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Conte´ do
     u

4 Fun¸˜es reais de vari´vel real
     co                a                                                       7
     §1. Fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            co                                                                 9
     Princ´
          ıpios para construir uma fun¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 11
                                      ca
     Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real . . . . . . . . . . . . . . 23
       a           co                a
     Dom´
        ınios e opera¸˜es com fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
                     co          co
     Dom´
        ınios e opera¸˜es com fun¸˜es - continua¸˜o . . . . . . . . . 49
                     co          co             ca
     §2. Composi¸˜o e fun¸˜es invert´
                ca       co         ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . 61
     A opera¸ao de composi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
            c˜            ca
     Fun¸˜es invert´
        co         ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
     §3. Fun¸˜es Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
            co
     Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
        co           e
     Fun¸˜es trigonom´tricas - continua¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . 101
        co           e                 ca
     Fun¸˜es trigonom´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
        co           e
     Fun¸˜es exponencial e logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
        co
     Fun¸˜es-aplica¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
        co         co




                                       5
Pre calculo modulo 4
M´dulo 4
 o

Fun¸˜es reais de vari´vel real
   co                a

                                     A natureza era para ele um livro aberto,
                                        cujas letras podia ler sem esfor¸o ...
                                                                        c                   Referˆncias
                                                                                                 e
                                              Albert Einstein, falando sobre Isaac Newton   1. Pr´-C´lculo M´dulos 1, 2
                                                                                                 e a        o
                                                                                            e 3.

     Chegamos ao M´dulo final do Pr´-C´lculo. Aqui unificamos as no¸˜es e
                     o                 e a                          co                      2. Anton, H., C´lculo. Ed.
                                                                                                           a
conceitos aprendidos nos M´dulos anteriores e apresentamos os fundamentos
                            o                                                               Bookman, 6a edi¸˜o, 2000.
                                                                                                            ca

da teoria das fun¸˜es reais de vari´vel real.
                 co                a                                                        3. Spivak, M., Calculus. Ed.
                                                                                            Revert´, 1970.
                                                                                                   e
      Neste M´dulo abordamos as fun¸˜es por v´rios pontos de vista comple-
               o                         co       a
mentares: a sua descri¸˜o como conceito matem´tico, o seu estudo anal´
                          ca                       a                      ıtico             As fun¸˜es
                                                                                                   co
                                                                                            As fun¸˜es s˜o fundamentais
                                                                                                    co    a
e a sua representa¸˜o gr´fica. No entanto, desde j´ devemos prestar aten¸˜o
                    ca      a                        a                     ca
                                                                                            em todas as ´reas da
                                                                                                          a
para o fato de que as fun¸˜es s˜o rela¸˜es entre conjuntos, com propriedades
                             co   a      co                                                 Matem´tica. Dependendo do
                                                                                                     a
                                                                                            contexto em estudo, a fun¸˜oca
bem determinadas. Seus gr´ficos s˜o apenas representa¸˜es visuais dessas
                                a      a                    co
                                                                                            pode receber diversos nomes:
rela¸˜es. Em princ´
    co               ıpio, estudaremos as fun¸˜es sob o ponto de vista mais ge-
                                             co                                             homomorfismo, morfismo,
                                                                                            transforma¸ao, operador,
                                                                                                        c˜
ral poss´
        ıvel, o das rela¸˜es entre conjuntos. A nossa abordagem est´ baseada
                         co                                          a                      aplica¸˜o, homeomorfismo,
                                                                                                   ca
em situa¸˜es do cotidiano que vocˆ certamente j´ experimentou. Posterior-
          co                         e              a                                       homotopia, imers˜o,
                                                                                                              a
                                                                                            mergulho, movimento r´   ıgido
mente, voltamos a nossa aten¸˜o para as fun¸˜es reais de vari´vel real. O
                                  ca            co                a                         etc. A nossa natureza ´ e
estudo dessa classe de fun¸˜es e as suas propriedades ´ um dos principais
                               co                         e                                 mesmo descrita e modelada
                                                                                            matematicamente segundo
objetivos da Teoria do C´lculo.
                             a                                                              Sistemas Dinˆmicos
                                                                                                           a
                                                                                            envolvendo uma ou mais
      Contudo, o enfoque moderno do conceito de fun¸˜o foi concebido gra¸as
                                                   ca                   c
                                                                                            fun¸˜es que descrevem
                                                                                               co
ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos por Cantor e Frege, no final do                    trajet´rias quando se trata
                                                                                                   o
                                                                                            de movimento, ou evolu¸˜o ca
s´culo XIX. Por´m, segundo registros de papiros eg´
 e              e                                  ıpcios, as fun¸˜es est˜o
                                                                 co      a
                                                                                            quando se trata de intera¸˜o
                                                                                                                       ca
intimamente ligadas `s origens da Matem´tica e tˆm aparecido direta ou
                     a                   a         e                                        entre processos. Isto ´, as
                                                                                                                  e
                                                                                            fun¸˜es tamb´m tˆm vida e
                                                                                               co          e   e
indiretamente nos grandes passos do desenvolvimento da Ciˆncia.
                                                           e                                s˜o os tijolos fundamentais
                                                                                             a
      Ao finalizar este M´dulo vocˆ ter´ familiaridade com as fun¸˜es reais de
                         o         e a                          co                          com os quais os matem´ticos
                                                                                                                     a
                                                                                            vˆm construindo e
                                                                                             e
vari´vel real, ser´ capaz de fazer uma primeira an´lise gr´fica e estar´ apto
    a             a                                a      a           a                     modelando o nosso mundo
                                                                                            fisico.
para aprimorar o estudo dessa classe de fun¸˜es nas disciplinas de C´lculo.
                                            co                       a


                                                                                                  7       CEDERJ
Pre calculo modulo 4
§1. Fun¸˜es
        co
      Nesta se¸˜o, apresentamos os conceitos fundamentais da teoria das
               ca
fun¸˜es reais de vari´vel real.
   co                a
     A se¸˜o ´ dividida em quatro aulas. Na primeira aula (Aula 31), apre-
         ca e
sentamos os princ´
                 ıpios para estabelecer uma rela¸˜o funcional, motivando a
                                                ca
nossa explana¸˜o com situa¸˜es do nosso cotidiano.
             ca            co
      Na segunda aula (Aula 32), abordamos a no¸˜o de fun¸˜o real de
                                                   ca        ca
vari´vel real e a sua representa¸˜o gr´fica, acompanhada de uma s´rie de
    a                           ca    a                           e
exemplos interessantes. Al´m disso, tratamos da importante quest˜o de de-
                           e                                    a
terminar quando um gr´fico no plano representa uma fun¸˜o ou n˜o.
                        a                              ca      a
     Na Aula 33, aprenderemos a construir fun¸˜es, a partir de fun¸˜es co-
                                                co                   co
nhecidas, usando as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o definidas no conjunto
                          co        ca              ca
dos n´meros reais. Daremos ˆnfase `s fun¸˜es definidas por polinˆmios com
     u                       e      a     co                      o
coeficientes reais, estudados no M´dulo 3.
                                  o
     Finalmente, na Aula 34, aprenderemos a analisar fun¸˜es definidas por
                                                        co
f´rmulas matem´ticas.
 o            a




                                                                               9   CEDERJ
Pre calculo modulo 4
Princ´
                            ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                        ca
                                                                                   ´
                                                                                  MODULO 4 - AULA 31


       Princ´
            ıpios para construir uma fun¸˜o
                                        ca

Objetivos
   • Entender a no¸˜o de fun¸˜o.
                  ca        ca

   • Modelar situa¸˜es do cotidiano com fun¸˜es.
                  co                       co

   • Compreender os elementos necess´rios para definir uma fun¸˜o.
                                    a                        ca

   • Definir a no¸˜o de fun¸˜o real de vari´vel real e definir o seu gr´fico.
                ca        ca              a                          a

     Se vocˆ parar e prestar aten¸˜o no mundo que o cerca ir´ descobrir
            e                       ca                          a
muitas rela¸˜es de associa¸˜o e correspondˆncia. Tamb´m poder´ perceber
           co              ca              e           e         a
que muitas situa¸˜es, fatos e acontecimentos dependem, ou s˜o conseq¨ˆncia,
                co                                         a        ue
de outros.
     Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1
Se vocˆ viajar de ˆnibus da cidade de Campos para o Rio de Janeiro, com-
       e          o
prar´ um bilhete na rodovi´ria para embarcar num determinado ˆnibus. Eis
     a                     a                                    o
a primeira associa¸˜o: a vocˆ, como viajante, foi designado um ˆnibus, den-
                  ca         e                                 o
tre todos aqueles que comp˜em a frota da companhia escolhida para realizar
                           o
a viagem. O bilhete que vocˆ comprar´ possui um determinado c´digo, in-
                              e       a                           o
dicando exatamente qual o lugar que vocˆ dever´ ocupar dentro do ˆnibus.
                                         e       a                  o
Eis outra associa¸˜o: a vocˆ, como passageiro, foi designada uma dentre as
                 ca         e
v´rias poltronas do ˆnibus. Qualquer outro passageiro ter´ de ocupar outra
 a                  o                                     a
poltrona, que tamb´m lhe ser´ designada no momento de comprar o bilhete.
                   e           a

Exemplo 2                                                                         Ali´s...
                                                                                     a
Por falar em ˆnibus, sabe-se que cada ve´
              o                            ıculo automotor, seja ˆnibus, au-
                                                                  o               Use os seus conhecimentos
                                                                                  sobre a Teoria da Contagem
tom´vel etc., possui um determinado c´digo que o identifica e diferencia de
    o                                   o                                         para determinar o n´ mero
                                                                                                       u
outros similares a ele. Esse c´digo, formado, em geral, por letras e n´meros,
                              o                                       u           de possibilidades que uma
                                                                                  placa pode ter, sabendo que
´ gravado numa placa met´lica colocada na frente e na traseira dos ve´
e                          a                                            ıculos.   o seu c´digo ´ formado por 3
                                                                                           o    e
                                                                                  letras e 4 algarismos.
Exemplo 3
O que significa contar os elementos de um conjunto finito?
A contagem ´ tamb´m uma associa¸˜o, que a cada conjunto finito faz corres-
            e     e              ca
ponder um unico n´mero natural. Veja que um conjunto com cinco laranjas e
          ´      u
um outro com cinco peras tˆm associado o mesmo n´mero natural, o n´mero
                          e                     u                 u
cinco.


                                                                                       11      CEDERJ
Princ´
                                                              ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                                          ca


                                 Al´m disso, observe que um conjunto finito dado n˜o pode ser associado a
                                   e                                             a
                                 dois n´meros naturais distintos!
                                       u
                                 Exemplo 4
                                 Vocˆ ´ um ser unico! De fato, a natureza, para distingui-lo dentre todos os
                                     ee          ´
                                 outros seres humanos, associou-lhe um c´digo gen´tico, descrito pela cadeia
                                                                         o        e
                                 de DNA (´cido desoxirribonucl´ico) do seu organismo. Assim, a natureza faz
                                           a                   e
                                 uma associa¸˜o que a cada um dos seres humanos faz corresponder um unico
                                              ca                                                       ´
                                 c´digo gen´tico. Observe que existem c´digos gen´ticos que ainda n˜o est˜o
                                  o         e                          o          e                 a     a
                                 associados a ser humano algum. Contudo, as ultimas descobertas da Enge-
                                                                              ´
                                 nharia Gen´tica indicam que, num futuro n˜o muito distante, poderemos ter
                                             e                             a
 Fig. 1: Forma¸˜o do DNA.
              ca                 dois seres humanos compartilhando o mesmo c´digo gen´tico.
                                                                               o        e

                                 Exemplo 5
                                 Na Aula 1 falamos sobre o papiro de Ahmes. Pois bem, os eg´     ıpcios desen-
                                 volveram m´todos e tabelas para determinar o quadrado de uma quantidade
                                             e
                                 num´rica, a ´rea de regi˜es retangulares e de se¸˜es circulares e volumes de
                                     e        a           o                      co
                                 paralelep´
                                          ıpedos e cilindros.

 Fig. 2: Papiro de Moscou.       Falemos agora de outro papiro que data
Trecho do papiro de Moscou,      da mesma ´poca que o papiro de Ahmes,
                                             e
     traduzido em hier´glifos,
                       o
 onde se mostra o c´lculo do
                     a           o papiro de Moscou. Este papiro des-
         volume do tronco de     creve o procedimento usado pelos eg´  ıp-
  pirˆmide. Este papiro data
     a
   de 1850 a.C. e encontra-se    cios para calcular o volume de um tronco
    em exibi¸˜o no Museu de
             ca                  de pirˆmide de base quadrangular. Esse
                                       a
      Moscou de Finas Artes.
            Veja mais sobre a    procedimento faz corresponder a um tron-
      Matem´tica contida nos
             a                   co de pirˆmide exatamente um n´mero
                                           a                       u
          papiros eg´
                    ıpcios em                                                     Fig. 3: Volume de um tronco de pirˆmide.
                                                                                                                    a
    http://www-groups.dcs.       real n˜o-negativo, o seu volume.
                                       a
   st-and.ac.uk/∼history/
                 HistTopics/
                                 Mais precisamente, dadas as medidas
       Egyptian papyri.html       a = lado da base inferior, b = lado da base superior               e    h = altura,
                                 os eg´
                                      ıpcios descreveram o volume da pirˆmide pela rela¸˜o:
                                                                          a                 ca
                                                                1
                                                       Volume = 3 · h · (a2 + a · b + b2 ).
                                 Dessa maneira, os eg´
                                                     ıpcios estabeleceram uma rela¸˜o funcional que, a cada
                                                                                       ca
                                 terna de n´meros reais positivos (a, b, h) faz corresponder o n´mero V (a, b, h),
                                           u                                                    u
                                 exprimindo o volume da pirˆmide de medidas a , b e h.
                                                             a

                                 Exemplo 6
                                 Quando vocˆ vai ao cinema, compra a entrada na bilheteria e a entrega ao
                                             e
                                 fiscal para poder assistir ` sess˜o. Entrando na sala do cinema, vocˆ estar´
                                                           a     a                                  e      a
                                 perante um grave problema. Escolher um lugar para sentar!

   CEDERJ        12
Princ´
                           ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                       ca
                                                                                 ´
                                                                                MODULO 4 - AULA 31


Vocˆ certamente conseguir´ uma poltrona vazia. No entanto, em geral, n˜o
    e                       a                                             a
h´ uma regra de associa¸˜o espec´
 a                       ca       ıfica que diga em qual poltrona vocˆ dever´
                                                                    e      a
sentar. Isto ´, vocˆ n˜o tem associada exatamente uma poltrona dentre todas
             e     e a
as existentes na sala do cinema.

     Dos exemplos acima, apenas o ultimo n˜o expressa uma rela¸˜o fun-
                                    ´       a                     ca
cional. Veja a defini¸˜o que usamos atualmente para este conceito:
                    ca

Defini¸˜o 1 (Fun¸˜o)
      ca        ca
Se A e B s˜o dois conjuntos n˜o-vazios, uma fun¸˜o f de A em B ´ uma
            a                   a                  ca                 e
associa¸˜o, que a cada elemento x do conjunto A faz corresponder exatamente
        ca
um elemento do conjunto B designado por f (x) e chamado a imagem de x           A expres˜o f (x) lˆ-se
                                                                                        a         e
pela fun¸˜o f . Nessas condi¸˜es, o conjunto A ´ chamado o dom´
         ca                   co                   e                 ınio da              f de x.

fun¸˜o f (denotado por Dom(f )) e o conjunto B ´ chamado o contradom´
   ca                                            e                       ınio
da fun¸˜o f .
       ca
     A escrita                                                                  f : A −→ B lˆ-se
                                                                                            e
                                f : A −→ B                                             f de A em B.

significa que f ´ uma fun¸˜o de A em B, ficando entendido que o conjunto
               e          ca
A ´ o dom´
   e      ınio e o conjunto B ´ o contradom´
                               e              ınio da fun¸˜o f .
                                                         ca
      `
      As vezes ´ necess´rio explicitar o processo da rela¸˜o funcional. Para
               e       a                                 ca
isto, escrevemos a imagem f (x) de um elemento gen´rico x do dom´
                                                  e             ınio:
                                                                                     f :A    −→    B
                                                                                        x    −→    f (x)
                              f : A −→ B                                        lˆ-se
                                                                                 e
                                  x −→ f (x)                                    f ´ a fun¸˜o de A em B
                                                                                   e      ca
                                                                                que a cada x ∈ A associa
                                                                                (ou faz corresponder)
      Segundo a defini¸˜o anterior, se y = f (x) ´ o elemento de B que ´
                      ca                          e                      e      f (x) ∈ B , ou que leva x em
                                                                                f (x).
imagem do elemento x de A pela fun¸˜o f : A → B, costumamos dizer que
                                      ca
y ´ fun¸˜o de x. Dizemos tamb´m que y ´ a vari´vel dependente e x ´ a
  e     ca                       e          e       a                  e
vari´vel independente, pois o valor (ou estado) de y ∈ B ´ obtido mediante
    a                                                    e
a correspondˆncia dada pela fun¸˜o f a partir do elemento escolhido x ∈ A.
             e                  ca
Tamb´m na escrita f (x) dizemos que x ´ o argumento da fun¸˜o f .
      e                                  e                  ca
                                                                                N˜o confunda f (a) com f (A)
                                                                                 a
     Outro conceito importante envolvido na no¸˜o de fun¸˜o ´ o conjunto
                                               ca       ca e
                                                                                Se f : A → B ´ uma fun¸˜o,
                                                                                               e        ca
imagem da fun¸˜o ou, abreviadamente, a imagem da fun¸˜o. Se f : A → B ´
             ca                                      ca                e        devemos ter cuidado para
uma fun¸˜o com dom´
       ca           ınio A e contradom´
                                      ınio B, a imagem de f ´ o conjunto
                                                            e                   n˜o confundir a imagem por
                                                                                  a
                                                                                f de um elemento a do
                                                                                dom´ ınio A, que denotamos
                   f (A) = {f (a) | a ∈ A} e       f (A) ⊂ B
                                                                                por f (a), com a imagem da
                                                                                fun¸˜o f , que denotamos
                                                                                    ca
      Note que a imagem f (A) da fun¸˜o f ´ um subconjunto do contra-
                                      ca    e                                   f (A). Observe que, de fato,
                                                                                f (a) ´ um elemento do
                                                                                      e
dom´ B. Isto ´, a imagem da fun¸˜o f ´ o subconjunto do contradom´
    ınio         e                 ca    e                       ınio
                                                                                conjunto f (A).
cujos elementos s˜o imagens de elementos do dom´
                 a                             ınio.


                                                                                      13      CEDERJ
Princ´
                                          ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                      ca


                   No Exemplo 1, temos duas fun¸˜es. Na primeira, o dom´ ´ o conjunto
                                                  co                      ınio e
              formado por todos os passageiros que viajam da cidade de Campos para o Rio
              de Janeiro e o contradom´ ´ formado por todos os ˆnibus da companhia de
                                       ınio e                     o
              transporte rodovi´rio que fazem o trajeto de Campos para o Rio de Janeiro.
                                a
              A fun¸˜o, nesse caso, ´ a associa¸˜o que a cada passageiro faz corresponder
                   ca               e          ca
              um determinado ˆnibus.
                                o
                    Ainda no Exemplo 1, temos outra fun¸˜o, cujo dom´
                                                            ca             ınio ´ formado
                                                                                e
              pelo conjunto dos passageiros que ir˜o embarcar num determinado ˆnibus
                                                    a                                o
              e cujo contradom´ ınio ´ o conjunto formado pelas poltronas daquele onibus.
                                     e                                              ˆ
              Nesse caso, a fun¸˜o associa a cada passageiro uma determinada poltrona.
                                 ca
              O dom´ ınio dessa fun¸˜o ´ o conjunto formado pelos passageiros do ˆnibus, o
                                    ca e                                          o
              contradom´ ınio ´ o conjunto das poltronas do ˆnibus e a imagem da fun¸˜o
                              e                             o                          ca
              consiste das poltronas ocupadas por algum passageiro (lembre-se que um
              o
              ˆnibus pode fazer o trajeto mesmo sem ter todas as suas poltronas ocupa-
              das).
                    No Exemplo 2, temos a fun¸˜o que a cada ve´
                                               ca               ıculo automotor faz corres-
              ponder um c´digo de identifica¸˜o gravado numa placa met´lica. O dom´
                          o                  ca                           a            ınio
              desta fun¸˜o consiste de todos os ve´
                       ca                         ıculos a motor. O contradom´ consiste
                                                                              ınio
              de todos os poss´
                              ıveis c´digos de identifica¸˜o (n´meros de placas) e a ima-
                                     o                    ca   u
              gem consiste exatamente daqueles c´digos usados em algum ve´
                                                  o                         ıculo (ve´
                                                                                     ıculos
              emplacados).
                    Olhando para o Exemplo 3 vemos outra fun¸˜o. O dom´ desta fun¸˜o
                                                                ca          ınio           ca
              ´ o conjunto cujos elementos s˜o os conjuntos finitos e cujo contradom´
              e                                a                                          ınio
              ´ o conjunto N dos n´meros naturais. A correspondˆncia que define essa
              e                       u                                e
              fun¸˜o associa a cada conjunto finito exatamente um n´mero natural, a sa-
                 ca                                                     u
              ber, a cardinalidade do conjunto, isto ´, o n´mero de elementos do conjunto.
                                                     e      u
              Nesse caso, o dom´ ınio consiste de todos os poss´
                                                               ıveis conjuntos finitos, o con-
              tradom´ ınio consiste de todos os n´meros naturais e a imagem ´ exatamente
                                                  u                             e
              igual ao contradom´  ınio pois, para cada n´mero natural n, h´ (pelo menos)
                                                          u                   a
              um conjunto com n elementos.
                     No Exemplo 4, vemos outra fun¸˜o cujo dom´
                                                    ca           ınio ´ formado por todos
                                                                      e
              os seres vivos e cujo contradom´ ´ formado por todos os poss´
                                             ınio e                          ıveis c´digos
                                                                                    o
              do ´cido desoxirribonucl´ico (DNA). A correspondˆncia que caracteriza a
                  a                     e                         e
              fun¸˜o consiste em associar a cada ser vivo o c´digo do seu DNA.
                  ca                                         o
                   Tente descobrir, neste caso, qual ´ o dom´
                                                     e      ınio da fun¸˜o, qual ´ o con-
                                                                       ca        e
              tradom´
                    ınio e qual ´ a imagem.
                                e
                   Finalmente, no Exemplo 5 vemos como a no¸˜o de fun¸˜o estava j´
                                                           ca        ca          a


CEDERJ   14
Princ´
                            ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                        ca
                                                                                           ´
                                                                                          MODULO 4 - AULA 31


presente nas primeiras manifesta¸˜es da Matem´tica. Embora os eg´
                                 co             a                     ıpcios e
                                                                                          Ren´ Descartes, por volta de
                                                                                               e
babilˆnios n˜o tratassem das fun¸˜es como ´ feito hoje em dia, eles tinham a
      o     a                   co         e                                              1637, usou, pela primeira vez
                                                                                          e por escrito, o termo fun¸˜o
                                                                                                                     ca
no¸˜o intuitiva de correspondˆncia. Logo, as fun¸˜es existem h´, pelo menos,
   ca                        e                  co            a
                                                                                          para se referir a qualquer
4.000 anos.                                                                               potˆncia da vari´vel x.
                                                                                              e             a
                                                                                          Posteriormente, Gottfried
     O conceito de fun¸˜o s´ teve a sua apresenta¸˜o na forma atual gra¸as
                      ca o                       ca                    c                  W. Leibniz, por volta de
ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos, no final do s´culo XIX. Esta
                                                          e                               1692, concebe uma fun¸˜oca
                                                                                          como qualquer quantidade
Teoria tamb´m permite uma melhor visualiza¸˜o do conceito de fun¸˜o por
            e                                ca                   ca                      associada a uma curva
meio de diagramas de conjuntos.                                                           (podendo ser as coordenadas
                                                                                          de um ponto pertencente `  a
                                                                                          curva, o seu comprimento, a
                                                                                          pr´pria curva como um todo
                                                                                             o
       Para representar uma fun¸˜o f : A → B,
                                 ca                                                       etc.).
                                                                                          Ao longo do tempo, outros
usando esquemas de conjuntos, idealizamos o do-
                                                                                          matem´ticos adaptaram e
                                                                                                 a
m´ınio A e o contradom´ ınio B de f em esquemas                                           modificaram o conceito de
                                                                                          fun¸˜o segundo as
                                                                                              ca
gr´ficos de conjuntos. Os elementos de A s˜o le-
  a                                        a                                              necessidades da sua
vados em elementos de B, por meio de flechas                                               pesquisa. Dentre estes
                                                                                          matem´ticos, Leonhard
                                                                                                 a
que representam a correspondˆncia definida pela
                               e                                                          Euler difundiu a nota¸˜o
                                                                                                                 ca
                                                 Fig. 4: f : A → B ´ uma fun¸˜o.
                                                                   e        ca
fun¸˜o. No esquema da Figura 4 vemos como os
    ca                                                                                    f (x) para designar uma
                                                                                          fun¸˜o no seu tratado
                                                                                              ca
elementos do conjunto A s˜o associados a exatamente um elemento do con-
                            a                                                             Introductio in Analysin
junto B, conforme a defini¸˜o de fun¸˜o.
                            ca       ca                                                   Infinitorum, em 1748.

    Observe que, pela defini¸˜o de fun¸˜o, mais de um elemento do conjunto
                           ca        ca                                                   Teoria de Conjuntos
                                                                                          Volte e revise no M´dulo 1
                                                                                                              o
A pode ser associado ao mesmo elemento do conjunto B.
                                                                                          de Matem´tica Discreta, os
                                                                                                    a
      Para ter uma id´ia de como isto acontece regularmente, pense no Exem-
                     e                                                                    fundamentos da Teoria de
                                                                                          Conjuntos.
plo 1, onde A ´ o conjunto formado por todos os passageiros que viajam da
               e
cidade de Campos para o Rio de Janeiro, e B ´ o conjunto dos ˆnibus da frota
                                             e                o
da companhia que faz o trajeto. Em geral, mais de um passageiro dever´     a
embarcar no mesmo ˆnibus.
                     o


      De fato, se o conjunto A dos passageiros
tiver menos de trinta pessoas desejando fazer a
viagem num mesmo hor´rio, n˜o tem sentido a
                        a      a
companhia disponibilizar mais de um ˆnibus, pois
                                    o
todos os passageiros podem viajar num mesmo
o
ˆnibus.
                                                              Fig. 5: Fun¸˜o constante.
                                                                         ca
     Na Figura 5 representamos uma fun¸˜o f
                                        ca
de A em B, que leva todos os elementos do dom´
                                             ınio A no mesmo elemento
do contradom´
            ınio B. Uma fun¸˜o com esta propriedade ´ chamada fun¸˜o
                             ca                      e            ca
constante.
     Mais precisamente, se b ∈ B ´ um elemento fixo, a fun¸˜o
                                 e                       ca


                                                                                               15      CEDERJ
Princ´
                                                           ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                                       ca



                                                               f : A −→ B
                                                                   x −→ b

                               ´ chamada a fun¸˜o constante de valor b. Esta fun¸˜o ´ dada por f (x) = b,
                               e               ca                               ca e
                               qualquer que seja o elemento x de A,
                               Aten¸˜o!
                                   ca
                                    Nem todo diagrama de conjuntos e flechas representa uma fun¸˜o.
                                                                                              ca
                                     No diagrama da Figura 6 existe um elemento do conjunto A associado a
                               dois elementos distintos do conjunto B. Esta associa¸˜o n˜o ´ uma fun¸˜o.
                                                                                   ca a e            ca
                                     Isto acontece no Exemplo 6: existe ambig¨i-
                                                                             u
                               dade na escolha dos elementos de B associados
                               aos elementos de A.
     No M´dulo 2, vocˆ viu
          o           e
muitos exemplos de rela¸˜es
                       co            Antes de continuarmos com outros exem-
   que n˜o s˜o fun¸˜es. Na
         a a      co           plos, ´ importante vocˆ observar que para definir
                                     e               e
 pr´xima aula voltaremos a
   o
                       eles.   uma fun¸˜o s˜o indispens´veis os seguintes ingre-
                                        ca a            a                               Fig. 6: Rela¸˜o que n˜o ´ fun¸˜o.
                                                                                                    ca       a e     ca
                               dientes:
                                Conceitos necess´rios para definir uma fun¸˜o
                                                a                        ca
                                • Dois conjuntos n˜o-vazios: o dom´
                                                    a              ınio e o contradom´ınio da
                                fun¸˜o.
                                   ca
                                • Uma rela¸˜o de correspondˆncia f que a cada elemento do
                                            ca               e
                                dom´ınio associa exatamente um elemento do contradom´
                                                                                    ınio.
                                     Ao longo do tempo, as fun¸˜es vˆm sendo uma ferramenta fundamental
                                                              co    e
                               para modelar matematicamente o universo que nos rodeia. Isto ´ feito, na
                                                                                               e
                               maior parte das vezes, associando quantidades num´ricas a fenˆmenos que
                                                                                  e          o
                               desejamos estudar.
                               Exemplo 7
                               Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´     ıstica), a
                               partir de 1940 a popula¸˜o urbana do Brasil come¸ou a crescer. V´rios foram
                                                      ca                         c               a
                               os fatores que levaram os habitantes das ´reas rurais para as grandes cidades,
                                                                        a
                               dentre esses destacam-se o enorme desenvolvimento industrial nas cidades e
                               a mecaniza¸˜o da agricultura.
                                           ca
                               Dessa forma, os habitantes da zona rural passam a procurar nas cidades
                               melhores condi¸˜es de vida, empregos melhor remunerados, uma melhor as-
                                              co
                               sistˆncia m´dica e educacional. No entanto, isso tamb´m traz diversos proble-
                                   e      e                                         e
                               mas. As cidades crescem sem o devido planejamento, faltam servi¸os b´sicos,
                                                                                                c    a
                               aumentam os ´ ındices de desemprego, os problemas ambientais e a violˆncia.
                                                                                                      e

  CEDERJ        16
Princ´
                            ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                        ca
                                                                               ´
                                                                              MODULO 4 - AULA 31


Vamos aos n´meros! Na tabela a seguir, fazemos uma rela¸˜o da fra¸˜o
            u                                              ca        ca
da popula¸˜o brasileira que corresponde aos habitantes das zonas rurais e
         ca
urbanas no pa´ desde 1940:
             ıs
               Ano          1940    1950    1960    1970      1980    1991
            Pop. Rural      0, 69   0, 64   0, 55   0, 44     0, 32   0, 24
           Pop. Urbana      0, 31   0, 36   0, 45   0, 56     0, 68   0, 76
Assim, em 1950, de cada 100 habitantes no Brasil, 64 viviam na zona rural
e 36 na zona urbana. Observe o contraste com 1991, ano em que de cada
100 brasileiros, apenas 24 moravam na zona rural e 76 na zona urbana. Os
n´meros hoje em dia somente podem ser piores.
 u
A partir da tabela de dados acima, podemos definir v´rias fun¸˜es.
                                                   a        co
Por exemplo, a fun¸˜o f cujo dom´
                   ca               ınio A ´ o conjunto formado pelos anos
                                           e
dados na tabela, cujo contradom´ ınio B ´ o conjunto dos n´meros reais n˜o-
                                         e                u             a
negativos e a cada ano faz corresponder a fra¸˜o que representa a porcenta-
                                              ca
gem da popula¸˜o rural do Brasil nesse ano.
               ca                                                             Exercicio
                                                                              Escreva as fun¸˜es f e g
                                                                                             co
Nesta fun¸˜o, temos que f (1940) = 0, 69 , f (1960) = 0, 55 etc.
         ca
                                                                              descritas ao lado nas formas
Podemos fazer o mesmo definindo uma fun¸˜o g de iguais dom´
                                          ca               ınio e contra-         f :   A    →    [0, +∞)
                                                                                        x    →    f (x)
dom´
   ınio que a fun¸˜o f , mas a cada ano fazendo corresponder a fra¸˜o da
                   ca                                             ca          e
                                                                                  g:    A    →    [0, +∞)
popula¸˜o brasileira que habita na zona urbana.
      ca                                                                                x    →    g(x)
Por exemplo, g(1950) = 0, 36 e g(1991) = 0, 76 .
As imagens destas duas fun¸˜es s˜o os subconjuntos de n´meros reais dados
                          co    a                      u
por
               f (A) = {0, 69 , 0, 64 , 0, 55 , 0, 44 , 0, 32 , 0, 24}
               g(A) = {0, 31 , 0, 36 , 0, 45 , 0, 56 , 0, 68 , 0, 76}.

     Este ´ o nosso primeiro exemplo de fun¸˜es cujos dom´
           e                                   co          ınio e contra-
dom´ınio s˜o subconjuntos de R. Esta classe de fun¸˜es ocupar´ a nossa
          a                                           co       a
energia pelo resto do M´dulo e nas disciplinas de C´lculo.
                       o                           a

Defini¸˜o 2 (Fun¸˜es reais de vari´vel real)
     ca         co               a
Uma fun¸˜o real de vari´vel real ´ uma fun¸˜o, tal que o seu dom´ e o seu
        ca             a         e          ca                  ınio
contradom´ınio s˜o subconjuntos de R.
                a

      Nos exemplos que apresentamos at´ agora, vimos que ´ poss´ descre-
                                      e                  e     ıvel
ver uma rela¸˜o funcional com a linguagem do nosso cotidiano, atrav´s de
             ca                                                     e
express˜es matem´ticas ou pela observa¸˜o de dados obtidos por medi¸˜es
        o        a                     ca                             co
de fenˆmenos naturais.
      o
     Vejamos agora como descrever as fun¸˜es por meio de informa¸˜o gr´fica.
                                        co                      ca    a


                                                                                        17       CEDERJ
Princ´
                                                                   ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                                               ca


                                Exemplo 8
                                Num dos dias mais quentes do ver˜o carioca, foi feito um registro da tempe-
                                                                   a
                                ratura em um termˆmetro de rua a cada hora. A leitura foi feita come¸ando
                                                    o                                                 c
                                a
                                `s 7h e terminando `s 22h. Os dados foram colocados numa tabela, confron-
                                                    a
                                tando a hora, designada pela vari´vel t, e a temperatura (medida em graus
                                                                  a
                                cent´
                                    ıgrados), designada pela vari´vel T .
                                                                 a
                                 t      7    8     9    10    11    12    13     14   15   16    17    18    19    20    21       22
                                T      31    34    37   39    40    41    42     41   40   39    38    38    36    33    30       30

                                Temos definida uma fun¸˜o, com dom´
                                                         ca             ınio {7, 8, 9, 10, 11, . . . , 22} e contra-
                                dom´ ınio R, que a cada hora t entre 7 e 22 faz corresponder a temperatura
                                T (t) que marca o termˆmetro nesse instante.
                                                       o
                                                   T : {t ∈ N | 7 ≤ t ≤ 22} −→ R
                                                                           t −→ T (t) .
                                A imagem desta fun¸˜o ´ o conjunto
                                                     ca e
                                        T ({t ∈ N | 7 ≤ t ≤ 22}) = {30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42}.
                                Assim, durante o per´ıodo da observa¸˜o, a maior temperatura foi registrada
                                                                     ca
                                a
                                `s 13h (T (13) = 42 graus cent´ıgrados) e a menor temperatura foi registrada
                                a
                                `s 21h e `s 22h (T (21) = T (22) = 30 graus cent´
                                         a                                      ıgrados).

                 Coordenadas
                                Para elaborar a representa¸˜o gr´fica, consideramos um sistema de coordena-
                                                          ca     a
 Se achar necess´rio, volte `
                 a          a   das cartesianas. Representamos a vari´vel independente no eixo horizontal e
                                                                        a
Aula 13 e revise os conceitos
   b´sicos sobre sistemas de
    a
                                a vari´vel dependente no eixo vertical. As unidades nos eixos coordenados s˜o
                                      a                                                                    a
 coordenadas e coordenadas      ajustadas de modo a permitir uma visualiza¸˜o melhor dos dados. Compare
                                                                             ca
                 cartesianas.
                                nas Figuras 7 e 8 duas representa¸˜es da nossa tabela de temperaturas.
                                                                   co




                                     Fig. 7: Gr´fico de temperaturas em pontos.
                                               a                                      Fig. 8: Gr´fico poligonal de temperaturas.
                                                                                                a


                                Na Figura 7 temos uma representa¸˜o fiel da nossa tabela de temperaturas,
                                                                 ca
                                na qual ilustram-se as temperaturas exatas nas horas em que aconteceram.

  CEDERJ        18
Princ´
                             ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                         ca
                                                                                            ´
                                                                                           MODULO 4 - AULA 31


Na Figura 8 temos a mesma representa¸˜o, no entanto, os pontos que ilustram
                                      ca
os pares ordenados (t, T (t)) foram ligados por segmentos de reta. Este ´ e
chamado um gr´fico poligonal. A informa¸˜o da Figura 7 foi aumentada
                a                           ca
pelos segmentos de reta, fazendo pensar que no espa¸o de tempo de uma
                                                      c
hora, a varia¸˜o de temperatura ocorreu segundo os pontos do segmento
             ca
                                                                                           Observe que
correspondente.                                                                            Uma representa¸˜o gr´fica
                                                                                                            ca   a
Este tipo de gr´fico ´ fict´ e enganoso pois, no registro de temperaturas
                a    e   ıcio                                                              exata da temperatura num
                                                                                           intervalo de tempo qualquer
feito na tabela, em nenhum momento aparece a temperatura que aconteceu,                    precisaria de um registro
por exemplo, `s 13h 20min, ou `s 9h 45min. Mais ainda, n˜o podemos
               a                 a                            a                            cont´ınuo da temperatura, o
                                                                                           que ´ fisicamente
                                                                                                e
afirmar que a maior temperatura do dia tenha sido 42 graus cent´    ıgrados,                impratic´vel.
                                                                                                     a
                                                                                           Mesmo assim, esses tipos de
esta ´ apenas a maior temperatura observada no registro e nada garante que
     e
                                                                                           representa¸˜es s˜o bastante
                                                                                                       co   a
pouco antes ou pouco depois das 13h a temperatura tenha sido de fato maior                 uteis e delas podemos fazer
                                                                                           ´
                                                                                           uma an´lise qualitativa
                                                                                                   a
do que 42 graus!
                                                                                           satisfat´ria da nossa
                                                                                                   o
                                                                                           realidade.
Outra representa¸˜o que ´ muito pra-
                  ca       e
ticada em jornais e revistas, ´ o gr´fico
                              e     a
de barras da Figura 9. Nesta figura,
temos a impress˜o de que a tempera-
                 a
tura se mant´m constante pelo espa¸o
             e                        c
de uma hora para ent˜o pular repenti-
                      a
namente, aumentando ou diminuindo
o seu valor, o que, bem sabemos, n˜o  a
                                               Fig. 9: Gr´fico de barras de temperaturas.
                                                         a
acontece.

     As id´ias iniciais sobre essa forma de representar as fun¸˜es por meio
          e                                                   co
de gr´ficos apareceram pela primeira vez no s´culo XIV, quando Nicole
     a                                           e                                              Nicole d’Oresme
d’Oresme concebeu a visualiza¸˜o de certas leis naturais colocando num
                                 ca                                                            1323 - 1382, Fran¸a c
                                                                                           Inventou as coordenadas na
gr´fico a vari´vel dependente em fun¸˜o da independente. Oresme certa-
  a          a                         ca                                                  Geometria antes que
mente influenciou as id´ias de Descartes sobre a cria¸˜o dos sistemas de
                         e                             ca                                  Descartes, encontrando a
                                                                                           equivalˆncia l´gica entre a
                                                                                                  e      o
coordenadas, que ele mesmo usara.                                                          tabela de valores de uma
                                                                                           rela¸˜o funcional e o gr´fico.
                                                                                               ca                  a
     De modo geral, temos a seguinte defini¸˜o:
                                          ca                                               Foi o primeiro a usar
                                                                                           expoentes fracion´rios, fez
                                                                                                             a
Defini¸˜o 3 (Gr´fico de uma fun¸˜o real de vari´vel real)
       ca       a               ca           a                                             enorme rejei¸˜o ` Teoria
                                                                                                        ca a
Se A ⊂ R e f : A → R ´ uma fun¸˜o real de vari´vel real, ent˜o o gr´fico de
                        e          ca           a           a      a                       Estacion´ria da Terra,
                                                                                                    a
                                                                                           proposta por Arist´teles e,
                                                                                                               o
f ´ o subconjunto do plano formado por todos os pares ordenados da forma
  e                                                                                        200 anos antes de Cop´rnico,
                                                                                                                  e
(x, f (x)), onde x ∈ A. Isto ´,
                             e                                                             sugeriu uma teoria em que a
                                                                                           Terra estivesse em constante
                     Graf(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )}                                 movimento.
                                                                                           http://www-groups.dcs.
                                                                                           st-and.ac.uk/∼history/
      A representa¸˜o gr´fica de uma fun¸˜o ´ muito importante, pois ´ a
                  ca    a              ca e                          e                     HistTopics/Oresme.html
partir dela que obtemos informa¸˜es qualitativas sobre a fun¸˜o que, nas
                                co                          ca


                                                                                                19       CEDERJ
Princ´
                                                             ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                                         ca


                                 aplica¸˜es, nos permite prever resultados, tomar decis˜es, estimar comporta-
                                       co                                              o
                                 mentos etc. A pr´xima aula ser´ dedicada ao estudo e representa¸˜o gr´fica
                                                  o              a                                 ca   a
                                 de algumas fun¸˜es elementares e ao problema de determinar quando um
                                                 co
                                 gr´fico no plano representa de fato o gr´fico de uma fun¸˜o real de vari´vel
                                   a                                     a                ca             a
                                 real.

                                 Resumo
                                       Nesta aula estabelecemos o conceito de fun¸˜o e mostramos as condi¸˜es
                                                                                 ca                        co
                                 b´sicas para a constru¸˜o de uma rela¸˜o funcional. Vimos tamb´m que
                                  a                      ca               ca                           e
                                 existem rela¸˜es que n˜o s˜o fun¸˜es. Ilustramos como o conceito de fun¸˜o
                                              co        a a        co                                       ca
                                 est´ presente no nosso cotidiano e definimos a no¸˜o de fun¸˜o real de vari´vel
                                    a                                            ca        ca              a
                                 real e a sua representa¸˜o gr´fica.
                                                        ca     a


                                 Exerc´
                                      ıcios

                                   1. Sabe-se que a Terra d´ uma volta completa ao redor do Sol em 365
                                                               a
                                      dias e 6 horas, isto ´, em 8.766 horas. Durante o ano, a Terra, seguindo
                                                           e
                                      uma ´rbita el´
                                           o        ıptica, tendo o Sol num dos focos, se afasta e se aproxima
                                      dele, dando origem `s esta¸˜es do ano. Devido ` inclina¸˜o do eixo
                                                             a      co                    a        ca
                                      de rota¸˜o, as esta¸˜es acontecem de maneira inversa nos hemisf´rios
                                              ca           co                                             e
                                      norte e sul. Assim, quando a Terra est´ mais longe do Sol, acontece
                                                                                a
                                      o ver˜o no hemisf´rio norte e o inverno no hemisf´rio sul. Quando a
                                            a             e                                e
                                      Terra est´ mais pr´xima do Sol, acontece o ver˜o no hemisf´rio sul e o
                                                a         o                           a             e
                                      inverno no hemisf´rio norte.
                                                         e

                    Equin´cio
                          o           No dia 21 de dezembro ´ quando a Terra est´ mais pr´xima do Sol e
                                                              e                      a        o
  Procure saber o significado          acontece o solst´
                                                      ıcio de ver˜o do hemisf´rio sul, ou solst´
                                                                 a             e                ıcio de ver˜o
                                                                                                            a
         do termo equin´cio,
                         o
relacione a sua pesquisa com          austral. A distˆncia da Terra ao Sol ´ de aproximadamente 147, 06
                                                      a                       e
               o Exerc´ıcio 1.        milh˜es de quilˆmetros. Este ponto ´ tamb´m chamado de solst´ de
                                           o         o                     e      e                    ıcio
                                      inverno do hemisf´rio norte, ou solst´
                                                        e                  ıcio de inverno boreal.
                                      O dia 21 de junho ´ quando a Terra est´ mais distante do Sol. Acontece
                                                          e                   a
                                      o solst´ de ver˜o do hemisf´rio norte e a distˆncia entre estes corpos
                                             ıcio      a            e                a
                                      celestes ´ de 152, 211 milh˜es de quilˆmetros.
                                               e                 o          o
                                      Descreva como poderia ser usada uma fun¸˜o para modelar a distˆncia.
                                                                              ca                    a
                                      Diga qual seria o dom´
                                                           ınio, o contradom´
                                                                            ınio e a imagem da sua fun¸˜o,
                                                                                                      ca
                                      assim como os valores m´ınimo e m´ximo atingidos na imagem.
                                                                         a

                                   2. Descreva, usando uma fun¸˜o, como est˜o relacionados os signos do
                                                              ca           a
                                      Zod´
                                         ıaco com o tempo ao longo do ano. Consulte um jornal se achar

  CEDERJ         20
Princ´
                               ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                           ca
                                                                                              ´
                                                                                             MODULO 4 - AULA 31


    necess´rio.
          a

3. Estabele¸a uma linha do tempo em anos com os acontecimentos mais
           c
   importantes na sua vida. Construa uma rela¸˜o que a cada ano faz cor-
                                             ca
   responder um determinado acontecimento. Vocˆ obteve uma fun¸˜o?
                                                e                 ca
    Proceda agora de maneira inversa. Construa uma rela¸˜o que a cada
                                                          ca
    acontecimento faz corresponder o ano em que ele ocorreu. Vocˆ obteve
                                                                e
    uma fun¸ao?
            c˜
    Justifique as suas respostas.

4. Volte aos gr´ficos de temperaturas (Figuras 7 e 8) do Exemplo 8 para
               a
   responder `s seguintes perguntas:
             a
    a. A que horas a temperatura foi de 40 graus cent´
                                                     ıgrados?
    b. A que horas a temperatura foi a menor do per´
                                                   ıodo de observa¸˜o?
                                                                  ca
    c. Quando a temperatura se manteve acima dos 37 graus cent´
                                                              ıgrados?
    d. Entre que horas a temperatura s´ aumentou?
                                      o
    e. Entre que horas a temperatura s´ diminuiu?
                                      o
    f. Qual foi a diferen¸a entre a maior e a menor temperaturas registradas
                         c
    durante o per´ ıodo?
    g. Segundo as observa¸˜es realizadas, a temperatura atingiu em algum
                         co
    momento 43 graus cent´
                         ıgrados? Atingiu menos de 30 graus cent´ıgrados?

5. Se vocˆ j´ fez alguma vez uma an´lise completa do seu estado de sa´de,
          e a                       a                                u
   ou seja um check up, ´ prov´vel que, dentre os exames realizados tenha
                         e     a
   sido feito um eletrocardiograma. Um eletrocardiograma ´ apenas um
                                                            e
   registro gr´fico das correntes el´tricas produzidas pela atividade do
              a                     e
   m´sculo card´
     u           ıaco (cora¸˜o) com respeito ao tempo.
                           ca




Fig. 10: Eletrocardiograma: pessoa saud´vel.
                                       a        Fig. 11: Eletrocardiograma: pessoa doente.


    a. Um eletrocardiograma ´ o gr´fico de uma fun¸˜o? Caso a sua
                                e     a                 ca
    resposta seja afirmativa, diga qual o dom´
                                            ınio e qual o contradom´
                                                                   ınio.


                                                                                                 21    CEDERJ
Princ´
                                          ıpios para construir uma fun¸˜o
                                                                      ca


                   b. Quando um m´dico analisa um eletrocardiograma, ele procura
                                 e
                        ( ) n´meros e valores no gr´fico?
                             u                     a
                        ( ) uma f´rmula que indique exatamente como fazer o gr´fico?
                                 o                                            a
                        ( ) um padr˜o de repeti¸˜o c´
                                   a           ca ıclica no gr´fico?
                                                              a
                        ( ) uma desculpa para elevar o pre¸o da consulta?
                                                          c

                6. Fa¸a os gr´ficos de pontos, poligonal e de barras das fun¸˜es f e g do
                     c       a                                             co
                   Exemplo 7.


              Auto-avalia¸˜o
                         ca
                     Vocˆ entendeu bem o conceito de fun¸˜o? Sabe quais s˜o os elementos
                         e                               ca                a
              necess´rios para a constru¸˜o de uma fun¸˜o? Fez sem dificuldade todos os
                     a                   ca             ca
              exerc´ıcios da aula? Compreendeu bem o que ´ uma fun¸˜o real de vari´vel
                                                             e         ca               a
              real e a sua representa¸˜o gr´fica? Se ainda estiver com d´vidas, releia a aula
                                      ca   a                           u
              e procure os tutores. Nas pr´ximas aulas, vocˆ conhecer´ mais exemplos de
                                            o                e         a
              fun¸˜es reais de vari´vel real.
                 co                 a




CEDERJ   22
Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real
                       a           co                a
                                                                                  ´
                                                                                 MODULO 4 - AULA 32


    Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real
      a           co                a

Objetivos
   • Compreender analiticamente as fun¸˜es reais de vari´vel real.
                                      co                a
                                                                                 Conceitos:
   • Entender a representa¸˜o gr´fica das fun¸˜es reais de vari´vel real.
                          ca    a           co                a                  N´ meros reais, curvas planas
                                                                                   u
                                                                                 e a defini¸˜o de fun¸˜o.
                                                                                          ca         ca

   • Apreender as condi¸˜es para que o gr´fico de uma curva seja o gr´fico
                       co                a                          a            Referˆncias:
                                                                                      e
     de uma fun¸˜o num´rica.
               ca       e                                                        M´dulos 1 e 2, Aula 31.
                                                                                   o



     Como vocˆ viu nos exemplos da aula anterior, para fazermos modelos
                e
matem´ticos da nossa realidade associamos quantidades num´ricas aos acon-
       a                                                       e
tecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. Esta maneira
de proceder ´ seguida desde a ´poca dos eg´
            e                 e            ıpcios e babilˆnios motivados pelas
                                                         o
necessidades de medir, estimar e calcular.
      Nesta aula e no resto do M´dulo, abordaremos exclusivamente o as-
                                   o
pecto matem´tico das fun¸˜es reais de vari´vel real, com ˆnfase nas suas
             a              co            a              e
representa¸˜es anal´
          co       ıtica e gr´fica.
                             a
  Nota importante
  Daqui em diante, usaremos o termo fun¸˜o em vez de fun¸˜o real de
                                       ca               ca
  vari´vel real.
      a
      Come¸amos o nosso estudo com uma classe muito importante de fun¸˜es,
           c                                                         co
cujo dom´ ´ o conjunto dos n´meros naturais. Essas fun¸˜es s˜o chamadas
         ınio e              u                         co a
seq¨ˆncias num´ricas.
   ue           e
Defini¸˜o 4 (Seq¨ˆncias num´ricas)
     ca        ue          e
Uma seq¨ˆncia num´rica ´ uma fun¸˜o que tem por dom´
        ue          e    e        ca                ınio o conjunto N e
por contradom´ınio o conjunto R. Como N ⊂ R, toda seq¨ˆncia num´rica ´
                                                     ue          e    e
uma fun¸˜o real de vari´vel real,
        ca             a
                               f : N −→ R
                                   n −→ f (n)
    Costumamos escrever a imagem f (n) de um n´mero natural n ∈ N
                                                  u
como fn , {fn } ou {fn }n∈N em vez de f : N −→ R.

     O termo geral fn de uma seq¨ˆncia {fn } pode ser dado por meio de
                                   ue
f´rmulas e rela¸˜es (ou express˜es matem´ticas) envolvendo n, que dizem
 o             co              o         a
                                                                                 Revise a constru¸˜o e
                                                                                                  ca
exatamente como calcular fn para cada n´mero natural n.
                                       u                                         conceitos relativos aos
                                                                                 sistemas de coordenadas
    A representa¸˜o gr´fica das seq¨ˆncias num´ricas ´ feita marcando,
                ca    a            ue          e      e                          cartesianas na Aula 13, do
num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos cujas abscissas s˜o os
                                                                   a             M´dulo 2.
                                                                                    o



                                                                                      23       CEDERJ
Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real
                                                  a           co                a


                          n´meros naturais n e cujas ordenadas correspondem ao valor fn associado a
                           u
                          cada n. Deste modo, o gr´fico da seq¨ˆncia f : N → R ´ o conjunto
                                                   a          ue               e
                                                    Graf(f ) = {(n, fn ) | n ∈ N} .

                          Exemplo 9
                          Seq¨ˆncia de termo geral an = 3 .
                             ue
                          A seq¨ˆncia cujo termo geral ´ an = 3 ´ a
                                ue                     e        e
                          fun¸˜o a : N → R que, a cada n ∈ N, faz
                             ca
                          corresponder o n´mero a(n) = 3. Temos
                                          u
                          assim uma fun¸˜o constante de valor 3.
                                        ca                                    Fig. 12: Seq¨ˆncia constante an = 3 , n ∈ N.
                                                                                          ue

                          A imagem da fun¸˜o a ´ o conjunto unit´rio a(N) = {a(n) | n ∈ N} = {3} e
                                           ca     e              a
                          a sua representa¸˜o gr´fica ´ mostrada na Figura 12.
                                          ca    a    e
                          Exemplo 10
                          Seq¨ˆncia de termo geral bn = n2 .
                             ue
                          A seq¨ˆncia de termo geral bn = n2 ´ a fun¸˜o b : N → R que, a cada
                               ue                               e      ca
                          n ∈ N, faz corresponder o seu quadrado. Podemos construir uma tabela,
                          como faziam os babilˆnios, confrontando os valores n com b(n) = bn = n2 :
                                              o
                                n   0   1   2   3   4    5    6     7     8       9      10      11     12     ...
                               bn   0   1   4   9   16   25   36   49    64      81      100    121     144    ...
                          A imagem desta fun¸˜o ´ o conjunto infinito
                                            ca e
                                    b(N) = {n2 | n ∈ N} = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .} ⊂ N.
                          A tabela acima est´ incompleta, faltando uma infinidade de termos. No
                                             a
Fig. 13: Seq¨ˆncia bn .
            ue            entanto, conhecemos a lei de forma¸˜o dos valores bn , o que ´ suficiente para
                                                            ca                         e
                          conhecer a seq¨ˆncia.
                                        ue
                          Exemplo 11
                                                       √
                          Seq¨ˆncia de termo geral cn = n .
                             ue

                          Esta seq¨ˆncia ´ a fun¸˜o c : N → R que, a
                                  ue      e      ca
                          cada n ∈ N, faz corresponder a sua raiz qua-
                                 √
                          drada, n. Volte ` espiral de Pit´goras da
                                            a               a
                                                                   √
                          Figura 25, da Aula 7, e veja como cn = n                    Fig. 14: Gr´fico da seq¨ˆncia {cn }
                                                                                                 a          ue
                          aumenta rapidamente conforme n aumenta.
                          Exemplo 12
                                                         
                                                         π ,                         se n = 0
                          Seq¨ˆncia de termo geral dn =
                             ue
                                                          1 · dn−1 + π ,             se n > 0 .
                                                              2
                          Esta seq¨ˆncia ´ a fun¸˜o d : N → R que faz corresponder o n´mero π ao
                                  ue     e      ca                                      u
                                                    1
                          natural n = 0 e o n´mero 2 · dn−1 + π ao natural n > 0. Vejamos como s˜o
                                             u                                                   a
                          determinadas as imagens dos naturais pela fun¸˜o d na seguinte tabela:
                                                                       ca

CEDERJ        24
Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real
                         a           co                a
                                                                                            ´
                                                                                           MODULO 4 - AULA 32


 n    0    1    2     3      4      5       6       7       8        9       10      ...
          3     7    15     31     63     127     255      511     1023     2047
 dn   π   2π    4π    8 π   16 π   32 π    64 π   128 π    256 π    512 π   1024 π   ...

Uma rela¸˜o como esta ´ chamada recursiva, pois os valores da fun¸˜o para
          ca            e                                        ca                        Para saber mais
n > 0 s˜o determinados a partir dos valores dados aos naturais menores do
        a                                                                                  Rela¸˜es recursivas como a
                                                                                                co
                                                                                           mostrada pela seq¨ˆncia dn
                                                                                                                ue
que n. Dessa forma, a fun¸˜o descreve um processo que evolui conforme n
                            ca                                                             s˜o de grande importˆncia
                                                                                            a                      a
aumenta, sendo imposs´ determinar de maneira imediata o valor dn , para
                       ıvel                                                                para modelar
                                                                                           matematicamente processos
n > 0, sem antes ter determinado o valor anterior dn−1 .                                   evolutivos. Pense por
                                                                                           exemplo que n ´ uma
                                                                                                             e
                                                                                           vari´vel que representa o
                                                                                               a
                                      Veja na Figura 15 os pontos (n, dn ) do gr´fico
                                                                                  a        tempo (medido em segundos,
                                      da seq¨ˆncia dn para n = 0, 1, . . . , 14. Ob-
                                            ue                                             ou minutos, ou anos etc) e
                                                                                           que dn mede uma
                                      serve como os valores dn v˜o ficando cada
                                                                  a                        caracter´ıstica de estado de
                                      vez mais pr´ximos de 2π conforme n au-
                                                  o                                        um processo no instante n.
                                                                                           A rela¸˜o recursiva indica
                                                                                                  ca
                                      menta.                                               que o estado do processo no
  Fig. 15: Gr´fico da seq¨ˆncia {dn }.
             a          ue            Mais ainda, verifica-se que dn < dn+1 < 2π,           instante n depende de como
                                                                                           o processo se encontra no
                                      para cada n ∈ N. Al´m disso, a distˆncia
                                                            e                   a          tempo n − 1. Este tipo de
de dn a 2π (lembre que esta distˆncia ´ igual a |dn − 2π| ) vai diminuindo e
                                      a     e                                              processo ´ chamado sistema
                                                                                                      e
                                                                                           com retardo 1, pois o estado
fica muito pr´xima de zero conforme n aumenta. Veja o Exerc´ 2.
                o                                                   ıcio                   no tempo n depende apenas
                                                                                           de um estado anterior. Os
                                                                                           sistemas com retardo s˜o  a
O gr´fico de uma fun¸˜o
    a              ca                                                                      usados para modelar
                                                                                           situa¸˜es biol´gicas, de
                                                                                                 co       o
      Como sabemos, o gr´fico de uma fun¸˜o f : A → R consiste de todos
                         a                ca                                               comportamento econˆmico o
                                                                                           etc., e s˜o base de modernas
                                                                                                    a
os pontos do plano de coordenadas (x, f (x)), onde x varia no dom´
                                                                 ınio A de                 teorias de aplica¸˜o
                                                                                                              ca
f . Acabamos de ver que quando o dom´    ınio A ´ o conjunto dos n´meros
                                                 e                  u                      tecnol´gica imediata, como a
                                                                                                  o
                                                                                           Teoria de Autˆmatos
                                                                                                           o
naturais N, e portanto a fun¸˜o ´ uma seq¨ˆncia, esbo¸ar o gr´fico ´ uma
                            ca e           ue          c       a     e                     Celulares.
tarefa mecˆnica e ordenada. Marcamos os pontos de abscissa n e ordenada
          a
f (n) come¸ando com n = 0, depois com n = 1, n = 2 e assim sucessivamente.
          c
      No entanto, se o dom´ A da nossa fun¸˜o n˜o ´ N e sim um intervalo
                            ınio                ca a e
de R, esse procedimento n˜o pode ser realizado, pois ´ imposs´ percorrer
                            a                            e       ıvel
“todos” os n´meros reais x de um intervalo da reta para calcular f (x). O que
             u
´ feito na pr´tica, para contornar essa dificuldade, ´ determinar o valor f (x)
e            a                                       e
para alguns valores x do dom´  ınio da fun¸˜o, localizar os pontos (x, f (x)) no
                                          ca
                                                                  ´
sistema de coordenadas e tra¸ar curvas ligando esses pontos. E claro que,
                                c
quantos mais pontos sejam determinados, melhor ser´ a nossa id´ia sobre a
                                                        a           e
forma do gr´fico da fun¸˜o.
             a           ca
      Observe que, a partir da defini¸˜o do gr´fico de uma fun¸˜o, a reta
                                    ca       a                 ca
vertical que passa por um ponto qualquer do dom´ınio da fun¸˜o dever´ ter
                                                           ca       a
exatamente um ponto em comum com o gr´fico da fun¸˜o. Este ´ o chamado
                                        a          ca        e
crit´rio da vertical:
    e


                                                                                                25      CEDERJ
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Pre calculo modulo 4

  • 1. Conte´ do u 4 Fun¸˜es reais de vari´vel real co a 7 §1. Fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 9 Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ca Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real . . . . . . . . . . . . . . 23 a co a Dom´ ınios e opera¸˜es com fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 co co Dom´ ınios e opera¸˜es com fun¸˜es - continua¸˜o . . . . . . . . . 49 co co ca §2. Composi¸˜o e fun¸˜es invert´ ca co ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A opera¸ao de composi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 c˜ ca Fun¸˜es invert´ co ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 §3. Fun¸˜es Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 co Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 co e Fun¸˜es trigonom´tricas - continua¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . 101 co e ca Fun¸˜es trigonom´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 co e Fun¸˜es exponencial e logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 co Fun¸˜es-aplica¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 co co 5
  • 3. M´dulo 4 o Fun¸˜es reais de vari´vel real co a A natureza era para ele um livro aberto, cujas letras podia ler sem esfor¸o ... c Referˆncias e Albert Einstein, falando sobre Isaac Newton 1. Pr´-C´lculo M´dulos 1, 2 e a o e 3. Chegamos ao M´dulo final do Pr´-C´lculo. Aqui unificamos as no¸˜es e o e a co 2. Anton, H., C´lculo. Ed. a conceitos aprendidos nos M´dulos anteriores e apresentamos os fundamentos o Bookman, 6a edi¸˜o, 2000. ca da teoria das fun¸˜es reais de vari´vel real. co a 3. Spivak, M., Calculus. Ed. Revert´, 1970. e Neste M´dulo abordamos as fun¸˜es por v´rios pontos de vista comple- o co a mentares: a sua descri¸˜o como conceito matem´tico, o seu estudo anal´ ca a ıtico As fun¸˜es co As fun¸˜es s˜o fundamentais co a e a sua representa¸˜o gr´fica. No entanto, desde j´ devemos prestar aten¸˜o ca a a ca em todas as ´reas da a para o fato de que as fun¸˜es s˜o rela¸˜es entre conjuntos, com propriedades co a co Matem´tica. Dependendo do a contexto em estudo, a fun¸˜oca bem determinadas. Seus gr´ficos s˜o apenas representa¸˜es visuais dessas a a co pode receber diversos nomes: rela¸˜es. Em princ´ co ıpio, estudaremos as fun¸˜es sob o ponto de vista mais ge- co homomorfismo, morfismo, transforma¸ao, operador, c˜ ral poss´ ıvel, o das rela¸˜es entre conjuntos. A nossa abordagem est´ baseada co a aplica¸˜o, homeomorfismo, ca em situa¸˜es do cotidiano que vocˆ certamente j´ experimentou. Posterior- co e a homotopia, imers˜o, a mergulho, movimento r´ ıgido mente, voltamos a nossa aten¸˜o para as fun¸˜es reais de vari´vel real. O ca co a etc. A nossa natureza ´ e estudo dessa classe de fun¸˜es e as suas propriedades ´ um dos principais co e mesmo descrita e modelada matematicamente segundo objetivos da Teoria do C´lculo. a Sistemas Dinˆmicos a envolvendo uma ou mais Contudo, o enfoque moderno do conceito de fun¸˜o foi concebido gra¸as ca c fun¸˜es que descrevem co ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos por Cantor e Frege, no final do trajet´rias quando se trata o de movimento, ou evolu¸˜o ca s´culo XIX. Por´m, segundo registros de papiros eg´ e e ıpcios, as fun¸˜es est˜o co a quando se trata de intera¸˜o ca intimamente ligadas `s origens da Matem´tica e tˆm aparecido direta ou a a e entre processos. Isto ´, as e fun¸˜es tamb´m tˆm vida e co e e indiretamente nos grandes passos do desenvolvimento da Ciˆncia. e s˜o os tijolos fundamentais a Ao finalizar este M´dulo vocˆ ter´ familiaridade com as fun¸˜es reais de o e a co com os quais os matem´ticos a vˆm construindo e e vari´vel real, ser´ capaz de fazer uma primeira an´lise gr´fica e estar´ apto a a a a a modelando o nosso mundo fisico. para aprimorar o estudo dessa classe de fun¸˜es nas disciplinas de C´lculo. co a 7 CEDERJ
  • 5. §1. Fun¸˜es co Nesta se¸˜o, apresentamos os conceitos fundamentais da teoria das ca fun¸˜es reais de vari´vel real. co a A se¸˜o ´ dividida em quatro aulas. Na primeira aula (Aula 31), apre- ca e sentamos os princ´ ıpios para estabelecer uma rela¸˜o funcional, motivando a ca nossa explana¸˜o com situa¸˜es do nosso cotidiano. ca co Na segunda aula (Aula 32), abordamos a no¸˜o de fun¸˜o real de ca ca vari´vel real e a sua representa¸˜o gr´fica, acompanhada de uma s´rie de a ca a e exemplos interessantes. Al´m disso, tratamos da importante quest˜o de de- e a terminar quando um gr´fico no plano representa uma fun¸˜o ou n˜o. a ca a Na Aula 33, aprenderemos a construir fun¸˜es, a partir de fun¸˜es co- co co nhecidas, usando as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o definidas no conjunto co ca ca dos n´meros reais. Daremos ˆnfase `s fun¸˜es definidas por polinˆmios com u e a co o coeficientes reais, estudados no M´dulo 3. o Finalmente, na Aula 34, aprenderemos a analisar fun¸˜es definidas por co f´rmulas matem´ticas. o a 9 CEDERJ
  • 7. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca Objetivos • Entender a no¸˜o de fun¸˜o. ca ca • Modelar situa¸˜es do cotidiano com fun¸˜es. co co • Compreender os elementos necess´rios para definir uma fun¸˜o. a ca • Definir a no¸˜o de fun¸˜o real de vari´vel real e definir o seu gr´fico. ca ca a a Se vocˆ parar e prestar aten¸˜o no mundo que o cerca ir´ descobrir e ca a muitas rela¸˜es de associa¸˜o e correspondˆncia. Tamb´m poder´ perceber co ca e e a que muitas situa¸˜es, fatos e acontecimentos dependem, ou s˜o conseq¨ˆncia, co a ue de outros. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 Se vocˆ viajar de ˆnibus da cidade de Campos para o Rio de Janeiro, com- e o prar´ um bilhete na rodovi´ria para embarcar num determinado ˆnibus. Eis a a o a primeira associa¸˜o: a vocˆ, como viajante, foi designado um ˆnibus, den- ca e o tre todos aqueles que comp˜em a frota da companhia escolhida para realizar o a viagem. O bilhete que vocˆ comprar´ possui um determinado c´digo, in- e a o dicando exatamente qual o lugar que vocˆ dever´ ocupar dentro do ˆnibus. e a o Eis outra associa¸˜o: a vocˆ, como passageiro, foi designada uma dentre as ca e v´rias poltronas do ˆnibus. Qualquer outro passageiro ter´ de ocupar outra a o a poltrona, que tamb´m lhe ser´ designada no momento de comprar o bilhete. e a Exemplo 2 Ali´s... a Por falar em ˆnibus, sabe-se que cada ve´ o ıculo automotor, seja ˆnibus, au- o Use os seus conhecimentos sobre a Teoria da Contagem tom´vel etc., possui um determinado c´digo que o identifica e diferencia de o o para determinar o n´ mero u outros similares a ele. Esse c´digo, formado, em geral, por letras e n´meros, o u de possibilidades que uma placa pode ter, sabendo que ´ gravado numa placa met´lica colocada na frente e na traseira dos ve´ e a ıculos. o seu c´digo ´ formado por 3 o e letras e 4 algarismos. Exemplo 3 O que significa contar os elementos de um conjunto finito? A contagem ´ tamb´m uma associa¸˜o, que a cada conjunto finito faz corres- e e ca ponder um unico n´mero natural. Veja que um conjunto com cinco laranjas e ´ u um outro com cinco peras tˆm associado o mesmo n´mero natural, o n´mero e u u cinco. 11 CEDERJ
  • 8. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca Al´m disso, observe que um conjunto finito dado n˜o pode ser associado a e a dois n´meros naturais distintos! u Exemplo 4 Vocˆ ´ um ser unico! De fato, a natureza, para distingui-lo dentre todos os ee ´ outros seres humanos, associou-lhe um c´digo gen´tico, descrito pela cadeia o e de DNA (´cido desoxirribonucl´ico) do seu organismo. Assim, a natureza faz a e uma associa¸˜o que a cada um dos seres humanos faz corresponder um unico ca ´ c´digo gen´tico. Observe que existem c´digos gen´ticos que ainda n˜o est˜o o e o e a a associados a ser humano algum. Contudo, as ultimas descobertas da Enge- ´ nharia Gen´tica indicam que, num futuro n˜o muito distante, poderemos ter e a Fig. 1: Forma¸˜o do DNA. ca dois seres humanos compartilhando o mesmo c´digo gen´tico. o e Exemplo 5 Na Aula 1 falamos sobre o papiro de Ahmes. Pois bem, os eg´ ıpcios desen- volveram m´todos e tabelas para determinar o quadrado de uma quantidade e num´rica, a ´rea de regi˜es retangulares e de se¸˜es circulares e volumes de e a o co paralelep´ ıpedos e cilindros. Fig. 2: Papiro de Moscou. Falemos agora de outro papiro que data Trecho do papiro de Moscou, da mesma ´poca que o papiro de Ahmes, e traduzido em hier´glifos, o onde se mostra o c´lculo do a o papiro de Moscou. Este papiro des- volume do tronco de creve o procedimento usado pelos eg´ ıp- pirˆmide. Este papiro data a de 1850 a.C. e encontra-se cios para calcular o volume de um tronco em exibi¸˜o no Museu de ca de pirˆmide de base quadrangular. Esse a Moscou de Finas Artes. Veja mais sobre a procedimento faz corresponder a um tron- Matem´tica contida nos a co de pirˆmide exatamente um n´mero a u papiros eg´ ıpcios em Fig. 3: Volume de um tronco de pirˆmide. a http://www-groups.dcs. real n˜o-negativo, o seu volume. a st-and.ac.uk/∼history/ HistTopics/ Mais precisamente, dadas as medidas Egyptian papyri.html a = lado da base inferior, b = lado da base superior e h = altura, os eg´ ıpcios descreveram o volume da pirˆmide pela rela¸˜o: a ca 1 Volume = 3 · h · (a2 + a · b + b2 ). Dessa maneira, os eg´ ıpcios estabeleceram uma rela¸˜o funcional que, a cada ca terna de n´meros reais positivos (a, b, h) faz corresponder o n´mero V (a, b, h), u u exprimindo o volume da pirˆmide de medidas a , b e h. a Exemplo 6 Quando vocˆ vai ao cinema, compra a entrada na bilheteria e a entrega ao e fiscal para poder assistir ` sess˜o. Entrando na sala do cinema, vocˆ estar´ a a e a perante um grave problema. Escolher um lugar para sentar! CEDERJ 12
  • 9. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 Vocˆ certamente conseguir´ uma poltrona vazia. No entanto, em geral, n˜o e a a h´ uma regra de associa¸˜o espec´ a ca ıfica que diga em qual poltrona vocˆ dever´ e a sentar. Isto ´, vocˆ n˜o tem associada exatamente uma poltrona dentre todas e e a as existentes na sala do cinema. Dos exemplos acima, apenas o ultimo n˜o expressa uma rela¸˜o fun- ´ a ca cional. Veja a defini¸˜o que usamos atualmente para este conceito: ca Defini¸˜o 1 (Fun¸˜o) ca ca Se A e B s˜o dois conjuntos n˜o-vazios, uma fun¸˜o f de A em B ´ uma a a ca e associa¸˜o, que a cada elemento x do conjunto A faz corresponder exatamente ca um elemento do conjunto B designado por f (x) e chamado a imagem de x A expres˜o f (x) lˆ-se a e pela fun¸˜o f . Nessas condi¸˜es, o conjunto A ´ chamado o dom´ ca co e ınio da f de x. fun¸˜o f (denotado por Dom(f )) e o conjunto B ´ chamado o contradom´ ca e ınio da fun¸˜o f . ca A escrita f : A −→ B lˆ-se e f : A −→ B f de A em B. significa que f ´ uma fun¸˜o de A em B, ficando entendido que o conjunto e ca A ´ o dom´ e ınio e o conjunto B ´ o contradom´ e ınio da fun¸˜o f . ca ` As vezes ´ necess´rio explicitar o processo da rela¸˜o funcional. Para e a ca isto, escrevemos a imagem f (x) de um elemento gen´rico x do dom´ e ınio: f :A −→ B x −→ f (x) f : A −→ B lˆ-se e x −→ f (x) f ´ a fun¸˜o de A em B e ca que a cada x ∈ A associa (ou faz corresponder) Segundo a defini¸˜o anterior, se y = f (x) ´ o elemento de B que ´ ca e e f (x) ∈ B , ou que leva x em f (x). imagem do elemento x de A pela fun¸˜o f : A → B, costumamos dizer que ca y ´ fun¸˜o de x. Dizemos tamb´m que y ´ a vari´vel dependente e x ´ a e ca e e a e vari´vel independente, pois o valor (ou estado) de y ∈ B ´ obtido mediante a e a correspondˆncia dada pela fun¸˜o f a partir do elemento escolhido x ∈ A. e ca Tamb´m na escrita f (x) dizemos que x ´ o argumento da fun¸˜o f . e e ca N˜o confunda f (a) com f (A) a Outro conceito importante envolvido na no¸˜o de fun¸˜o ´ o conjunto ca ca e Se f : A → B ´ uma fun¸˜o, e ca imagem da fun¸˜o ou, abreviadamente, a imagem da fun¸˜o. Se f : A → B ´ ca ca e devemos ter cuidado para uma fun¸˜o com dom´ ca ınio A e contradom´ ınio B, a imagem de f ´ o conjunto e n˜o confundir a imagem por a f de um elemento a do dom´ ınio A, que denotamos f (A) = {f (a) | a ∈ A} e f (A) ⊂ B por f (a), com a imagem da fun¸˜o f , que denotamos ca Note que a imagem f (A) da fun¸˜o f ´ um subconjunto do contra- ca e f (A). Observe que, de fato, f (a) ´ um elemento do e dom´ B. Isto ´, a imagem da fun¸˜o f ´ o subconjunto do contradom´ ınio e ca e ınio conjunto f (A). cujos elementos s˜o imagens de elementos do dom´ a ınio. 13 CEDERJ
  • 10. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca No Exemplo 1, temos duas fun¸˜es. Na primeira, o dom´ ´ o conjunto co ınio e formado por todos os passageiros que viajam da cidade de Campos para o Rio de Janeiro e o contradom´ ´ formado por todos os ˆnibus da companhia de ınio e o transporte rodovi´rio que fazem o trajeto de Campos para o Rio de Janeiro. a A fun¸˜o, nesse caso, ´ a associa¸˜o que a cada passageiro faz corresponder ca e ca um determinado ˆnibus. o Ainda no Exemplo 1, temos outra fun¸˜o, cujo dom´ ca ınio ´ formado e pelo conjunto dos passageiros que ir˜o embarcar num determinado ˆnibus a o e cujo contradom´ ınio ´ o conjunto formado pelas poltronas daquele onibus. e ˆ Nesse caso, a fun¸˜o associa a cada passageiro uma determinada poltrona. ca O dom´ ınio dessa fun¸˜o ´ o conjunto formado pelos passageiros do ˆnibus, o ca e o contradom´ ınio ´ o conjunto das poltronas do ˆnibus e a imagem da fun¸˜o e o ca consiste das poltronas ocupadas por algum passageiro (lembre-se que um o ˆnibus pode fazer o trajeto mesmo sem ter todas as suas poltronas ocupa- das). No Exemplo 2, temos a fun¸˜o que a cada ve´ ca ıculo automotor faz corres- ponder um c´digo de identifica¸˜o gravado numa placa met´lica. O dom´ o ca a ınio desta fun¸˜o consiste de todos os ve´ ca ıculos a motor. O contradom´ consiste ınio de todos os poss´ ıveis c´digos de identifica¸˜o (n´meros de placas) e a ima- o ca u gem consiste exatamente daqueles c´digos usados em algum ve´ o ıculo (ve´ ıculos emplacados). Olhando para o Exemplo 3 vemos outra fun¸˜o. O dom´ desta fun¸˜o ca ınio ca ´ o conjunto cujos elementos s˜o os conjuntos finitos e cujo contradom´ e a ınio ´ o conjunto N dos n´meros naturais. A correspondˆncia que define essa e u e fun¸˜o associa a cada conjunto finito exatamente um n´mero natural, a sa- ca u ber, a cardinalidade do conjunto, isto ´, o n´mero de elementos do conjunto. e u Nesse caso, o dom´ ınio consiste de todos os poss´ ıveis conjuntos finitos, o con- tradom´ ınio consiste de todos os n´meros naturais e a imagem ´ exatamente u e igual ao contradom´ ınio pois, para cada n´mero natural n, h´ (pelo menos) u a um conjunto com n elementos. No Exemplo 4, vemos outra fun¸˜o cujo dom´ ca ınio ´ formado por todos e os seres vivos e cujo contradom´ ´ formado por todos os poss´ ınio e ıveis c´digos o do ´cido desoxirribonucl´ico (DNA). A correspondˆncia que caracteriza a a e e fun¸˜o consiste em associar a cada ser vivo o c´digo do seu DNA. ca o Tente descobrir, neste caso, qual ´ o dom´ e ınio da fun¸˜o, qual ´ o con- ca e tradom´ ınio e qual ´ a imagem. e Finalmente, no Exemplo 5 vemos como a no¸˜o de fun¸˜o estava j´ ca ca a CEDERJ 14
  • 11. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 presente nas primeiras manifesta¸˜es da Matem´tica. Embora os eg´ co a ıpcios e Ren´ Descartes, por volta de e babilˆnios n˜o tratassem das fun¸˜es como ´ feito hoje em dia, eles tinham a o a co e 1637, usou, pela primeira vez e por escrito, o termo fun¸˜o ca no¸˜o intuitiva de correspondˆncia. Logo, as fun¸˜es existem h´, pelo menos, ca e co a para se referir a qualquer 4.000 anos. potˆncia da vari´vel x. e a Posteriormente, Gottfried O conceito de fun¸˜o s´ teve a sua apresenta¸˜o na forma atual gra¸as ca o ca c W. Leibniz, por volta de ao desenvolvimento da Teoria de Conjuntos, no final do s´culo XIX. Esta e 1692, concebe uma fun¸˜oca como qualquer quantidade Teoria tamb´m permite uma melhor visualiza¸˜o do conceito de fun¸˜o por e ca ca associada a uma curva meio de diagramas de conjuntos. (podendo ser as coordenadas de um ponto pertencente ` a curva, o seu comprimento, a pr´pria curva como um todo o Para representar uma fun¸˜o f : A → B, ca etc.). Ao longo do tempo, outros usando esquemas de conjuntos, idealizamos o do- matem´ticos adaptaram e a m´ınio A e o contradom´ ınio B de f em esquemas modificaram o conceito de fun¸˜o segundo as ca gr´ficos de conjuntos. Os elementos de A s˜o le- a a necessidades da sua vados em elementos de B, por meio de flechas pesquisa. Dentre estes matem´ticos, Leonhard a que representam a correspondˆncia definida pela e Euler difundiu a nota¸˜o ca Fig. 4: f : A → B ´ uma fun¸˜o. e ca fun¸˜o. No esquema da Figura 4 vemos como os ca f (x) para designar uma fun¸˜o no seu tratado ca elementos do conjunto A s˜o associados a exatamente um elemento do con- a Introductio in Analysin junto B, conforme a defini¸˜o de fun¸˜o. ca ca Infinitorum, em 1748. Observe que, pela defini¸˜o de fun¸˜o, mais de um elemento do conjunto ca ca Teoria de Conjuntos Volte e revise no M´dulo 1 o A pode ser associado ao mesmo elemento do conjunto B. de Matem´tica Discreta, os a Para ter uma id´ia de como isto acontece regularmente, pense no Exem- e fundamentos da Teoria de Conjuntos. plo 1, onde A ´ o conjunto formado por todos os passageiros que viajam da e cidade de Campos para o Rio de Janeiro, e B ´ o conjunto dos ˆnibus da frota e o da companhia que faz o trajeto. Em geral, mais de um passageiro dever´ a embarcar no mesmo ˆnibus. o De fato, se o conjunto A dos passageiros tiver menos de trinta pessoas desejando fazer a viagem num mesmo hor´rio, n˜o tem sentido a a a companhia disponibilizar mais de um ˆnibus, pois o todos os passageiros podem viajar num mesmo o ˆnibus. Fig. 5: Fun¸˜o constante. ca Na Figura 5 representamos uma fun¸˜o f ca de A em B, que leva todos os elementos do dom´ ınio A no mesmo elemento do contradom´ ınio B. Uma fun¸˜o com esta propriedade ´ chamada fun¸˜o ca e ca constante. Mais precisamente, se b ∈ B ´ um elemento fixo, a fun¸˜o e ca 15 CEDERJ
  • 12. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca f : A −→ B x −→ b ´ chamada a fun¸˜o constante de valor b. Esta fun¸˜o ´ dada por f (x) = b, e ca ca e qualquer que seja o elemento x de A, Aten¸˜o! ca Nem todo diagrama de conjuntos e flechas representa uma fun¸˜o. ca No diagrama da Figura 6 existe um elemento do conjunto A associado a dois elementos distintos do conjunto B. Esta associa¸˜o n˜o ´ uma fun¸˜o. ca a e ca Isto acontece no Exemplo 6: existe ambig¨i- u dade na escolha dos elementos de B associados aos elementos de A. No M´dulo 2, vocˆ viu o e muitos exemplos de rela¸˜es co Antes de continuarmos com outros exem- que n˜o s˜o fun¸˜es. Na a a co plos, ´ importante vocˆ observar que para definir e e pr´xima aula voltaremos a o eles. uma fun¸˜o s˜o indispens´veis os seguintes ingre- ca a a Fig. 6: Rela¸˜o que n˜o ´ fun¸˜o. ca a e ca dientes: Conceitos necess´rios para definir uma fun¸˜o a ca • Dois conjuntos n˜o-vazios: o dom´ a ınio e o contradom´ınio da fun¸˜o. ca • Uma rela¸˜o de correspondˆncia f que a cada elemento do ca e dom´ınio associa exatamente um elemento do contradom´ ınio. Ao longo do tempo, as fun¸˜es vˆm sendo uma ferramenta fundamental co e para modelar matematicamente o universo que nos rodeia. Isto ´ feito, na e maior parte das vezes, associando quantidades num´ricas a fenˆmenos que e o desejamos estudar. Exemplo 7 Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ ıstica), a partir de 1940 a popula¸˜o urbana do Brasil come¸ou a crescer. V´rios foram ca c a os fatores que levaram os habitantes das ´reas rurais para as grandes cidades, a dentre esses destacam-se o enorme desenvolvimento industrial nas cidades e a mecaniza¸˜o da agricultura. ca Dessa forma, os habitantes da zona rural passam a procurar nas cidades melhores condi¸˜es de vida, empregos melhor remunerados, uma melhor as- co sistˆncia m´dica e educacional. No entanto, isso tamb´m traz diversos proble- e e e mas. As cidades crescem sem o devido planejamento, faltam servi¸os b´sicos, c a aumentam os ´ ındices de desemprego, os problemas ambientais e a violˆncia. e CEDERJ 16
  • 13. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 Vamos aos n´meros! Na tabela a seguir, fazemos uma rela¸˜o da fra¸˜o u ca ca da popula¸˜o brasileira que corresponde aos habitantes das zonas rurais e ca urbanas no pa´ desde 1940: ıs Ano 1940 1950 1960 1970 1980 1991 Pop. Rural 0, 69 0, 64 0, 55 0, 44 0, 32 0, 24 Pop. Urbana 0, 31 0, 36 0, 45 0, 56 0, 68 0, 76 Assim, em 1950, de cada 100 habitantes no Brasil, 64 viviam na zona rural e 36 na zona urbana. Observe o contraste com 1991, ano em que de cada 100 brasileiros, apenas 24 moravam na zona rural e 76 na zona urbana. Os n´meros hoje em dia somente podem ser piores. u A partir da tabela de dados acima, podemos definir v´rias fun¸˜es. a co Por exemplo, a fun¸˜o f cujo dom´ ca ınio A ´ o conjunto formado pelos anos e dados na tabela, cujo contradom´ ınio B ´ o conjunto dos n´meros reais n˜o- e u a negativos e a cada ano faz corresponder a fra¸˜o que representa a porcenta- ca gem da popula¸˜o rural do Brasil nesse ano. ca Exercicio Escreva as fun¸˜es f e g co Nesta fun¸˜o, temos que f (1940) = 0, 69 , f (1960) = 0, 55 etc. ca descritas ao lado nas formas Podemos fazer o mesmo definindo uma fun¸˜o g de iguais dom´ ca ınio e contra- f : A → [0, +∞) x → f (x) dom´ ınio que a fun¸˜o f , mas a cada ano fazendo corresponder a fra¸˜o da ca ca e g: A → [0, +∞) popula¸˜o brasileira que habita na zona urbana. ca x → g(x) Por exemplo, g(1950) = 0, 36 e g(1991) = 0, 76 . As imagens destas duas fun¸˜es s˜o os subconjuntos de n´meros reais dados co a u por f (A) = {0, 69 , 0, 64 , 0, 55 , 0, 44 , 0, 32 , 0, 24} g(A) = {0, 31 , 0, 36 , 0, 45 , 0, 56 , 0, 68 , 0, 76}. Este ´ o nosso primeiro exemplo de fun¸˜es cujos dom´ e co ınio e contra- dom´ınio s˜o subconjuntos de R. Esta classe de fun¸˜es ocupar´ a nossa a co a energia pelo resto do M´dulo e nas disciplinas de C´lculo. o a Defini¸˜o 2 (Fun¸˜es reais de vari´vel real) ca co a Uma fun¸˜o real de vari´vel real ´ uma fun¸˜o, tal que o seu dom´ e o seu ca a e ca ınio contradom´ınio s˜o subconjuntos de R. a Nos exemplos que apresentamos at´ agora, vimos que ´ poss´ descre- e e ıvel ver uma rela¸˜o funcional com a linguagem do nosso cotidiano, atrav´s de ca e express˜es matem´ticas ou pela observa¸˜o de dados obtidos por medi¸˜es o a ca co de fenˆmenos naturais. o Vejamos agora como descrever as fun¸˜es por meio de informa¸˜o gr´fica. co ca a 17 CEDERJ
  • 14. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca Exemplo 8 Num dos dias mais quentes do ver˜o carioca, foi feito um registro da tempe- a ratura em um termˆmetro de rua a cada hora. A leitura foi feita come¸ando o c a `s 7h e terminando `s 22h. Os dados foram colocados numa tabela, confron- a tando a hora, designada pela vari´vel t, e a temperatura (medida em graus a cent´ ıgrados), designada pela vari´vel T . a t 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 T 31 34 37 39 40 41 42 41 40 39 38 38 36 33 30 30 Temos definida uma fun¸˜o, com dom´ ca ınio {7, 8, 9, 10, 11, . . . , 22} e contra- dom´ ınio R, que a cada hora t entre 7 e 22 faz corresponder a temperatura T (t) que marca o termˆmetro nesse instante. o T : {t ∈ N | 7 ≤ t ≤ 22} −→ R t −→ T (t) . A imagem desta fun¸˜o ´ o conjunto ca e T ({t ∈ N | 7 ≤ t ≤ 22}) = {30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42}. Assim, durante o per´ıodo da observa¸˜o, a maior temperatura foi registrada ca a `s 13h (T (13) = 42 graus cent´ıgrados) e a menor temperatura foi registrada a `s 21h e `s 22h (T (21) = T (22) = 30 graus cent´ a ıgrados). Coordenadas Para elaborar a representa¸˜o gr´fica, consideramos um sistema de coordena- ca a Se achar necess´rio, volte ` a a das cartesianas. Representamos a vari´vel independente no eixo horizontal e a Aula 13 e revise os conceitos b´sicos sobre sistemas de a a vari´vel dependente no eixo vertical. As unidades nos eixos coordenados s˜o a a coordenadas e coordenadas ajustadas de modo a permitir uma visualiza¸˜o melhor dos dados. Compare ca cartesianas. nas Figuras 7 e 8 duas representa¸˜es da nossa tabela de temperaturas. co Fig. 7: Gr´fico de temperaturas em pontos. a Fig. 8: Gr´fico poligonal de temperaturas. a Na Figura 7 temos uma representa¸˜o fiel da nossa tabela de temperaturas, ca na qual ilustram-se as temperaturas exatas nas horas em que aconteceram. CEDERJ 18
  • 15. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 Na Figura 8 temos a mesma representa¸˜o, no entanto, os pontos que ilustram ca os pares ordenados (t, T (t)) foram ligados por segmentos de reta. Este ´ e chamado um gr´fico poligonal. A informa¸˜o da Figura 7 foi aumentada a ca pelos segmentos de reta, fazendo pensar que no espa¸o de tempo de uma c hora, a varia¸˜o de temperatura ocorreu segundo os pontos do segmento ca Observe que correspondente. Uma representa¸˜o gr´fica ca a Este tipo de gr´fico ´ fict´ e enganoso pois, no registro de temperaturas a e ıcio exata da temperatura num intervalo de tempo qualquer feito na tabela, em nenhum momento aparece a temperatura que aconteceu, precisaria de um registro por exemplo, `s 13h 20min, ou `s 9h 45min. Mais ainda, n˜o podemos a a a cont´ınuo da temperatura, o que ´ fisicamente e afirmar que a maior temperatura do dia tenha sido 42 graus cent´ ıgrados, impratic´vel. a Mesmo assim, esses tipos de esta ´ apenas a maior temperatura observada no registro e nada garante que e representa¸˜es s˜o bastante co a pouco antes ou pouco depois das 13h a temperatura tenha sido de fato maior uteis e delas podemos fazer ´ uma an´lise qualitativa a do que 42 graus! satisfat´ria da nossa o realidade. Outra representa¸˜o que ´ muito pra- ca e ticada em jornais e revistas, ´ o gr´fico e a de barras da Figura 9. Nesta figura, temos a impress˜o de que a tempera- a tura se mant´m constante pelo espa¸o e c de uma hora para ent˜o pular repenti- a namente, aumentando ou diminuindo o seu valor, o que, bem sabemos, n˜o a Fig. 9: Gr´fico de barras de temperaturas. a acontece. As id´ias iniciais sobre essa forma de representar as fun¸˜es por meio e co de gr´ficos apareceram pela primeira vez no s´culo XIV, quando Nicole a e Nicole d’Oresme d’Oresme concebeu a visualiza¸˜o de certas leis naturais colocando num ca 1323 - 1382, Fran¸a c Inventou as coordenadas na gr´fico a vari´vel dependente em fun¸˜o da independente. Oresme certa- a a ca Geometria antes que mente influenciou as id´ias de Descartes sobre a cria¸˜o dos sistemas de e ca Descartes, encontrando a equivalˆncia l´gica entre a e o coordenadas, que ele mesmo usara. tabela de valores de uma rela¸˜o funcional e o gr´fico. ca a De modo geral, temos a seguinte defini¸˜o: ca Foi o primeiro a usar expoentes fracion´rios, fez a Defini¸˜o 3 (Gr´fico de uma fun¸˜o real de vari´vel real) ca a ca a enorme rejei¸˜o ` Teoria ca a Se A ⊂ R e f : A → R ´ uma fun¸˜o real de vari´vel real, ent˜o o gr´fico de e ca a a a Estacion´ria da Terra, a proposta por Arist´teles e, o f ´ o subconjunto do plano formado por todos os pares ordenados da forma e 200 anos antes de Cop´rnico, e (x, f (x)), onde x ∈ A. Isto ´, e sugeriu uma teoria em que a Terra estivesse em constante Graf(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} movimento. http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ A representa¸˜o gr´fica de uma fun¸˜o ´ muito importante, pois ´ a ca a ca e e HistTopics/Oresme.html partir dela que obtemos informa¸˜es qualitativas sobre a fun¸˜o que, nas co ca 19 CEDERJ
  • 16. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca aplica¸˜es, nos permite prever resultados, tomar decis˜es, estimar comporta- co o mentos etc. A pr´xima aula ser´ dedicada ao estudo e representa¸˜o gr´fica o a ca a de algumas fun¸˜es elementares e ao problema de determinar quando um co gr´fico no plano representa de fato o gr´fico de uma fun¸˜o real de vari´vel a a ca a real. Resumo Nesta aula estabelecemos o conceito de fun¸˜o e mostramos as condi¸˜es ca co b´sicas para a constru¸˜o de uma rela¸˜o funcional. Vimos tamb´m que a ca ca e existem rela¸˜es que n˜o s˜o fun¸˜es. Ilustramos como o conceito de fun¸˜o co a a co ca est´ presente no nosso cotidiano e definimos a no¸˜o de fun¸˜o real de vari´vel a ca ca a real e a sua representa¸˜o gr´fica. ca a Exerc´ ıcios 1. Sabe-se que a Terra d´ uma volta completa ao redor do Sol em 365 a dias e 6 horas, isto ´, em 8.766 horas. Durante o ano, a Terra, seguindo e uma ´rbita el´ o ıptica, tendo o Sol num dos focos, se afasta e se aproxima dele, dando origem `s esta¸˜es do ano. Devido ` inclina¸˜o do eixo a co a ca de rota¸˜o, as esta¸˜es acontecem de maneira inversa nos hemisf´rios ca co e norte e sul. Assim, quando a Terra est´ mais longe do Sol, acontece a o ver˜o no hemisf´rio norte e o inverno no hemisf´rio sul. Quando a a e e Terra est´ mais pr´xima do Sol, acontece o ver˜o no hemisf´rio sul e o a o a e inverno no hemisf´rio norte. e Equin´cio o No dia 21 de dezembro ´ quando a Terra est´ mais pr´xima do Sol e e a o Procure saber o significado acontece o solst´ ıcio de ver˜o do hemisf´rio sul, ou solst´ a e ıcio de ver˜o a do termo equin´cio, o relacione a sua pesquisa com austral. A distˆncia da Terra ao Sol ´ de aproximadamente 147, 06 a e o Exerc´ıcio 1. milh˜es de quilˆmetros. Este ponto ´ tamb´m chamado de solst´ de o o e e ıcio inverno do hemisf´rio norte, ou solst´ e ıcio de inverno boreal. O dia 21 de junho ´ quando a Terra est´ mais distante do Sol. Acontece e a o solst´ de ver˜o do hemisf´rio norte e a distˆncia entre estes corpos ıcio a e a celestes ´ de 152, 211 milh˜es de quilˆmetros. e o o Descreva como poderia ser usada uma fun¸˜o para modelar a distˆncia. ca a Diga qual seria o dom´ ınio, o contradom´ ınio e a imagem da sua fun¸˜o, ca assim como os valores m´ınimo e m´ximo atingidos na imagem. a 2. Descreva, usando uma fun¸˜o, como est˜o relacionados os signos do ca a Zod´ ıaco com o tempo ao longo do ano. Consulte um jornal se achar CEDERJ 20
  • 17. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca ´ MODULO 4 - AULA 31 necess´rio. a 3. Estabele¸a uma linha do tempo em anos com os acontecimentos mais c importantes na sua vida. Construa uma rela¸˜o que a cada ano faz cor- ca responder um determinado acontecimento. Vocˆ obteve uma fun¸˜o? e ca Proceda agora de maneira inversa. Construa uma rela¸˜o que a cada ca acontecimento faz corresponder o ano em que ele ocorreu. Vocˆ obteve e uma fun¸ao? c˜ Justifique as suas respostas. 4. Volte aos gr´ficos de temperaturas (Figuras 7 e 8) do Exemplo 8 para a responder `s seguintes perguntas: a a. A que horas a temperatura foi de 40 graus cent´ ıgrados? b. A que horas a temperatura foi a menor do per´ ıodo de observa¸˜o? ca c. Quando a temperatura se manteve acima dos 37 graus cent´ ıgrados? d. Entre que horas a temperatura s´ aumentou? o e. Entre que horas a temperatura s´ diminuiu? o f. Qual foi a diferen¸a entre a maior e a menor temperaturas registradas c durante o per´ ıodo? g. Segundo as observa¸˜es realizadas, a temperatura atingiu em algum co momento 43 graus cent´ ıgrados? Atingiu menos de 30 graus cent´ıgrados? 5. Se vocˆ j´ fez alguma vez uma an´lise completa do seu estado de sa´de, e a a u ou seja um check up, ´ prov´vel que, dentre os exames realizados tenha e a sido feito um eletrocardiograma. Um eletrocardiograma ´ apenas um e registro gr´fico das correntes el´tricas produzidas pela atividade do a e m´sculo card´ u ıaco (cora¸˜o) com respeito ao tempo. ca Fig. 10: Eletrocardiograma: pessoa saud´vel. a Fig. 11: Eletrocardiograma: pessoa doente. a. Um eletrocardiograma ´ o gr´fico de uma fun¸˜o? Caso a sua e a ca resposta seja afirmativa, diga qual o dom´ ınio e qual o contradom´ ınio. 21 CEDERJ
  • 18. Princ´ ıpios para construir uma fun¸˜o ca b. Quando um m´dico analisa um eletrocardiograma, ele procura e ( ) n´meros e valores no gr´fico? u a ( ) uma f´rmula que indique exatamente como fazer o gr´fico? o a ( ) um padr˜o de repeti¸˜o c´ a ca ıclica no gr´fico? a ( ) uma desculpa para elevar o pre¸o da consulta? c 6. Fa¸a os gr´ficos de pontos, poligonal e de barras das fun¸˜es f e g do c a co Exemplo 7. Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ entendeu bem o conceito de fun¸˜o? Sabe quais s˜o os elementos e ca a necess´rios para a constru¸˜o de uma fun¸˜o? Fez sem dificuldade todos os a ca ca exerc´ıcios da aula? Compreendeu bem o que ´ uma fun¸˜o real de vari´vel e ca a real e a sua representa¸˜o gr´fica? Se ainda estiver com d´vidas, releia a aula ca a u e procure os tutores. Nas pr´ximas aulas, vocˆ conhecer´ mais exemplos de o e a fun¸˜es reais de vari´vel real. co a CEDERJ 22
  • 19. Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real a co a ´ MODULO 4 - AULA 32 Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real a co a Objetivos • Compreender analiticamente as fun¸˜es reais de vari´vel real. co a Conceitos: • Entender a representa¸˜o gr´fica das fun¸˜es reais de vari´vel real. ca a co a N´ meros reais, curvas planas u e a defini¸˜o de fun¸˜o. ca ca • Apreender as condi¸˜es para que o gr´fico de uma curva seja o gr´fico co a a Referˆncias: e de uma fun¸˜o num´rica. ca e M´dulos 1 e 2, Aula 31. o Como vocˆ viu nos exemplos da aula anterior, para fazermos modelos e matem´ticos da nossa realidade associamos quantidades num´ricas aos acon- a e tecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. Esta maneira de proceder ´ seguida desde a ´poca dos eg´ e e ıpcios e babilˆnios motivados pelas o necessidades de medir, estimar e calcular. Nesta aula e no resto do M´dulo, abordaremos exclusivamente o as- o pecto matem´tico das fun¸˜es reais de vari´vel real, com ˆnfase nas suas a co a e representa¸˜es anal´ co ıtica e gr´fica. a Nota importante Daqui em diante, usaremos o termo fun¸˜o em vez de fun¸˜o real de ca ca vari´vel real. a Come¸amos o nosso estudo com uma classe muito importante de fun¸˜es, c co cujo dom´ ´ o conjunto dos n´meros naturais. Essas fun¸˜es s˜o chamadas ınio e u co a seq¨ˆncias num´ricas. ue e Defini¸˜o 4 (Seq¨ˆncias num´ricas) ca ue e Uma seq¨ˆncia num´rica ´ uma fun¸˜o que tem por dom´ ue e e ca ınio o conjunto N e por contradom´ınio o conjunto R. Como N ⊂ R, toda seq¨ˆncia num´rica ´ ue e e uma fun¸˜o real de vari´vel real, ca a f : N −→ R n −→ f (n) Costumamos escrever a imagem f (n) de um n´mero natural n ∈ N u como fn , {fn } ou {fn }n∈N em vez de f : N −→ R. O termo geral fn de uma seq¨ˆncia {fn } pode ser dado por meio de ue f´rmulas e rela¸˜es (ou express˜es matem´ticas) envolvendo n, que dizem o co o a Revise a constru¸˜o e ca exatamente como calcular fn para cada n´mero natural n. u conceitos relativos aos sistemas de coordenadas A representa¸˜o gr´fica das seq¨ˆncias num´ricas ´ feita marcando, ca a ue e e cartesianas na Aula 13, do num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos cujas abscissas s˜o os a M´dulo 2. o 23 CEDERJ
  • 20. Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real a co a n´meros naturais n e cujas ordenadas correspondem ao valor fn associado a u cada n. Deste modo, o gr´fico da seq¨ˆncia f : N → R ´ o conjunto a ue e Graf(f ) = {(n, fn ) | n ∈ N} . Exemplo 9 Seq¨ˆncia de termo geral an = 3 . ue A seq¨ˆncia cujo termo geral ´ an = 3 ´ a ue e e fun¸˜o a : N → R que, a cada n ∈ N, faz ca corresponder o n´mero a(n) = 3. Temos u assim uma fun¸˜o constante de valor 3. ca Fig. 12: Seq¨ˆncia constante an = 3 , n ∈ N. ue A imagem da fun¸˜o a ´ o conjunto unit´rio a(N) = {a(n) | n ∈ N} = {3} e ca e a a sua representa¸˜o gr´fica ´ mostrada na Figura 12. ca a e Exemplo 10 Seq¨ˆncia de termo geral bn = n2 . ue A seq¨ˆncia de termo geral bn = n2 ´ a fun¸˜o b : N → R que, a cada ue e ca n ∈ N, faz corresponder o seu quadrado. Podemos construir uma tabela, como faziam os babilˆnios, confrontando os valores n com b(n) = bn = n2 : o n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... bn 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 ... A imagem desta fun¸˜o ´ o conjunto infinito ca e b(N) = {n2 | n ∈ N} = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .} ⊂ N. A tabela acima est´ incompleta, faltando uma infinidade de termos. No a Fig. 13: Seq¨ˆncia bn . ue entanto, conhecemos a lei de forma¸˜o dos valores bn , o que ´ suficiente para ca e conhecer a seq¨ˆncia. ue Exemplo 11 √ Seq¨ˆncia de termo geral cn = n . ue Esta seq¨ˆncia ´ a fun¸˜o c : N → R que, a ue e ca cada n ∈ N, faz corresponder a sua raiz qua- √ drada, n. Volte ` espiral de Pit´goras da a a √ Figura 25, da Aula 7, e veja como cn = n Fig. 14: Gr´fico da seq¨ˆncia {cn } a ue aumenta rapidamente conforme n aumenta. Exemplo 12  π , se n = 0 Seq¨ˆncia de termo geral dn = ue  1 · dn−1 + π , se n > 0 . 2 Esta seq¨ˆncia ´ a fun¸˜o d : N → R que faz corresponder o n´mero π ao ue e ca u 1 natural n = 0 e o n´mero 2 · dn−1 + π ao natural n > 0. Vejamos como s˜o u a determinadas as imagens dos naturais pela fun¸˜o d na seguinte tabela: ca CEDERJ 24
  • 21. Gr´ficos de fun¸˜es reais de vari´vel real a co a ´ MODULO 4 - AULA 32 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 dn π 2π 4π 8 π 16 π 32 π 64 π 128 π 256 π 512 π 1024 π ... Uma rela¸˜o como esta ´ chamada recursiva, pois os valores da fun¸˜o para ca e ca Para saber mais n > 0 s˜o determinados a partir dos valores dados aos naturais menores do a Rela¸˜es recursivas como a co mostrada pela seq¨ˆncia dn ue que n. Dessa forma, a fun¸˜o descreve um processo que evolui conforme n ca s˜o de grande importˆncia a a aumenta, sendo imposs´ determinar de maneira imediata o valor dn , para ıvel para modelar matematicamente processos n > 0, sem antes ter determinado o valor anterior dn−1 . evolutivos. Pense por exemplo que n ´ uma e vari´vel que representa o a Veja na Figura 15 os pontos (n, dn ) do gr´fico a tempo (medido em segundos, da seq¨ˆncia dn para n = 0, 1, . . . , 14. Ob- ue ou minutos, ou anos etc) e que dn mede uma serve como os valores dn v˜o ficando cada a caracter´ıstica de estado de vez mais pr´ximos de 2π conforme n au- o um processo no instante n. A rela¸˜o recursiva indica ca menta. que o estado do processo no Fig. 15: Gr´fico da seq¨ˆncia {dn }. a ue Mais ainda, verifica-se que dn < dn+1 < 2π, instante n depende de como o processo se encontra no para cada n ∈ N. Al´m disso, a distˆncia e a tempo n − 1. Este tipo de de dn a 2π (lembre que esta distˆncia ´ igual a |dn − 2π| ) vai diminuindo e a e processo ´ chamado sistema e com retardo 1, pois o estado fica muito pr´xima de zero conforme n aumenta. Veja o Exerc´ 2. o ıcio no tempo n depende apenas de um estado anterior. Os sistemas com retardo s˜o a O gr´fico de uma fun¸˜o a ca usados para modelar situa¸˜es biol´gicas, de co o Como sabemos, o gr´fico de uma fun¸˜o f : A → R consiste de todos a ca comportamento econˆmico o etc., e s˜o base de modernas a os pontos do plano de coordenadas (x, f (x)), onde x varia no dom´ ınio A de teorias de aplica¸˜o ca f . Acabamos de ver que quando o dom´ ınio A ´ o conjunto dos n´meros e u tecnol´gica imediata, como a o Teoria de Autˆmatos o naturais N, e portanto a fun¸˜o ´ uma seq¨ˆncia, esbo¸ar o gr´fico ´ uma ca e ue c a e Celulares. tarefa mecˆnica e ordenada. Marcamos os pontos de abscissa n e ordenada a f (n) come¸ando com n = 0, depois com n = 1, n = 2 e assim sucessivamente. c No entanto, se o dom´ A da nossa fun¸˜o n˜o ´ N e sim um intervalo ınio ca a e de R, esse procedimento n˜o pode ser realizado, pois ´ imposs´ percorrer a e ıvel “todos” os n´meros reais x de um intervalo da reta para calcular f (x). O que u ´ feito na pr´tica, para contornar essa dificuldade, ´ determinar o valor f (x) e a e para alguns valores x do dom´ ınio da fun¸˜o, localizar os pontos (x, f (x)) no ca ´ sistema de coordenadas e tra¸ar curvas ligando esses pontos. E claro que, c quantos mais pontos sejam determinados, melhor ser´ a nossa id´ia sobre a a e forma do gr´fico da fun¸˜o. a ca Observe que, a partir da defini¸˜o do gr´fico de uma fun¸˜o, a reta ca a ca vertical que passa por um ponto qualquer do dom´ınio da fun¸˜o dever´ ter ca a exatamente um ponto em comum com o gr´fico da fun¸˜o. Este ´ o chamado a ca e crit´rio da vertical: e 25 CEDERJ