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                     Projeto de Ação na Escola – Comunicação e Educação na WEB
                                     Wania Regia Borges Gogia

                                          Plano de Aula


1.Tema: CONJUNTOS NUMÉRICOS
2.Disciplina: MATEMÁTICA
3. Introdução:
         A Matemática está presente na vida das pessoas, desde uma simples contagem, até o
  uso em complexos computadores. Pode parecer, a princípio, que alguns temas desta disciplina
  não tenham aplicação imediata no mundo humano, e isso pode gerar certo desapontamento. Na
  verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e
  do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Na Economia, por exemplo, o cálculo de
  juros e porcentagem; na Engenharia, os cálculos trigonométricos; na vida diária, as contas,
  prestações, comércio em geral, tudo envolve números, cálculos, matemática.
         Matos (2005) diz que para entender as aplicações da Matemática e “aprender” essa
  disciplina, são necessários dedicação e estudo. A superação das dificuldades de aprendizagem
  da Matemática no Ensino Médio, onde buscaremos a compreensão dos CONJUNTOS
  NUMÉRICOS.

4. Objetivo Geral:

       Identificar todos os conjuntos numéricos e seus elementos.


5.Tempo Previsto: 4h/a
2


6. Série Prevista: 1º ano/ Ensino Médio




7.Procedimentos:
    Atividade Desafiadora: Decodificação de símbolos.

    1º Momento: Distribuição de alguns símbolos para os alunos;

    2º Momento: Exploração do conteúdo através de questionamentos orais;

    3º Momento: Distribuição de folha xerografada com conteúdo;

    4º Momento: Resolução de exercícios em duplas;

    5º Momento: Correção dos exercícios;

    6º Momento: Recapitulação do conteúdo;

    7º Momento: Aplicação de teste avaliativo.




 8.Avaliação:
     Os alunos serão avaliados de forma contínua através de atividades realizadas em sala de
     aula, para casa, e avaliação escrita.

 9. Referências:

 Lima E. L. eT alii. A Matemática do ensino médio. Rio de janeiro, SBM, 1997. (Coleção do
 Professor de Matemática, 1 e 2.)


 MATOS, J. F. Modelação matemática. 4. ed. Modena: Universidade Aberta, 2005

 Site: www.somatematica.com.br (Acessado em 20/03/2009)
3


Acessos a vídeos com conteúdo sobre conjuntos numéricos.

http://www.youtube.com/watch?v=_9zxUm7FJug (Acessado em 30/04/2011)



10. Anexos:




                                    CONJUNTOS NUMÉRICOS


      Conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, animais ou
coisas constitui um conjunto.
      Os conjuntos que formam um conjunto são denominados elementos.
      Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c,... e os
conjuntos, por letras maiúsculas A, B, C,...
      Alguns termos e definições são importantes para o nosso estudo dos conjuntos:


PERTINÊNCIA
      a ∈ A lê-se: a pertence a A
      a ∉ A lê-se: a não pertence a B
      ex.: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, e temos: 3 ∈ A e -3∉ A.
OBS.: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.


IGUALDADE
      Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
      Indica-se: A = B (A é igual a B)


DESIGUALDADE
      Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um
dos conjuntos e não pertence ao outro.
      Ex.: A ≠ B lê-se: A é diferente de B.


CONJUNTO VAZIO
4

        É o conjunto que não possui elementos. ∅ ou {} lê-se: conjunto vazio.


COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO
        Um conjunto pode ser representado de 3 formas:


1º Por Extensão:
        Enumera-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por virgulas.
        Ex.: O conjunto dos dias da semana
        A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}
2º Por Compreensão ou Abreviadamente:
        O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus
elementos.
        Ex.: A = {X/X ∈ IN e X < 8}


3º Por Figura:
        Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venh. (John
Venh, lógico-inglês, 1834/1923)
        Ex.: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.


               24.
          1.         12.
      A
                6.         4.
          2.
                8.    3.


                                              EXERCÍCIO


1. Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, infinito ou finito.
a) B = {0, 1, 2, ..., 70} finito
b) C = {X/X é nº par positivo} infinito
c) E = {X/X é nº ímpar menor que 2} unitário
d) D = {X/X é par, solução da equação ( 3) + 2} ∅
                                          2




2. Utilizando os símbolos ∈ ou ∉ , relacione os elementos com os conjuntos A = {1, 3, 5,
7, ...} e B = {-1, -2, -5, -7...}
5

a) 3 ∈ A                                            d) 7 ∈ A
b) 5 ∉ B                                            e) -3 ∈ B
c) -1 ∈ A                                           f) -7 ∉ A

3. Relacione os conjuntos utilizando os símbolos = ou ≠ :
a) A = {1, 3, 5, 7} e B = {X/X é um nº impar, positivo, menor que 9}
A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} A=B
b) A = {verde, amarelo} e B = {X/X é uma cor da bandeira do Brasil
A = {verde, amarelo} e B= {amarelo, azul, branco} A ≠ B
c) A = {0, -1, -2, -3} e B = {X/X é um nº positivo}
A≠ B
d) A = {sábado, domingo} e B = {X/X é dia da semana}
A≠ B


4. Considere os diagramas abaixo:

       .1             .4
  A              .3        B        Dê, por extensão os conjuntos A e B
                      .5
       .2                           A = {1, 2, 3}
                                    B = {3, 4, 5}
  X         .3

             Y                      Dê, por extensão, os conjuntos X e Y
   .4         .1
             .2                     X = {1, 2, 3, 4, 5}
        .5                          Y = {1, 2}


                                   INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS


        Um conjunto A está contido em um conjunto B quando cada elemento de A também
pertence a B. Neste caso dizemos que A é subconjunto de B.
        A ⊂ B lê-se: A está contido em B.
        Ex.: Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos: {1, 3, 5} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4,
5} ou A ⊂ B.

                                       A              B
6

       A negação da inclusão é representada por: A ⊄ B lê-se: A não esta contido em B.
       Ex.: Da os conjuntos A = {0, 2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos: {0, 2, 4} ⊄ {1, 2, 3, 4, 5} ou A
⊄ B, pois 0 ∈ A e 0∈ B.
  A                       B




       Neste caso o conjunto A não é subconjunto de B.
       A ⊃ B lê-se: A contém B.
Ex.: Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {-1, 1, 3} temos: {-1, 0, 1, 2, 3} ⊃ {-1, 1, 3} ou A
⊃ B = B ⊂ A.
       Dizer que: “A não contém B” é o mesmo que dizer B não está contido em A”.
A ⊃ B lê-se: A não contém B


Ex.: Dados os conjuntos A = {-5, -3, -1} e B = {-5, -4, -3, -2, -1}, temos: {-5, -3, -1} ⊃ {-5, -4, -3,
-2, -1} ou A ⊃ B = B ⊄ A


                                            EXERCÍCIOS


1) Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, -5} e C =
{0, -1}.
a) A ⊄ B                                         c) A ⊄ C
b) B ⊂ A                                         d) C ⊂ A

2. Utilizar os símbolos ⊃ ou ⊃ , relacionando os conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...}, B =
{2, 5, 8} e C = {13, 21, 34}, de acordo com cada item:
a) A ⊃ B                                         c) C ⊃ A
b) B ⊃ A                                         d) A ⊃ C

3. No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada
uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa:
a) A ⊂ B (V)         e) C ⊂ B (V)
b) B ⊂ A (F)         f) A ⊂ C (F)
c) B ⊄ A (V)         g) A ⊄ C (V)                           A            C

d) B ⊃ A (V)         h) A ⊃ B (V)                                               B
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4. Seja A = {X/X é nº impar compreendido entre 3 e 15}, B = {X/X é nº par menor que 15} e C
= {X/X é nº par diferente de 2}. Usando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione entre si os
conjuntos.
a) A ⊂ B     A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}
b) A ⊂ B     B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
c) B ⊄ C     C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...}
                        OPERAÇÃO COM CONJUNTOS UNIÃO E REUNIÃO
      O conjunto reunião de A com B é formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a
ambos.
      A  B lê-se: A união B       A  B = {X/X ∈ A ou X ∈ B}
      Ex.: Dados os conjuntos A = {-3, -2, -1, 0} e B = {-1, 0, 1}, temos:
      A  B = {-3, -2, -1, 0, 1}


INTERSECÇÃO
      O conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos comuns a A e a B.
      A  B lê-se: A interseção B A  B = {X/X ∈ A e X ∈ B}
      Ex.: Dados os conjuntos A = {-3, -2, -1, 0} e B = {-1, 0, 1}, temos: A         B

      A  B = {-1, 0}
OBS.: Quando A  B = ∅ , os conjuntos A e B são chamados disjuntos.


DIFERENÇA
      O conjunto diferença de A e B é formado por elementos de A que não pertencem a B.
      A – B lê-se: A menos B           A – B = {X/X ∈ A e X ∉ B}      A              B
      Ex.: Dados os conjuntos A = {-4, -3, -2, -1, 0} e B = {-2, -1, 0, 1}, temos:
      A – B = {-4, -3}


COMPLEMENTAR:
      O conjunto complementar de B em relação a A é dado or CAB = A – B (condição: B ⊂ A)
      CAB lê-se: complementar de B em relação a A.
      Ex.: Dados os conjuntos A = {-4, -3, -2, -1, 0} e B = {-2, -1, 0}, temos:
      CAB =A – B = {-4, -3}


                                               EXERCÍCIO
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1. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {X/X é nº impar compreendido entre 4 e 10},
determine.
a) A  B      {0, 1, 3, 5}
b) A  C      {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
c) A  D      {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}
d) B  D      {0, 2, 3, 5, 7, 9}
e) C  D      {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
f) B  C      {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}


2. Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, C = {X/X é par compreendido entre 0 e 10} e D = {X/
X é ímpar compreendido entre 0 e 6}, determine. C = {0, 2, 4, 6, 8} D = {1, 3, 5}
a) A  B              {0, 1, 2}
b) A  C              {0, 2, 4}
c) B  C              {0,2}
d) (A  B)  C        {0, 1, 2}  {0, 2, 4, 6, 8} = {0, 2}
e) (A  C)  D        {0, 2, 4}  {1, 3, 5} = ∅


3. Responda:
a. Se A  B = ∅ , como se chamam os conjuntos A e B? Disjunto
b. Se um conjunto A tem 3 elementos e um conjunto B tem 5 elementos, quantos elementos no
máximo, terá o conjunto A  B? 3
c. Se A e B são disjuntos, quantos elementos terá o conjunto A  B? Zero


4. Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} e C = {1, 2, 4}, encontre:
a. B – C = {2, 3, 6} – {1, 2, 3} = {3, 6}
b. CAB = A – C = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 3} = {3, 5}


5. Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, escreva os
conjuntos:
a) CAB        A – B = {0, -1, -2, -3, -4} – {0, -1} = {-2, -3, -4}
b) CAC        A – C = {0, -1, -2, -3, -4} – {-2, -3, -4} = {0, -1}
c) CBA        B – A = {0,-1} – {0, -1, -2, -3, -4} = ∅
d) CCA        C – A = {-2, -3, -4} – {0, -1, -2, -3, -4} = ∅
9




                                                  REVISÃO
Dados os conjuntos:
A = {x, y, z, w}; B = {x, y}; C = {a} e D = {a, x, y, z, w}, determine:
a) A – B = {x, y, z, w} – {x, y} = {z, w}
b) B – A = {x, y} – {x, y, z, w} = ∅
c) CAB A – B = {z, w}
d) A – C = {x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w}
e) D – A = {a, x, y, z, w} – {x, y, z, w} = {a}
f) A – D = {x, y, z, w} – {a, x, y, z, w} = ∅
g) CDC = D – C = {a, x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w}
h) A  D = {x, y, z, w}
i) B  C = {a, x, y}
j) A  B = {x, y}
l) CAB  B = A – B = {x, y, z, w} – {x, y} = {z, w}  {x, y} = ∅
m) CDC  B = D – C = {a, x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w}  {x, y} = {x, y, z, w}


Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {X/X é um estado físico da
matéria}, B = {sólido, líquido} e C = {líquido, gasoso}
a) A ⊄ B                               c) A ⊄ C
b) B ⊂ A                               d) C ⊂ A


Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5} determine:
a) A – B = {0}                         d) (A  B) – C = {1, 2, 3} – C = {1}
b) A – C = {0, 1}            e) (A – C)  (B – C) = {0, 1}  {2} = ∅
c) B – C = {1}                         f) A – ∅ = {0, 1, 2, 3}


Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}, determine:
a) A – B = {0}
b) (A  B) – C = {1}
c) CAB = {0}
d) A – C = {0, 1}
10

e) B – C = {1}
f) A - ∅ =
g) (A – C)  (B – C) = {1}


Sejam os conjuntos A = {X/X é par x > 3} e B = {X/X é par e x > 7}, determine A – B = {4, 6}
A = {4, 6, 8,...} B = {8, 10, 12,...}
                                                              TESTE


1. Utilizando os símbolos ∈ ou ∉ , relacione os elementos com os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}
e B = {-1, -3, -5, -7}
a) 3 ∈ A                 b) 5 ∉ B                 c) -7 ∉ A           d) -3 ∈ B
a) -7 ∉ A                b)3 ∈ A                  c) -3∈ B            d) 5 ∉ B


2. Considere o diagrama. Escreva, por extensão, os conjuntos X e Y.


                                             X .1
                                                          Y
                                                .4         .1
                                                          .2
                                                     .5
3. Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, -5} e C =
{0, -1}.
a) A ⊄ B                 b) B ⊂ A                 c) A ⊄ C            d)C ⊂ A


4. Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {X/X é um estado físico da
matéria}, B = {sólido, líquido} e C = {líquido, gasoso}
a)A ⊄ B                  b) B ⊂ A                 c) A ⊄ C            d) C ⊂ A
5. RESPONDA
a. Se A e B são disjuntos, quanto elementos terá o conjunto A  B? Zero
b. Se A  B = ∅ , como se chamam os conjuntos A e B? Disjuntos


6. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {X/X é nº ímpar compreendido entre 4 e 10},
determine:
a) A  B {0, 1, 3, 5}              b) B  D {0, 2, 3, 5, 7, 9}        c) A  D {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}
a) B  C {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}b) A  C {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}          c) C  D {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
11



7. Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u}, B = {a, e, i} e C = {o, u}, determine os conjuntos
abaixo:
a) A  B {a, e, i}               b) A  C {o, u}          c) B  C ∅
a) B  O                         b) A  C {o, u}          c) A  B {a, e, i}


8. Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1}, C = {-2, -3, -4} escreva os conjuntos.
a) CAC = {0, -1}                        b) CCA = ∅


9. Sejam os conjuntos A = {X/X é par X > 3} e B = {X/X é par e X > 7}. Determine A – B:
{4, 6}


10. Facultativa
           Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}, C = {2, 3} determine:
a) (A  B)  C = {0, 1, 2, 3, 5}
b) (A  B)  C = {2, 3}


                                         CONJUNTOS NUMÉRICOS


           Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações:


Conjunto dos Números Naturais N:
N = {0, 1, 2, 3, 4...}


Nota:
           O * (asterisco) é usado para indicar a supressão do zero. Assim:
N* = {1, 2, 3, 4, ...}


Conjunto dos Números Inteiros Z:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos)
Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos)


Conjunto de Números Racionais Q:
12

       a
Q={      a ∈ Z e b ∈ Z∗ }
       b
                                                                                                a
Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma de                    , com a e
                                                                                                b
b inteiros e b diferente de zero.
              7                       25 5                        6 2
Ex.:     7=                   2,5 =     =               0,666 =    =
              1                       10 2                        9 3
                                                                        a
OBS.: Os números que não podem ser expressos na forma                     , com a e b inteiros e b diferente
                                                                        b
de zero, chamam-se irracionais.
Ex.:        2 ≅ 1,414213...            3 ≅ 1,7320             π ≅ 3,1415


                                 CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS
         O conjunto de números racionais reunido com o conjunto dos números irracionais forma
o conjunto dos números reais.
Sendo:
          Q (racionais)
                                       Q  I = R (reais)
          I (irracionais)
         Assim, os números reais podem ser racionais ou irracionais.
         Os reais racionais, quando expressos na forma decimal, ou são decimais exatos ou têm
infinitas casas, porém periódicas.
         Os reais irracionais, representados aproximadamente na forma decimal, têm infinitas
casas decimais e não periódicas.
         Ex.: 7
               0,8            reais racionais
               5,3232
               -9


               2,71828
               3,1415                 reais irracionais
Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos.
                                        R


                                                N Z


                                                    Q
13




EXERCÍCIOS
a) Enumerando os elementos, escreva os conjuntos:
a) A = {X ∈ N    X < 5} A = {0, 1, 2, 3, 4}

b) B = {X ∈ N    5 < X < 9} B = {5, 6, 7, 8, 9}

c) C = {X ∈ N*    X é par} C = {2, 4, 6, 8}

d) D = {X ∈ N    X < 6} A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}

e) E = {X ∈ Z    -4 < X < 5} E = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

f) F = {X ∈ N    2x -1 = 7} 2x=7+1       2x=8 x    x=4   F{4}


Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os símbolos ∈ ou ∉ .
a) 6 ∈ N                     e) 5 ∈ N*

b) 3 5 ∉ Z                   f) (2+3) ∈ N*

c) -12 ∉ N*                  g) (6 – 12) ∈ Z*

d) − 1 4 ∉ Z                 h) -7 ∉ Z+


Assinale com V as sentenças verdadeiras e, com F as falsas:
a) N ⊂ Z (V)                 f) Q ⊂ R (V)
b) N* ⊄ N (F)                g) Z ⊂ Q (V)
c) N* ⊂ N (V)                h) Z+ ⊂ Q+ (V)
d) Z+ ⊂ Z (V)        i) N ⊄ R (F)
e) Z- ⊄ Z (F)                j) R*+ ⊂ R (V)

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Wania regia 5º aula

  • 1. 1 Projeto de Ação na Escola – Comunicação e Educação na WEB Wania Regia Borges Gogia Plano de Aula 1.Tema: CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.Disciplina: MATEMÁTICA 3. Introdução: A Matemática está presente na vida das pessoas, desde uma simples contagem, até o uso em complexos computadores. Pode parecer, a princípio, que alguns temas desta disciplina não tenham aplicação imediata no mundo humano, e isso pode gerar certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Na Economia, por exemplo, o cálculo de juros e porcentagem; na Engenharia, os cálculos trigonométricos; na vida diária, as contas, prestações, comércio em geral, tudo envolve números, cálculos, matemática. Matos (2005) diz que para entender as aplicações da Matemática e “aprender” essa disciplina, são necessários dedicação e estudo. A superação das dificuldades de aprendizagem da Matemática no Ensino Médio, onde buscaremos a compreensão dos CONJUNTOS NUMÉRICOS. 4. Objetivo Geral:  Identificar todos os conjuntos numéricos e seus elementos. 5.Tempo Previsto: 4h/a
  • 2. 2 6. Série Prevista: 1º ano/ Ensino Médio 7.Procedimentos: Atividade Desafiadora: Decodificação de símbolos. 1º Momento: Distribuição de alguns símbolos para os alunos; 2º Momento: Exploração do conteúdo através de questionamentos orais; 3º Momento: Distribuição de folha xerografada com conteúdo; 4º Momento: Resolução de exercícios em duplas; 5º Momento: Correção dos exercícios; 6º Momento: Recapitulação do conteúdo; 7º Momento: Aplicação de teste avaliativo. 8.Avaliação: Os alunos serão avaliados de forma contínua através de atividades realizadas em sala de aula, para casa, e avaliação escrita. 9. Referências: Lima E. L. eT alii. A Matemática do ensino médio. Rio de janeiro, SBM, 1997. (Coleção do Professor de Matemática, 1 e 2.) MATOS, J. F. Modelação matemática. 4. ed. Modena: Universidade Aberta, 2005 Site: www.somatematica.com.br (Acessado em 20/03/2009)
  • 3. 3 Acessos a vídeos com conteúdo sobre conjuntos numéricos. http://www.youtube.com/watch?v=_9zxUm7FJug (Acessado em 30/04/2011) 10. Anexos: CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto. Os conjuntos que formam um conjunto são denominados elementos. Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c,... e os conjuntos, por letras maiúsculas A, B, C,... Alguns termos e definições são importantes para o nosso estudo dos conjuntos: PERTINÊNCIA a ∈ A lê-se: a pertence a A a ∉ A lê-se: a não pertence a B ex.: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, e temos: 3 ∈ A e -3∉ A. OBS.: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto. IGUALDADE Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Indica-se: A = B (A é igual a B) DESIGUALDADE Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. Ex.: A ≠ B lê-se: A é diferente de B. CONJUNTO VAZIO
  • 4. 4 É o conjunto que não possui elementos. ∅ ou {} lê-se: conjunto vazio. COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO Um conjunto pode ser representado de 3 formas: 1º Por Extensão: Enumera-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por virgulas. Ex.: O conjunto dos dias da semana A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} 2º Por Compreensão ou Abreviadamente: O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Ex.: A = {X/X ∈ IN e X < 8} 3º Por Figura: Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venh. (John Venh, lógico-inglês, 1834/1923) Ex.: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 24. 1. 12. A 6. 4. 2. 8. 3. EXERCÍCIO 1. Classifique os conjuntos abaixo em vazio, unitário, infinito ou finito. a) B = {0, 1, 2, ..., 70} finito b) C = {X/X é nº par positivo} infinito c) E = {X/X é nº ímpar menor que 2} unitário d) D = {X/X é par, solução da equação ( 3) + 2} ∅ 2 2. Utilizando os símbolos ∈ ou ∉ , relacione os elementos com os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, ...} e B = {-1, -2, -5, -7...}
  • 5. 5 a) 3 ∈ A d) 7 ∈ A b) 5 ∉ B e) -3 ∈ B c) -1 ∈ A f) -7 ∉ A 3. Relacione os conjuntos utilizando os símbolos = ou ≠ : a) A = {1, 3, 5, 7} e B = {X/X é um nº impar, positivo, menor que 9} A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7} A=B b) A = {verde, amarelo} e B = {X/X é uma cor da bandeira do Brasil A = {verde, amarelo} e B= {amarelo, azul, branco} A ≠ B c) A = {0, -1, -2, -3} e B = {X/X é um nº positivo} A≠ B d) A = {sábado, domingo} e B = {X/X é dia da semana} A≠ B 4. Considere os diagramas abaixo: .1 .4 A .3 B Dê, por extensão os conjuntos A e B .5 .2 A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} X .3 Y Dê, por extensão, os conjuntos X e Y .4 .1 .2 X = {1, 2, 3, 4, 5} .5 Y = {1, 2} INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS Um conjunto A está contido em um conjunto B quando cada elemento de A também pertence a B. Neste caso dizemos que A é subconjunto de B. A ⊂ B lê-se: A está contido em B. Ex.: Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos: {1, 3, 5} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} ou A ⊂ B. A B
  • 6. 6 A negação da inclusão é representada por: A ⊄ B lê-se: A não esta contido em B. Ex.: Da os conjuntos A = {0, 2, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos: {0, 2, 4} ⊄ {1, 2, 3, 4, 5} ou A ⊄ B, pois 0 ∈ A e 0∈ B. A B Neste caso o conjunto A não é subconjunto de B. A ⊃ B lê-se: A contém B. Ex.: Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {-1, 1, 3} temos: {-1, 0, 1, 2, 3} ⊃ {-1, 1, 3} ou A ⊃ B = B ⊂ A. Dizer que: “A não contém B” é o mesmo que dizer B não está contido em A”. A ⊃ B lê-se: A não contém B Ex.: Dados os conjuntos A = {-5, -3, -1} e B = {-5, -4, -3, -2, -1}, temos: {-5, -3, -1} ⊃ {-5, -4, -3, -2, -1} ou A ⊃ B = B ⊄ A EXERCÍCIOS 1) Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, -5} e C = {0, -1}. a) A ⊄ B c) A ⊄ C b) B ⊂ A d) C ⊂ A 2. Utilizar os símbolos ⊃ ou ⊃ , relacionando os conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...}, B = {2, 5, 8} e C = {13, 21, 34}, de acordo com cada item: a) A ⊃ B c) C ⊃ A b) B ⊃ A d) A ⊃ C 3. No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa: a) A ⊂ B (V) e) C ⊂ B (V) b) B ⊂ A (F) f) A ⊂ C (F) c) B ⊄ A (V) g) A ⊄ C (V) A C d) B ⊃ A (V) h) A ⊃ B (V) B
  • 7. 7 4. Seja A = {X/X é nº impar compreendido entre 3 e 15}, B = {X/X é nº par menor que 15} e C = {X/X é nº par diferente de 2}. Usando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione entre si os conjuntos. a) A ⊂ B A = {4, 6, 8, 10, 12, 14} b) A ⊂ B B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} c) B ⊄ C C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} OPERAÇÃO COM CONJUNTOS UNIÃO E REUNIÃO O conjunto reunião de A com B é formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. A  B lê-se: A união B A  B = {X/X ∈ A ou X ∈ B} Ex.: Dados os conjuntos A = {-3, -2, -1, 0} e B = {-1, 0, 1}, temos: A  B = {-3, -2, -1, 0, 1} INTERSECÇÃO O conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos comuns a A e a B. A  B lê-se: A interseção B A  B = {X/X ∈ A e X ∈ B} Ex.: Dados os conjuntos A = {-3, -2, -1, 0} e B = {-1, 0, 1}, temos: A B A  B = {-1, 0} OBS.: Quando A  B = ∅ , os conjuntos A e B são chamados disjuntos. DIFERENÇA O conjunto diferença de A e B é formado por elementos de A que não pertencem a B. A – B lê-se: A menos B A – B = {X/X ∈ A e X ∉ B} A B Ex.: Dados os conjuntos A = {-4, -3, -2, -1, 0} e B = {-2, -1, 0, 1}, temos: A – B = {-4, -3} COMPLEMENTAR: O conjunto complementar de B em relação a A é dado or CAB = A – B (condição: B ⊂ A) CAB lê-se: complementar de B em relação a A. Ex.: Dados os conjuntos A = {-4, -3, -2, -1, 0} e B = {-2, -1, 0}, temos: CAB =A – B = {-4, -3} EXERCÍCIO
  • 8. 8 1. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {X/X é nº impar compreendido entre 4 e 10}, determine. a) A  B {0, 1, 3, 5} b) A  C {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} c) A  D {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} d) B  D {0, 2, 3, 5, 7, 9} e) C  D {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f) B  C {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 2. Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, C = {X/X é par compreendido entre 0 e 10} e D = {X/ X é ímpar compreendido entre 0 e 6}, determine. C = {0, 2, 4, 6, 8} D = {1, 3, 5} a) A  B {0, 1, 2} b) A  C {0, 2, 4} c) B  C {0,2} d) (A  B)  C {0, 1, 2}  {0, 2, 4, 6, 8} = {0, 2} e) (A  C)  D {0, 2, 4}  {1, 3, 5} = ∅ 3. Responda: a. Se A  B = ∅ , como se chamam os conjuntos A e B? Disjunto b. Se um conjunto A tem 3 elementos e um conjunto B tem 5 elementos, quantos elementos no máximo, terá o conjunto A  B? 3 c. Se A e B são disjuntos, quantos elementos terá o conjunto A  B? Zero 4. Se A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} e C = {1, 2, 4}, encontre: a. B – C = {2, 3, 6} – {1, 2, 3} = {3, 6} b. CAB = A – C = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 3} = {3, 5} 5. Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, escreva os conjuntos: a) CAB A – B = {0, -1, -2, -3, -4} – {0, -1} = {-2, -3, -4} b) CAC A – C = {0, -1, -2, -3, -4} – {-2, -3, -4} = {0, -1} c) CBA B – A = {0,-1} – {0, -1, -2, -3, -4} = ∅ d) CCA C – A = {-2, -3, -4} – {0, -1, -2, -3, -4} = ∅
  • 9. 9 REVISÃO Dados os conjuntos: A = {x, y, z, w}; B = {x, y}; C = {a} e D = {a, x, y, z, w}, determine: a) A – B = {x, y, z, w} – {x, y} = {z, w} b) B – A = {x, y} – {x, y, z, w} = ∅ c) CAB A – B = {z, w} d) A – C = {x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w} e) D – A = {a, x, y, z, w} – {x, y, z, w} = {a} f) A – D = {x, y, z, w} – {a, x, y, z, w} = ∅ g) CDC = D – C = {a, x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w} h) A  D = {x, y, z, w} i) B  C = {a, x, y} j) A  B = {x, y} l) CAB  B = A – B = {x, y, z, w} – {x, y} = {z, w}  {x, y} = ∅ m) CDC  B = D – C = {a, x, y, z, w} – {a} = {x, y, z, w}  {x, y} = {x, y, z, w} Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {X/X é um estado físico da matéria}, B = {sólido, líquido} e C = {líquido, gasoso} a) A ⊄ B c) A ⊄ C b) B ⊂ A d) C ⊂ A Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5} determine: a) A – B = {0} d) (A  B) – C = {1, 2, 3} – C = {1} b) A – C = {0, 1} e) (A – C)  (B – C) = {0, 1}  {2} = ∅ c) B – C = {1} f) A – ∅ = {0, 1, 2, 3} Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}, determine: a) A – B = {0} b) (A  B) – C = {1} c) CAB = {0} d) A – C = {0, 1}
  • 10. 10 e) B – C = {1} f) A - ∅ = g) (A – C)  (B – C) = {1} Sejam os conjuntos A = {X/X é par x > 3} e B = {X/X é par e x > 7}, determine A – B = {4, 6} A = {4, 6, 8,...} B = {8, 10, 12,...} TESTE 1. Utilizando os símbolos ∈ ou ∉ , relacione os elementos com os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {-1, -3, -5, -7} a) 3 ∈ A b) 5 ∉ B c) -7 ∉ A d) -3 ∈ B a) -7 ∉ A b)3 ∈ A c) -3∈ B d) 5 ∉ B 2. Considere o diagrama. Escreva, por extensão, os conjuntos X e Y. X .1 Y .4 .1 .2 .5 3. Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, -5} e C = {0, -1}. a) A ⊄ B b) B ⊂ A c) A ⊄ C d)C ⊂ A 4. Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄ , relacione os conjuntos A = {X/X é um estado físico da matéria}, B = {sólido, líquido} e C = {líquido, gasoso} a)A ⊄ B b) B ⊂ A c) A ⊄ C d) C ⊂ A 5. RESPONDA a. Se A e B são disjuntos, quanto elementos terá o conjunto A  B? Zero b. Se A  B = ∅ , como se chamam os conjuntos A e B? Disjuntos 6. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = {X/X é nº ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine: a) A  B {0, 1, 3, 5} b) B  D {0, 2, 3, 5, 7, 9} c) A  D {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} a) B  C {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}b) A  C {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} c) C  D {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • 11. 11 7. Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u}, B = {a, e, i} e C = {o, u}, determine os conjuntos abaixo: a) A  B {a, e, i} b) A  C {o, u} c) B  C ∅ a) B  O b) A  C {o, u} c) A  B {a, e, i} 8. Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1}, C = {-2, -3, -4} escreva os conjuntos. a) CAC = {0, -1} b) CCA = ∅ 9. Sejam os conjuntos A = {X/X é par X > 3} e B = {X/X é par e X > 7}. Determine A – B: {4, 6} 10. Facultativa Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}, C = {2, 3} determine: a) (A  B)  C = {0, 1, 2, 3, 5} b) (A  B)  C = {2, 3} CONJUNTOS NUMÉRICOS Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações: Conjunto dos Números Naturais N: N = {0, 1, 2, 3, 4...} Nota: O * (asterisco) é usado para indicar a supressão do zero. Assim: N* = {1, 2, 3, 4, ...} Conjunto dos Números Inteiros Z: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos) Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) Conjunto de Números Racionais Q:
  • 12. 12 a Q={ a ∈ Z e b ∈ Z∗ } b a Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma de , com a e b b inteiros e b diferente de zero. 7 25 5 6 2 Ex.: 7= 2,5 = = 0,666 = = 1 10 2 9 3 a OBS.: Os números que não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b diferente b de zero, chamam-se irracionais. Ex.: 2 ≅ 1,414213... 3 ≅ 1,7320 π ≅ 3,1415 CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS O conjunto de números racionais reunido com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais. Sendo: Q (racionais) Q  I = R (reais) I (irracionais) Assim, os números reais podem ser racionais ou irracionais. Os reais racionais, quando expressos na forma decimal, ou são decimais exatos ou têm infinitas casas, porém periódicas. Os reais irracionais, representados aproximadamente na forma decimal, têm infinitas casas decimais e não periódicas. Ex.: 7 0,8 reais racionais 5,3232 -9 2,71828 3,1415 reais irracionais Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos. R N Z Q
  • 13. 13 EXERCÍCIOS a) Enumerando os elementos, escreva os conjuntos: a) A = {X ∈ N X < 5} A = {0, 1, 2, 3, 4} b) B = {X ∈ N 5 < X < 9} B = {5, 6, 7, 8, 9} c) C = {X ∈ N* X é par} C = {2, 4, 6, 8} d) D = {X ∈ N X < 6} A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6} e) E = {X ∈ Z -4 < X < 5} E = {-3, -2, -1, 0, 1, 2} f) F = {X ∈ N 2x -1 = 7} 2x=7+1 2x=8 x x=4 F{4} Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os símbolos ∈ ou ∉ . a) 6 ∈ N e) 5 ∈ N* b) 3 5 ∉ Z f) (2+3) ∈ N* c) -12 ∉ N* g) (6 – 12) ∈ Z* d) − 1 4 ∉ Z h) -7 ∉ Z+ Assinale com V as sentenças verdadeiras e, com F as falsas: a) N ⊂ Z (V) f) Q ⊂ R (V) b) N* ⊄ N (F) g) Z ⊂ Q (V) c) N* ⊂ N (V) h) Z+ ⊂ Q+ (V) d) Z+ ⊂ Z (V) i) N ⊄ R (F) e) Z- ⊄ Z (F) j) R*+ ⊂ R (V)