Ceesvo (ensino fundamental) apostila 5

Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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Módulo 9
Objetivos:
- Identificar representações de ponto, reta e plano em situações
concretas;
- Representar e nomear ponto, reta e plano;
- Identificar as posições das retas em vertical, horizontal e inclinada,
- Identificar as posições de 2 retas num plano em paralelas, concorrentes
e coincidentes;
- Identificar segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos
congruentes;
- Identificar um polígono;
- Distinguir os lados e as diagonais de um polígono e calcular o nº de
diagonais;
- Calcular o perímetro de um polígono;
- Identificar o uso de ângulos;
- Reconhecer os ângulos : reto, agudo e obtuso;
- Determinar os ângulos complementares e suplementares;
- Reconhecer ângulos congruentes e ângulos opostos pelo vértice;
- Caracterizar um triângulo representando e nomeando seus elementos;
- Verificar a existência de um triângulo formado com três segmentos
dados;
- Determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo,
conhecendo as medidas dos outros ângulos;
- Identificar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo;
- Classificar triângulos quanto à medida dos lados e quanto à medida dos
ângulos;
- Identificar triângulos semelhantes;
- Determinar a razão de semelhança em triângulos semelhantes;
- Calcular a medida de lados em triângulos semelhantes;.
- Aplicar p Teorema de Talles;
- Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo em resolução de
situações-problemas.
Roteiro de estudo:
- Para estudar e aprender o conteúdo deste módulo você deverá ler com
muita atenção, pensando e raciocinando sobre o que você leu.
- Você deverá resolver os exercícios do módulo e fazer a correção pelo
gabarito.
FAÇA OS EXERCÍCIOS NO SEU CADERNO, NÃO
ESCREVA NA APOSTILA.

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Introdução à Geometria
Finalmente você vai estudar uma parte da matemática onde
não será preciso “decorar” teoremas ou fórmulas. É a GEOMETRIA
(estudo de medidas e formas que existem na terra).
GEO significa terra e METRIA significa medida.
PONTO, RETA E PLANO
1- Conceito (idéia) de PONTO:
Observando o mundo em que vivemos certas idéias surgem de
modo intuitivo
Exemplo: A marca da ponta de um lápis, uma marca de giz no
quadro negro, a localização de uma cidade no mapa, tudo isso nos
dá a idéia de ponto em geometria.
O ponto não tem dimensões (tamanho) e é normalmente
indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Ex.: . A . B
( ponto A ) ( ponto B )
2- Conceito de RETA:
Exemplo: Um fio esticado por duas pessoas, a linha divisória de
um campo de futebol sugerem a idéia de reta em geometria, com
uma diferença básica: a reta não tem começo e nem fim, portanto
não pode ser medida.
As retas são indicadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.
Ex.: r s a
(reta r) (reta s) (reta a)
3- Conceito de PLANO:
Qualquer superfície (a parede de uma sala, um pedaço de
madeira compensada, o piso de um campo de futebol),
sugerem a idéia de plano em geometria.

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Usualmente os planos são indicados por letras do alfabeto
grego.
Ex: (alfa), (beta), (gama)
Representação:
(plano alfa) (plano Beta)
Conclusão:
- O ponto, a reta e o plano são noções intuitivas, ou seja, são
modelos criados por nossa imaginação e usados justamente
para compreendermos melhor certos aspectos do mundo em
que vivemos.
Posições de uma reta:
Vertical, Horizontal, Inclinada
A figura acima nos mostra um campo de voleibol onde:
cada vara lateral sugere a idéia de reta (r, t );
cada faixa da rede sugere a idéia de reta (s, u );
o campo sugere a idéia de plano ( ).
t
u

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Em relação ao campo ( plano ) as varas laterais ( letra r , t )
ocupam a posição vertical.
Representação da reta vertical
Observe a posição vertical do mastro da bandeira
Em relação ao campo (plano ) as faixas da rede (s, u )
ocupam a posição horizontal.
Representação da reta horizontal
Observe a posição horizontal da flexa:
Um foguete ocupa a posição inclinada em relação ao chão
quando está em movimento.
Representação da reta inclinada
Observe a posição inclinada do foguete:
Posições relativas de duas retas em um plano:
Retas Paralelas e Concorrentes

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A figura anterior mostra uma quadra de voleibol. Nela você observa
que:
as linhas laterais que sugerem a idéia de retas (retas a e b)
não se cruzam, então, as linhas laterais são paralelas
(mantém sempre a mesma distância entre elas);
as faixas da rede que sugerem a idéia de retas (retas r e s)
não se cruzam, então as faixas das retas são paralelas.
RETAS PARALELAS: Quando duas retas de um mesmo plano
não se cruzam elas mantêm sempre a mesma distância entre si,
portanto, não possuem ponto em comum e são denominadas retas
paralelas.
Representação de retas paralelas
a
b
r s
a || b r || s
(lê-se: a é paralela a b) (lê-se: r é paralela a s)
Veja novamente a figura da quadra de voleibol na página anterior
e observe:
As linhas laterais e as linhas de fundo sugerem a idéia de
retas que se interceptam (cruzam a com c ou b com c)
isto é, têm um ponto comum, por isso são chamadas de
concorrentes.
A vara lateral e a faixa da rede sugerem a idéia de retas (t
e r ou t e s) que se cruzam em um ponto comum, então, a
vara lateral e a faixa de rede são concorrentes.
Portanto:
A linha do trem exemplifica o conceito de
paralelismo, pois mantém sempre a mesma
distância entre seus trilhos.

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RETAS CONCORRENTES: Quando duas retas de um mesmo
plano possuem um ponto comum, isto é, que pertence às duas
retas são denominadas retas concorrentes (se cruzam em um
ponto).
Representação de retas concorrentes
c t
P A
a r
a x c t x r
lê-se a é concorrente a c lê-se t é concorrente a
r
P é o ponto em comum A é o ponto em
comum
RETAS COINCIDENTES: Quando duas retas r e s possuem
todos os pontos comuns isto é, uma está sobreposta (encima) à
outra.
Representação de retas coincidentes
r=s lê-se r é coincidente a s
SEGMENTO DE RETA (pedaço da reta)
Considere uma reta r e sobre ela marque dois pontos A e B
distintos (diferentes). O conjunto de pontos formados por A, por B e
por todos os pontos que estão entre A e B, denomina-se segmento
de reta AB . O segmento é identificado por um traço em cima das
letras que identificam o início e o fim do segmento
Observe as duas agulhas de tricô que se cruzam
num ponto. Elas nos dão a idéia de
concorrentes.

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A
F
H
A
B r
Veja um exemplo prático
SEGMENTOS CONGRUENTES ( tem a mesma medida)
De acordo com a figura acima observe que:
Os segmentos AB e CD têm a mesma medida logo são
congruentes
Os segmentos AC e BD são congruentes (têm a mesma
medida)
Então:
Tomando a mesma unidade de referência, dois segmentos
que têm a mesma medida são denominados segmentos
congruentes.
Você pode representar a congruência usando o símbolo .
Veja: AB CD (segmento AB é congruente ao segmento CD).
Os pontos A e B são chamados
extremidades do segmento
AB determinado sobre a reta r.
LEMBRE-SE:
RETA não tem começo e nem
fim. Não pode ser medida.
SEGMENTO DE RETA tem
começo e fim logo pode ser
medido.
AF leia segmento AF
FH leia segmento FH
B
D
A
C

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A
F
H
SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Observe o desenho acima. O segmento FH começa no mesmo
ponto onde termina o segmento AF . Eles são chamados
segmentos consecutivos (um após o outro).
Então:
Dois segmentos que têm em comum apenas uma extremidade
são denominados segmentos consecutivos.
Observe o desenho ao lado:
AB e BC são segmentos consecutivos pois têm
em comum o ponto B..
BC e CD são segmentos consecutivos com o
ponto C em comum.
FIGURAS POLIGONAIS
Observe as figuras desenhadas abaixo. Elas são formadas por
segmentos consecutivos.
( aberta ) (fechada) (aberta) (fechada)
Essas figuras geométricas planas são chamadas de figuras
poligonais. Elas podem ser abertas ou fechadas.
As figuras poligonais fechadas recebem o nome de POLÍGONOS.
G H
E F
A D
B C
M N
O P
X
Y Z
A
B
C
D

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ELEMENTOS DOS POLÍGONOS
LADOS: são os segmentos de reta (AB, BC, CD, DF, FH, HG
e EA) que formam o primeiro polígono desenhado acima.
VÉRTICES: são as extremidades comuns a dois lados
consecutivos de um polígono, ou seja, os pontos A, B, C, D, E, F, G
,H são os vértices do polígono acima desenhado
Existem diferentes tipos de polígonos e eles são classificados
de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos. Veja alguns
deles:
Nome dos polígonos
Nº de lados Nome
3 lados triângulo
4 lados quadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
8 lados octógono
9 lados eneágono
10 lados decágono
11 lados undecágono
20 lados icoságono
Diagonais de um polígono: são todos os segmentos com
extremidades em dois vértices não-consecutivos.
A quantidade de diagonais depende do nº (quantidade) de
vértices do polígono. Para saber quantas diagonais têm um
polígono faça o cálculo aplicando a fórmula:
AC , AE diagonais em relação ao
vértice A
BD , BE diagonais em relação ao
vértice B
DC diagonal em relação ao vértice
D ou C
A
B
C
D
E

Onde n = quantidade de lados do polígono
n = 5 (no desenho acima)
Então:D =
2
355
=
2
25
=
2
10
= 5 diagonais
Exemplo: O eneágono (polígono de 9 lados) tem quantas
diagonais?
Substituindo n por 9 na fórmula acima,você tem:
D = 9 . (9 – 3) = 9 . 6 = 54 = 27 diagonais
2 2 2
PERÍMETRO de um polígono qualquer: é a soma das
medidas de todos os seus lados.
Exemplo
4cm
3cm 2cm
2,5cm
ÂNGULOS
Você já viu que os polígonos são formados por lados
(segmentos) e vértices (ângulos).
O que são ângulos?
É toda região interna ou externa compreendida entre duas
semi-retas que têm o mesmo ponto de origem. A unidade de
medida do ângulo é o grau.
O perímetro do polígono é
4+3+2+2,5= 11,5cm
D = n . (n - 3)
2
O
A
B
Região interna formada por duas semi-
retas
AÔB = ângulo interno
Os ângulos também podem ser
representados por letras gregas tais
como: a, ß, ou simplesmente com o
acento circunflexo na letra: Â, C, H

Â
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:
ÂNGULO DE 360º - é o ângulo que forma uma circunferência.
ÂNGULO RASO - é igual a 180º. É a metade da circunferência.
ÂNGULO RETO - ângulo cuja medida é 90º. Esse ângulo é o mais
usado em arquitetura, construções, etc É o ângulo de 360º dividido
em 4 partes iguais. O ângulo reto é representado pelo símbolo
ÂNGULO ÂGUDO – ângulo com medida menor do que 90º. É o
ângulo fechado representado pelo sinal
ÂNGULO OBTUSO – ângulo com medida maior do que 90º ( é o
ângulo aberto)
B
90º
Ângulo A > 90º
Â > 90º
90º
O
Ângulo O < 90º
Ô < 90º
50º
145º
A

MEDIDAS DE ÂNGULOS
Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura.
Ele só tem uma medida chamada amplitude e sua unidade de
medida é o graus representado pelo sinal º Ex. 30º (trinta graus)
O instrumento usado para medir um ângulo é o transferidor.
Observe o desenho do transferidor e veja como se faz para medir
um ângulo.
.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Considere os ângulos AÔB, de medida x = 40°, e DÊF, de
medida Y = 50º
Observe que se você “juntar” os dois ângulos você forma um
ângulo de 90º.
Então : X + Y = 90°
40º + 50º = 90º
Nesse caso, os ângulos AÔB e DÊF são complementares. Veja a
representação de ângulos complementares no desenho do
transferidor, no início desta página.
Dois ângulos são complementares quando
a soma de suas medidas é igual a 90°
B
40º
O
A
50º
E
D
F
O transferidor é dividido em
unidades de medidas
denominadas GRAUS, no
intervalo de 0º à 180º (meia
circunferência) ou de 0º à 360º
(uma cirunferência).
Esta região está marcando um
ângulo de 40º

Veja o exemplo:
1- Calcule o complemento do ângulo de 20º
Solução:
Sendo X a medida do complemento do ângulo de 20° você tem:
X + 20° = 90° (calculando o valor de X)
X = 90º - 20º
X = 70º ( complementar de 20º)
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Considere os ângulos AÔB, de medida x=35°, e DÊF, de medida
y = 145º
Observe que X + Y = 180°
Nesse caso dizemos que AÔB e DÊF são ângulos suplementares.
Veja a ilustração no exemplo abaixo
Veja o exemplo:
Região do arco de linha pontilhada = 55º
Região do arco de linha cheia = 125º
Dois ângulos são suplementares quando
a soma de suas medidas é 180°.
55º
O A
B
125º
E D
F
A
B
C
O
55º125º

Calcule o suplemento do ângulo de 30º
Solução
Sendo X a medida do suplemento do ângulo de 30º você tem:
X + 30° = 180° (calculando o valor de X)
X = 180º - 30º
X = 150º (suplemento do ângulo de 30º)
Ângulos congruentes – ângulos que têm a mesma medida
Observe os seguintes ângulos:
Eles têm a mesma medida portanto são ângulos
congruentes.
Representação: AÔB RST (lê-se: AÔB é congruente a RST)
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são
semi-retas opostas aos lados do outro.
Você vai dar continuidade a geometria estudando um polígono
especial formado por 3 lados e 3 ângulos, chamado triângulo.
O
50º
A
B
50º
R
T
S
OBSERVE OS ÃNGULOS:
X e Y são ângulos opostos pelo
vértice ( A)
A
X Y
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes
( têm a mesma medida).

CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS
ÂNGULO DE 360° - forma
uma circunferência (uma
volta inteira)
ÂNGULO RASO – mede
180° (meia volta)
Ex.: um livro inteiramente
aberto forma um ângulo de
180° em relação ao fechado
(180°)
ÂNGULO RETO – mede
90° - é representado pelo
símbolo
Ex.: Os ponteiros do relógio
(horas e minutos) às 3 horas
ÂNGULO AGUDO – são
ângulos com medidas
menores do que 90°
(são os ângulos fechados)
Ex.: uma pasta entreaberta
ÂNGULO OBTUSO – são
ângulos com medidas
maiores do que 90° (são os
ângulos abertos)
Ex.: O ângulo entre o
assento e o encosto da
poltrona.

Módulo 10
Objetivos:
O aluno será capaz de:
Reconhecer as características de um triângulo,
Identificar e classificar os triângulos,
Conceituar proporcionalidade,
Identificar triângulos semelhantes,
Entender o Teorema de Tales,
Aplicar esses conceitos em resolução de problemas;
Identificar triângulo retângulo,
Reconhecer a relação métrica a ser usada,
Calcular as medidas desconhecidas nos triângulos,
Aplicar esses conhecimentos para solução de problemas.
Roteiro:
Leia atentamente o módulo;
Faça os exercícios e depois confira as respostas no gabarito;
Anote as dúvidas no caderno para perguntar ao orientador.

TRIÂNGULOS
Você vai estudar neste módulo o mais simples e o mais
importante dos polígonos: o triângulo.
São inúmeras as aplicações práticas do triângulo em
construções e estruturas que exigem rigidez e uma boa distribuição
de forças.
Observe as figuras abaixo e veja se consegue enxergar onde
estão os triângulos, sabendo que:
TRIÂNGULO é um polígono que possui 3 lados e 3 ângulos.

Representação e elementos de um triângulo qualquer
CLASSIFICAÇÃO
Você pode classificar os triângulos observando os lados e os
ângulos.
Quanto aos lados os triângulos são classificados em:
equilátero isósceles escaleno
A
B
C
Representação: ABC
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB. AC, BC
Ângulos internos: Â,
^
B ,
^
C

EQUILÁTERO: os 3 lados são congruentes (tem a mesma medida).
ISÓSCELES: têm dois lados congruentes (mesma medida) e um
diferente.
ESCALENO: as medidas dos 3 lados são diferentes.
Quanto aos ângulos os triângulos são classificados em:
RETÂNGULO: 1 ângulo tem medida
Igual a 90º (ângulo reto
^
X ).
( Observe o desenho)
OBTUSÂNGULO: tem um
ângulo com medida maior
do que 90º (ângulo Ô aberto).
ACUTÂNGULO: os 3 ângulos
têm medidas menores do que
90º (ângulos
^
A ,
^
B ,
^
C fechados)
70º
A
60ª
B
C
50º
120º
O
X

OBSERVAÇÕES:
Base ( b ) é o lado sobre o qual o triângulo
se apoia. No triângulo isósceles, considera-se a
base o lado de medida diferente.
Altura ( h ) é a medida da base até o vértice oposto.
A altura é representada por uma linha pontilhada.
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados
congruentes (de mesma medida) é chamado ângulo do
vértice.
No triângulo isósceles os ângulos da base são
congruentes ( mesma medida)
Num triângulo retângulo denomina-se hipotenusa o lado
oposto ao ângulo reto. Os demais lados denominam-se
catetos.
CURIOSIDADE : CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Para você construir um triângulo qualquer é necessário que a
medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das
medidas dos outros dois lados. Veja o exemplo:
9 < 5 + 7 ou
5 < 7 + 9 ou
7 < 5 + 9
hipotenusa
cateto
cateto
7
9
5

Medida
^
A = 70º
Medida
^
B = 55º
Medida
^
C = 55º
^
A +
^
B +
^
C = 180 º
70º + 50º + 60º = 180º
Copie e responda em seu caderno:
1) Classifique os triângulos abaixo:
a) Quanto aos lados.
b) Quanto aos ângulos
2) É possível construir um triângulo com os lados medindo 8cm,
10cm e 15 cm ?
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE
UM TRIÂNGULO
(TEOREMA ANGULAR DE TALES)
Tales, filósofo e matemático grego ( Mileto, 625 a.C.), foi
um dos chamados 7 sábios da Grécia. Ele usou a geometria
para prever um eclipse solar.
Este é um teorema importante das medidas dos ângulos de
um triângulo qualquer, descoberto por Tales.
“ A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS INTERNOS DE UM
TRIÂNGULO QUALQUER É IGUAL A 180º ”

Este triângulo é denominado retângulo,
portanto a medida do ângulo Â é 90º então:
X + Â + 40º = 180
X + 90º + 40 = 180
X + 130 = 180
X = 180 – 130
X = 50º
X + X + 2X = 180
4X = 180
X = 180
4
X = 45º
1º Exemplo:
Observe o desenho abaixo e veja como calcular a medida do
ângulo
^
C do triângulo A
^
B C sabendo que a soma dos 3 ângulos é
igual a 180º.
^
A +
^
B +
^
C = 180º
55 + 65 + X = 180
120 + X = 180
X = 180 – 120 X = 60º
2º Exemplo:
3º Exemplo:
M + N + O = 180º
20 + 2X + 10 + X = 180
2X + X + 20 + 10 = 180
3X + 30 = 180
3X = 180 – 30
3X = 150
X = 150
3
X = 50º
4º Exemplo:
55º
A
B
65º
X C
40º
X
A
2X + 10
N
X
O
M
20º
X 2X
X

3) Determine o valor do ângulo x nos triângulos abaixo.
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO
São medidas usadas no TRIÂNGULO.
Mediana: é o segmento de reta que une um dos vértices ao ponto
médio do lado oposto.
AM é a mediana relativa ao lado BC
BM BC (mesma medida)
Altura: é a medida do segmento de reta perpendicular a um lado
do triângulo, traçado pelo seu vértice oposto.
A ) B)
C)
D)
E)

AH é a altura relativa ao lado BC
AH (perpendicular)
Bissetriz : é o segmento de reta que divide um ângulo interno em
outros dois congruentes (mesma medida).
FIGURAS SEMELHANTES
Na Matemática uma foto e sua ampliação são exemplos de
figuras semelhantes, pois têm as mesmas características, porém
suas medidas são diferentes mas proporcionais ( a largura da figura
A é o dobro da largura da figura B).
O mesmo princípio é válido para qualquer figura geométrica.
B
^
A D D
^
A C
A
B C
H
h
Ângulo de 90º
Observe que a foto
dobrou de tamanho.
A B

TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois triângulos têm a mesma forma uma vez que ambos têm
3 lados e 3 ângulos, mas nem sempre são semelhantes.
Para que dois triângulos sejam semelhantes devem ter seus
ângulos correspondentes congruentes (mesma medida) e
seus lados correspondentes proporcionais.
Não semelhantes ( ângulos diferentes) semelhantes ( ângulos
congruentes)
Dois círculos são sempre semelhantes.
NOÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Observe os dois triângulos ABC e DEF da figura abaixo:
Eles têm ângulos correspondentes congruentes ( mesma
medida ) :
^
A
^
D ,
^
B
^
E ,
^
C
^
F
Esses dois triângulos têm a mesma “forma”. Eles são
semelhantes. A razão de semelhança é
2
1
.ou 0,5
Os lados dos triângulos
são respectivamente
paralelos

Vamos retirar o ABC de dentro do DEF:
1º) Você pode observar que os ângulos são ordenadamente
congruentes:
^
A
^
D ,
^
B
^
E ,
^
C
^
F
2º) Os lados correspondentes ( ou homólogos ) são proporcionais:
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
Veja alguns exemplos :
Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos
correspondentes congruentes e os lados homólogos
(correspondentes) proporcionais.
Note que são
triângulos
semelhantes, pois os
ângulos
correspondentes
são congruentes.
1º )
2º )
8
10
6
5
3
4

12
4
9 X
12 = 9
4 x
12.X = 4.9
X = 36
12
X = 3
X
6
10
1420º
20º
80º
80º
Os triângulos acima são semelhantes, pois os lados
correspondentes são proporcionais.
Veja :
4
8
= 2
3
6
= 2
5
10
= 2 Note que a
razão de semelhança neste caso é 2 ( o primeiro triângulo é duas
vezes maior que o segundo ).
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1:
Os triângulos abaixo são semelhantes. Descubra a medida do lado X.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2:
Calcule o valor de x :
14
x
=
10
6
( aplicando a regra da proporção)
10 . X = 14 . 6
10. X = 84 X =
10
84
X = 8,4

4
2
8
X
6
Y
b )
4) Sabendo que os triângulos das figuras abaixo são semelhantes,
determine as medidas dos lados indicados.
18
20
X
Y
10
5
c)

TEOREMA DE TALES
Curiosidades sobre Tales de Mileto
Você sabe quem foi Tales?
- Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo.
- Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano
646 aC. e morreu em 546 aC.
- A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:

ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES
NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Você já aprendeu no módulo 9 que quando dois triângulos
são semelhantes , os seus lados correspondentes são
proporcionais. A mesma teoria se aplica quando duas retas (m e
n) cortam três retas paralelas (r, s, t ). Os seus segmentos a, b, c,
d, também são proporcionais. Veja o exemplo resolvido abaixo,
aplicando a propriedade da proporção:o produto (multiplicação) dos
meios é igual ao produto dos extremos.
b
a
=
d
c
ou
a
x
=
c
y
ou
b
x
=
d
y
5
10
=
7
14
10
15
=
14
21
5
15
=
7
21
10 • 7 = 5 • 14 15 • 14 = 10 • 21 15 • 7 = 5 • 21
70 = 70 210 = 210 105 = 105
Observe que aplicando o teorema das proporções você
pode determinar a medida de um dos segmentos das retas
transversais que você desconhece.
12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10
12 20 x 10 X . 20 = 120
X = 120
x 10 20
X = 6
c = 14
r
s
t
m n
a = 10
b = 5 d = 7
x = a + b y = c + d

Você sabe que existem situações que é difícil efetuar
medições, então, pode-se usar o Teorema da Proporcionalidade
(Tales) aplicando a teoria dos triângulos semelhantes.
APLICAÇÃO PRÁTICA
Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio.
Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento
da ponte?
Veja o esquema abaixo e observe como achar o valor de x que
representa o comprimento da ponte. Do ponto A até o ponto E e de
E até o ponto C você pode medir assim como do ponto A até o
ponto D (início da ponte). Com essas medidas você forma um
triângulo imaginário e calcula o comprimento da ponte.
Observe que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC,
pois seus ângulos são congruentes ( mesma medida) e seus lados
correspondentes tem as medidas proporcionais então, pode-se
usar o Teorema de Tales como foi demonstrado acima no próprio
desenho.

5
3
4 12
9X
1º EXEMPLO: observe os lados correspondentes:
12
4
=
9
3
=
X
5
proporções dos lados correspondentes
para calcular o valor de X multiplique cruzando:
X
5
=
9
3
3 • X = 5 • 9
X = 45 X = 15
3
5) Calcule o valor de X dos exercícios abaixo:
A
a)
2 2,4
B E
1 X
C D
b)
X 1,4
2,4
1,2

c) Calcule a medida do lado X do triângulo:
APLICAÇÕES PRÁTICAS:
6) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que
projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo
instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m?
Observe o desenho abaixo:
7) Se uma haste de 1m projeta uma sombra de 2m, qual será a
altura de um poste de iluminação que, no mesmo instante tem
uma sombra de 15 m?
SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos
dos triângulos.
20
8
10
x
T
O
R
R
E X
18m
SOMBRA
V
A 1,5
R
A
2,5
SOMBRA

TRIÂNGULO RETÂNGULO
TRIÂNGULO RETÂNGULO : É um tipo especial de triângulo
que tem dois lados perpendiculares formando um ângulo reto (
90º ). Os triângulos retângulos foram assuntos dos estudos de
Pitágoras, importante matemático grego que descobriu uma
propriedade válida para todos esses triângulos.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
TRIÂNGULO RETÂNGULO ( tem um ângulo reto Â = 90º
que é representado pelo símbolo ).
Hipotenusa – é o lado oposto ao ângulo reto Â (fica na
frente do ângulo de 90º). É o lado maior do triângulo.
Catetos - são os outros dois lados que formam o ângulo de
90º (são perpendiculares entre si ).
Altura - medida que parte do vértice até o lado oposto. O
segmento da altura em relação ao ângulo de 90º divide a
hipotenusa em duas partes denominadas projeções.
HIPOTENUSA
CATETO
CATETO
A
L
T
U
R
A
PROJEÇÃO PROJEÇÃO
A
Observe o triângulo retângulo e seus
elementos (catetos, hipotenusa, altura
e projeções desenhado abaixo)

CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
No triângulo retângulo temos quatro relações métricas que
nos possibilitam calcular as medidas de seus elementos. A
principal delas é o TEOREMA DE PITÁGORAS: “ O quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”
1)
TEOREMA DE PITÁGORAS
Ex.: Determine a medida
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
hip² = cat² + cat²
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = 25
x = 5
Você sabe o que fazer para achar a medida de um cateto
do triângulo retângulo?
OBSERVE:
Você sabe que:
HIPOTENUSA é o lado oposto ao ângulo reto.
CATETOS: são os outros dois lados.
ALTURA: medida que vai do vértice A até a
hipotenusa, formando um ângulo de 90º.
PROJEÇÕES: medidas que resultam da divisão
da hipotenusa ao ser traçada a altura.
Cada cateto tem a sua projeção na hipotenusa.
Hip2
= cat2
+ cat²
3
4
X
x
5
Hip² = cat² + cat²
5² = X² + 3²
25 = X² + 9
25 - 9 = X²
16 = X
X = 4
3
LEMBRE-SE!
3² = 3 • 3 = 9

8) Determine o valor de X:
a-) b-)
As outras relações métricas você irá usar quando precisar
calcular as medidas internas do triângulo:
( altura ou projeções).
Veja como usar essas fórmulas:
4
3
5
X
1º EXEMPLO
No triângulo ao lado são dadas
as medidas dos catetos
( 3 e 4 ), e da hipotenusa ( 5 ).
Falta achar a medida da
altura ( X )
6
8
X
X
6 4
2) Cat² = hip . proj
3) Hip . alt = cat . cat
4) Alt² = proj . proj

Há duas fórmulas (3 e 4)
onde aparece altura.
3) Hip . alt = cat . cat
4) Alt² = proj . proj
Qual delas devo usar?
Na relação nº 4 é necessário ter
as medidas das projeções e no
triângulo acima não tem então,
a relação nº 3 é a mais
adequada.
Veja as medidas:
Cat. = 4
Cat. = 3 hip . alt = cat . cat
Hip. = 5 5 . x = 3 . 4
Alt. = X 5x = 12
x =
5
12
x = 2,4
9) Determine o valor de X:
a-) b-)
c-)
6
8
X
3 8
X
12
15
9
X
No exercício b você tem a medida da
hipotenusa e do cateto e quer determinar
a medida da projeção.
No exercício c você tem as medidas das
projeções e quer calcular a medida da
altura.
Veja na página anterior as fórmulas 2,3,4
e descubra qual a mais indicada para
cada caso.

APLICAÇÕES PRÁTICAS: esses teoremas são usados para
resolver situações problemas. É conveniente fazer a
representação através do desenho.
1º exemplo
Uma torre metálica de 10m de altura será fixada ao solo por um
cabo de aço em um ponto distante a 30m da extremidade inferior da
torre. Quantos metros de cabo de aço serão necessários ?
Passos para resolver o problema:
1- Faça a representação do problema com desenho anotando as
medidas dadas e identificando o lado X;
2- Identifique o lado da hipotenusa e o dos catetos;
3- Escolha a fórmula mais adequada;
4- Resolva para calcular o valor de X.
Hip² = cat² + cat²
X² = 10² + 30²
X² = 100 + 900
X² = 1000
X = 1000
X = 31,62
Serão necessários aproximadamente 31,62 metros de cabo de aço.
10m
cat X hip
30m cat

10) Um bombeiro precisa colocar uma escada até a janela do 2º
andar que está a 15m de altura do chão. A escada está fixada
a 8m de distância da parede. Qual deve ser a medida mínima
da escada?
Observe a representação geométrica do problema:
11) Um monumento será construído em forma de triângulo
retângulo cuja hipotenusa mede 10m, um dos catetos mede
6m e o outro 8m. Qual será a altura desse monumento?
Parede = 15m
Escada
(X)
8 m
10m
6m
8m
X

GABARITO:
1) A - I = Eqüilátero B - I = acutângulo
II = Isósceles II = Obtusângulo
III = Escaleno III= Retângulo
2) Sim
3) a) 40º b) 55º
c) 30º d) 40º
e) 108º
4 ) a) X = 12
5-) a) X = 1,2 b) X = 2,8 c) X = 16
6-) X = 10,8
7-) X = 7,5
8-) a) X = 10 b) X = 4,4
9-) a) X = 7,2 b) X = 4,5 c) X = 4,8
10-) X = 17
11-) X = 4,8
B) X = 4
Y = 3
C ) X = 10
Y = 9

Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano,
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava
Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione
1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim

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