1) O documento apresenta 18 questões de matemática com suas respectivas alternativas de resposta.
2) As questões abordam tópicos como álgebra, geometria, funções, logaritmos e estatística.
3) As respostas corretas são indicadas no final de cada questão, variando entre as alternativas A, B, C, D ou E.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
1) Uma lista de exercícios de matemática com 7 questões sobre funções afins e não afins, incluindo classificar funções e calcular valores de funções.
2) Os alunos devem verificar quais funções são afins e encontrar os valores de a e b, classificar funções como afim, linear, etc, calcular valores de funções afins para diferentes entradas e determinar valores reais de x.
3) Há também indicações sobre quais exercícios dos alunos devem resolver em determinadas páginas do livro texto.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
03 eac proj vest mat módulo 1 função exponencialcon_seguir
1) O documento discute funções exponenciais e potenciações. Apresenta definições de funções exponenciais, propriedades de potenciações e resolução de equações e desigualdades exponenciais.
2) Aborda gráficos de funções exponenciais, definindo-as como crescentes para a>1 e decrescentes para 0<a<1. Também mostra como resolver equações exponenciais igualando expoentes e reduzindo à mesma base.
3) Explica que desigualdades exponenciais mantém ou
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
1) Uma lista de exercícios de matemática com 7 questões sobre funções afins e não afins, incluindo classificar funções e calcular valores de funções.
2) Os alunos devem verificar quais funções são afins e encontrar os valores de a e b, classificar funções como afim, linear, etc, calcular valores de funções afins para diferentes entradas e determinar valores reais de x.
3) Há também indicações sobre quais exercícios dos alunos devem resolver em determinadas páginas do livro texto.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
03 eac proj vest mat módulo 1 função exponencialcon_seguir
1) O documento discute funções exponenciais e potenciações. Apresenta definições de funções exponenciais, propriedades de potenciações e resolução de equações e desigualdades exponenciais.
2) Aborda gráficos de funções exponenciais, definindo-as como crescentes para a>1 e decrescentes para 0<a<1. Também mostra como resolver equações exponenciais igualando expoentes e reduzindo à mesma base.
3) Explica que desigualdades exponenciais mantém ou
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
04 eac proj vest mat módulo 1 função logarítmicacon_seguir
1) O documento apresenta as propriedades e definições básicas de funções logarítmicas, incluindo logaritmos, mudança de base, propriedades do logaritmo de produtos, quocientes e potências.
2) São fornecidos exemplos para calcular logaritmos pela definição e exercícios para fixação e aplicação de conceitos sobre funções logarítmicas.
3) As propriedades das funções logarítmicas são importantes para resolver problemas envolvendo escalas de intensidade e energia, como em terrem
1. O documento apresenta 20 exercícios envolvendo funções quadráticas, gráficos e suas propriedades.
2. Os exercícios abordam tópicos como vértice, raízes, domínio, conjunto solução de desigualdades e equações quadráticas.
3. As questões devem ser resolvidas analisando propriedades de funções do segundo grau e interpretando informações fornecidas pelos gráficos.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. Para simplificar, dividimos o numerador e denominador pelo máximo divisor comum. Deve-se excluir valores que anulam o denominador. Adição e subtração seguem as mesmas regras, considerando o mmc dos denominadores quando diferentes.
1) O documento discute conceitos básicos sobre a função exponencial, incluindo potenciação, propriedades da potenciação e definição da função exponencial.
2) A função exponencial é definida para bases a > 0 e a ≠ 1 como f(x) = ax. Seu gráfico depende se a é maior ou menor que 1.
3) Equações e inequações exponenciais são abordadas, onde a incógnita aparece no expoente.
As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários.
3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Este documento apresenta uma série de exercícios de cálculo que envolvem derivar funções, encontrar equações de retas tangentes e aplicar a regra da cadeia. Os alunos devem calcular derivadas, derivar funções usando regras, encontrar equações de retas tangentes dadas funções e seus pontos e aplicar a regra da cadeia para encontrar derivadas compostas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
1) O documento fornece resumos de problemas de matemática com soluções.
2) O problema 7 calcula o volume de uma caixa feita a partir de uma lâmina retangular com recortes, sendo a resposta 140x - 48x2 + 4x3.
3) O problema 8 determina o valor de um parâmetro a a partir de uma relação entre variáveis proporcionais, sendo a igual a 2.
4) O problema 11 calcula o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h15min, porém a resposta não é fornec
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre polinômios e equações polinomiais, incluindo definição de polinômio, grau de um polinômio, valor numérico de um polinômio, divisão de polinômios, resto da divisão, e teoremas relacionados a divisão e resto. Exemplos ilustram os conceitos e 20 exercícios sobre o assunto são propostos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
1. O documento apresenta 33 questões sobre polinômios, incluindo propriedades, divisão, fatoração e gráficos.
2. As questões envolvem identificar coeficientes de polinômios, valores de funções polinomiais, restos de divisão e conjuntos de valores que satisfazem determinadas propriedades.
3. São fornecidas informações sobre raízes, gráficos, divisibilidade e igualdade entre polinômios para que se possa responder cada questão.
1) O documento apresenta exemplos de resolução de questões de matemática envolvendo álgebra, geometria e progressões.
2) São apresentados 18 exemplos resolvidos de questões envolvendo operações algébricas, fatoração, logaritmos, geometria plana e espacial, progressões geométricas e outras operações matemáticas.
3) As respostas são dadas em letras de A a E, permitindo ao leitor verificar se obteve a resposta correta após realizar os cálculos ou raciocínios mate
1) O documento apresenta um grupo de professores de matemática que fornecem apoio para colégios navais e escolas preparatórias. Eles fornecem aulas de álgebra, aritmética e geometria e disponibilizam seus contatos e um blog para apoio adicional.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
04 eac proj vest mat módulo 1 função logarítmicacon_seguir
1) O documento apresenta as propriedades e definições básicas de funções logarítmicas, incluindo logaritmos, mudança de base, propriedades do logaritmo de produtos, quocientes e potências.
2) São fornecidos exemplos para calcular logaritmos pela definição e exercícios para fixação e aplicação de conceitos sobre funções logarítmicas.
3) As propriedades das funções logarítmicas são importantes para resolver problemas envolvendo escalas de intensidade e energia, como em terrem
1. O documento apresenta 20 exercícios envolvendo funções quadráticas, gráficos e suas propriedades.
2. Os exercícios abordam tópicos como vértice, raízes, domínio, conjunto solução de desigualdades e equações quadráticas.
3. As questões devem ser resolvidas analisando propriedades de funções do segundo grau e interpretando informações fornecidas pelos gráficos.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. Para simplificar, dividimos o numerador e denominador pelo máximo divisor comum. Deve-se excluir valores que anulam o denominador. Adição e subtração seguem as mesmas regras, considerando o mmc dos denominadores quando diferentes.
1) O documento discute conceitos básicos sobre a função exponencial, incluindo potenciação, propriedades da potenciação e definição da função exponencial.
2) A função exponencial é definida para bases a > 0 e a ≠ 1 como f(x) = ax. Seu gráfico depende se a é maior ou menor que 1.
3) Equações e inequações exponenciais são abordadas, onde a incógnita aparece no expoente.
As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários.
3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Este documento apresenta uma série de exercícios de cálculo que envolvem derivar funções, encontrar equações de retas tangentes e aplicar a regra da cadeia. Os alunos devem calcular derivadas, derivar funções usando regras, encontrar equações de retas tangentes dadas funções e seus pontos e aplicar a regra da cadeia para encontrar derivadas compostas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
1) O documento fornece resumos de problemas de matemática com soluções.
2) O problema 7 calcula o volume de uma caixa feita a partir de uma lâmina retangular com recortes, sendo a resposta 140x - 48x2 + 4x3.
3) O problema 8 determina o valor de um parâmetro a a partir de uma relação entre variáveis proporcionais, sendo a igual a 2.
4) O problema 11 calcula o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h15min, porém a resposta não é fornec
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre polinômios e equações polinomiais, incluindo definição de polinômio, grau de um polinômio, valor numérico de um polinômio, divisão de polinômios, resto da divisão, e teoremas relacionados a divisão e resto. Exemplos ilustram os conceitos e 20 exercícios sobre o assunto são propostos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
1. O documento apresenta 33 questões sobre polinômios, incluindo propriedades, divisão, fatoração e gráficos.
2. As questões envolvem identificar coeficientes de polinômios, valores de funções polinomiais, restos de divisão e conjuntos de valores que satisfazem determinadas propriedades.
3. São fornecidas informações sobre raízes, gráficos, divisibilidade e igualdade entre polinômios para que se possa responder cada questão.
1) O documento apresenta exemplos de resolução de questões de matemática envolvendo álgebra, geometria e progressões.
2) São apresentados 18 exemplos resolvidos de questões envolvendo operações algébricas, fatoração, logaritmos, geometria plana e espacial, progressões geométricas e outras operações matemáticas.
3) As respostas são dadas em letras de A a E, permitindo ao leitor verificar se obteve a resposta correta após realizar os cálculos ou raciocínios mate
1) O documento apresenta um grupo de professores de matemática que fornecem apoio para colégios navais e escolas preparatórias. Eles fornecem aulas de álgebra, aritmética e geometria e disponibilizam seus contatos e um blog para apoio adicional.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
O documento contém:
1) Um texto de apresentação de um professor de matemática e uma citação;
2) Dez questões de matemática resolvidas, com explicações passo a passo;
3) O nome do professor e a nota final de 6/10.
O documento contém:
1) Um texto de introdução com uma citação de Mahatma Gandhi;
2) Nove questões de matemática resolvidas, com enunciados, soluções e respostas;
3) Informações sobre o professor Fabrício Maia e a disciplina de matemática.
O documento apresenta 29 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e resolução de sistemas lineares. Os exercícios abordam conceitos como matriz identidade, matriz nula, matriz idempotente e matriz periódica.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
1) O documento apresenta 7 exercícios e 1 desafio de álgebra envolvendo logaritmos e funções trigonométricas.
2) Fornece as alternativas de resposta para cada questão com uma letra de a-e.
3) Abaixo das questões, há um "Gabarito" que indica a resposta correta para cada uma delas.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
3. As técnicas apresentadas permitem calcular integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e hiperbólicas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
O documento discute os conceitos de monômios, polinômios e fatoração. Apresenta exemplos de como somar, subtrair, multiplicar e dividir monômios, além de produtos notáveis e fatoração de polinômios como diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito.
Mat em funcoes trigonometricas sol vol1 cap9 parte 2trigono_metrico
1) A função f(x) é cíclica e decresce quando o seno de x cresce, atingindo seu valor mínimo de 1 quando o seno é 1 e seu valor máximo de 3 quando o seno é -1.
2) O triângulo OCB é semelhante ao triângulo OAT, logo a tangente de x é igual à razão entre o seno de x e o cosseno de x.
3) A soma do quadrado do seno de x com o quadrado do cosseno de x é igual a 1,44, logo o produto entre
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
O documento fornece instruções sobre leitura, escrita e operações com números decimais. Explica como ler e escrever números decimais, transformar frações em decimais e vice-versa, e como realizar operações como adição, subtração e multiplicação com números decimais.
Este documento apresenta as aulas 18 a 36 de Álgebra II, Volume 2. A Aula 18 introduz o conceito de transformação linear e apresenta exemplos de transformações matriciais. As Aulas 19 a 25 discutem propriedades, núcleo, imagem e representações matriciais de transformações lineares. As Aulas 26 a 34 abordam transformações lineares especiais, operações lineares inversíveis, mudança de base, autovetores e autovalores de matrizes. Por fim, as Aulas 35 e 36 tratam de matrizes ortogonais e suas propri
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
Aula 1: Matrizes
1) Uma matriz é definida como uma tabela de números dispostos em linhas e colunas;
2) Matrizes especiais incluem matrizes linha, coluna e quadradas;
3) A igualdade entre matrizes ocorre quando possuem as mesmas dimensões e elementos iguais.
O documento discute as funções reais de variável real. A seção 1 apresenta os conceitos fundamentais das funções, incluindo princípios para construir uma função e exemplos de situações do cotidiano que podem ser modeladas por funções. A seção também aborda domínios e operações com funções.
O documento discute conceitos de ácidos e bases inorgânicas, incluindo suas definições segundo Arrhenius, Bronsted-Lowry e Lewis. Exemplos de ácidos como o ácido clorídrico e sulfúrico são usados para ilustrar essas definições. A classificação de ácidos é também apresentada de acordo com número de elementos, ponto de ebulição e presença de oxigênio.
Este documento apresenta um resumo sobre cálculo estequiométrico. Ele introduz o assunto e explica que o objetivo é determinar as quantidades de substâncias envolvidas em uma reação química. Também descreve brevemente as leis ponderais de Lavoisier, Dalton, Proust e suas contribuições para o desenvolvimento da estequiometria.
O documento descreve as primeiras tentativas de classificação dos elementos químicos, incluindo as tríades de Döbereiner, a lei das oitavas de Newlands e a tabela periódica de Mendeleev. Explica como a tabela periódica atual é organizada com base no número atômico de cada elemento, resolvendo inconsistências das classificações anteriores.
O documento descreve conceitos básicos de física sobre grandezas escalares e vetoriais. Resume que grandezas escalares são completamente determinadas por seu valor numérico e unidade, enquanto grandezas vetoriais também requerem orientação de direção. Explica operações matemáticas com cada tipo de grandeza e apresenta exemplos de adição e subtração de vetores.
Este documento apresenta os conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo: (1) a definição de ponto material e corpo extenso, (2) os conceitos de trajetória, posição, deslocamento e velocidade escalar média, e (3) a distinção entre movimento e repouso.
1. A matéria é constituída de átomos, que são as menores partículas que identificam um elemento químico.
2. Os átomos são formados por um núcleo central com prótons e nêutrons, rodeado por elétrons. O número de prótons define o elemento químico.
3. As substâncias podem ser puras, formadas por um único tipo de átomo, ou misturas de vários tipos de átomos ou substâncias.
1) A física estuda as propriedades e fenômenos naturais de forma qualitativa e quantitativa, associando números a grandezas físicas como comprimento, massa e tempo.
2) As principais unidades de medida no Sistema Internacional são o metro para comprimento, o quilograma para massa e o segundo para tempo.
3) O documento fornece exemplos de conversão entre unidades de medida e apresenta conceitos básicos de grandezas físicas fundamentais.
Este documento discute conceitos de física sobre movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Ele fornece as equações para calcular posição, velocidade e aceleração nesses tipos de movimento e apresenta exemplos numéricos de problemas resolvidos.
1. O documento apresenta um resumo sobre o conceito de movimento em física, abordando tópicos como movimento uniforme, movimento com velocidade variável, queda livre e resolução de problemas.
2. Inclui definições de termos como referencial, trajetória, posição escalar, velocidade escalar média, aceleração e funções que descrevem esses grandezas no tempo.
3. Apresenta as equações que relacionam grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração nos movimentos unifor
O documento discute o conceito e cálculo de diferentes tipos de fórmulas químicas, incluindo fórmula percentual, fórmula mínima e fórmula molecular. Exemplos são fornecidos para ilustrar como determinar cada tipo de fórmula a partir da composição química ou massa molecular de um composto. Alguns exercícios resolvidos também são apresentados para reforçar os métodos de cálculo.
O documento discute associações de resistores em série e paralelo. Apresenta como calcular a resistência equivalente, tensão e corrente em circuitos com resistores associados em série e paralelo. Também introduz a Lei de Kirchhoff para tensões e explica como aplicá-la para determinar tensões desconhecidas em circuitos.
Este documento descreve as leis ponderais e fórmulas químicas, incluindo exemplos de cálculos estequiométricos. Resume as principais leis ponderais como a lei de conservação de massa de Lavoisier e a lei das proporções fixas de Proust. Também fornece exemplos de cálculos envolvendo fórmulas químicas e reações químicas.
Este documento trata de conceitos geométricos relacionados à esfera. Ele define superfície esférica, área da superfície esférica, volume da esfera, plano secante a uma esfera, área do fuso esférico e volume da cunha esférica. O documento também apresenta exemplos numéricos de cálculo destas grandezas.
I) O documento apresenta conceitos matemáticos sobre funções, relações binárias, produto cartesiano e função quadrática.
II) São definidos pares ordenados, produto cartesiano, relação binária, função, função polinomial do 1o e 2o grau, vértice da parábola, valor máximo e mínimo da imagem e função modular.
III) Exemplos ilustram os conceitos apresentados.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cilindro e cone. Descreve as definições, elementos, áreas e volumes destes sólidos geométricos. Explica que um cilindro é formado por segmentos paralelos entre dois planos, enquanto um cone é formado por segmentos com extremos em um plano e em um ponto. Apresenta também exercícios resolvidos relacionados a estes tópicos.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
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de Constantinopla.
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Remember 09
1. REMEMBER - IX Temos então a expressão:
Cód.958 x +1
+1
x −1 x + 1 + ( x − 1) 1
Prof.Edir Reis Bessa = =x=
x +1
− 1 x + 1 − ( x − 1) 2
x −1
1. O valor de [2 – 3 (2 – 3) -1] -1 é:
a) 5 b) -5 c) 1/5 d) – 1/5 e) 5/3 05. A expressão
1 1
Sol: ( C ) 2+ 2 + + =?
Usaremos a propriedade potência 2+ 2 2 −2
a-n = 1/ an. a) 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2 d) 2 2
[2 – 3 (2 – 3) -1] -1 = [2 – 3 (-1) -1] -1 = e) 2 /2
= [2 – 3/-1] -1 = [2 + 3] -1 = 5-1 = 1 / 5.
Sol: ( A )
1 1 1 Executando o m.m.c e operando termos
02. − = , portanto z é igual a: semelhantes, temos:
x y z
a) y – x b) x – y c) (x – y) / xy (2 + 2 )²( 2 − 2) + 2 − 2 + 2 + 2 − 4
= =2
d) xy / (y – x) e) xy / (x – y) (2 + 2 )( 2 − 2) −2
Sol: ( D ) 06. A média aritmética entre
Executando o m.m.c. no 1º membro e x+a x−a
em seguida isolando z, temos: e quando x ≠ 0 é:
a x
1 1 1 y−x 1 xy a) 2, se a 0 b) 1 c) 1, se a = 0
− = => = => z =
x y z xy z y−x d) a / x e) x
03.Uma das expressões seguintes é Sol: ( B )
a −1b −1 Como a média aritmética entre A e B é
igual a − 3 M. A = (A + B) / 2 temos que:
a − b−3
1 x+a x−a 1 2x
a ²b ² a ²b ² ab M. A = ( + ) = ( ) =1
a) b) c) 2 x x 2 x
b² − a ² b³ − a ³ b³ − a³
a ³ − b³ a ³b ³
d) e) 07. Uma reta que passa pelos pontos
ab a−b A(-1,1) e B( 3, 9) ela corta o eixo x em:
a) -2/3 b) -2/3 c) 2/5 d) 2 e) 3
Sol: ( B )
Multiplicando a fração por a³b³ temos: Sol: ( A )
Sendo a equação reduzida da reta
a −1b −1 a ³b³ a ²b ² y = mx + b e que passa pelos pontos
. =
a − b a ³b³ b ³ − a ³
−3 −3
(-1,1) e (3, 9), temos então:
1 = - m + b e 9 = 3m + b.
x +1 Resolvendo o sistema temos: m = 2 e b
04. Na expressão cada x é = 3 e formamos a equação: y = 2x + 3.
x −1
x +1 Para o cálculo do ponto de interseção
substituído por . A expressão com o eixo x, usamos ordenada y = 0,
x −1 então: 0 = 2x + 3 => x = -3/2 .
resultante calculada para x = 1 / 2 toma
o valor: 08. Qual (quais) dos números a seguir é
a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e) n.r.a (são) racional:
Sol: ( E ) π ² ; 3 0,8 ; 4 0,00016 ; 3 − 1. (0,09) −1
1
2. a) nenhum b) todos c) o primeiro e Temos uma equação irracional em que
o quarto d) apenas o quarto e) apenas sua condição de existência é: 5 – x ≥ 0.
o primeiro Para iniciar a resolução da equação,
vamos elevar os dois membros ao
Sol: ( D ) quadrado, ficamos então com:
Temos: π ² = π é irracional; 5 – x = x²(5 – x) => x²(5 - x) – (5 – x)=0
=> (5 – x)(x² - 1) = 0. Daí então:
8 2
3
0,8 = 3 =3 é irracional; i) 5 – x = 0 => x = 5
10 10 ii) x² - 1 = 0 => x = ± 1.
0,00016 = 16.10 −5 = 4.10 −2 10 −1 é Usando a condição de existência todos
os valores satisfazem, mas temos que
irracional;
fazer a verificação, ou seja:
9 −1
3
− 1. 0.09 −1 = −1. ( ) = −1.10 / 3 = −10 / 3 i) Para x = 5 =>
100
é racional. 5 − 5 = 5 5 − 5 => 0 = 5.0
(Verdade)
09. O valor de x que satisfaz a equação ii) Para x = 1 =>
x² + b² = ( a – x )² é: 5 − 1 = 1 5 − 1 => 2 = 1.2
a) (b² + a² ) / 2 a b) (b² - a²) / 2 a (Verdade)
c) ( a² - b² ) / 2 a d) (a – b) / 2 iii) Para x = -1 =>
e) (a² - b²) / 2 5 − ( −1) = −1. 5 − (−1) =>
Sol: ( C ) 6 = − 6 (Falso). Logo -1
Operando o quadrado da diferença no não é raiz.
segundo membro da equação, seus Daí então o conjunto solução da
termos semelhantes e isolando x, temos: equação inicial é: S = {1,5}
x² + b² = a² - 2ax + x² => 2ax = a² - b²
=> x = (a² - b²) / 2 a. s
12. Se P = então n é igual a:
(1 + k ) n
10. Para que valores reais de k, log( s / P ) s
diferentes de k = 0, a equação x² + kx + a) b) log
k² = 0 tem raízes reais? log(1 + k ) P (1 + k )
a) k < 0 b) k > 0 c) k ≥ 1 s−P
c) log d) log s/P + log (1 + k)
d) qualquer valor e) nenhum valor 1+ k
log s
Sol: ( E ) e)
log P (1 + k )
Vamos determinar o valor de delta da
equação. Para que uma equação admita Sol: ( A )
raízes reais temos: ≥ 0. Então: Aplicando log nos dois membros da
≥ 0 => k² - 4k² ≥ 0 => -3k² ≥ 0 é igualdade e algumas propriedades de
impossível, pois não existe nenhum log, temos:
valor real de k para o fato. s
log P =log =log s – n log(1 + k)
(1 + k ) n
11. O número de raízes da equação
log s − log P log(s / P )
5 − x = x 5 − x é: ∴n= =
a) ilimitado b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 log(1 + k ) log(1 + k )
13. A soma de dois números é 10. Seu
Sol: ( C ) produto é 20. A soma dos inversos é:
a) 1/10 b) ½ c) 1 d) 2 d) 4
2
3. Sol: ( B ) 16. A área de um círculo inscrito em um
Denominando os números de x e y hexágono regular é 100π. A área do
temos: hexágono é:
1 1 y + x 10 1 a) 600 b) 300 c) 200/2
+ = = =
x y xy 20 2 d) 200/3 e) 120/5.
14. Num baile, um grupo de moças e Sol: ( D )
rapazes monta pares da seguinte i)Área círculo = π r² = 100 => r = 10.
maneira: um rapaz dança com 5 moças; ii)Temos que apótema(ap) = r = 10
o segundo rapaz com 6 e assim por iii)No hexágono: apót.=(Lh.i 3)/2 =>
diante de modo que o último dança com Lh = 20/ 3 (Lh = lado do hexágono)
todas. Se r é o número de rapazes e m o iv)Área hex. = 6. área do triângulo =
número de moças, então: = 6. ½. ap.Lh = 3.10.20/ 3=60033/3
a) r = m b) r = m/5 c) r = m – 4 = 200 3.
d) r = m – 5 e) é impossível saber a
relação entre rapazes (r) e moças (m) 17. Se x é positivo e
sem saber o número total de r e m. log x ≥ log 2 + 1 / 2 log x então:
a) x não tem valor máximo ou mínimo
Sol: ( C ) b) o valor máximo de x é 1
Formando a tabela abaixo, temos: c) o valor mínimo de x é 1
Nº de rapazes:..............1 – 2 – 3 ... r d) o valor máximo de x é 4
Nº de moças q.dançou: 5 - 6 – 7... 4 + r e) o valor mínimo de x é 4
∴ m = 4 + r ou r = 4 – m.
Sol: ( E )
15. Um quadrilátero está inscrito em um Aplicando transposição de termos e
círculo. Se um ângulo é inscrito em propriedade de logarítmos:
cada um dos quatro segmentos fora do log x - 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴
quadrilátero, então a soma desses quatro 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴ log x ≥ 2. log 2 ∴
ângulos, expressa em graus, é: log x ≥ log 2² ∴ x ≥ 4.
a) 1080 b) 900 c) 720
d) 540 e) 360 18. A área de um círculo dobra quando
o raio r cresce de uma quantidade n.
Sol: ( D) Então r é igual a:
A B
a) n(a2 + 1) b) n(22 - 1) c) n
X d) n(2 - d2) e) nπ / ( 2 + 1)
90º 90º E
Sol: ( A )
D BC Considerando: Área círculo = A = π r² e
90º
Área do círculo aumentado de n>0 :
Vamos considerar ABCD um quadrado 2 A = π ( r + n )² = π ( r² + 2r n + n² ) =
inscrito no círculo. = π r² + 2π r n + π n² = A+ 2π r n + π n²
Temos então quatro ângulos inscritos ∴ A = 2π r n +π n² ∴π r² = 2π r n +π n²
em cada vértice do quadrado conforme ∴ r² - 2 r n - n² = 0 ( Eq. 2ºgrau em n)
o ângulo x de onde vem: Então: Delta = = 4n² + 4n² = 8n²
x = ⊇ABE = 270º / 2 = 135º. Raízes: r‘= n(1 - R2) (não satisf. é < 0 )
Então a soma = 4x = 4. 135º = 540º. e r” = n(1 + e2).
19. Os lados de um retângulo são a e
b e a hipotenusa é c. Uma perpendicular
3
4. partindo do vértice C divide c em dois Então a razão =
segmentos r e s, adjacentes =Área CED / Área AOB = 2.
respectivamente a a e b. Se a : b = 1 : 3
então a proporção r e s é: 22. Uma partícula é colocada sobre a
a) 1 : 3 b) 1 : 9 c) 1 : 10 parábola y = x² - x – 6 em um ponto P
d) 3 : 10 e) 1 : d10 cuja ordenada é 6. Essa partícula
percorre a parábola até chegar à menor
Sol: ( B ) distância do ponto Q cuja ordenada é -6.
Temos: a / b = 1 / 3 ; r / s = ? A distância horizontal percorrida pela
C partícula (isto é, o valor numérico da
diferença das abscissas de P e Q) é:
b a
Usando as relações h
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
métricas no A r s B
retângulo, temos c Sol: ( C )
(ver figura). i) Vamos inicialmente determinar a(s)
b² = r.c => r = b²/c abscissa(s) de P(xp ;6). Usando a
a² = s.c => s = a²/c função dada: 6 = xp² - xp – 6 =>
Então: r / s = b² / a² = (b / a )² = (1/3)² xp² - xp –12 = 0 => xp’ = -3 e xp”= 4
r / s = 1 / 9. => P1(-3;6) e P2(4;6) (Pontos em que a
partícula pode ser solta).
20. Se 4x – 4x – 1 = 24, então (2x)x é igual ii) Cálculo do ponto onde a partícula
a: pode chegar possui (em) ordenada -6.
a) 5a5 b) 55 c) 2555 d) 125 e) 25 Novamente usaremos a função inicial:
Q(xq;-6) => -6 = xq² - xq – 6 =>
Sol: ( C ) xq² - xq = 0 => xq’= 0 e xq” = 1 =>
Temos: 4x – 4x / 4 = 24 ∴ 3.4x = 4.24 Q1(0;-6) e Q2(0;1).
∴ 4x = 32 ∴ 22x = 25 ∴ x = 5 / 2. Em qualquer caso, a menor distância
Então: (2x)x = (2.5/2)5/2 = 55/2 = horizontal é 3, pois a partícula rola de:
= 25=5. (4; 6) à (1; -6) ou de (-3; 6) à (0; -6).
21. Na figura, CE e DE são duas cordas 23. Se, na expressão x² - 3, x aumenta
iguais de um círculo cujo E centro é ou diminui de uma quantidade positiva
0. O arco AB mede um a, então a expressão varia de uma
quarto da quantidade igual a:
circunferência. a) ± 2ax + a² b) 2ax ± a² c) ± a² - 3
0 d) (x + a)² - 3 e) (x – a)² - 3
Então a C D
proporção entre a
área do CED e A Sol: ( A )
B a Temos: i) y = x² - 3 e aumentando ou
área do AOB é:
a) a2 : 1 b) 23 : 1 c) 4 : 1 diminuindo x de a:
ii) y = (x ± a)² - 3 = x² ±2ax +a² -3
d) 3 : 1 e) 2 : 1
Fazendo (ii) – (i) = ± 2ax + a².
Sol: ( E ) E A rc o C D = 1 8 0 °
24. Um homem caminha m unidades de
Temos: CE = DE; arco
comprimento na direção norte, a uma
AB = ¼ π r².
A = C
1 80°
0
velocidade de 2 minutos por quilômetro.
Na figura, 90°
D
Ele retorna depois ao sul, para o ponto
consideremos um
de partida a 2 km/minuto. A velocidade
caso especial: i) A rc o B C = 9 0 °
B média em km/h para a viagem completa
Área CED = 2r.r/2 = r²
é:
ii) Área AOB = r . r= r / 2 = r²/ 2.
4
5. a) 75 b) 48 c) 45 d) 24 a) 12 b) -12 c) ±12
e) impossível calcular sem conhecer o d) 12 ou 6 e ) 6 ou 6 2/3
valor de m.
Sol: ( A)
Sol: ( B ) Se os pontos pertencem a uma mesma
Seja a = velocidade p/norte = (1km)/ reta os pontos possuem o mesmo
(2.1/60) = 30 km/h. coeficiente angular dois a dois. Então:
Sendo b = retorno p/ sul = ∆ y 3 − (−3) k 2 − 3
= (2 km)/(1/60 h) = 120 km/h. m= = = =>
∆x 4−2 5−4
Calculo da velocidade média total: (k − 6)
2/Vm = 1 / a + 1 / b => 6
= 2 => 3 = k − 6 ⇒ k = 12
Vm = (2ab)/(a+b) = 2.30.120/(30+120) 2 1 2
=> Vm = 48 km/h.
28. Um radiador com capacidade para
25. Se log k x . log 5 k = 3 então o valor 16 litros é cheio com água pura. Depois
de x é: são retirados 4 litros e substituído por
a) k5 b) 5k³ c) k³ d) 243 e) 125 líquido anticongelante. Depois, 4 litros
da mistura são retirados e substituídos
Sol: ( E ) por 4 litros de líquidos do líquido
Aplicando a propriedade mudança de anticongelante. Repete-se esse processo
bases no 2º logarítmo e a igualdade: uma terceira e uma quarta vez. No final,
log k x . log 5 k = 3 => a porção de água na mistura é:
1 a) ¼ b) 81 / 256 c) 27 / 64
log k x . = 3 => d) 37 / 64 e) 175 / 256
log k 5
3
log k x = 3. log k 5 = log k 5 => x = 5³ Sol: ( B )
x = 125.
Operação Água Água Anticong Anticong
Retirad. q.resta Retirado q.Resta
26. Um conjunto de n elementos tem 1 4 12 0 4
soma igual a s. Cada elemento do 2 3 12-3 1 3 + 4= 7
=9
conjunto é aumentado de 20, 3 2,25 9- 2,25 1,75 5,25+ 4=
multiplicado por 5 e depois se subtrai = 6,75 9,25
20. A soma dos elementos no novo 4 1 11/16 5 1/16 2 5/16 615/16+4
=1015/16
conjunto assim obtido é:
a) s + 20n b) 5s + 80n c) s
51
d) 5s e) 5s + 4n Água Restante na mist.= 16 = 81
16 256
Sol: ( B )
Seja s = a1 + a2 + a3 + . . . + a n. 29. Em um triângulo qualquer ADE (ao
Seja s1 = 5(a1+20)-20 + 5(a2+20)-20 + lado) as linhas EB e EC são traçadas.
5(a3+20)-20 + . . . + 5(a n+20)-20 = Qual das seguintes relações entre
= 5 a1 + 80 + 5 a2 + 80 + 5 a3 + 80 + . . . ângulos é correta?
E
+ 5 a n + 80 = a) x + z = a + b
y
w b
= 5(a 1 + a 2 + . . . + a n) + 80 n = b) y + z = a + b
= 5 s + 80 n. c) m + z = w = n A x z Bm n c
C
a
D
d) x + z + n = w + c + m
27. Os pontos (2 , - 3); (4, 3) e (5, k/2) e) x + y + n = a + b + m
estão sobre uma reta. O(s) valores de k
é(são):
5
6. de bezerro b e o número de novilhas n
Sol: ( E ) são ambos inteiros positivos, então:
Aplicando que a soma ângulos internos a) o problema não tem solução
= 180°, temos que: b) há 2 soluções com b > n
i)No AEC : x + y + w + n = 180° c) há 2 soluções com n > b
d) há 1 solução com b > n
ii)No BED: m + w + b + a = 180° e) há 1 solução com n > b
Temos então: x + y + n = a + b + m
Sol: ( E )
1 1 Pelos dados temos:
30. Se xy = b e 2 + = a então 25b + 26n = 1000 => 25b = 1000 – 26n
x y²
(x + y)² é igual a: 1000 − 26n 26n
=> b = = 40 −
a) (a + 2b)² b) a² + b² c) b(ab+2) 25 25
1 Para n = 25 => b = 40 – 26 = 14
d) ab (b + 2) e) + 2b Para n = 50 => b = 40 – 26 x 2 =
a
= -12 (não satisfaz).
Sol: ( C ) Logo temos n = 50 e b = 14, ou seja:
Temos: xy = b ( i ) n > b.
1 1 x² + y ²
+ =a⇒ =a⇒ 33. Para que uma raiz de ax² + bx + c =
x² y ² ( xy )² 0 seja o dobro da outra, os coeficientes
x² + y² = a.(xy)² => x² + y² = a.b² (ii) a, b e c devem estar assim relacionados:
a) 4b² = 9c b) 2b² = 9ac c) 2b² = 9 a
Então: (x + y)² = x² + y² + 2xy = ab²+2b d) b² - 8ac = 0 e) 9b² = 2ac.
(x + y)² = b( ab + 2 ).
Sol: ( B )
31. A altura relativa à base de um Temos: ( i ) x1 = 2x2
triângulo isóscele é 8 e o perímetro é ( ii ) x1 + x2 = 3x2 = - b/a =>
32. A área do triângulo é: x2 = -b/3 a
a) 56 b) 48 c) 40 d) 32 e) 24 Usando ( i ), temos: x1 = -2b/3 a.
( iii ) x1.x2 = c/a =>
Sol: ( B ) -2b/3 a. –b/3 a = c/a =>2b²/9 a² = c/a
Sendo: altura = h = 8; Base = 2 a; => 2b² = 9ac.
Perímetro = 2 a + 2 b = 32 =>
a + b = 16 ( i ) 34. O numerador de uma fração é
Aplicando Pitágoras em um dos 6x + 1; o denominador é 7 – 4x e x pode
relacionados com a altura: ter um valor entre -2 e 2, inclusive. Os
b² = a² + 8 => b² - a² = 8² => valores de x para os quais o numerador
(a + b)(a – b) = 64 => 16.(a – b) = 64=> é maior que o denominador são:
a – b = 64/16 => a – b = 4 ( ii ) a) 3/5 < x ≤ 2 b) 3/5 ≤ x ≤ 2
Cálculo de a e b: c) 0 < x ≤ 2 d) 0 ≤ x ≤ 2
Formando um sistema com ( i ) e ( ii ) e) 2 ≤ x ≤ 2.
determinamos: a = 6 e b = 10.
Cálculo da área do : Sol: ( A )
At = (base. Altura) / 2 = (2 a . h) / 2 => Pela condição do problema para x:
At = (12 . 8) / 2 = 48
-2 ≤ x ≤ 2 ( i ).
Valores de x para os quais o numerador
32. Com R$ 1 000,00 um fazendeiro
é maior que o denominador são:
compra bezerro a R$ 25,0 cada e
6x + 1 > 7 – 4x => 10x > 6 =>
novilhas a R$ 26,00 cada. Se o número
x > 3/5 (ii).
6
7. Fazendo a interseção de ( i ) com ( ii ) consecutivos é k² + 1. A soma de 2k+1
=> 3/5 ≤ x ≤ 2. termos desta série pode ser expressa
como:
35. Um triângulo é formado, ligando-se a) k³ + (k + 1)³ b) (k – 1)³ + k³
três pontos cujas coordenadas são c) (k + 1)³ d) (k + 1)² e) (2k+1)(k+1)²
números inteiros. Se as unidades dos
eixos x e y são iguais e medem 1 cm, Sol: (A)
então a área do triângulo, em cm²: Seja (a1, a2, a3, . . .an) uma PA de
a) deverá ser um número inteiro inteiros consecutivos => razão = r =1; e
b) poderá ser um número irracional mais: a1 = k²+1 e nºde termos = n=2k+1
c) deverá ser um número irracional Como a n = a1 + ( n – 1).r => Soma =
d) deverá ser um número irracional n(a1 + a n ) n(2a1 + nr − r )
Sn = = =
e) deverá ser um número racional. 2 2
(2k + 1)(2k ² + 2 + 2k + 1 − 1)
Sol: ( D ) =
2
Vamos considerar os pontos: O (0,0),
A (a, c) e B(b, d) onde, pela condição (2k + 1)(k ² + k + 1)
=
do problema, a, b, c e d são números =>Sn = 2
inteiros. 2k ³ + 3k ² + 3k + 1 =
A área do é dada por: = k ³ + k ³ + 3k ² + 3k + 1 =
At = ½ AD , onde D = determinante
= (k + 1)³ + k ³.
formado pelas coordenadas dos três
pontos.
Calculando o determinante, temos: 38. Seja r a distância da origem até o
D = bc – ad. ponto P(x, y). Seja s a razão y/r e c a
Então: At = ½ (bc – ad). razão x/r. Então os valores s²- c² estão
Como a, b, c e d são números inteiros, o limitados pelos números:
resultado é número racional. a) menor que -1 e maior que +1, ambos
excluídos.
36. Os lados de um triângulo medem b) menor que -1 e maior que +1, ambos
30, 70 e 80 unidades. Se a altura relativa incluídos.
ao lado de comprimento 80 for traçada, c) entre -1 e +1, ambos excluídos.
ela deverá cortar esse lado em dois d) entre -1 e +1, ambos incluídos.
segmentos cujo lado maior medirá: e) +1 e -1 apenas.
a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66
Sol: (D)
Sol: (D) Como s = y / r => s² = y²/ r² e c = x / r
i) No ADB (reto)=> h² = 30² - x²; => c² = x² / r².
ii) No ADC (reto)=> h² = 70² -(80-x)² y ² − x²
Daí então: s² - c² = .
Fazendo i = ii => 30² - x² = 70² -(80-x)² r²
=> [(80- x+ x)(80- x – x )]= 70² - 30² => Os valores máximo e mínimo da fração
=> 80.(80-2x) = 4x.100=> 80 – 50 acima são dados por:
A
= 2x y²
i) Valor máximo = (qdo x = 0) =
=> x = 30/2 => x = 15. 3 0 h 70 r²
Resp: Segmentos: x = x
= 1 / 1 = 1.
8 0 -x
15 e 80-x=65 => B
80
C
Maior segmento = 65. − x²
ii) Valor mínimo = (qdo y = 0) =
r²
37. O primeiro termo de uma = -1 / 1 = -1.
progressão aritmética de inteiros
7
8. 39. O símbolo 3 x significa x se x for B ² − 2 AC
r² + s² =
positivo e – x se x for negativo. A²
Podemos dizer, então, com relação à
equação e x ² + ² x - 6 =0 que: Vamos ao cálculo de p:
a) ela tem apenas uma raiz Usando x² + px + q = 0 temos:
b) a soma das raízes é 1 r² + s² = -p / 1( iii )e r² / s² = q / 1( iv).
c) a soma das raízes é 0 Usando ( iv ) temos que:
d) o produto das raízes é 4 B ² − 2 AC
e) o produto das raízes é -6 p = - (r² + s²) = - ( ) =>
A²
2 AC − B ²
Sol: ( C ) p= .
Fazendo y temos a equação: A²
y² + y – 6 = 0 , de onde temos as raízes
y’ = - 3 e y” = 2.
Cálculo de x: 42. Em um círculo cujo centro é O, a
Para y = -3 => P x = - 3 Não satisfaz. corda AB = corda AC. A corda AD
corta BC em E. Se AC = 12 e AE = 8
Para y = 2 => P x = 2 => x = ∀ 2, então AD é igual a:
Logo a soma = 2 + (-2) = 0 a) 27 b) 24 c) 21 d) 20 e) 18
40. Dados a0 = 1, a1 = 3 e a relação geral Sol: ( E )
A
an² - a n – 1 a n+1 = (- 1) n para n ≥ 1 então o 12
8
12
valor assumido por a3 será: B
E
C
80 80
a) 13/27 b) 33 c) 21 d) 10 e) -17 O
0
Sol: (B)
D
Atribuindo valores a n, temos: Temos: AB = AC = 12; AD 1 BC = {E}
Para n = 1=> a 1² - a 1 – 1 a 1 + 1 =(-1)1 AE = 8; e vamos considerar que as
3² - 1. a2 = 1 => a2 = 10. cordas AD ⊥ BC.
Para n = 2=> a 2² - a2- 1. a 2 + 1=(- 1)² No AEC (retângulo) temos:
=> 10² - 3. a3 = 1 => a3 = 33. AC² = AE² + EC² => 12² = 8² + EC² =>
EC = E80.
41. As raízes de Ax² + Bx + C = 0 são r
No círculo temos em relação as cordas:
e s. Para que as raízes de x² + px + q = 0
AE.ED = BE.EC => 8.ED = A 88080.
sejam r² e s² o valor de p deverá ser
igual: => ED = 10. Daí então:
AD = AE + ED = 8 + 10 = 18.
B ² − 4 AC B ² − 2 AC
a) b)
A² A² 43. AB é a hipotenusa de um
2 AC − B ² retângulo ABC. A mediana AD = 7 e a
c) d) B² - 2C e) 2C – B²
A² mediana BE = 4. O comprimento de AB
é:
Sol. ( C ) a) 10 b) 5 a3 c) 5 32
Sendo Ax² + Bx + C = 0 e r e s suas d) 2d13 e) 2115
raízes temos: ( i ) r + s = - B / A e A
( ii ) r . s = - C / A. Sol; ( D )
Quadrando ( i ) e usando ( ii ) temos: c= ?
E
r² + s² + 2rs = B² / A² =>
b /2
r² + s² = B² / A² - 2.C / A => C B
D
a
8
9. No retângulo ACD temos: c) o valor do cheque não pose ser
AD² = AC² + CD² => 7² = b² + (a/2)² => múltiplo de 5
=> b² = 49 – a² / 4 ( i ) . d) o valor incorreto pode ser igual ao
No retângulo ECB temos: dobro do valor correto
BE² = EC² + BC² => 4² = ( b/2)² + a² => e) a soma dos dígitos do valor correto é
b² = 64 – 4 a² ( ii ) divisível por 9.
Fazendo ( i ) = ( ii ), temos:
49 – a²/4 = 64 – 4 a² => a = ∀ 2(como a Sol: ( B ) O valor que deveria ser pago
é um segmento -2 não satisfaz). era x+ y/100 reais, e foi pago y+ x/100
Daí então, usando ( ii ) : reais, pagando - se 17,82 a mais, então:
b² = 64 – 4.2² => b = b48. x + y/100 + 17,82 = y+x/100 (. 100)
∴ No retângulo ACB temos: 100x + y + 1782 = 100y + x
c² = a² + b² => c² = 2² + (c48)² => 99y – 99y = 1782
c = 2c 13 99(y - x) = 1782
y - x = 18
44. São dadas 3 afirmações verdadeiras: Vamos ver qual alternativa é a correta:
(1) se a é maior que b então c é maior
que d; (2) se c é menor que d então e é a) x não pode ser maior que 70.
maior que f. Uma conclusão válida é: Falsa, pois x pode ser 71 e y 89 assim:
a) se a é menor que b então e é maior y - x= 18 e x > 70
que f b) y pode ser igual a 2x
b) se e é maior que f então a é menor Pode, pois se y = 2x=> 2x – x = 18 =>
que b x=18 e y = 2x = 36 que x e y tem 2
c) se e é menor que f então a é maior algarismos!
que b (b) é verdadeira!
d) se a é maior que b então e é menor
que f 46. Para que valores de x menores que 1
e) nenhuma das anteriores. e maiores que -4, a expressão
x² − 2 x + 2
tem:
Sol: ( E ) 2x − 2
Trata-se de uma questão de lógica com a) nenhum valor máximo ou mínimo
as afirmações: b) o valor mínimo é + 1
p: a é maior que b c) o valor máximo é + 1
q: c é maior que d d) o valor mínimo é -1
r: e é maior que f. e) o valor máximo é – 1.
Destes dados, podemos escrever que:
p 6 q e ~q 6 r . S0l: ( E )
Pela regra da contraproposta: Fazendo para -4 < x < 1 o valor:
~q 6 ~p e ~r 6 q. x ² − 2 x + 2 1 ( x ² − 2 x + 2)
y= = ⋅ =
Portanto as alternativas: (a); (b); (c); e 2x − 2 2 ( x − 1)
(d) não são conclusões válidas. 1 ( x − 1)² + 1 1 1
= ⋅ = ⋅ (x − 1 + )
2 ( x − 1) 2 ( x − 1)
45. Um cheque é escrito no calor de x
A soma de um número e seu recíproco
reais e y centavos, ambos os números de
(inverso) é mínimo quando esse valor é
dois dígitos. Por engano, na ocasião do
recebimento, é pago o valor de y reais e ∀ 1.
x centavos, aumentando de R$ 17,82 o - Para x – 1 = 1 => x = 2 (é excluído,
valor correto. Então: não satisfaz).
a) x não pode ser maior que 70 - Para x – 1 = - 1 => x = 0 =>
b) y pode ser igual a 2x
9
10. 1 1 Seja Q o ponto de interseção entre a
y= ⋅ (0 – 1 + ) = −1
2 0 −1 perpendicular a AB que passa por P, e a
Temos então que, todos os valores de x reta PB.
no intervalo dado produzem valores de Fazendo QB = x, então PQ ² = x (10 –
y < - 1, logo -1 é o máximo. x) ; CP = x(10 − x ) + (6 − x)² ;
A P B e DP = x(10 − x ) + (4 − x)² .
Daí então:
T S
CP + DP = 36 − 2 x + 16 + 2 x .
Esta soma será máxima quando
Q E
R 36 − 2 x = 16 + 2 x , ou seja, quando
F x = 5. Então, (e) é a alternativa correta.
D C
47. ABCD é um retângulo e P é um
49. Na expansão de (a + b)n há n + 1
ponto qualquer sobre AB. PS ⊥ BD e termos distintos. O número de termos
PR ⊥ AC. AF ⊥ BD e PQ ⊥ AF. Então distintos de (a + b + c)10 é:
PR + PS é igual a: a) 11 b) 33 c) 55 d) 66 e) 132
a) PQ b) AE c) PT + AT Sol; ( D )
d) AF e) EF No desenvolvimento do binômio de
Newton (a + b) n, temos n + 1 termos,
Sol: (D) então:
Observando a figura observa-se que o ( a + b + c )10 = [ (a + b) + c ]10 =
PTR ATP => 10 10 10
PR / AQ = PT / AT. = (a + b) .c + (a + b) .c¹+ (a + b) .c ² + ...
0
10 0
1
9
2
8
Como PT = AT pois P PAT =
PBS = PAPT; 10 10
+ 9 (a + b)¹.c + 10 (a + b) .c
9 0 10.
PR = AQ; PS = QF, então:
PR + PS = AF + QF = AF. Daí então temos (a+b)10 possui 11
termos; (a+b)9 possui 10 termos; ...;
48. O diâmetro AB de um círculo cujo (a+b)¹ possui 2 termos e (a + b)º possui
centro é O mede 10 unidades. C é um 1 termo.
ponto a 4 unidades de A, sobre AB: D é O Nº. de termos então = 11 + 10 + 9
outro ponto a 4 unidades de B, sobre + . . . + 2 + 1 = 66.
AB. P é um ponto qualquer sobre o
círculo. Uma linha pontilhada ligando C 50. Na figura a seguir existe um
a P e depois a D: esquema que associa a cada ponto de
a) tem o mesmo comprimento, qualquer AB um ponto de A’B’ e vice-versa.
que seja a posição de P Para se descrever essa associação
b) mede mais que 10 unidades qualquer analítica, seja x a distância de um ponto
que seja a posição de P P sobre AB até D e seja y a distância de
c) nunca é maior que 10 unidades P’ sobre A’B’ até D’. Dado um par de
d) é mínima quando CPD é um pontos associado, se x = a então x + y é
triângulo retângulo igual a:
e) é máxima quando P é eqüidistante de a) 13 a b) 17 a – 51 c) 17 – 3 a
C e D. d) (17 – 3 a) / 4 e) 12 a – 34
Sol: ( E)
10
11. A P B
D o o o o o o
oo
4 5
o
0 1 2 3
B' A'
D'o o o o o
o
oo
4 5
o
0 1 2 P '3
Sol: ( C )
Pela figura temos: DP = x = a ; D’P’ =
y; PB / P’B’ = 1 / 4.
Daí então:
y = D’B’ + B’P’ = 1 + B’P’ = 1 + 4PB;
Como PB = 4 – x = 4 – a, temos:
y = 1 + 4(4 – a) = 17 – 4 a.
Assim: x + y = a + 17 – 4 a = 17 – 3 a.
11