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REUNIÃO DE CONJUNTOS
   Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião ou união de A e B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A ou a B.
                                    A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
   O conjunto A ∪ B (lê-se “A reunião B” ou “A união B”) é formado pelos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B.
   Notemos que x é elemento de A ∪ B se ocorrer ao menos uma das condições seguintes:
                                             x ∈ A ou x ∈ B
EXEMPLOS:
1) {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d}
2) {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d}
3) {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
4) {a, b, c} ∪ ∅ = {a, b, c}
5) ∅ ∪ ∅ = ∅




   Propriedades da reunião
   Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
   • A ∪ A = A (idempotente)
   • A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
   • A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
   • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
   Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e a B.
                                      A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
   O conjunto A ∩ B (lê-se “A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois
conjuntos (A e B) simultaneamente.
   Se x ∈ A ∩ B, isso significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo e
colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo.
EXEMPLOS:
• {a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c}
• {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b}
• {a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c}
• {a, b} ∩ {c, d} = ∅
• {a, b} ∩ ∅ = ∅




   Propriedades da interseção
   Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
   • A ∩ A = A (idempotente)
   • A ∩ U = A (elemento neutro)
   • A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
   • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∪ C) (associativa)


   Conjuntos Disjuntos
   Quando A ∩ B = ∅, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B
são denominados conjuntos disjuntos.
Propriedades
    Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-
relacionam a reunião e a interseção de conjuntos:
   • A ∪ (A ∩ B) = A
   • A ∩ (A ∪ B) = A
   • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
   • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)


                                            EXERCÍCIOS
1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {c, e}, determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C
   e A ∪ B ∪ C.
   A ∪ B = {a, b, c, d}             B ∪ C = {c, d, e}
   A ∪ C = {a, b, c, e}             A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, e}


2. Classifique em V ou F:
   a) ∅ ⊂ (A ∪ B)               V
   b) (A ∪ B) ⊂ A               F
   c) A ⊃ (A ∪ B)               F
   d) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B ∪ C)     V
   e) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B)         V
   f) B ⊂ (A ∪ B)               V
   Admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer.


3. Dados os conjuntos A={a, b, c, d}, B={b, c, d, e} e C = {c, e, f}, descreva A ∩ B, A ∩ C,
   B ∩ C e A ∩ B ∩ C.
   A ∩ B = {b, c, d}          A ∩ C = {c}        B ∩ C = {c, e}        A ∩ B ∩ C = {c}


4. Classifique em V ou F:
   a) ∅ ⊂ (A ∩ B)               V
   b) A ⊂ (A ∩ B)               F
   c) A ∈ (A ∩ B)               F
   d) (A ∩ B) ⊃ (A ∩ B ∩ C) V
   e) (A ∩ B) ⊂ (A ∩ B)         V
   f) (A ∩ B) ⊂ B               V
   Admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer
5. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determine o conjunto X tal
   que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅. X= {1, 2}


6. Determine o conjunto X tal que:
   • {a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e}
   • {c, d} ∪ X = {a, c, d, e}
   • {b, c, d} ∩ X = {c}
      X = {a, c, e}


7. Sabe-se que
   • A ∪ B ∪ C = {n ∈ ℕ| 1 ≤ n ≤ 10}
   • A ∩ B={2, 3, 8}
   • A ∩ C = {2, 7}
   • B ∩ C = {2, 5, 6}
   • A ∪ B = {n ∈ ℕ| 1 ≤ n ≤ 8}.
   Determine C.
   C = { 2, 5, 6, 7, 9, 10}


8. Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relação
                                    {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4}
                                          4 conjuntos


9. Assinale no diagrama abaixo, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
10. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C com 4 elementos. Qual é
   o número máximo de elementos de (A ∩ B) ∩ C? 2 elementos


DIFERENÇA DE CONJUNTOS
   Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos
elementos de A que não pertencem a B.
                                    A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
EXEMPLOS:
1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}
2) {a, b, c} - {b, c} = {a}
3) {a, b} - {c, d, e, f} = {a, b}
4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = ∅




V   COMPLEMENTAR DE B EM A
   Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a
A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.




  Utilizamos a notação    quando queremos determinar o complementar de A em relação a
um conjunto universo U. Logo:
EXEMPLOS:
1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então   = {a, b}
2) Se A = {a, b, c, d} = B, então      =∅
3) Se A = {a, b, c, d} e B = ∅, então       = {a, b, c, d} = A


  Propriedades
      Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:




                                           EXERCÍCIOS
11. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine:
   a) A – B {a, b}                      d) (A ∪ C) – B           {a, b}
   b) B – A {e, f, g}                   e) A – (B ∩ C)           {a, b, c}
   c) C – B {b}                         f) (A ∪ B) – (A ∩ C)     {f}


12. Classifique em V ou F as sentenças:
   a) (A – B) ⊃ ∅                V
   b) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A      V
   c) (A – B) ⊂ B                F
   d) (A – B) ⊂ (A ∪ B)          V
      Admitindo que A e B são conjuntos quaisquer.


13. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um
   conjunto X tal que X ⊂ A e A – X = B ∩ C.
      X = {1, 3, 5}


14.      Assinale no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
15.   Classifique em V ou F as seguintes sentenças:




16.



17.   Descreva os elementos dos conjuntos abaixo:




18. Seja E = {a, {a}}. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras.




19. Dados A e B conjuntos tais que n(A) = 4, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, determine o número
   de subconjuntos de A ∪ B. 64 subconjuntos


20. Se A = {3n| n ∈ ℕ} e B = {n ∈ ℕ| n é divisor de 120}, qual é o número de elementos de
   A ∩ B? 8 elementos
21. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52
   estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos
   não estudam nenhuma das duas? 332 alunos / 83 alunos


22. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de
   mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:




   Forneça:
   a) O número de pessoas consultadas;                             500 pessoas

   b) O número de pessoas que só consomem a marca A;               61 pessoas

   c) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C;       257 pessoas

   d) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.       84 pessoas


23. Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que
   70 são brancos, 350 são não pretos e 50% são amarelos, responda:
   a) Quantos indivíduos têm a comunidade?       560 indivíduos

   b) Quantos são os indivíduos amarelos?        280 indivíduos

24. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência
   médica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Santos e outra em
   Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham
   na filial de Santos. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de
   assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a
   porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? 40% dos
   empregados
25. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seis condições:

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  • 1. REUNIÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião ou união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} O conjunto A ∪ B (lê-se “A reunião B” ou “A união B”) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Notemos que x é elemento de A ∪ B se ocorrer ao menos uma das condições seguintes: x ∈ A ou x ∈ B EXEMPLOS: 1) {a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d} 2) {a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d} 3) {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e} 4) {a, b, c} ∪ ∅ = {a, b, c} 5) ∅ ∪ ∅ = ∅ Propriedades da reunião Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: • A ∪ A = A (idempotente) • A ∪ ∅ = A (elemento neutro) • A ∪ B = B ∪ A (comutativa) • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
  • 2. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} O conjunto A ∩ B (lê-se “A inter B”) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente. Se x ∈ A ∩ B, isso significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo e colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo. EXEMPLOS: • {a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c} • {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b} • {a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c} • {a, b} ∩ {c, d} = ∅ • {a, b} ∩ ∅ = ∅ Propriedades da interseção Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: • A ∩ A = A (idempotente) • A ∩ U = A (elemento neutro) • A ∩ B = B ∩ A (comutativa) • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∪ C) (associativa) Conjuntos Disjuntos Quando A ∩ B = ∅, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
  • 3. Propriedades Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter- relacionam a reunião e a interseção de conjuntos: • A ∪ (A ∩ B) = A • A ∩ (A ∪ B) = A • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) EXERCÍCIOS 1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {c, e}, determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C. A ∪ B = {a, b, c, d} B ∪ C = {c, d, e} A ∪ C = {a, b, c, e} A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, e} 2. Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A ∪ B) V b) (A ∪ B) ⊂ A F c) A ⊃ (A ∪ B) F d) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B ∪ C) V e) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B) V f) B ⊂ (A ∪ B) V Admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer. 3. Dados os conjuntos A={a, b, c, d}, B={b, c, d, e} e C = {c, e, f}, descreva A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C e A ∩ B ∩ C. A ∩ B = {b, c, d} A ∩ C = {c} B ∩ C = {c, e} A ∩ B ∩ C = {c} 4. Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A ∩ B) V b) A ⊂ (A ∩ B) F c) A ∈ (A ∩ B) F d) (A ∩ B) ⊃ (A ∩ B ∩ C) V e) (A ∩ B) ⊂ (A ∩ B) V f) (A ∩ B) ⊂ B V Admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer
  • 4. 5. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determine o conjunto X tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅. X= {1, 2} 6. Determine o conjunto X tal que: • {a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e} • {c, d} ∪ X = {a, c, d, e} • {b, c, d} ∩ X = {c} X = {a, c, e} 7. Sabe-se que • A ∪ B ∪ C = {n ∈ ℕ| 1 ≤ n ≤ 10} • A ∩ B={2, 3, 8} • A ∩ C = {2, 7} • B ∩ C = {2, 5, 6} • A ∪ B = {n ∈ ℕ| 1 ≤ n ≤ 8}. Determine C. C = { 2, 5, 6, 7, 9, 10} 8. Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relação {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} 4 conjuntos 9. Assinale no diagrama abaixo, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
  • 5. 10. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C com 4 elementos. Qual é o número máximo de elementos de (A ∩ B) ∩ C? 2 elementos DIFERENÇA DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B} EXEMPLOS: 1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a} 2) {a, b, c} - {b, c} = {a} 3) {a, b} - {c, d, e, f} = {a, b} 4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = ∅ V COMPLEMENTAR DE B EM A Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Utilizamos a notação quando queremos determinar o complementar de A em relação a um conjunto universo U. Logo:
  • 6. EXEMPLOS: 1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então = {a, b} 2) Se A = {a, b, c, d} = B, então =∅ 3) Se A = {a, b, c, d} e B = ∅, então = {a, b, c, d} = A Propriedades Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades: EXERCÍCIOS 11. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine: a) A – B {a, b} d) (A ∪ C) – B {a, b} b) B – A {e, f, g} e) A – (B ∩ C) {a, b, c} c) C – B {b} f) (A ∪ B) – (A ∩ C) {f} 12. Classifique em V ou F as sentenças: a) (A – B) ⊃ ∅ V b) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A V c) (A – B) ⊂ B F d) (A – B) ⊂ (A ∪ B) V Admitindo que A e B são conjuntos quaisquer. 13. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A – X = B ∩ C. X = {1, 3, 5} 14. Assinale no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
  • 7. 15. Classifique em V ou F as seguintes sentenças: 16. 17. Descreva os elementos dos conjuntos abaixo: 18. Seja E = {a, {a}}. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras. 19. Dados A e B conjuntos tais que n(A) = 4, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, determine o número de subconjuntos de A ∪ B. 64 subconjuntos 20. Se A = {3n| n ∈ ℕ} e B = {n ∈ ℕ| n é divisor de 120}, qual é o número de elementos de A ∩ B? 8 elementos
  • 8. 21. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? 332 alunos / 83 alunos 22. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: Forneça: a) O número de pessoas consultadas; 500 pessoas b) O número de pessoas que só consomem a marca A; 61 pessoas c) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; 257 pessoas d) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 84 pessoas 23. Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não pretos e 50% são amarelos, responda: a) Quantos indivíduos têm a comunidade? 560 indivíduos b) Quantos são os indivíduos amarelos? 280 indivíduos 24. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? 40% dos empregados
  • 9. 25. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seis condições: