O documento discute conceitos primitivos da geometria como ponto, reta e plano. Apresenta postulados da geometria de Euclides sobre a existência e posições relativas desses objetos no espaço. Explica como retas e planos podem ser incidentes, paralelos ou concorrentes e os conceitos de perpendicularidade.

1. Geometria de Posição
Conceitos primitivos
Prof. Luana Freitas

2. Conceitos primitivos
• A partir do mundo real, matemáticos
da antiguidade, como Euclides (séc. III
a.C.) estabeleceram entes com os quais
construíram a geometria. Três desses
entes destacam-se por serem
conhecidos intuitivamente. São eles:
o ponto, a reta e o plano.

3. O Ponto
• Olhando-se a noite para um céu estrelado
vêem-se as estrelas, que, intuitivamente,
podem ser consideradas pontos. Em
geometria, o ponto, elemento concebido
sem dimensão, massa nem volume, é uma
noção primitiva.

4. A Reta
• Suponha agora que fosse possível esticar,
indefinidamente e nos dois sentidos, um fio
de elástico. Em nossa imaginação, e apenas
nela, visualizaríamos o que chamamos de
reta. Em geometria, o conceito de reta –
concebido intuitivamente – também é uma
noção primitiva.

5. O Plano
• Considere o tampo liso de uma mesa, sem
nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse
tampo possibilitaria a visualização concreta
de um plano. Entretanto, o conceito
geométrico de plano implica que, por
intuição, ele seja entendido ilimitadamente
em todas as direções. Plano é uma noção
primitiva.

6. • Representando os conceitos de modo
geométrico, temos, então:
A
ponto r
reta
α
plano

7. • A proposição usada por Hilbert (1862 –
1943), e normalmente adotada por nós, é a
seguinte:
• Os pontos são indicados por letras
maiúsculas (A, B, C etc.).
• As retas são indicadas por letras
minúsculas (r, s, t etc.).
• Os planos são indicados por letras gregas
(α,β,γ etc.).

8. Posições primitivas, postulados ou axiomas.
Postulados da existência
P1 – Existem infinitos pontos
P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos
A C E
D
B
F
P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos
α
A
B
C
E
F
D
r

9. Postulados da determinação
P4 – Dois pontos distintos determinam uma
única reta r
A
B
P5 – Três pontos não-colineares determinam um
único plano
α
A B
C

10. Postulado da inclusão
P6 – A reta formada por dois pontos distintos de um
plano está contida nesse plano.
P7 – Entre dois pontos de um plano sempre é possível
inserir um terceiro.
α
r
A
B

11. Postulados da divisão
P8 – Postulado da separação da reta : todo
ponto de uma reta, separa-a em duas
semirretas.
A B
O r
OA e OB são semirretas
opostas de origem O.

12. P9 – Postulado da separação de planos: toda
reta de um plano separa-o em duas regiões
chamadas semiplanos.
α1 α2
r α
α1 e α 2 são semi -
planos opostos
de α.

13. P10 – Postulado da separação :Todo plano
separa o espaço em duas partes nas quais ele
está contido; qualquer segmento de reta com
um extremo em cada parte e nenhum nesse
plano de separação intercepta-o em um único
ponto.
α
E1
E2
A
B
O
E1 e E2 são semi-
espaços opostos de
origem α
AB

14. Posições relativas entre duas retas
Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser:
se todos os pontos de uma são pontos da outra.
• Coincidentes:
r
s
Indicamos: r = s

15. • Paralelas:
se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e
não têm ponto comum.
α
r
s
Indicamos: r//s
r//s ↔
r α
s α
r ∩ s = ø
∩
∩

16. • Concorrentes:
Se tem um único ponto em comum.
r
s
Indicamos: r x s
r x s ↔ r s = {P}
∩

17. • Reversas (ou não coplanares):
Se não existe plano que as contenha simultaneamente.
OBS: No espaço, o fato de duas
retas não serem paralelas não
significa necessariamente que
elas sejam concorrentes, como
acontece no plano. Duas retas
reversas não são paralelas nem
concorrentes.
r
s

18. Observação:
1. Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicamos:
r
s
r s
2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos
que elas são ortogonais.
α
A
B
r
s
Indicamos: r s

19. Retas Ortogonais: são retas que não se encontram, mas
suas projeções formam um ângulo reto.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Propriedades relativas à posição: intersecção,
paralelismo e perpendicularismo

20. Determinação de planos
Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado:
• Por três pontos não-colineares
α
A B
C

21. • Por um ponto P e uma reta r, de modo que P  r:
α
P

22. • Por duas retas concorrentes:
α
s
r
P

23. • Por duas retas paralelas:
α
r
s

24. Posições relativas entre uma reta
e um plano
Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos:
Todos os pontos de r são pontos de α .
• 1º Caso: r contida em α
α
r
r α  r ∩ α = r
∩

25. • 2º Caso: r paralela a α
r e α não têm ponto em comum
α
r // α ↔ r ∩ α =
r
É válido o seguinte teorema:
Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s
contida em α, de modo que r e s sejam paralelas.
α
r
s

26. • 3º Caso: r concorrente com α
r e α têm um único ponto em comum .
Indicamos: r x α α
P
r x α ↔ r ∩ α = {P}
Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P,
então dizemos que r é perpendicular a α
Indicamos: r s
α
r
P

27. Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:
Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se,
e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando
por P, de modo que r seja perpendicular a ambas.
α
r
P
s

28. Posição Relativa entre Planos
Planos paralelos: dois planos são paralelos quando
não possuem ponto em comum. No entanto, uma
condição necessária para que dois planos sejam
paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes
paralelas ao outro plano.



 
Imagem: Qef / Public domain.

29. Posição Relativa entre Planos
Planos coincidentes: dois planos são coincidentes
quando possuem infinitos pontos em comum.

 

30. Posição Relativa entre Planos
Planos concorrentes: dois planos são
concorrentes quando sua intersecção é uma reta.


P

31. Perpendicularismo
Entre Reta e Plano: uma reta é perpendicular a um plano
se for ortogonal a todas as retas desse plano.

32. Perpendicularismo
Teorema: se uma reta r é perpendicular a um plano,
então toda reta paralela a essa reta também é
perpendicular a esse plano.

33. Projeções
Prof. Luana Tais de Freitas

34. Classificação das
projeções - cilíndrica

35. Classificação das
projeções - cônica

36. Projeção de uma região