Este documento discute as posições relativas entre retas e planos. Ele define três posições de uma reta em relação a um plano: paralela, incidente ou contida. Também define planos paralelos, concorrentes e retas coplanares ou reversas. Exemplos visuais ilustram essas posições e propriedades geométricas.

1. Posição Relativa
entre reta e plano
Equipe: Aline Fernandes, Eduardo Santos, Gabriella
Roquim, Gustavo Monteiro e Jessica Cheim

2. Introdução
Vamos ver um pouco sobre, como funciona, como
identificamos numa figura plana, suas retas e seus planos
pois, existem três formas nas quais duas retas podem se
relacionar entre si, podendo ser paralelas, concorrentes ou
perpendiculares.

3. Posições relativas entre
reta e plano
• Contida
Quando todos os pontos da reta pertencerem ao plano, ela será dita contida num
plano.
• Insidente
Chamamos uma reta de incidente num plano, quando ela tem apenas um ponto
uniforme com o plano.

4. • PARALELA
Chamamos uma reta de paralela a um plano quando ela não tiver o ponto em
comum com no plano.
Retas
Coplanares
São retas contidas num mesmo plano.
Reversas
São retas contidas num mesmo plano. Paralelas
. São retas coplanares que não possuem
ponto comum.

5. • Postulado de Euclides
O Postulado de Euclides é a base da geometria que estamos estudando, que por este
motivo é denominada de Geometria Euclidiana.
"Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a esta reta.“
"Se um segmento de reta intercepta duas retas (no mesmo plano), de modo
que um dos pares dos ângulos colaterais internos tem soma inferior a dois
ângulos retos, então as retas quando prolongadas suficientemente, se cortam
do lado em que se encontram os referidos ângulos colaterais internos."

6. • O que se entende por ponto
impróprio?
O ponto de intersecção entre as retas R e R' quando paralelas é um
ponto P infinitamente distante denominado de ponto impróprio.
Podemos concluir que ponto impróprio é um ponto comum entre duas retas
paralelas, situado numa posição infinitamente distante.

7. • O ponto impróprio caracteriza um conjunto de
retas paralelas.
A figura abaixo mostra conjuntos de retas paralelas e os seus respectivos pontos
impróprios.
representa uma direção de reta, de forma que duas retas que, no plano euclidiano,
seriam paralelas, no plano projetivo se interceptam em um ponto impróprio no infinito.

8. • Planos concorrentes
Planos concorrentes são planos que possuem pontos comuns. A intersecção entre
dois planos concorrentes é sempre uma reta

9. • Planos paralelos
Planos paralelos são planos que não possuem pontos comuns.
• Quais são as posições possíveis de uma reta
em relação a um plano ?
• Uma reta e um plano que:
• não têm pontos comuns >>> reta paralela ao plano
• têm um único ponto comum >>> reta secante ao plano
• têm mais de um ponto comum >>> reta contida no plano

10. • Quais são as propriedades das retas em
relação aos planos ?
1 - Quando dois planos P e P' são paralelos, qualquer reta R contida num deles P é
paralela ao outro P'.
2 - Quando uma reta R é paralela a um plano P, ela é paralela a uma reta R' deste plano.
3 - Quando uma reta R não esta contida num plano P e é paralela a uma reta R' do plano,
então ela R é paralela ao plano P.

11. 4 - Em planos paralelos P e P' podemos ter retas R e R' que não sejam paralelas.
5 - Podemos ter retas paralelas R e R' em dois planos P e P' que não sejam paralelos.
6 - Se um plano P" intercepta dois planos P e P' paralelos as intersecções são
retas R e R' paralelas.

12. • 7 - Um plano P contem retas R e R' concorrentes paralelas a um outro plano P', então os
planos P e P' são paralelos.
• Exemplo
Por exemplo, considerando um cubo, que pode ser representado por uma caixa de
cartão e fazendo passar fios pelas arestas simbolizando rectas, pode-se fazer notar que
as arestas que constituem a base do cubo são complanares, mas que qualquer aresta
perpendicular à base do cubo não será complanar com as arestas que a constituem.
A noção de que duas rectas complanares distintas poderem ocupar diferentes posições
relativas, também deve ser abordada recorrendo a um modelo. Por exemplo, utilizando
uma peça que se assemelhe ao telhado de uma casa e fazendo o desenho do esqueleto
da figura, ( cf. figura 2 ), é possível explicar que :

13. • as retas r e v são concorrentes, têm um
ponto em comum e como contêm dois lados
consecutivos de um triângulo são oblíquas;
• as retas E é r são concorrentes no mesmo
ponto e contêm dois lados consecutivos de
um retângulo, pelo que se
chamam perpendiculares;
• as retas u e w contêm dois lados opostos de
um retângulo pelo que são paralelas;

14. • Utilizando uma imagem conveniente, (cf. figura 3), é possível
apreciar as diversas posições relativas que dois planos podem ocupar:
• os planos a e b contêm duas faces opostas do prisma e são neste caso paralelos;
• os planos que contêm duas faces consecutivas são concorrentes e neste
caso oblíquos;
• o plano de uma face é perpendicular ao plano de cada uma das bases.

16. Conclusão
Trata – se de diferentes planos e retas, nas quais são muito
usadas no nosso cotidiano, como num ponteiro de um relogio,
quanto numa via dutra de uma cidade etc, tudo está interligado a
figuras planas e espaciais e em seus formatos.