Posições Relativas dos Pontos no Espaço

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Posições Relativas dos Pontos no Espaço
1. Posições relativas entre duas retas
Paralelas coincidentes
Duas retas são paralelas coincidentes quando possuem todos os pontos em comum.

Paralelas distintas
Duas retas são paralelas distintas quando são coplanares e não possuem pontos em comum.

Observação:
Duas retas são coplanares quando existe um plano que as contém.
Concorrentes
Duas retas são concorrentes quando elas possuem um único ponto em comum.

Observação:
Lembre-se que duas retas concorrentes que determinam um ângulo reto são chamadas perpendiculares.
Reversas
Duas retas são reversas quando não são coplanares, ou seja, quando não existe um plano que as contém.

Observação
Para medir o ângulo entre duas retas reversas, consideramos uma paralela a uma delas que intercepte a outra e, em seguida, medimos o ângulo. Quando duas retas reversas determinam ângulo reto, elas são ditas ortogonais.


2. Posições relativas entre reta e plano
Contida
Uma reta é dita contida num plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano.
Lembre-se que para r estar contida em é suficiente que dois pontos distintos de r estejam em.

Incidente
Uma reta é dita incidente num plano quando ela possui um único ponto em comum com o plano.

Paralela
Uma reta é dita paralela a um plano quando ela não possui ponto em comum com o plano.

3. Posições relativas entre dois planos
Paralelos coincidentes
Dois planos são paralelos coincidentes quando possuem todos os pontos em comum.

Paralelos distintos
Dois planos são paralelos distintos quando não possuem ponto em comum.

Secantes
Dois planos são secantes quando se interceptam numa reta.



4. Determinação de planos
Existem quatro formas de determinar um plano:
Postulado
Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém.

Teorema I
Uma reta e um ponto, não pertencente a ela, determinam um único plano que os contém.

Teorema II
Duas retas concorrentes determinam um único plano que as contém.

Teorema III
Duas retas paralelas distintas determinam um único plano que as contém.

5. Intersecção de planos
Intersecção de dois planos
Se dois planos distintos possuem um ponto em comum, então eles se interceptam numa reta.

Intersecção de três planos
Se três planos distintos interceptam-se dois a dois em três retas, então elas são concorrentes num mesmo ponto ou são paralelas.








6. Posições Relativas Entre Pontos e Circunferência

Quanto à circunferência, sabe-se que todos os pontos dela distam igualmente do centro, essa distância igual é denominada de raio. Em comparação com esse raio, ou seja, com os elementos que pertencem à circunferência, podemos ter três posições a serem estudadas entre um ponto e uma circunferência.

Para estudar essas posições relativas determinemos uma circunferência λ de centro C(Xc, Yc) e raio r. Analisarem

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Posições Relativas dos Pontos no Espaço

  1. 1. Posições Relativas dos Pontos no Espaço Professora: Quitéria Rocha
  2. 2. EREM Professor Carlos José Dias da Silva Alunos: Álisson, Danilo, Darllann, Kayron, Marcus, Wanderley e Wendel Série: 2º Ano “A” (Flor Açucena) Data de Apresentação: 05/05/2015
  3. 3. Posições Relativas Entre Duas Retas (Paralelas Coincidentes)
  4. 4. Posições Relativas Entre Duas Retas (Paralelas Distintas)
  5. 5. Posições Relativas Entre Duas Retas (Concorrentes)
  6. 6. Posições Relativas Entre Duas Retas (Reversas)
  7. 7. Posições Relativas Entre Retas e Planos (Contida)
  8. 8. Posições Relativas Entre Retas e Planos (Incidente)
  9. 9. Posições Relativas Entre Retas e Planos (Paralela)
  10. 10. Posições Relativas Entre Dois Planos (Paralelos Coincidentes)
  11. 11. Posições Relativas Entre Dois Planos (Paralelos Distintos)
  12. 12. Posições Relativas Entre Dois Planos (Secantes)
  13. 13. Determinação de Planos (Postulado)
  14. 14. Determinação de Planos (Teorema I)
  15. 15. Determinação de Planos (Teorema II)
  16. 16. Determinação de Planos (Teorema III)
  17. 17. Intersecção de Planos (Intersecção de Dois Planos)
  18. 18. Intersecção de Planos (Intersecção de Três Planos) a, b e c concorrem no ponto P a, b e c são paralelas distintas a, b e c são paralelas coincidentes
  19. 19. Posições Relativas Entre Pontos e Circunferência (Ponto P Interno à Circunferência)
  20. 20. Posições Relativas Entre Pontos e Circunferência (Ponto P Externo à Circunferência)
  21. 21. Posições Relativas Entre Pontos e Circunferência (Ponto P Pertence à Circunferência)

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