 14. Dado que o ponto P pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio 1 , as suas coor- denadas são ​ (​ cos α , ​ sin α)​. 14.1. Sejam ​ P​ ​ (​ cos α , ​ sin α)​ e ​ B​ ​ (1 , 1)​. ​​‾  BP​  = ​ √  ______________________     ​ (1 − cos α)​ ​​  2 ​   + ​ ​ (1 − ​ sin α)​ ​​  2 ​  ​  ​  = ​ √  __________________________________      1 − 2​  cos ​ α + ​ cos​​  ​ 2 ​  α + 1 − 2​  sin ​ α + ​ ​ sin​​  ​ 2 ​  α ​​  =  = ​​ √  _________________________________      2 + ​ (​ cos​​  ​ 2 ​  α + ​ sin​​  ​ 2 ​  α)​  − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​ = ​   √  ______________________    2 + 1 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​ ​  =  = ​ ​   √  ___________________    3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​ ​ d​ ​ (α)​  = ​   √  ___________________    3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​ 14.2. ​​d '  ​ ​ (α)​  = ​​(​   √  _______________    3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​ )​  '   ​  = ​​ [​ (3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α)​ ​​ ​ 1  __  2  ​ ​ ]  ​  '  ​ =​ = ​​ 1  __  2  ​ ​ (3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α)​ ​​ ​ ​ 1  ____  2  ​  − 1 ​   × ​ ​ (3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α)​   '  ​  =​  = ​​ 1  __  2  ​ ​ (3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α)​ ​​ − ​ ​ 1  ____  2  ​ ​   × ​ (2​  sin ​ α − 2​  cos ​ α)​  =​   = ​​ 1  __  2  ​  × ​  1  ___________________    ​ (3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α)​ ​​ ​ 1  __  2  ​ ​  ​  ×  2​ ​ (​ sin α − ​ cos α)​  =​   = ​​  sin α − cos α    ___________________    ​   √  ___________________    3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​  ​​ ​​d '  ​ ​ (α)​  = 0​ ⇔ ​​  sin α − cos α    ___________________    ​   √  ___________________    3 − 2​  cos ​ α − 2​  sin ​ α ​  ​  = 0 ∧ α ∈ ​  [0 , 2π​  [​ ⇔​ ⇔ ​ sin α − ​ cos α = 0 ∧ α ∈ ​  [0 , 2π​  [​ ⇔​ ⇔ ​ sin α = ​ cos α ∧ α ∈ ​  [0 , 2π​  [​ ⇔ ​ α = ​  π   __  4  ​  ∨ α = ​  5π   ___  4  ​​ ​α​ 0 ​​  π   __  4  ​​ ​​  5π   ___  4  ​​ 2​ π​ ​​d '  ​ - 0 + 0 - d 1 ¢ £ ¢ Máx. Mín. Máx. A função d é estritamente decrescente em ​​  [0 ,  ​  π   __  4  ​]  ​​ e em ​​ [​  5π   ___  4  ​   , 2π  [​ e estritamente crescente em ​​ [​  π   __  4  ​ ,  ​  5π   ___  4  ​ ]  ​​ . d admite máximos relativos para ​ α = 0​ e ​ α = ​  5π   ___  4  ​​ e um mínimo relativo para ​ α = ​  π   __  4  ​​ . 15. ​​  lim​   x → ​ 1​​+ ​ ​​ ​ (x − 1)​   ​   x​   2 ​ −1 ​  = ​ e​​  ​  lim​   x→​ 1​​+ ​ ​​​  [​ (​   x​   2 ​  − 1)​  ln ​ (x − 1)​ ] ​  = ​ e​   0 ​  = 1​ dado que: ​​  lim​   x →​  1​​+ ​ ​​ ​  [​ (​   x​   2 ​  − 1)​  ln ​ (x − 1)​ ] ​  = ​  lim​   x → ​ 1​​+ ​ ​​ ​  [​ (x + 1)​  ​ (x − 1)​  ln ​ (x − 1)​ ] ​  =​ ​ = ​  lim​   x → ​ 1​​+ ​ ​​ ​ (x + 1)​  × ​  lim​   x → ​ 1​   + ​  ​  [​ (x − 1)​  ln ​ (x − 1)​ ] ​  =​ ​ = 2 × ​  lim​   x → ​ 1​​+ ​ ​​ ​  [​ (x − 1)​  ln ​ (x − 1)​ ] ​  =​ ​ = 2 × ​   lim​   y → +∞ ​  ​   [ ​  1  __  y  ​  ln ​ ( ​  1  __  y  ​ ) ​ ]  ​  = 2 × ​   lim​   y → +∞ ​  ​ ( ​  1  __  y  ​  ln ​   y​   −1 ​ ) ​  =​ ​ = − 2 × ​   lim​   y → +∞ ​  ​   ln y   ____  y   ​  = − 2 × 0 = 0​ ​y = ​  1  __  x - 1  ​  ⇔  x - 1 = ​ 1  __  y  ​​ Se ​ x → ​1​​  + ​, y → + ∞ .