Este documento apresenta conceitos básicos de geometria espacial, incluindo: (1) definições de ponto, reta e plano; (2) posições relativas entre esses objetos geométricos no espaço como paralelismo, perpendicularismo e secantismo; (3) determinação de distâncias entre pontos, retas e planos.

1. Conceitos primitivos
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Axiomas e postulados: são afirmações que serão admitidas sem a necessidade de demonstrá-las.
PONTO, RETA E PLANO
Ponto
Notação: (A, B, C, ...) Notação: (r, s, t, ...)
Reta Plano
Teoremas: São as conclusões que podem ser retiradas dos axiomas e postulados e que só são aceitas
mediante uma demonstração ou argumentação lógica.
Notação: (𝛼, 𝛽, 𝛾, ...)

2. GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Dados um ponto P e uma reta r, P ∈ r ou P ∉ r;
Dados um ponto P e um plano α, P ∈ α ou P ∉ α;
Dados dois ou mais pontos no espaço:
• eles são ou não pontos colineares (existe ou não uma reta que passa por todos eles).
• eles são ou não pontos coplanares (existe ou não um plano que passa por todos eles).
Outros axiomas
Três pontos não colineares A, B, e C determinam um plano p(A, B e C).
POSIÇÕES RELATIVAS
Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano
Dois pontos distintos A e B determinam uma reta 𝐴𝐵

3. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS DISTINTAS NO ESPAÇO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas retas paralelas.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas.
Duas retas no
espaço reversas
coplanares
paralelas
concorrentes
Posições relativas de duas retas no espaço

4. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO POSIÇÕES RELATIVAS
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Um plano no espaço fica determinado por
3 pontos não colineares
2 retas paralelas distintas
2 retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela

5. Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Uma reta r é paralela a um plano
α, se r e α não têm ponto comum.
Uma reta r está contida no plano α, se r e
α têm em comum todos os pontos de r.
Uma reta r intersecta um plano α
no ponto A. Então a reta r é
secante ao plano α.
Posições relativas de uma reta e um plano no espaço
Dois planos que não
têm pontos comuns
são chamados
planos paralelos.
Se dois planos são
distintos não paralelos,
então eles possuem uma
única reta comum e são
chamados planos secantes
(ou concorrentes).

6. PARALELISMO E PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO: UMA ABORDAGEM INTUITIVA
Perpendicularismo no espaço
Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela é paralela a uma reta do plano.
Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é paralela ao outro se, e somente se, ela é paralela à reta de
intersecção dos dois planos.
Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro.
Paralelismo no espaço
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é perpendicular a todas as
retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano.
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

7. Distâncias
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos A e B, a distância
entre A e B é a medida do segmento de reta
AB.
Distância de um ponto a uma reta
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e uma reta r, do espaço, podemos traçar uma
reta que passa por P e é perpendicular a r no ponto A. A distância
do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A.
Dados um ponto P e um plano 𝛼, podemos determinar P’ , que é a
projeção ortogonal de P sobre 𝛼. A distância do ponto P ao plano 𝛼
é a distância entre os pontos P e P’.

8. Distâncias
Distância entre duas retas distintas e paralelas
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a distância
entre r e s é a distância de qualquer ponto de uma
delas à outra reta.
Distância de uma reta paralela a um plano
Dados a reta r e o plano α tais que r // α, a distância da
reta r ao plano α é a distância de qualquer ponto de r ao
plano α.
Distância entre dois planos distintos e paralelos
Dados dois planos distintos α e β, tais que α // β, a
distância entre esses dois planos é a distância de
qualquer ponto de um deles ao outro plano.
Distância entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um
ponto qualquer de r e o plano α que contém s e é paralelo
a r. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse
plano.
a1

9. Observando a figura espacial a seguir, responda usando planos determinados por faces:
VAMOS PRATICAR
Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces EFHC e DEFG?
Planos secantes.

10. Enem (2019) Um grupo de países criou uma instituição responsável
por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos
(PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação.
Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca
oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas
iniciais, conforme mostrada na figura.
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o
espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual
espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como
ilustrado a seguir.
Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura
projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.
A sombra projetada no solo é

11. Enem (2018) Uma torneira do tipo 1/4 de volta é mais
econômica, já que seu registro abre e fecha bem mais
rapidamente do que o de uma torneira comum. A figura de uma
torneira do tipo 1/4 de volta tem um ponto preto marcado na
extremidade da haste de seu registro, que se encontra na
posição fechado, e, para abri-lo completamente, é necessário
girar a haste 1/4 de volta no sentido anti-horário. Considere que
a haste esteja paralela ao plano da parede.
Qual das imagens representa a projeção ortogonal, na parede,
da trajetória traçada pelo ponto preto quando o registro é
aberto complemente

12. Enem (2017) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a
se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um
paralelepípedo retangular, é representado pela figura.
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se
desloca, pela parede, até o ponto M que é o ponto médio do segmento
EF Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere
que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor
distância entre os respectivos pontos envolvidos. A projeção ortogonal
desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dado
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