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Isometrias
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Isometria: do grego ισο + μέτρο
(ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida)
Uma isometria é uma transformação
geométrica que preserva as distâncias entre
pontos e consequentemente as amplitudes dos
ângulos, transformando uma figura noutra
figura congruente.
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Existem quatro tipos de isometrias:
• Rotação
• Translação
• Reflexão
• Reflexão deslizante
Rodar uma figura em
torno de um ponto
chamado centro de
rotação (O).
Fig. 1
Fig. 2
O
O que é uma rotação?
A distância dos
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rotação mantém-se
constante.
ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
A
A’
180º
Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a
um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja
amplitude pode ser positiva ou negativa.
ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Numa rotação:
• um segmento de recta é transformado num segmento de
recta congruente
• um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e
com o mesmo sentido
Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo
orientado.
Convencionou-se que a rotação tem
sentido positivo quando a rotação se
efectua no sentido contrário ao do
movimento dos ponteiros de um relógio.
Quando se efectua uma rotação no
sentido do movimento dos ponteiros de
um relógio, então diz-se que se efectuou
uma rotação no sentido negativo.
Sentido positivo
ângulo orientado +90º
Sentido negativo
ângulo orientado -90º
ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
ISOMETRIAS
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Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo
Pavimentações usando as rotações
Pavimentações usando as rotações
“Deslocamento” de
uma figura segundo um
vector
(um vector é um ser
matemático que é
caracterizado por uma
direcção, um sentido e
um comprimento).
Fig. 1
Fig. 2
Vector v
O que é uma translação?TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela
translação T no plano.
A figura A é a figura original (o
objecto) e a figura B é a sua
imagem (o transformado) através
de uma translação.
11José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
A figura D não foi obtida
por translação da figura C.
Não existe nenhuma
translação que permita
obter a figura D a partir da
figura C.
12José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito
segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi
mantida a distância em todos os deslocamentos.
Uma translação transforma uma figura numa outra figura
geometricamente igual.
Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de
um “deslocamento” de todos os pontos da figura original
definidos por:
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• um sentido;
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13José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Todos os segmentos orientados que
têm a mesma direcção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento (ou
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vector.
14José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
O vector é o representante de todos os
segmentos de recta equipolentes (ou
seja, com a mesma direcção, mesmo
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15José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Um vector fica então definido desde que se conheça:
• a direcção (que é dada pela recta
onde esse vector se encontra: - a recta
suporte do vector)
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Consideremos o triângulo da
figura abaixo e vamos obter a sua
imagem através da translação
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16José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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17José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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indicado pelo vector
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Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as
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18José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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Concluindo:
19José Carvalho@2007
• Uma translação transforma um
segmento de recta num outro
segmento de recta paralelo e
congruente .
PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
• Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo
congruente (com a mesma amplitude).
• Uma translação transforma uma figura noutra figura
geometricamente igual.
ISOMETRIAS
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Translação associada ao vector u=(1,1)
Pavimentações usando as translações
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Reflexão em redor de um eixo.
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ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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Reflexão deslizanteISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se
o quadrilátero [A’B’C’D’].
Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se
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Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero
[ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
SIMETRIAS
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Existe uma simetria para cada um
dos quatro tipos de isometrias:
• Simetria de Reflexão
• Simetria de Rotação
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Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa
a figura globalmente invariante.
… se conseguirmos dobrar a figura de
tal modo que as duas partes obtidas se
sobreponham exactamente
… se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo
a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja
exactamente igual à figura toda
SIMETRIA DE REFLEXÃO
ISOMETRIAS
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Tal pode ser identificado…
SIMETRIA DE REFLEXÃO
ISOMETRIAS
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A simetria de reflexão também se designa por simetria axial;
o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou
linha de simetria
Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz
a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da
outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de
simetria.
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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ISOMETRIAS
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ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
ISOMETRIAS
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Se o número de lados do polígono
regular é ímpar, cada um dos eixos de
simetria une um vértice ao ponto médio
do lado oposto
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
Se o número de lados do polígono regular é par, cada
um dos eixos de simetria une dois vértices opostos
ou une os pontos médios dos lados opostos
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude
superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura
globalmente invariante.
SIMETRIA DE ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
… se conseguirmos girar a figura em
torno de um ponto fixo (centro da
figura), de modo a que a imagem
resultante, através da rotação,
coincida com a figura original.
Tal pode ser identificado…
SIMETRIA DE ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a
figura roda (centro da figura)
O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que
descreve o movimento da figura
Figura original Um terço de volta
120º
Dois terços de volta
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Um volta inteira
360º
Exemplos de simetrias de rotação
Esta simetria de reflexão deslizante
caracteriza-se por ser uma reflexão
que envia a pegada de baixo para cima
seguida de um deslizamento que a faz
avançar um passo.
1º A pegada sofre uma reflexão em
torno da recta r.
2º A pegada sofre uma translação na
direcção e no sentido de um vector
paralelo ao eixo de simetria.
r
SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE
ISOMETRIAS
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NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas
FIM
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Isometrias

  • 2. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Isometria: do grego ισο + μέτρο (ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente.
  • 3. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Existem quatro tipos de isometrias: • Rotação • Translação • Reflexão • Reflexão deslizante
  • 4. Rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotação (O). Fig. 1 Fig. 2 O O que é uma rotação? A distância dos pontos ao centro de rotação mantém-se constante. ROTAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE A A’ 180º
  • 5. Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja amplitude pode ser positiva ou negativa. ROTAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Numa rotação: • um segmento de recta é transformado num segmento de recta congruente • um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e com o mesmo sentido
  • 6. Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Convencionou-se que a rotação tem sentido positivo quando a rotação se efectua no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. Quando se efectua uma rotação no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio, então diz-se que se efectuou uma rotação no sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º ROTAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 7. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo
  • 10. “Deslocamento” de uma figura segundo um vector (um vector é um ser matemático que é caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento). Fig. 1 Fig. 2 Vector v O que é uma translação?TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 11. Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela translação T no plano. A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem (o transformado) através de uma translação. 11José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 12. A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C. 12José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos.
  • 13. Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de um “deslocamento” de todos os pontos da figura original definidos por: • uma direcção; • um sentido; • um comprimento. 13José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 14. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector. 14José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE O vector é o representante de todos os segmentos de recta equipolentes (ou seja, com a mesma direcção, mesmo sentido e mesmo comprimento).
  • 15. 15José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Um vector fica então definido desde que se conheça: • a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector) • o sentido (um dos dois possíveis na direcção) • o comprimento (ou norma)
  • 16. Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. 16José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE 1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado
  • 17. 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado 17José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE 3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector
  • 18. 4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original 18José Carvalho@2007 TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 19. Concluindo: 19José Carvalho@2007 • Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e congruente . PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE • Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo congruente (com a mesma amplitude). • Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual.
  • 20. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Translação associada ao vector u=(1,1)
  • 21. Pavimentações usando as translações
  • 22. Pavimentações usando as translações
  • 23. Reflexão em redor de um eixo. Dada uma recta L chama-se reflexão em torno do eixo L ao movimento que transforma um ponto C em outro ponto C' verificando que: • O segmento CC' é perpendicular a L. • Os pontos C e C' são equidistantes do eixo L. REFLEXÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE O que é uma reflexão? Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'
  • 26. A reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão com uma translação. REFLEXÃO DESLIZANTE ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE O que é uma reflexão deslizante? A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma translação chama-se de reflexão deslizante. O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão
  • 27. Reflexão deslizanteISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se o quadrilátero [A’B’C’D’]. Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’]. Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero [ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
  • 29. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Existe uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias: • Simetria de Reflexão • Simetria de Rotação • Simetria de Translação • Simetria de reflexão deslizante
  • 30. Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante. … se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente … se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda SIMETRIA DE REFLEXÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Tal pode ser identificado…
  • 31. SIMETRIA DE REFLEXÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE A simetria de reflexão também se designa por simetria axial; o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou linha de simetria
  • 32. Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria. ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE EIXO DE SIMETRIA
  • 33. 2 eixos 1 eixo 6 eixos1 eixo Não tem eixos EIXOS DE SIMETRIA ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE 2 eixos
  • 34. Os eixos de simetria duma circunferência são as rectas que passam pelo centro. Uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria. EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
  • 35. EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Triângulo 3 lados Quadrado 4 lados Pentágono 5 lados Hexágono 6 lados Octógono 8 lados 3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria
  • 36. EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Se o número de lados do polígono regular é ímpar, cada um dos eixos de simetria une um vértice ao ponto médio do lado oposto
  • 37. EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE Se o número de lados do polígono regular é par, cada um dos eixos de simetria une dois vértices opostos ou une os pontos médios dos lados opostos
  • 38. Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura globalmente invariante. SIMETRIA DE ROTAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE … se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo (centro da figura), de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Tal pode ser identificado…
  • 39. SIMETRIA DE ROTAÇÃO ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda (centro da figura) O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que descreve o movimento da figura Figura original Um terço de volta 120º Dois terços de volta 240º Um volta inteira 360º
  • 40. Exemplos de simetrias de rotação
  • 41. Esta simetria de reflexão deslizante caracteriza-se por ser uma reflexão que envia a pegada de baixo para cima seguida de um deslizamento que a faz avançar um passo. 1º A pegada sofre uma reflexão em torno da recta r. 2º A pegada sofre uma translação na direcção e no sentido de um vector paralelo ao eixo de simetria. r SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE ISOMETRIAS ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas