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CONJUNTO – ELEMENTO – PERTINÊNCIA
   Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são
consideradas noções primitivas:
a) Conjunto
b) Elemento
c) Pertinência entre elemento e conjunto
   A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na
linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.
EXEMPLOS:
1) Conjunto das vogais
2) Conjunto dos algarismos romanos
3) Conjunto dos números ímpares positivos
4) Conjunto dos números primos positivos
5) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho
6) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias
  Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento.
Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u
2) I, V, X, L, C, D, M
3) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…
4) 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
5) paus, ouros, copas, espadas
6) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro.
    No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares,
isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números
ímpares e 2 não pertence.
   Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. É
importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por
exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é
um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.
   Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C,…, e um
elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y, … .
   Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos:

   Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos:

   É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e
não entrelaçada. Assim, na representação abaixo temos:




   No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando o
assim chamado diagrama de Euler-Venn.




DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO
   Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos:
enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma
propriedade característica dos elementos do conjunto.


  Descrição pela citação dos elementos
    Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos, devemos indicá-
lo escrevendo seus elementos entre chaves.
EXEMPLOS:
• Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
• Conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M}
• Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto,
   outubro, dezembro}
    Essa notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos
alguns elementos que evidenciam a lei de formação e em seguida colocamos
reticências.
EXEMPLOS:
• Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
• Conjunto dos números primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
• Conjunto dos múltiplos inteiros de 3: {0, 3, -3, 6, -6, 9, -9, …}
A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande
número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocando reticências e
indicamos o último elemento.
EXEMPLOS:
• Conjunto dos números inteiros de 0 a 500: {0, 1, 2, 3, …, 500}
• Conjunto dos divisores positivos de 100: {1, 2, 5, 10, …, 100}

  Descrição por uma propriedade
   Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade
característica P de seus elementos x, escrevemos:


e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.
EXEMPLOS:
• {x| x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1, -1, 3, -3}
• {x| x é inteiro e 0 ≤ x ≤ 500}pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, …, 500}


CONJUNTO UNITÁRIO – CONJUNTO VAZIO
   Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
EXEMPLOS:
• Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}
• Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}
   Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo usual
para o conjunto vazio é Ø.
EXEMPLOS:




CONJUNTO UNIVERSO
   Quando vamos desenvolver um certo assunto em Matemática, admitimos a
existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal
assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
   Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo
é ℝ (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução
vai ser um número inteiro, nosso conjunto universo é ℤ (conjuntos dos números
inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto
universo é um certo plano α.

                                       EXERCÍCIOS
1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
   A = {x| x é letra da palavra matemática} = {m, a t, e, i, c}
   B = {x| x é cor da bandeira brasileira} = {azul, branco, verde, amarelo}

2. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos
   conjuntos seguintes:
   A = {0, 2, 4, 6, 8, …} = {x | x é inteiro par}
   B = {0, 1, 2, …, 9} = {x | x é algarismo indo - arábico}

3. Escreva com símbolos:
   a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9}
   b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±24, ±42}
   c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; {0}
   d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 0
      e 3; {1/1, 1/2, 2/1, 2/2}


4. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos:
   A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} = {x | x é divisor inteiro de 6}
   B = {0, -10, -20, -30, -40, …} = {x | x é múltiplo inteiro não positivo de 10}
   C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} = {x | x é quadrado perfeito}

5. Quais dos conjuntos abaixo são unitários?




   Apenas o conjunto D
6. Quais dos conjuntos abaixo são vazios?




   Apenas o conjunto B.


CONJUNTOS IGUAIS
    Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) quando todo elemento de A pertence a B
e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A.
EXEMPLOS:
• {a, b, c, d} = {d, c, b, a}
• {1, 3, 5, 7,…} = {x |x é inteiro, positivo e ímpar}
• {x | 2x + 1 = 5} = {2}
   Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção
de ordem entre os elementos, como verificamos no primeiro exemplo.
   Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é
algo absolutamente inútil, pois, por exemplo:
                             {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d}
   Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B. É evidente que A é diferente de B se
existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não
pertencente a A.
EXEMPLO:
• {a, b, d} ≠ {a, b, c, d}


SUBCONJUNTOS
   Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento
de A pertence também a B.
  Com a notação A ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido
em B” ou “A é parte de B”.




   O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão.
EXEMPLOS:
• {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
• {a} ⊂ {a, b}
• {a, b} ⊂ {a, b}
• {x | x é inteiro é par} ⊂ {x | x é inteiro}

   Quando A ⊂ B, também escrevemos B ⊃ A, que se lê “B contém A”
   Com a notação A ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”.
   É evidente que A ⊄ B somente se existe ao menos um elemento de A que não
pertence a B.




EXEMPLOS:
• {a, b, c} ⊄ {b, c, d, e}
• {a, b} ⊄ {c, d, e}
• {x | x é inteiro e par} ⊄ {x | x é inteiro e primo}

   Conjuntos iguais
   Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos. Naquela definição,
está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A ⊂ B e B
⊂ A; portanto, podemos escrever:
                                  A= B ⇔A⊂ B e B ⊂A

   Propriedades da Inclusão
   Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:
   • ∅⊂A
   • A ⊂ A (reflexiva)
   • (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica)
   • (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva)
Conjunto das partes
   Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação P(A) – aquele
que é formado por todos os subconjuntos de A.
                                   P(A) = {X | X ⊂ A}

EXEMPLOS:
• Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é: P(A) = {∅, {a}}.
• Se A = {a, b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a, b}, isto é: P(A) = {∅, {a},
   {b}, {a, b}}.
• Se A = {a, b, c}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a,
   b, c}, isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

                                       EXERCÍCIOS
7. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = { 2, 4},
   a) Escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças:




   b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.

8. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou
   F cada sentença abaixo e justifique.
   a) A ⊂ D           V                          d) D ⊃ B   V
   b) A ⊂ B           F                          e) C = D   F
   c) B ⊂ C           F                          f) A ⊄ C   V

9. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
   a) {a, a, a, b, b} = {a, b}                        V
   b) {x | x² = 4} = {x | x ≠ 0 e x³ - 4x = 0}        V
   c) {x | 2x + 7 = 11} = {2}                         V
   d) {x | x<0 e x ≥ 0} = ∅                           V
10. Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo.
   a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}        V      f) a ∈ {a, {a}}            V
   b) {a} ∈ {a, b}               F      g) {a} ⊂ {a, {a}}          V
   c) ∅ ∈ {0}                    F      h) ∅ ⊂ {∅, {a}}            V
   d) 0 ∈ ∅                      F      i) ∅ ∈ {∅, {a}}            V
   e) {a} ⊂ ∅                    F      j){a, b} ∈ {a, b, c, d}    F

11. Faça um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são
   conjuntos não vazios, D ⊂ C ⊂ B ⊂ A.




12. Construa o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d}
P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c},
{a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

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  • 1. CONJUNTO – ELEMENTO – PERTINÊNCIA Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas: a) Conjunto b) Elemento c) Pertinência entre elemento e conjunto A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. EXEMPLOS: 1) Conjunto das vogais 2) Conjunto dos algarismos romanos 3) Conjunto dos números ímpares positivos 4) Conjunto dos números primos positivos 5) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho 6) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) I, V, X, L, C, D, M 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11,… 4) 2, 3, 5, 7, 11, 13,… 5) paus, ouros, copas, espadas 6) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números ímpares e 2 não pertence. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C,…, e um
  • 2. elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y, … . Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos: É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim, na representação abaixo temos: No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando o assim chamado diagrama de Euler-Venn. DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto. Descrição pela citação dos elementos Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos, devemos indicá- lo escrevendo seus elementos entre chaves. EXEMPLOS: • Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} • Conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M} • Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} Essa notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciam a lei de formação e em seguida colocamos reticências. EXEMPLOS: • Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} • Conjunto dos números primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} • Conjunto dos múltiplos inteiros de 3: {0, 3, -3, 6, -6, 9, -9, …}
  • 3. A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocando reticências e indicamos o último elemento. EXEMPLOS: • Conjunto dos números inteiros de 0 a 500: {0, 1, 2, 3, …, 500} • Conjunto dos divisores positivos de 100: {1, 2, 5, 10, …, 100} Descrição por uma propriedade Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x, escrevemos: e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”. EXEMPLOS: • {x| x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1, -1, 3, -3} • {x| x é inteiro e 0 ≤ x ≤ 500}pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, …, 500} CONJUNTO UNITÁRIO – CONJUNTO VAZIO Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. EXEMPLOS: • Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1} • Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3} Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo usual para o conjunto vazio é Ø. EXEMPLOS: CONJUNTO UNIVERSO Quando vamos desenvolver um certo assunto em Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo é ℝ (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto universo é ℤ (conjuntos dos números
  • 4. inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto universo é um certo plano α. EXERCÍCIOS 1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = {x| x é letra da palavra matemática} = {m, a t, e, i, c} B = {x| x é cor da bandeira brasileira} = {azul, branco, verde, amarelo} 2. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A = {0, 2, 4, 6, 8, …} = {x | x é inteiro par} B = {0, 1, 2, …, 9} = {x | x é algarismo indo - arábico} 3. Escreva com símbolos: a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±24, ±42} c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; {0} d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 0 e 3; {1/1, 1/2, 2/1, 2/2} 4. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos: A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} = {x | x é divisor inteiro de 6} B = {0, -10, -20, -30, -40, …} = {x | x é múltiplo inteiro não positivo de 10} C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} = {x | x é quadrado perfeito} 5. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? Apenas o conjunto D
  • 5. 6. Quais dos conjuntos abaixo são vazios? Apenas o conjunto B. CONJUNTOS IGUAIS Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. EXEMPLOS: • {a, b, c, d} = {d, c, b, a} • {1, 3, 5, 7,…} = {x |x é inteiro, positivo e ímpar} • {x | 2x + 1 = 5} = {2} Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos, como verificamos no primeiro exemplo. Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil, pois, por exemplo: {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d} Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B. É evidente que A é diferente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não pertencente a A. EXEMPLO: • {a, b, d} ≠ {a, b, c, d} SUBCONJUNTOS Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão.
  • 6. EXEMPLOS: • {a, b} ⊂ {a, b, c, d} • {a} ⊂ {a, b} • {a, b} ⊂ {a, b} • {x | x é inteiro é par} ⊂ {x | x é inteiro} Quando A ⊂ B, também escrevemos B ⊃ A, que se lê “B contém A” Com a notação A ⊄ B indicamos que “A não está contido em B”. É evidente que A ⊄ B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. EXEMPLOS: • {a, b, c} ⊄ {b, c, d, e} • {a, b} ⊄ {c, d, e} • {x | x é inteiro e par} ⊄ {x | x é inteiro e primo} Conjuntos iguais Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos. Naquela definição, está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A ⊂ B e B ⊂ A; portanto, podemos escrever: A= B ⇔A⊂ B e B ⊂A Propriedades da Inclusão Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: • ∅⊂A • A ⊂ A (reflexiva) • (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica) • (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva)
  • 7. Conjunto das partes Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação P(A) – aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. P(A) = {X | X ⊂ A} EXEMPLOS: • Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é: P(A) = {∅, {a}}. • Se A = {a, b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a, b}, isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. • Se A = {a, b, c}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}, isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. EXERCÍCIOS 7. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = { 2, 4}, a) Escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 8. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique. a) A ⊂ D V d) D ⊃ B V b) A ⊂ B F e) C = D F c) B ⊂ C F f) A ⊄ C V 9. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? a) {a, a, a, b, b} = {a, b} V b) {x | x² = 4} = {x | x ≠ 0 e x³ - 4x = 0} V c) {x | 2x + 7 = 11} = {2} V d) {x | x<0 e x ≥ 0} = ∅ V
  • 8. 10. Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo. a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} V f) a ∈ {a, {a}} V b) {a} ∈ {a, b} F g) {a} ⊂ {a, {a}} V c) ∅ ∈ {0} F h) ∅ ⊂ {∅, {a}} V d) 0 ∈ ∅ F i) ∅ ∈ {∅, {a}} V e) {a} ⊂ ∅ F j){a, b} ∈ {a, b, c, d} F 11. Faça um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjuntos não vazios, D ⊂ C ⊂ B ⊂ A. 12. Construa o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d} P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}