1) O documento apresenta uma equação cartesiana de um plano P e pede para determinar uma equação vetorial desse plano. Também pede para determinar o espaço gerado por três vetores de R3 e recordar o teorema da invertibilidade de uma matriz.

1. Tarefas preliminares para a Aula 15
I. Determinar uma equação vetorial do plano P definido pela equação cartesiana 3x − 4y + z = 0.
II. Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) de R3.
III. Recordar o Teorema seguinte apresentado no final do Capı́tulo 1.
Teorema [Critérios de invertibilidade de uma matriz]
Dada A ∈ Mn, são equivalentes as afirmações:
1. A é invertı́vel
2. A ∼ In
3. car A = n
4. nul A = 0
5. o sistema homógeneo associado a A possui apenas a solução trivial
6. N(A) = {0Rn}
7. C (A) = Rn
8. L (A) = Rn
9. o sistema AX = B admite uma única solução para cada B ∈ Rn
10. det A 6= 0. [critério 10. adicionado no Capı́tulo 2]
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2. Universidade de Aveiro Departamento de Matemática
2020-2021 1.o
semestre
Aula 15 - Conjunto gerador
e linearmente independente,
base e dimensão
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3. Base e dimensão de um subespaço vetorial
Seja V um espaço vetorial. Uma base de um subespaço vetorial S 6= {0V } de V é
um subconjunto de S que é linearmente independente e gerador de S .
• {v1, . . . , vk} é um conjunto linearmente independente em S se
α1v1 + · · · + αkvk = 0V ⇒ α1 = · · · = αk = 0
ou seja, 0V escreve-se de forma única como combinação linear de v1, . . . , vk.
• {v1, . . . , vk} gera ou é conjunto gerador de um subespaço vetorial S de V se
S = h v1, . . . , vk i
ou seja, todo o v ∈ S escreve-se como combinação linear de v1, . . . , vk.
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4. Base e dimensão de um subespaço vetorial
Seja V um espaço vetorial. Uma base de um subespaço vetorial S 6= {0V } de V é
um subconjunto de S que é linearmente independente e gerador de S .
• {v1, . . . , vk} é um conjunto linearmente independente em S se
α1v1 + · · · + αkvk = 0V ⇒ α1 = · · · = αk = 0
ou seja, 0V escreve-se de forma única como combinação linear de v1, . . . , vk.
• {v1, . . . , vk} gera ou é conjunto gerador de um subespaço vetorial S de V se
S = h v1, . . . , vk i
ou seja, todo o v ∈ S escreve-se como combinação linear de v1, . . . , vk.
Uma base do subespaço trivial {0V } é o conjunto vazio.
A dimensão de S é o número de elementos de uma base de S e denota-se por dim S.
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5. Teorema B é uma base de um subespaço vetorial S
m
todo o v ∈S escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de B ⊂S
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6. Teorema B é uma base de um subespaço vetorial S
m
todo o v ∈S escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de B ⊂S
Exemplos de bases de Rn
1. Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 0), (0, 1):
(a, b) = α1(1, 0) + α2(0, 1) ⇒ α1 = a e α2 = b.
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7. Teorema B é uma base de um subespaço vetorial S
m
todo o v ∈S escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de B ⊂S
Exemplos de bases de Rn
1. Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 0), (0, 1):
(a, b) = α1(1, 0) + α2(0, 1) ⇒ α1 = a e α2 = b.
Logo Bc = ((1, 0), (0, 1)) é uma base de R2
, chamada a base canónica de R2
.
2. Seja ei o vetor de Rn
com i-ésima componente 1 e as restantes nulas.
Bc = (e1, e2, . . . , en) é a base canónica de Rn
dim Rn
= n
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8. 3. ((1, 1), (−1, 1)) é outra base de R2
.
Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 1), (−1, 1):
(a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 1) ⇔


1 −1
1 1




α1
α2

 =


a
b


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9. 3. ((1, 1), (−1, 1)) é outra base de R2
.
Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 1), (−1, 1):
(a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 1) ⇔


1 −1
1 1




α1
α2

 =


a
b


representa um sistema possı́vel e determinado para cada (a, b) ∈ R2
.
Determine-se ainda a sua única solução. Por exemplo, pela Regra de Cramer,
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10. 3. ((1, 1), (−1, 1)) é outra base de R2
.
Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 1), (−1, 1):
(a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 1) ⇔


1 −1
1 1




α1
α2

 =


a
b


representa um sistema possı́vel e determinado para cada (a, b) ∈ R2
.
Determine-se ainda a sua única solução. Por exemplo, pela Regra de Cramer,
α1 =

16. a −1
b 1

28. 1 −1
1 1

34. = ? e α2 =

40. 1 a
1 b

52. 1 −1
1 1

58. = ?
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59. 3. ((1, 1), (−1, 1)) é outra base de R2
.
Todo (a, b) ∈ R2
escreve-se de forma única como combinação linear de (1, 1), (−1, 1):
(a, b) = α1(1, 1) + α2(−1, 1) ⇔


1 −1
1 1




α1
α2

 =


a
b


representa um sistema possı́vel e determinado para cada (a, b) ∈ R2
.
Determine-se ainda a sua única solução. Por exemplo, pela Regra de Cramer,
α1 =

65. a −1
b 1

77. 1 −1
1 1

83. =
a + b
2
e α2 =

89. 1 a
1 b

101. 1 −1
1 1

107. =
b − a
2
.
Logo
(a, b) =
a + b
2
(1, 1) +
b − a
2
(−1, 1).
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108. Base canónica e dimensão de Pn e de Mm×n
4. Seja Pn o espaço dos polinómios na variável x de grau menor ou igual a n.
A base canónica de P2 é {x2
, x, 1} e dim P2 = 3.
A base canónica de Pn é {xn
, xn−1
, . . . , x, 1} e
dim Pn = n+1.
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109. Base canónica e dimensão de Pn e de Mm×n
4. Seja Pn o espaço dos polinómios na variável x de grau menor ou igual a n.
A base canónica de P2 é {x2
, x, 1} e dim P2 = 3.
A base canónica de Pn é {xn
, xn−1
, . . . , x, 1} e
dim Pn = n+1.
5. A base canónica de M2 é
( "
1 0
0 0
#
,
"
0 1
0 0
#
,
"
0 0
1 0
#
,
"
0 0
0 1
# )
e
dim M2 = 4.
Seja Eij a matriz m × n com entradas nulas excepto a (i, j) igual a 1.
A base canónica de Mm×n é { E11, . . . , E1n, . . . , Em1, . . . , Emn } e
dim Mm×n = mn.
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110. Tarefa I
Determinar uma equação vetorial do plano P definido pela equação cartesiana
3x − 4y + z = 0.
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111. Tarefa I
Determinar uma equação vetorial do plano P definido pela equação cartesiana
3x − 4y + z = 0.
3x − 4y + z = 0 ⇔







x = α
y = β
z = −3α + 4β
, α, β ∈ R
Uma equação vetorial de P é
(x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, −3) + β (0, 1, 4), α, β ∈ R.
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112. Tarefa I
Determinar uma equação vetorial do plano P definido pela equação cartesiana
3x − 4y + z = 0.
3x − 4y + z = 0 ⇔







x = α
y = β
z = −3α + 4β
, α, β ∈ R
Uma equação vetorial de P é
(x, y, z) = α (1, 0, −3) + β (0, 1, 4), α, β ∈ R
e todo o (x, y, z) ∈ P escreve-se como combinação linear de (1, 0, −3) e (0, 1, 4).
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113. Espaço gerado
Seja V um espaço vetorial real e v1, . . . , vk ∈ V .
O espaço gerado por v1, . . . , vk é o conjunto
h v1, . . . , vk i = {α1v1 + · · · + αkvk : α1, . . . , αk ∈ R}
de todas as combinações lineares de v1, . . . , vk que é um subespaço vetorial de V .
Dado o plano P anterior,
P = {α (1, 0, −3) + β (0, 1, 4) : α, β ∈ R}
= h (1, 0, −3), (0, 1, 4) i
que é um subespaço vetorial de R3
. [FP 4 / 2 (b) iv.]
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114. Espaço gerado
Seja V um espaço vetorial real e v1, . . . , vk ∈ V .
O espaço gerado por v1, . . . , vk é o conjunto
h v1, . . . , vk i = {α1v1 + · · · + αkvk : α1, . . . , αk ∈ R}
de todas as combinações lineares de v1, . . . , vk que é um subespaço vetorial de V .
Dados X, Y, Z ∈ R3
não nulos,
• h 0R3 i = ?
• h X i = ?
• h X, Y i = ?
• h X, Y, Z i = ?
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115. Espaço gerado
Seja V um espaço vetorial real e v1, . . . , vk ∈ V .
O espaço gerado por v1, . . . , vk é o conjunto
h v1, . . . , vk i = {α1v1 + · · · + αkvk : α1, . . . , αk ∈ R}
de todas as combinações lineares de v1, . . . , vk que é um subespaço vetorial de V .
Dados X, Y, Z ∈ R3
não nulos,
• h 0R3 i = {0R3 }
• h X i = {αX : α ∈ R} é a reta que passa pela origem e tem vetor diretor X
• h X, Y i = {αX+ βY : α, β ∈ R} é o plano que contém a origem e os vetores
X, Y quando X, Y são não colineares
• h X, Y, Z i = R3
quando X, Y, Z são não complanares.
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116. Conjunto gerador
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . . , vk} gera ou é conjunto gerador de um subespaço vetorial S de V se
S = h v1, . . . , vk i
ou seja, todo o v ∈ S escreve-se como combinação linear de v1, . . . , vk.
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117. Conjunto gerador
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . . , vk} gera ou é conjunto gerador de um subespaço vetorial S de V se
S = h v1, . . . , vk i
ou seja, todo o v ∈ S escreve-se como combinação linear de v1, . . . , vk.
Recordando que os vetores (1, 0, −3), (0, 1, 4) geram o plano P anterior, então
{(1, 0, −3), (0, 1, 4)}
é um conjunto gerador desse subespaço vetorial de R3
.
Nota: {(1, 0, −3), (0, 1, 4)} é um conjunto com apenas dois vetores
h(1, 0, −3), (0, 1, 4)i é um conjunto com uma infinidade de vetores (todos os do plano P)
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118. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
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119. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
Exercı́cio 15 (a) da FP3
Averiguar se {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1)} é base de R3
.
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120. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
Exercı́cio 15 (a) da FP3
{(1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1)} não gera R3
, logo não é base de R3
.
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121. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
Notar que
h (1, 0, 1), (2, 1, 0) i = h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = h (1, 0, 1), (3, 1, 1) i
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122. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
Notar que
h (1, 0, 1), (2, 1, 0) i = h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = h (1, 0, 1), (3, 1, 1) i
↑
(3, 1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(2, 1, 0)
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123. Tarefa II
Determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1).




1 2 3 x
0 1 1 y
1 0 1 z



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 −2 −2 z − x



 ∼




1 2 3 x
0 1 1 y
0 0 0 z − x + 2y




h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}
Notar que
h (1, 0, 1), (2, 1, 0) i = h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = h (1, 0, 1), (3, 1, 1) i
↑
(2, 1, 0) = −1(1, 0, 1) + 1(3, 1, 1)
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124. Notar ainda que o sistema homogéneo nas incógnitas α1, α2, α3:




1 2 3 0
0 1 1 0
1 0 1 0



 ∼




1 2 3 0
0 1 1 0
0 −2 −2 0



 ∼




1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0




é possı́vel indeterminado.
(
α1 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
⇔







α1 = −t
α2 = −t
α3 = t
, t ∈ R
(0, 0, 0) escreve-se de mais do que uma forma como combinação linear de (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1):
(0, 0, 0) = −t(1, 0, 1)−t(2, 1, 0) + t(3, 1, 1), ∀ t ∈ R
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125. Notar ainda que o sistema homogéneo nas incógnitas α1, α2, α3:




1 2 3 0
0 1 1 0
1 0 1 0



 ∼




1 2 3 0
0 1 1 0
0 −2 −2 0



 ∼




1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0




é possı́vel indeterminado.
(
α1 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
⇔







α1 = −t
α2 = −t
α3 = t
, t ∈ R
Por exemplo, quando t = 1,
−1(1, 0, 1) −1(2, 1, 0) + 1(3, 1, 1) = (0, 0, 0)
⇓
(3, 1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(2, 1, 0)
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126. Conjunto linearmente dependente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . ., vk} é linearmente dependente se existem escalares α1, . . . , αk não
todos nulos:
α1v1 + · · · + αkvk = 0V
ou seja, 0V escreve-se de mais do que uma forma como combinação linear de v1, . . . , vk.
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127. Conjunto linearmente dependente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . ., vk} é linearmente dependente se existem escalares α1, . . . , αk não
todos nulos:
α1v1 + · · · + αkvk = 0V
ou seja, 0V escreve-se de mais do que uma forma como combinação linear de v1, . . . , vk.
O conjunto anterior
{(1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1)}
é linearmente dependente, logo não é base de R3
.
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128. Conjunto linearmente dependente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . ., vk} é linearmente dependente se existem escalares α1, . . . , αk não
todos nulos:
α1v1 + · · · + αkvk = 0V
ou seja, 0V escreve-se de mais do que uma forma como combinação linear de v1, . . . , vk.
Em particular, dados X, Y, Z ∈ R3
,
•
X, Y
é linearmente dependente ⇔ X, Y são colineares
•
X, Y, Z
é linearmente dependente ⇔ X, Y, Z são complanares.
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129. Conjunto linearmente dependente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . ., vk} é linearmente dependente se existem escalares α1, . . . , αk não
todos nulos:
α1v1 + · · · + αkvk = 0V
ou seja, 0V escreve-se de mais do que uma forma como combinação linear de v1, . . . , vk.
Em particular, dados u, v ∈ V,
{u, v} é linearmente dependente ⇔ ∃ α ∈ K : v = αu ou u = 0V .
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130. Dependência linear, combinação linear e espaço gerado
Teorema
Dados v, v1, . . . , vk ∈V, são equivalentes as afirmações:
(a) {v1, . . . , vk, v} é linearmente dependente
(b) existe um v que é combinação linear de v1, . . . , vk
(c) h v1, . . . , vk, v i = h v1, . . . , vk i.
Em particular, {v1, . . . , vk, 0V} é linearmente dependente.
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131. Conjunto linearmente independente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . . , vk} é linearmente independente se
α1v1 + · · · + αkvk = 0V ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
ou seja, 0V escreve-se de forma única como combinação linear de v1, . . . , vk.
Todo o subconjunto de um conjunto linearmente independente é ainda linearmente independente.
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132. Conjunto linearmente independente
Dados v1, . . . , vk ∈ V,
• {v1, . . . , vk} é linearmente independente se
α1v1 + · · · + αkvk = 0V ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
ou seja, 0V escreve-se de forma única como combinação linear de v1, . . . , vk.
Todo o subconjunto de um conjunto linearmente independente é ainda linearmente independente.
Nota: Dado v ∈ V,
{v} é linearmente independente ⇔ v 6= 0V .
Dados X, Y ∈ Rn
não nulos,
{X, Y } é linearmente independente ⇔ X, Y são não colineares.
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133. Claro que os sistemas homogéneos nas incógnitas α1, α2:




1 2 0
0 1 0
1 0 0



 ∼




1 2 0
0 1 0
0 −2 0



 ∼




1 0 0
0 1 0
0 0 0








1 3 0
0 1 0
1 1 0



 ∼




1 3 0
0 1 0
0 −2 0



 ∼




1 0 0
0 1 0
0 0 0




são ambos possı́veis determinados com única solução a trivial:
α1 = α2 = 0.
Então são linearmente independentes os conjuntos
{(1, 0, 1), (2, 1, 0)} e {(1, 0, 1), (3, 1, 1)}.
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134. Mais simplesmente, como
(1, 0, 1), (2, 1, 0) são vetores não colineares e
(1, 0, 1), (3, 1, 1) também são vetores não colineares,
então são linearmente independentes os conjuntos
{(1, 0, 1), (2, 1, 0)} e {(1, 0, 1), (3, 1, 1)}.
Já vimos que estes são conjuntos geradores de
S = h (1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1) i = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x − 2y}.
Assim,
{(1, 0, 1), (2, 1, 0)} e {(1, 0, 1), (3, 1, 1)}
são duas bases deste subespaço vetorial S .
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135. Independência linear de k vetores de Rm
Teorema
Dada A∈Mm×k, são equivalentes as afirmações:
i. as k colunas de A formam um conjunto linearmente independente
ii. AX = 0Rm tem apenas a solução trivial
iii. N (A) = {0Rk}
iv. nul A = 0
v. car A = k.
A tem k colunas linearmente independentes e m linhas ⇒ k ≤ m
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136. Exercı́cio 10 (a) da FP4
Averigue se o conjunto
{(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (1, −1, 1)}
é linearmente independente em R3
.
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137. Exercı́cio 10 (a) da FP4
Averigue se o conjunto
{(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (1, −1, 1)}
é linearmente independente em R3
.
A =




1 0 1 1
1 2 2 −1
0 3 3 1




A matriz A tem no máximo caracterı́stica 3, logo o conjunto das 4 colunas de A não é
linearmente independente.
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138. Independência linear de n vetores de Rn
Quando k = m = n, as afirmações i. - v. do Teorema 2 são ainda equivalentes a
vi. det(A) 6= 0
vii. o sistema AX = B tem uma única solução para cada B ∈ Rn
viii. C (A) = Rn
ix. L (A) = Rn
x. as n colunas, ou n linhas, de A determinam um conjunto gerador de Rn
xi. as n colunas, ou n linhas, de A determinam um conjunto linearmente independente
xii. as n colunas, ou n linhas, de A determinam uma base de Rn
sempre que A∈Mn.
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139. Exercı́cio 15 (a)
Averigue se o conjunto
{(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}
é base de R3
.
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140. Exercı́cio 15 (a)
A =




1 1 0
0 1 1
1 0 1



 ∼




1 1 0
0 1 1
0 −1 1



 ∼




1 1 0
0 1 1
0 0 2




car A = 3
ou
det A =

148. 1 1 0
0 1 1
1 0 1

156. = 2 6= 0.
Então o conjunto
{(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}
é base de R3
.
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157. Teorema
Se uma base de um subespaço vetorial S possui m elementos e
i. {v1, . . . , vk} é linearmente independente em S ⇒ k ≤ m
ii. {v1, . . . , vk} é um conjunto gerador de S ⇒ k ≥ m
iii. {v1, . . . , vk} é uma base de S ⇒ k = m.
Assim, todas as bases de um subespaço vetorial S têm o mesmo número de elementos.
A dimensão de um subespaço vetorial S encontra-se bem definida.
Em particular, dim {0V } = 0.
Um espaço vetorial diz-se de dimensão infinita se não possui um número finito de geradores.
Exemplos F(R) e P são espaços vetoriais de dimensão infinita.
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158. Corolário
Sejam v1, . . . , vk ∈ V e dim V = n.
i. k n ⇒ {v1, . . . , vk} é linearmente dependente em V.
ii. k n ⇒ {v1, . . . , vk} não gera V.
Quando dim V = n,
• um conjunto linearmente independente em V com n elementos é uma base de V;
• um conjunto gerador de V com n elementos é uma base de V.
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159. Exercı́cio 23 (a) da FP4
Justifique que
S = {(x, y, z, t) ∈ R4
: 2x − y + t = 0}
é um subespaço vetorial de R4
, apresentando-o como o espaço gerado por um
conjunto de vetores.
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160. Exercı́cio 23 (a) da FP4
Justifique que
S = {(x, y, z, t) ∈ R4
: 2x − y + t = 0}
é um subespaço vetorial de R4
, apresentando-o como o espaço gerado por um
conjunto de vetores.
S = {(x, y, z, t) ∈ R4
: 2x − y + t = 0}
= {(x, y, z, t) ∈ R4
: y = 2x + t}
= { (x, 2x + t, z, t) : x, z, t ∈ R }
= { x(1, 2, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) + t(0, 1, 0, 1) : x, z, t ∈ R }
= h (1, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) i
é um subespaço vetorial de R4
, pois é o espaço gerado por 3 vetores de R4
.
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161. Exercı́cio 23 (b) da FP4
Determine uma base e a dimensão de
S = {(x, y, z, t) ∈ R4
: 2x − y + t = 0}.
Como
{(1, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}
é um conjunto gerador de S e é linearmente independente [Justifique!], então é uma
base de S .
Portanto,
dim S = 3.
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162. De outro modo,
S = {(x, y, z, t) ∈ R4
: 2x − y + t = 0}
= {(x, y, z, t) ∈ R4
: t = −2x + y}
= { (x, y, z, −2x + y) : x, y, z ∈ R }
= { x(1, 0, 0, −2) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 0) : x, y, z ∈ R }
= h (1, 0, 0, −2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) i.
Logo
{(1, 0, 0, −2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}
é outro conjunto gerador de S e linearmente independente [Justifique!], isto é, outra
base de S .
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163. Coordenadas numa base
Teorema B é uma base de um subespaço vetorial S
m
todo o v ∈S escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de B ⊂S.
Doravante, distingue-se {v1, . . . , vk} do conjunto ordenado (v1, . . . , vk).
As coordenadas de v ∈ S na base B = (v1, . . . , vk) de um subespaço vetorial S
são os escalares α1, . . . , αk:
v = α1v1 + · · · + αkvk
obtidos como a única solução de um sistema possı́vel e determinado. Esta única solução
constitui o vetor das coordenadas de v na base B denotado por
[v]B = (α1, . . . , αk).
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