Este documento apresenta os conceitos fundamentais da geometria descritiva, nomeadamente: 1) A representação diédrica de pontos, rectas e planos através da utilização de dois sistemas de projecção ortogonais; 2) Os conceitos de traços horizontais e frontais de rectas e planos e como estes são representados; 3) Os métodos para determinar se uma recta pertence a um plano e vice-versa.

1. Representação diédrica de pontos, rectas e planosGeometria Descritiva2009/2010

2. Geometria de MongeUtilizam-se simultaneamente dois sistemas de projecção paralela ortogonal.Os planos de projecção são perpendiculares.

3. A1 – Projecção horizontalPlano frontal (j0 )j0A2 – Projecção frontalA2AyzA1Plano horizontal (n0 )n0Xy – ordenada ou afastamento z – cota ou alturaEixo XLinha de terraPlanos de projecção

4. Semi-planos de projecçãoj0Semi plano frontal superiorn01º Quadrante2º QuadranteSemi plano horizontal anteriorSemi planohorizontalposterior4º QuadranteSemi plano frontal inferior3º Quadrante

5. Cota e asfastamentoA2Ayz1º Quadrante2º QuadranteA14º Quadrante3º Quadrantej0y – ordenada ou afastamento z – cota ou alturan0X

6. Representação num planoA2AySemi plano frontal superiorz (cota)A2XA1zSemi plano horizontal anteriory (afastamento)Semi planohorizontalXposteriorA1Semi plano frontal inferior

7. Planos bissectoresj0n0Xb24b1345º45ºb13 - 1º bissectorb24 - 2º bissector

8. Representação do pontoC2D2E2D  D2E2EA2C2CXB2E1D1D1C1B2AA2BB1C1E1A1A1XB1Pontos no 1º Quadrante

9. Representação do pontoD2B1C2A1DD2B2C  C2D1XD1B2A2C1BC1B1AA1A2XPontos no 2º Quadrante

10. Representação do pontoA1C1XB1XC1B1C2CA2A1C2B2B2AA2Pontos no 3º Quadrante

11. Representação do pontoB1D2D2XD  D1C1A1B1CC1C2C2A1A2B2D1XBB2AA2Pontos no 4º Quadrante

12. Representação do ponto

13. Representação da rectaAs projectantes dos vários pontos da recta definem planos projectantesA intersecção dos planos projectantes com os planos de projecção são as projecções da recta.

14. Representação da rectaXXRecta oblíquaB2rB2Br2A2r2B1r1A1A2r1AA1B1

15. Representação da rectar2Xr1XRecta verticalrr2AA2BB2A1B1  r1

16. Representação da rectar2Xr1XRecta de topoA2B2  r2rBAr1B1A1

17. Representação da rectaXXRecta horizontal ou recta de nívelrA2B2r2B2BA2Ar2B1r1A1A1r1B1

18. Representação da rectaXXRecta frontal ou de frenteB2rr2A2B2BAA2r2B1A1r1r1A1B1

19. Representação da rectaXXRecta horizontal de frenterA2B2r2B2BA2Ar2B1A1r1r1A1B1

20. Representação da rectaXXRecta de perfilr2A2rr2B2A2ABB2r1B1A1r1B1A1

21. Representação da rectaXXRecta passanter2A2rr2B2A2ABB2r1A1B1B1r1A1

22. Representação da rectaXUma recta do 1º bissector terá projecções simétricas em relação ao eixo X.r2A2B2B1r1A1

23. Representação da rectaXUma recta do 2º bissector terá projecções coincidentes.B1  B2r2A1  A2r1

24. Traços de uma rectaFHTraço de uma recta num plano é o ponto de intersecção da recta com o plano.Traços de uma recta nos planos de projecção: Traço horizontal da recta (H)

25. Intersecção da recta com o plano horizontal de projecção

26. Traço frontalda recta (F)

27. Intersecção da recta com o plano frontal de projecçãoTraços de uma rectaF  F2H2F1H  H1Traço horizontal da recta tem cota nulaTraço frontal da recta tem afastamento nulo

28. Traços de uma rectaPara encontrar os traços frontal e horizontal de uma recta procuram-se os pontos da recta que têm respectivamente afastamento e cotanulas.F2r2H2F1Xr1H1

29. Traços de uma rectaH1s1F1F2H2r2XH2s2F2XF1r1H1F1H2u2XF1H2F2t1u1XH1t2H1F2

30. Traços de uma rectaF2F  F2F1F1Traços de uma recta no plano bissector b13

31. Traços de uma rectaF  F2F1Traços de uma recta no plano bissector b24

32. Ponto pertencente a uma rectaUm ponto pertence a uma recta se e só se as projecções do ponto estiverem sobre as projecções homónimas da recta (excepto no caso da recta ser de perfil)r2E1A2K2B1D1C2R2L1E2XB2R1r1C1A1K1D2L2Apenas A e E pertencem à recta rO ponto R poderá pertencer ou não à recta definida pelos pontos K e Lr1

33. Posição relativa de duas rectasRectas complanares (rectas situadas sobre o mesmo plano)Concorrentes: têm um e um só ponto comum Paralelas: não têm nenhum ponto comumRectas enviesadas Não existe um plano que contenha ambas as rectasPosição relativa de duas rectasr1 s1  r2 s2Representação de rectas concorrentes:O ponto comum às duas rectas tem as suas projecções situadas sobre as projecções homónimasdas rectas e sobre a mesma linha de referência.Rectas pertencentes a um plano frontalRectas pertencentes a um plano de topoRectas pertencentes a um plano de perfil

34. Posição relativa de duas rectasRepresentação de rectas paralelas:Duas rectas paralelas, não de perfil, têm as suas projecções homónimas paralelasRectas oblíquas pertencentes a um plano de topoRectas pertencentes a um plano de perfilRectas de topo

35. Representação do planoUm plano é definido por:Três pontos não colinearesUma recta e um ponto exterior à recta

36. Representação do planoUm plano é definido por:Duas rectas concorrentesDuas rectas paralelasrectas concorrentes num ponto impróprio (no infinito)

37. Representação do planoQualquer uma das formas apresentadas serve para definir e representar um plano em Geometria de MongeNo entanto, não dão uma ideia imediata da posição do planoAssim, recorre-se habitualmente à sua representação pelos seus traços (duas rectas concorrentes especiais)

38. Representação do planoTraço de um plano noutro plano é a recta de intersecção dos dois planosTraço horizontal do planoRecta de intersecção do plano com o plano horizontal de projecção Traço frontal do planoRecta de intersecção do plano com o plano frontal de projecção

39. Representação do plano

40. Representação do planoPlano oblíquo

41. Representação do planoPlano vertical ou projectante horizontal

42. Representação do planoPlano de topo ou projectante frontal

43. Representação do plano(fn1)Plano horizontal ou de nível

44. Representação do planoPlano frontal ou de frente

45. Representação do planoPlano de perfil

46. Representação do planoPlano de rampa

47. Representação do planoPlano passante

48. Determinar os traços de um planoDefinido por duas rectasSe uma recta pertence a um plano os seus traços encontram-se sobre os traços do mesmo nome do plano.

49. Determinar os traços de um planor2F2rs2F2sA2H2sH2rF1rF1sA1H1rr1H1ss1Determinam-se os traços da recta

50. Faz-se passar:

51. pelas projecções frontais dos traços frontais das rectas o traço frontal do plano

52. pelas projecções horizontais dos traços horizontais das rectas o traço horizontal do planofXh

53. Determinar os traços de um planoDefinido por três pontos não colinearesPassa-se pelos três pontos duas rectasProcede-se de acordo com o procedimento indicado para determinar o traço de um plano definido por duas rectas

54. Rectas pertencentes a planosDeterminar se uma recta pertence a um planoUma recta pertence a um plano se contiver dois pontos desse plano Toda a recta que é concorrente com duas rectas de um dado plano em pontos diferentes é também recta do planoToda a recta que é concorrente com uma recta do plano e paralela a outra recta desse plano é também recta do plano

55. Rectas pertencentes a planosDeterminar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas concorrentesDetermina-se uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o plano

56. Ou determina-se uma recta concorrente a uma das rectas e paralela à outraRectas pertencentes a planosDeterminar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas paralelasB22A222111A1B1Determina-se uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o planoRectas pertencentes a planosDeterminar uma recta pertencente a um plano definido por uma recta e um pontoConverte-se num dos problemas anterioresPassando pelo ponto uma recta concorrente ou paralela à recta dada.

57. Rectas pertencentes a planosDeterminar se uma recta pertence a um planoUma recta pertence a um plano (não paralelo nem a 0 nem a 0) se tiver os seus traços situados sobre os traços homónimos do planoUma recta frontal pertence a um plano frontal se o seu único traço pertencer ao único traço (horizontal) do planoUma recta horizontal pertence a um plano horizontal se o seu único traço pertencer ao único traço (frontal) do plano

58. Rectas pertencentes a planosDeterminar uma recta pertencente a um plano definido pelos seus traçosfF222F111Determina-se a projecção frontal do traço frontal da recta sobre o traço frontal do plano

59. Determina-se a sua projecção horizontal

60. Analogamente para o traço horizontalRectas pertencentes a planosFn2n2Fn1n1Determinação das rectas horizontais de um planoUma recta horizontal é uma recta cujos pontos têm todos a mesma cotaUma recta horizontal de um plano com determinada cota é o conjunto de todos os pontos do plano com a essa cotaTodas as rectas horizontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço horizontal do planofXh

61. Rectas pertencentes a planosn2n1Determinação das rectas horizontais (com uma cota dada) de um plano dado por duas rectas concorrentesMarca-se a projecção frontal da recta em função da cota dada (paralela ao eixo X)

62. Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção frontal de dois pontos

63. A projecção horizontal desses pontos determina a projecção horizontal da rectas2r2Xr1s1

64. Rectas pertencentes a planosf2Hf2Hf1f1Determinação das rectas frontais de um planoUma recta frontal é uma recta cujos pontos têm todos o mesmo afastamentoUma recta frontal de um plano com determinado afastamento é o conjunto de todos os pontos do plano com a esse afastamentoTodas as rectas frontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço frontal do planofXh

65. Rectas pertencentes a planosf2f1Determinação das rectas frontais (com um afastamento dado) de um plano dado por duas rectas concorrentesMarca-se a projecção horizontalda recta em função do afastamento dado (paralela ao eixo X)

66. Ospontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção horizontal de dois pontos

67. A projecção frontal desses pontos determina a projecção frontalda rectas2r2Xr1s1

68. Rectas pertencentes a planosDeterminação das rectas de maior declive de um planoRectas de maior declive de um plano são as rectas que fazem o maior ângulo com o plano horizontal de projecção

69. Rectas pertencentes a planosDeterminação das rectas de maior declive de um planoAs suas projecções horizontais são perpendiculares ao traço horizontal do plano

70. Logo são perpendiculares às projecções horizontais das rectas horizontaisRectas pertencentes a planosDeterminação das rectas de maior declive de um plano definido por duas rectas concorrentes

71. Rectas pertencentes a planosDeterminação das rectas de maior inclinação de um planoRectas de maior inclinação de um plano são as rectas que fazem o maior ângulo com o plano frontal de projecção