1. Se n for múltiplo de 4, (a + bi)n = (-b + ai)n. 2. z é igual ao seu complexo conjugado. 3. Os números da forma 2 cos θ + 2 sin θi descrevem uma circunferência unidade e sua área é π.

1. Explica¸c˜ao de Matem´atica 12.º Ano
29 de Abril de 2020
Miguel Fernandes
Exerc´ıcios Suplementares sobre N´umeros Complexos:
1. Seja z = a + bi. Mostre que se n ∈ N ´e um m´ultiplo de 4, ent˜ao:
(a + bi)
n
= (−b + ai)
n
.
2. Mostre que ¯¯z = z.
3. Considere os n´umeros complexos da forma z = 2 cos θ + 2 sin θi, onde θ ∈ [0, 2π[.
Esses n´umeros complexos descrevem um determinado lugar geom´etrico no Plano de
Argand.
(a) Indique esse lugar geom´etrico e determine a sua ´area.
(b) Determine o valor de z¯z.
(c) Determine θ de modo que z =
1
2
+
√
3
2
i.
4. Diga se o n´umero complexo z = 1+2i pode ser escrito na forma (a2
+ b2
)+(a2
− b2
) i,
para alguns a, b ∈ R.
5. Em que condi¸c˜oes os n´umeros complexos z = a + bi e w = b + ai, onde a e b tˆem
sinal, pertencem ao mesmo quadrante?
6. Esboce a zona do plano de Argand dos n´umeros complexos z que satisfazem:
Re(z)2
+ Im(z)2
= 9 ∧ Re + Im(z) < 1.
1