As três primeiras frases resumem o documento: 1) O documento contém 15 questões de múltipla escolha sobre geometria espacial, incluindo questões sobre poliedros, projeções ortogonais e relações entre retas, planos e figuras geométricas no espaço. 2) As questões envolvem cálculos e análises conceituais sobre propriedades de objetos como cubos, tetraedros, pirâmides, prisma hexagonal e esferas. 3) O gabarito no final fornece as respostas

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
EXTRA

2. EXTRA
1
01. (Fuvest 2020) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm 4 cm 4 cm
× × está
inscrito tem diâmetro de
a) 9 cm.
b) 10 cm.
c) 11cm.
d) 12 cm.
e) 15 cm.
02. (Fac. Albert Einstein - 2017) Seja uma reta r e os planos secantes α e ,
β de modo que r.
α β
∩ = Seja s uma reta
paralela à reta r, de modo que s .
β
∩ =
∅ Seja t uma reta secante ao plano β no ponto P, de modo que P r.
∈ De
acordo com essas informações, necessariamente
a) s s
α
∩ =
b) t β
∩ =
∅
c) P α
∉
d) r t
∩ ≠ ∅
03. (Unicamp 2016) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A
razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a
a)
4 2
.
3
b)
4
.
3
c)
3 2
.
4
d) 2.
04. (Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A
razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é
a)
1
8
b)
1
6
c)
2
9
d)
1
4
e)
1
3
05. (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma
face desse tetraedro é
a) 2 3
b) 4
c) 3 2
d) 3 3
e) 6

3. EXTRA
2
06. (Insper 2012) De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para
um dos vértices do prisma desenhado a seguir.
O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas que
concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido retirados todos
os tetraedros é
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 12
07. (Fatec 2010) No cubo ABCDEFGH, da figura, cuja aresta tem medida a, a 1,
> sejam:
- P um ponto pertencente ao interior do cubo, tal que DP 1;
=
- Q o ponto que é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano ABCD;
- α a medida do ângulo agudo que a reta DP


forma com o plano ABCD;
- R o ponto que é a projeção ortogonal do ponto Q sobre a reta AD;

- β a medida do ângulo agudo que a reta DQ

forma com a reta AD.

Nessas condições, a medida do segmento DR, expressa em função de α e ,
β é
a) sen sen .
α β
⋅
b) sen tg .
α β
⋅
c) cos sen .
α β
⋅
d) cos cos .
α β
⋅
e) tg cos .
α β
⋅

4. EXTRA
3
08. (Unifesp 2009) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por
uma pirâmide. Seja r a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado.
Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das retas
do par?
a) 12.
b) 10.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
09. (Fuvest 2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que
5
tg .
5
θ = O ponto P pertence a α e a distância
de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
10. (Fatec 2007) A reta r é a intersecção dos planos á e â, perpendiculares entre si. A reta s, contida em á, intercepta
r no ponto P. A reta t, perpendicular a â, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r. Nessas condições, é verdade
que as retas
a) r e s são perpendiculares entre si.
b) s e t são paralelas entre si.
c) r e t são concorrentes.
d) s e t são reversas.
e) r e t são ortogonais.
11. (Fatec 2006) O ponto A pertence à reta r, contida no plano α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no ponto B.
O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm
de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5

5. EXTRA
4
12. (Unifesp 2005) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo.
O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente
a) 8 e 8
b) 8 e 6
c) 6 e 8
d) 8 e 4
e) 6 e 6
13. (Fatec 2003) A intersecção de um plano á com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos,
como mostra a região sombreada da figura a seguir.
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano á ao centro O é igual a
a) R
5
b) R
4
c) R
3
d) 2R
5
e) 2R
3
14. (Ufscar 2001) Considere um plano á e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a
á, a intersecção dessa reta com á é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre á. No caso de uma figura
F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre á é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com
relação a um plano á qualquer fixado, pode-se dizer que
a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semirreta.
b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta.
c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta.
d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero.
e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta.

6. EXTRA
5
15. (Fatec 1998) Na figura a seguir tem-se: o plano á definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b,
perpendicular a á em A, com A ∈ c; o ponto B, intersecção de c e d.
Se X é um ponto de b, X ∉ á, então a reta s, definida por X e B,
a) é paralela à reta c
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano α
d) é perpendicular à reta d
e) é perpendicular à reta b
GABARITO
1 - A 2 - D 3 - A 4 - B 5 - A
6 - B 7 - D 8 - C 9 - C 10 - E
11 - B 12 - B 13 - C 14 - E 15 - D