Livrocalculo2 miolo

Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Aula 1 – Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co a a

Objetivo
• Apresentar as fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

Introdu¸õ
ca

A partir desta aula, at´ o fim do semestre, o foco de nossas aten¸˜es ser´
e co a
as fun¸˜es de v´rias vari´veis. Vocˆ j´ estudou as fun¸˜es reais e vetoriais
co a a e a co
de uma vari´vel que servem para descrever fenˆmenos que dependem de um
a o
unico parˆmetro ou vari´vel. Como exemplos, vocˆ pode tomar a posi¸õ
´ a a e ca
de uma part´ ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸õ. Nesses casos, os
ca
fenˆmenos variam em fun¸õ do tempo. No entanto, h´ diversas situa¸˜es
o ca a co
nas quais o resultado depende de mais de uma vari´vel. Vamos a um exemplo.
a
Podemos usar uma fun¸õ para descrever as diversas temperaturas em
ca
diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´, a cada ponto P da
e
placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos.
Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos
de duas informa¸˜es: uma latitude e uma longitude. Isto ´, necessitamos de
co e
duas coordenadas. Ou seja, T ´ uma fun¸õ de duas vari´veis.
e ca a
Veja uma outra situa¸õ. Dado um corpo com a forma de um parale-
ca
lep´
ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ(P )
do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´ uma fun¸õ δ, que depende de trˆs
a ca e
vari´veis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessi-
a
tamos de trˆs informa¸˜es: altura, largura e profundidade.
e co
Vocˆ seria capaz de imaginar uma situa¸õ que demandasse uma fun¸õ
e ca ca
de quatro vari´veis para descrever um determinado fenˆmeno?
a o

Fun¸˜es de duas vari´veis
co a
Chamamos fun¸˜es de duas vari´veis as fun¸˜es do tipo
co a co

f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,

cuja lei de defini¸õ tem a forma
ca

z = f (x, y).

7 CEDERJ

co a a

Isto ´, x e y sõ as vari´veis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´
e a a e
o dom´ınio da fun¸õ.
ca

Exemplo 1.1
Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸õ definida por f (x, y) = x + 2y.
ca
Este exemplo ´ bem simples. Esta fun¸õ de duas vari´veis ´ chamada,
e ca a e
´
na Algebra Linear, de um funcional linear.
As fun¸˜es de duas vari´veis tˆm um papel importante no nosso estudo
co a e
de fun¸˜es de v´rias vari´veis, pois podemos esbo¸ar seus gr´ficos. Em geral,
co a a c a
o gr´fico de uma fun¸õ de duas vari´veis ´ uma superf´ em lR 3 . No caso
a ca a e ıcie
em questõ, esta superf´ ´ um plano que cont´m a origem. Sua interse¸õ
a ıcie e e ca
e e ´
com o plano xOz ´ a reta z = x e com o plano yOz ´ a reta z = 2y. E claro
que na figura representamos apenas parte do plano. Veja a seguir.

z

x y

Em geral, representamos o espa¸o tridimensional com o plano z = 0,
c
gerado pelos eixos Ox e Oy, fazendo o papel de chõ onde estamos, o plano
a
x = 0, gerado pelos eixos Oy e Oz, como se fosse uma parede ligeiramente a`
nossa frente e o plano y = 0, gerado pelos eixos Ox e Oz, como se fosse uma
outra parede ligeiramente a nossa esquerda.
`
Note, tamb´m, que representamos apenas parte da superf´
e ıcie. Na ver-
dade, o gr´fico da fun¸õ ´ um plano e, como tal, deve continuar em todas as
a ca e
dire¸˜es. No entanto, limitamo-nos a representar sua interse¸õ com o plano
co ca
zOy, fazendo x = 0, obtendo a reta z = 2y, e a sua interse¸õ com o plano
ca
zOx, fazendo y = 0 e obtendo a reta x = x. Al´m disso, na regiõ x ≥ 0,
e a
y ≥ 0, desenhamos apenas uma parte do plano, sobre um dom´ triangular.
ınio
´
E bom acostumar-se com essas representa¸˜es. Temos de contar com a
co
ajuda delas para visualizar a geometria das fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

CEDERJ 8

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

A seguir, mais duas fun¸˜es com seus gr´ficos.
co a

Exemplo 1.2

f (x, y) = x2 + y 2 g(x, y) = 1 − x2 − y 2

Note que estas duas superf´
ıcies sõ conhecidas da Geometria Anal´
a ıtica.
O gr´fico de f ´ o parabolíde de revolu¸õ definido pela equa¸õ z = x + y 2
a e o ca ca 2

e o gr´fico de g ´ uma semi-esfera. Isto ´, os pontos (x, y, z) que pertencem
a e e
ao gr´fico de g satisfazem ` equa¸õ z = 1 − x2 − y 2 e, portanto, tamb´m
a a ca e
2 2 2
satisfazem ` equa¸õ x + y + z = 1, pertencendo, por isso, a esfera de raio
a ca `
1, centrada na origem.

Dom´
ınios das fun¸˜es de duas v´rias vari´veis
co a a

Seguindo a mesma regra geral usada no C´lculo I, quando dizemos “seja
a
z = f (x, y) uma fun¸õ”, estamos subentendendo que seu dom´ ´ o maior
ca ınio e
2
subconjunto de lR no qual a lei esteja bem definida.

Exemplo 1.2 (Revisitado)
No caso de f (x, y) = x2 + y 2 , cujo gr´fico ´ um parabolíde, o dom´
a e o ınio
2
´ todo o plano lR . Esta ´ uma fun¸õ polinomial, pois sua lei de defini¸õ
e e ca ca
´ um polinˆmio em duas vari´veis.
e o a
Nesses casos, costumamos usar a expressõ “o plano todo”.
a
Consideremos agora a fun¸õ g(x, y) =
ca 1 − x2 − y 2 , que est´ bem
a y

definida, desde que 1 − x − y ≥ 0. Em outras palavras, o dom´
2 2
ınio de g ´
e
o conjunto
1 x
A = { (x, y) ∈ lR ; x2 + y2 ≤ 1 },

a que chamamos disco fechado de raio 1, centrado na origem.

9 CEDERJ

co a a

Exerc´ 1
ıcio
Determine o dom´
ınio de

f (x, y) = ln (x + y − 2)

e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
c c

Fun¸˜es de trˆs ou mais vari´veis
co e a

No caso das fun¸˜es com mais do que duas vari´veis, nõ dispomos dos
co a a
esbo¸os de seus gr´ficos, senõ de maneira simplificada, uma vez que eles sõ
c a a a
subconjuntos de lR n , com n ≥ 4. No entanto, podemos esbo¸ar os dom´
c ınios
3
de fun¸˜es de trˆs vari´veis, pois eles sõ subconjuntos de lR . Veja um
co e a a
exemplo a seguir.
Quando o dom´ ınio da fun¸õ
ca
Exemplo 1.3
´ um subconjunto de lR 3 ,
e
costumamos usar as letras Vamos determinar o dom´
ınio da fun¸õ
ca
x, y e z para indicar as
coordenadas de um ponto
gen´rico, estabelecendo, as-
e w = f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2
sim, essa nomenclatura para
as vari´veis independentes,
a
usando, em geral, w para a e fazer um esbo¸o deste subconjunto de lR 3 .
c
vari´vel dependente. Isto ´,
a e
atribu´ ıdos valores para x, y Nesse caso, para que a fun¸õ esteja bem definida, as coordenadas do
ca
e z, de modo que (x, y, z)
´ um elemento do dom´
e ınio
ponto devem satisfazer a condi¸õ
ca
da fun¸õ, o valor de w =
ca
f (x, y, z) fica determinado.
4 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0.

z
Ou seja, o dom´
ınio de f ´ o conjunto
e

y
A = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 },
2
x
que corresponde aos pontos interiores a esfera de raio 2 e o seu bordo.
`

Exerc´ 2
ıcio
Determine o dom´
ınio da fun¸õ
ca

√
g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z

e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
c c

CEDERJ 10

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Alguns gr´ficos de fun¸˜es (simples) de duas vari´veis
a co a
Em geral, esbo¸ar o gr´fico de uma fun¸õ de duas vari´veis pode ser
c a ca a
uma tarefa trabalhosa, a menos que vocˆ disponha de um computador com
e
algum programa pr´prio para fazer isso. Mas vocˆ j´ acumula uma consi-
o e a
der´vel bagagem matem´tica, enriquecida nos cursos de Pr´-C´lculo, C´lculo
a a e a a
I, Geometria Anal´ ´
ıtica e Algebra Linear I, que lhe permite lidar com alguns
casos mais simples.

Superf´
ıcies quadr´ticas
a

Comecemos com os casos que usam as superf´
ıcies quadr´ticas que vocˆ
a e
estudou na Geometria Anal´
ıtica.

Exemplo 1.4
Vamos determinar o dom´
ınio e esbo¸ar o gr´fico da fun¸õ
c a ca

f (x, y) = 36 − 9x2 − 4y 2.
y
O dom´ ´ determinado pela condi¸õ 36−9x2 −4y 2 ≥ 0, equivalente
ınio e ca
a
` inequa¸õ
ca
x2 y 2 x
+ ≤ 1,
4 9 2

que corresponde ao interior de uma elipse, incluindo o seu bordo.
Agora, o gr´fico da fun¸õ. Para determinarmos o gr´fico de f , po-
a ca a 3

demos observar que os pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸õ z =
ca
36 − 9x2 − 4y 2 tamb´m satisfazem a equa¸õ
e ca

x2 y 2 z 2
+ + = 1,
4 9 36
que determina um elipsíde com centro na origem. O gr´fico ´ a parte do
o a e
elipsíde que est´ contida no semi-espa¸o determinado por z ≥ 0:
o a c

6

2 3

11 CEDERJ

co a a

Exerc´ 3
ıcio
Esboce o gr´fico da fun¸õ f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
a ca

 − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,

f (x, y) =


1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

Superf´
ıcies cil´
ındricas

Veremos, agora, gr´ficos de fun¸˜es que sõ superf´
a co a ıcies cil´
ındricas. Lem-
bre-se, superf´
ıcies cil´
ındricas sõ aquelas obtidas por um feixe de retas pa-
a
ralelas colocadas ao longo de uma curva plana. Exemplos de tais superf´ ıcies
do nosso dia-a-dia sõ um cano de pvc ou uma telha de cobertura.
a

Os gr´ficos das fun¸˜es de duas vari´veis cujas leis de defini¸õ envolvem
a co a ca
apenas uma vari´vel independente sõ superf´
a a ıcies cil´
ındricas. O feixe de retas
paralelas ´ paralelo ao eixo correspondente a vari´vel que est´ faltando. Veja
e ` a a
a seguir alguns exemplos.

Exemplo 1.5
z

z

y
x y x

z = f (x, y) = 6 + sen x z = g(x, y) = y 2

z
z

x y
y
x
z = h(x, y) = x2 z = k(x, y) = |y|

CEDERJ 12

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Superf´
ıcies de revolu¸õ
ca

As fun¸˜es cujas leis de defini¸õ tˆm a forma
co ca e

z = f (x, y) = g(x2 + y 2 ),

em que g ´ uma fun¸õ real de uma vari´vel, sõ relativamente simples.
e ca a a
Essas fun¸˜es sõ constantes ao longo dos c´
co a ırculos concˆntricos na origem.
e
Realmente, se (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sõ tais que x2 + y1 = x2 + y2 , entõ
a 1
2
2
2
a

f (x1 , y1) = f (x2 , y2 ).

Portanto, os gr´ficos de tais fun¸˜es sõ superf´
a co a ıcies de revolu¸õ em
ca
torno do eixo Oz.
Para esbo¸ar o gr´fico de alguma dessas fun¸˜es, basta esbo¸ar o gr´fico
c a co c a
da fun¸õ
ca
z = f (x, 0),
por exemplo, e girar esta curva sobre o eixo Oz. A superf´ obtida ser´ o
ıcie a
gr´fico da fun¸õ z = f (x, y). O parabolíde e a semi-esfera apresentados no
a ca o
exemplo 21.2 ilustram essa situa¸õ. Vejamos um outro exemplo.
ca

Exemplo 1.6
Vamos esbo¸ar o gr´fico da fun¸õ
c a ca

f (x, y) = arctg (x2 + y 2).

Usando a tćnica que aprendemos no C´lculo I, conclu´
e a ımos que o gr´fico
a
2
da fun¸õ z = h(x) = f (x, 0) = arctg x ´
ca e

Portanto, o gr´fico de f (x, y) = arctg (x2 + y 2) ´
a e

13 CEDERJ

co a a

Chegamos, assim, ao fim da primeira aula sobre fun¸˜es de v´rias
co a
vari´veis. Vocˆ deve ter percebido que a maior parte do conte´ do, de al-
a e u
guma forma, nõ lhe era estranho. No entanto, muito provavelmente vocˆ
a e
reviu essas coisas numa nova perspectiva. As inequa¸˜es que vocˆ estudou
co e
no Pr´-C´lculo lhe serõ uteis no momento em que vocˆ for determinar os
e a a ´ e
dom´ ınios dessas novas fun¸˜es. Os conte´ dos de Geometria Anal´
co u ıtica estarõ
a
constantemente servindo como fonte de exemplos, atrav´s das cˆnicas e das
e o
qu´dricas. Vocˆ usar´ tudo o que aprendeu no C´lculo I sobre as fun¸˜es
a e a a co
o a a ´
de uma vari´vel real e, nas pr´ximas aulas, ver´ a importˆncia da Algebra
a
Linear. Espero que esta aula, assim como as pr´ximas, sejam de grande
o
est´
ımulo para vocˆ. Aproveite bem esta experiˆncia.
e e
Agora, as respostas dos exerc´
ıcios propostos acompanhadas de uma
pequena lista de mais alguns.

Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
Determine o dom´
ınio de

f (x, y) = ln (x + y − 2)

e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
c c
Solu¸õ:
ca
O dom´
ınio de f ´ o conjunto
e

Dom(f ) = { (x, y) ∈ lR 2 ; x + y > 2 }.

Este ´ o conjunto dos pontos do plano que estõ acima da reta x+y = 2.
e a

CEDERJ 14

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Exerc´ 2
ıcio
Determine o dom´
ınio da fun¸õ
ca
√
g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z

e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
c c
Solu¸õ:
ca
Nesse caso, temos duas condi¸˜es que devem ser simultaneamente sa-
co
tisfeitas. Assim, o dom´
ınio de g ´ a interse¸õ de dois conjuntos:
e ca

Dom(g) = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 ≥ z2 + 1 } ∩ { (x, y, z) ∈ lR 3 ; z ≥ 0 }.

A equa¸õ x2 + y 2 − z 2 = 1 determina um hiperbolíde de uma folha.
ca o
3
Este hiperbolíde divide o espa¸o tridimensional lR em duas regi˜es: uma
o c o
que cont´m o eixo Oz, que chamaremos interior ao hiperbolíde, e a outra,
e o
que chamaremos exterior ao hiperbolíde. A condi¸õ x2 + y 2 ≥ z 2 + 1, mais
o ca
z ≥ 0, determina o subconjunto do espa¸o que ´ exterior ao hiperbolíde e
c e o
que fica acima do plano xOy:

Exerc´ 3
ıcio
Esboce o gr´fico da fun¸õ f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
a ca

 − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,

f (x, y) =


1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

Solu¸õ:
ca
Na regiõ determinada por x2 + y 2 ≤ 1, a fun¸õ ´ dada pela equa¸õ
a ca e ca
z = 1−x 2 − y 2 . Nesta regiõ, seu gr´fico ´ uma semi-esfera.
a a e
Na regiõ x2 + y 2 ≥ 1, a fun¸õ ´ definida por z = − x2 + y 2 − 1.
a ca e
Esta equa¸õ define a parte inferior de um hiperbolíde de uma folha (veja
ca o
exerc´
ıcio anterior). Combinando as partes das superf´ ıcies, chegamos ao
gr´fico esperado:
a

15 CEDERJ

co a a

Exerc´ 4
ıcio
Determine e fa¸a um esbo¸o do dom´
c c ınio de cada uma das fun¸˜es
co
a seguir:
a) f (x, y) = x2 − 4y 2 − 4. b) g(x, y) = ln (x2 + y 2 − 1).

c) h(x, y) = sec (x + y). d) k(x, y, z) = 1 + x2 + y 2 − z 2 .

Exerc´ 5
ıcio
Esboce o gr´ﬁco das seguintes fun¸˜es:
a co

 4−x

2 − y2, se x2 + y 2 ≤ 4;
a) f (x, y) =


0, se x2 + y 2 ≥ 4.
b) g(x, y) = 1 + x2 + y 2.

Exerc´ 6
ıcio
Esboce o gr´ﬁco de cada uma das fun¸˜es a seguir:
a co
2
a) f (x, y) = cos y. b) g(x, y) = e1−y .

2 −y 2
c) h(x, y) = ln (x). d) k(x, y) = e1−x .

CEDERJ 16

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

Aula 5 – Derivadas parciais

Objetivos
• Aprender a calcular as derivadas parciais de fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

• Conhecer a interpreta¸õ geom´trica desse conceito.
ca e

Introdu¸õ
ca
Ao longo das quatro ultimas aulas vocˆ aprendeu os conceitos b´sicos da
´ e a
teoria das fun¸˜es de v´rias vari´veis, incluindo o conceito de continuidade.
co a a
Nesta aula, iniciaremos uma nova etapa, o estudo das no¸˜es de di-
co
ferenciabilidade das fun¸˜es de v´rias vari´veis. Na verdade, esse assunto
co a a
ocupar´ todas as nossas aulas, de agora em diante.
a
As derivadas parciais desempenham um papel relevante nesse contexto,
especialmente do ponto de vista pr´tico; por´m, como veremos um pouco
a e
mais adiante, nõ completamente decisivo. Mas estamos antecipando demais
a
nossa hist´ria. Tudo a seu tempo.
o
Seguindo a pr´tica j´ rotineira, estabeleceremos os conceitos para os
a a
casos das fun¸˜es de duas e de trˆs vari´veis, observando que eles podem ser
co e a
estendidos para fun¸˜es com mais vari´veis.
co a
Antes de atacarmos o nosso tema principal, no entanto, precisamos de
um novo conceito sobre conjuntos.

Conjuntos abertos
Essa no¸õ caracterizar´ os dom´
ca a ınios das fun¸˜es que estudaremos de
co
agora em diante.
Intuitivamente, podemos dizer que um subconjunto do plano lR 2 ou do
espa¸o lR 3 ´ aberto se for um conjunto sem fronteiras ou bordos. Exemplos
c e
t´
ıpicos sõ
a

D = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r },

o disco de centro em (a, b) e raio r, aberto em lR 2 ,

B = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c) < r },

55 CEDERJ

Derivadas parciais

a bola de centro em (a, b, c) e raio r > 0, aberta em lR 3 .

Um detalhe importante: a no¸õ conjunto aberto ´ uma no¸õ relativa.
ca e ca
Isto ´, depende do ambiente. Veja, a sintaxe ´: A ´ aberto em lR 2 .
e e e
Para tornarmos este conceito mais preciso, introduziremos a no¸õ de
ca
ponto interior ponto interior. Dizemos que um ponto (a, b) ∈ A ⊂ lR ´ um ponto interior
2
e
do conjunto A se existe um disco aberto D de centro em (a, b) e raio r > 0
contido em A. Em s´ ımbolos matem´ticos, (a, b) ∈ D ⊂ A ⊂ lR 2 .
a
Analogamente, um ponto (a, b, c) ∈ A ⊂ lR 3 ´ um ponto interior de A
e
se existe uma bola aberta B de centro em (a, b, c) e raio r > 0 contida em A.
Intuitivamfente, um ponto (a, b) ´ um ponto interior de A se todos os
e
2
pontos de lR que o cercam tamb´m sõ pontos de A.
e a

Exemplo 5.1
Seja H = { (x, y) ∈ lR 2 ; y ≥ 1 }. O ponto (1, 2) ´ um ponto interior
e
de H, pois o disco aberto de centro em (1, 2) e raio 1/2, por exemplo, est´ a
contido em H. J´ o ponto (2, 1) ∈ H nõ ´ ponto interior de H, pois qualquer
a a e
disco que tomarmos, com centro em (2, 1), conter´ pontos do tipo (2, b), com
a
b < 1 e, portanto, pontos que nõ pertencem a H. Em outras palavras, (2, 1)
a
pertence a H mas nõ est´ envolvido por pontos de H. Veja a ilustra¸õ
a a ca
a seguir.

H

2

1

1 2
CEDERJ 56

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

Conjunto aberto

Um subconjunto A ⊂ lR 2 ´ dito aberto em lR 2 se todos os seus pontos
e
forem pontos interiores.
O conjunto H, do Exemplo 25.1, nõ ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
a e
pois (2, 0) ∈ H, mas nõ ´ ponto interior. Aqui estõ alguns exemplos de
a e a
subconjuntos abertos de lR 2 .

Exemplo 5.2
A1 = { (x, y) ∈ lR 2 ; y > 1 };
A2 = { (x, y) ∈ lR 2 ; x = y };
A3 = { (x, y) ∈ lR 2 ; 0 < x < 1, 0 < y < 1 };
A4 = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x, y) = (1, 2) }.

O argumento usado no Exemplo 25.1, para mostrar que (1, 2) ´ um e
ponto interior de H, pode ser adaptado para mostrar que todos os elementos
de A1 sõ pontos interiores. Note que A1 se diferencia de H exatamente por
a
nõ conter os pontos do tipo (a, 1), que estõ no bordo.
a a
Para se convencer de que cada ponto (a, b) ∈ A2 ´ ponto interior, basta
e
observar que a distˆncia de (a, b) at´ a reta x = y ´ positiva, uma vez que
a e e
a = b. Assim, basta tomar o disco D, de centro em (a, b), com raio igual a `
metade dessa distˆncia, por exemplo.
a
Caso (a, b) ∈ A3 , sabemos que 0 < a, b < 1. Escolha r > 0, um n´ mero
u
menor do que qualquer um dos n´ meros |a|, |b|, |a − 1|, |b − 1|. O disco D,
u
de centro em (a, b) e raio r, nõ tocar´ nenhum dos bordos do quadrado.
a a
Portanto, estar´ contido em A3 .
a
Para constatar que A4 ´ um conjunto aberto (A4 ´ o plano todo menos
e e
um ponto), basta escolher r > 0 menor do que a distˆncia entre (a, b) e (1, 2).
a
O disco D centrado em (a, b), com tal raio, nõ cont´m o ponto (1, 2). Logo,
a e
D est´ contido em A4 e isso mostra que A4 ´ um subconjunto aberto de lR 2 .
a e
Os discos abertos de lR 2 e as bolas abertas de lR 3 fazem o papel dos
intervalos abertos de lR . Al´m disso, se A ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
e e
entõ A ´ igual a uma uniõ de discos abertos, pois todos os seus pontos
a e a
sõ interiores. Al´m disso, todos os pontos de A sõ, tamb´m, pontos de
a e a e
acumula¸õ de A.
ca
´
E bom lembrar que o plano lR 2 ´, ele mesmo, um aberto em lR 2 e,
e
como ´ imposs´ exibir um elemento do conjunto vazio que nõ seja ponto
e ıvel a
interior, dizemos que ∅ ´ um conjunto aberto (em qualquer ambiente).
e

57 CEDERJ

Derivadas parciais

A uniõ qualquer de conjuntos abertos ´ um conjunto aberto, mas,
a e
surpreendentemente, a interse¸õ infinita de conjuntos abertos pode nõ ser
ca a
um conjunto aberto.
Terminamos agora essa conversa, que est´ um pouco longa, e vamos ao
a
nosso tema principal.

Derivadas parciais
Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma fun¸õ tal que A ´ um subconjunto aberto
ca e
de lR , e seja (a, b) ∈ A. Entõ, existe um certo n´ mero r > 0, tal que, se
2
a u
x ∈ (a − r, a + r), entõ f (x, b) est´ bem definida.
a a
Assim, z = f (x, b), com x ∈ (a−r, a+r), ´ uma fun¸õ de uma vari´vel
e ca a
O s´ ımbolo ∂ ´ chamado
e e podemos, portanto, considerar a existˆncia da derivada de tal fun¸õ em
e ca
derronde, que ´ uma
e
x = a. Isto ´, considere
e
corruptela do francˆs de
e
rond que quer dizer dˆ e f (x, b) − f (a, b) f (a + h, b) − f (a, b)
lim = lim .
redondo. Isso se deveu ao x→a x−a h→0 h
fato de os franceses, na
´poca da Revolu¸õ
e ca Se esse limite for um n´ mero real, ele ser´ chamado derivada parcial de
u a
Francesa, adotarem essa
forma especial de escrever a
f em rela¸ao a x, no ponto (a, b). Nesse caso, usamos as seguintes nota¸˜es
c˜ co
letra d. Esse s´
ımbolo ´ e para represent´-lo:
a
particularmente util para
´
∂f ∂z
diferenciar a derivada parcial (a, b) = (a, b) = fx (a, b).
de uma fun¸õ de v´rias
ca a ∂x ∂x
vari´veis, em rela¸õ a
a ca
“ ∂f ” Analogamente, podemos considerar a derivada parcial de f em rela¸õ ca
alguma delas , da
∂x a y no ponto (a, b). Nesse caso, tomamos
derivada de uma fun¸õ de
ca
“ df ”
uma vari´vel
a
dx
. f (a, y) − f (a, b) f (a, b + h) − f (a, b)
lim = lim ,
y→b y−b h→0 h
e, caso o limite seja um n´ mero, denotamos por
u
∂f ∂z
(a, b) = (a, b) = fy (a, b).
∂y ∂y
Exemplo 5.3
Vamos calcular a derivada parcial da fun¸õ f (x, y) = sen xy, em
ca
rela¸õ a x, no ponto (a, b).
ca
∂f f (a + h, b) − f (a, b)
(a, b) = lim =
∂x h→0 h
sen (a + h)b − sen ab
= lim =
h→0 h
sen ab cos hb + cos ab sen hb − sen ab
= lim =
h→0 h
sen ah (cos hb − 1) + sen hb cos ab
= lim .
h→0 h

CEDERJ 58

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

cos hb − 1 sen hb
Observe que lim = 0 e lim = b. Assim,
h→0 h h→0 h
∂f sen ah (cos hb − 1) sen hb
(a, b) = lim + cos ab =
∂x h→0 h h

= b cos ab.

Na verdade, podemos concluir que, se f (x, y) = sen xy, entõ, subs-
a
titutindo o termo gen´rico a por x e b por y, temos
e

∂f
(x, y) = y cos xy.
∂x

∂f ∂f
As fun¸˜es
co ,
∂x ∂y
Seja z = f (x, y) uma fun¸õ definida num subconjunto aberto A de lR 2 .
ca
Suponha que f admita derivadas parciais, em rela¸õ a x e a y, em todos os
ca
∂f
pontos (x, y) ∈ A. Nesse caso, obtemos duas fun¸˜es, denotadas por
co e
∂x
∂f ∂z ∂z
, definidas em A. As nota¸˜esco e tamb´m sõ muito usadas para
e a
∂y ∂x ∂y
representar essas fun¸˜es.
co
∂w ∂w ∂w
De maneira an´loga, se w = g(x, y, z), usamos
a , e para
∂x ∂y ∂z
denotar as respectivas fun¸˜es obtidas pela deriva¸õ parcial, no caso das
co ca
fun¸˜es de trˆs vari´veis.
co e a

Exemplo 5.4
Seja
f (x, y, z) = xy 2 + z sen xyz.
∂f ∂f ∂f
Esta fun¸õ est´ definida no espa¸o lR 3 . Vamos calcular
ca a c , e .
∂x ∂y ∂z
Isto ´, queremos calcular as derivadas parciais de f . Podemos fazer isso di-
e
retamente, usando as regras de deriva¸õ aprendidas no C´lculo I. Basta que
ca a
derivemos em rela¸õ a vari´vel indicada, considerando as outras vari´veis
ca ` a a
como constantes.
∂f
(x, y, z) = y 2 + yz 2 cos xyz.
∂x
Veja que usamos a Regra da Cadeia na segunda parcela.

∂f
(x, y, z) = 2xy + xz 2 cos xyz.
∂y

59 CEDERJ

Derivadas parciais

∂f
(x, y, z) = sen xyz + xyz cos xyz.
∂z
No caso da derivada em rela¸õ a z, a derivada da primeira parcela
ca
´ nula, pois ´ constante em rela¸õ a z. A derivada da segunda parcela ´
e e ca e
calculada com a Regra do Produto de duas fun¸˜es: z × sen xyz.
co

Exerc´ 1
ıcio
∂f ∂f
Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
∂x ∂y
H´ situa¸˜es em que o c´lculo da derivada parcial requer a defini¸õ.
a co a ca
Veja mais um exemplo.

Exemplo 5.5


 2 1
 (x + y 2 ) sen
 , se (x, y) = (0, 0)
 x2 + y2
Seja f (x, y) = .




 0, se (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f
Vamos verificar que (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0.
∂x ∂y
Note que a fun¸õ nõ se altera se trocarmos a ordem das vari´veis:
ca a a
f (x, y) = f (y, x) . Isso significa que, caso a fun¸õ admita alguma das
ca
derivadas parciais em (0, 0), a primeira igualdade j´ estar´ estabelecida. Por-
a a
tanto, basta calcular, digamos,

∂f f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂x h→0 h
1
h2 sen −0
h2 1
= lim = lim h sen = 0,
h→0 h h→0 h2

1
pois lim h = 0 e a fun¸õ g(x) = sen
ca , definida em lR − { 0 },
h→0 x2
´ limitada.
e
∂f ∂f
Conclu´
ımos, entõ, que
a (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0.
∂x ∂y

Exemplo 5.6

 x3 + 2y 2

 2
 x + y2 , se (x, y) = (0, 0)
Seja f (x, y) = .



 0, se (x, y) = (0, 0)

CEDERJ 60

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

∂f
Esse exemplo nos reserva uma surpresa. Vamos calcular (0, 0).
∂x

∂f f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂x h→0 h
h3
2
−0
= lim h = lim 1 = 1.
h→0 h h→0

No entanto,

∂f f (0, h) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂y h→0 h
3h2
2
−0 2
= lim h = lim .
h→0 h h→0 h

2
Como a fun¸õ g(x) = , definida em lR − { 0 }, nõ admite limite
ca a
x
quando x → 0, dizemos que a fun¸õ f nõ admite derivada parcial em
ca a
rela¸õ a y no ponto (0, 0).
ca

Interpreta¸õ geom´trica da derivada parcial
ca e

Vamos usar o fato de que a derivada g (a), de uma fun¸õ y = g(x), no
ca
ponto a, pode ser interpretada geometricamente como o coeficiente angular
da reta tangente ao gr´fico de g no ponto (a, b), para uma interpreta¸õ
a ca
geom´trica para as derivadas parciais.
e
Seja z = f (x, y) uma fun¸õ que admite derivadas parciais, em rela¸õ
ca ca
a x e em rela¸õ a y, num dado ponto (a, b) de seu dom´
ca ınio. Ao fixarmos uma
das vari´veis, digamos y = b, estamos considerando a restri¸õ da fun¸õ f
a ca ca
sobre a reta y = b. Geometricamente, estamos considerando a interse¸õ do
ca
gr´fico de f com o plano y = b. Essa interse¸õ ´ uma curva do plano e pode
a ca e
ser vista como o gr´fico da fun¸õ z = f (x, b).
a ca

61 CEDERJ

Derivadas parciais

Na figura da esquerda, vemos o gr´fico de f com o plano y = b e, na
a
figura da direita, vemos o plano y = b com curva obtida da sua interse¸õ
ca
com o gr´fico de f .
a
A derivada parcial de f , em rela¸õ a x, no ponto (a, b), pode ser
ca
interpretada como o coeficiente angular da reta tangente a curva de interse¸õ
` ca
do plano com o gr´fico de f , no ponto (a, b, f (a, b)). Veja, a seguir, mais
a
uma ilustra¸õ.
ca
z z

x
x y
Chegamos ao fim da aula. Aqui est´ uma s´rie de exerc´
a e ıcios para vocˆ
e
colocar em pr´tica os conceitos e tćnicas que aprendeu.
a e

Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
∂f ∂f
Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
∂x ∂y
Solu¸õ:
ca

∂f
(x, y) = 3 sen (x + y) + 3x cos(x + y).
∂x
∂f ∂f
(x, y) = 3x cos(x + y) =⇒ (1, −1) = 3.
∂y ∂y

Exerc´ 2
ıcio
Em cada um dos seguintes exerc´
ıcios, calcule a derivada parcial indi-
cada.

∂f ∂f
a) f (x, y) = 2xy + y 2 ; (x, y), (x, y).
∂x ∂y

∂f ∂f ∂f
b) f (x, y, z) = 2xy(1 − 3xz)2 ; , , .
∂x ∂y ∂z

x ∂z ∂z
c) z = x ln ; , .
y ∂x ∂y

CEDERJ 62

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

d) x = 1 + x2 + y 2 + z 2 ; wx , wz , wy (0, 0, 0).

∂f
e) f (u, v) = uv − u2 + v 2 ; , fv (0, −1).
∂u

∂g ∂g
f) g(r, θ) = r cos θ + r sen θ; , .
∂r ∂θ

y ∂z ∂z
g) z = arctg ; , .
x ∂x ∂y

∂f ∂f ∂f
h) f (x, y, z) = (x + y) ex−y+2z ; , , .
∂x ∂y ∂z

∂f ∂f
i) f (u, v) = u2 arcsen v; , .
∂u ∂v

Exerc´ 3
ıcio
Seja f (x, y) = ln x2 + y 2 .
a) Mostre que Dom(f ) ´ um conjunto aberto.
e
b) Determine a curva de n´ 0.
ıvel
∂f ∂f
c) Verifique que x +y = 1.
∂x ∂y

Exerc´ 4
ıcio
y
Seja f (x, y, z) = . Verifique que
x2 + y2 + z2

x fx + y fy + z fz = −f.

Exerc´ 5
ıcio 
 x2 y

 2
 x + y2 , se (x, y) = (0, 0)
Seja f (x, y) = .



 0, se (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f
Calcule e . (Veja que vocˆ dever´ usar as regras de deriva¸õ
e a ca
∂x ∂y
∂f ∂f
para calcular (x, y) e (x, y), no caso de (x, y) = (0, 0), e a defini¸õ
ca
∂x ∂y
∂f ∂f
de derivada parcial num ponto espec´
ıfico para calcular (0, 0) e (0, 0)).
∂x ∂y

63 CEDERJ

Derivadas parciais

As derivadas parciais sõ usadas para expressar um par de equa¸˜es
a co
muito importantes, na teoria das fun¸˜es de vari´vel complexa, chamadas
co a
Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
co
Um par de fun¸˜es u(x, y) e v(x, y) que satisfazem as equa¸˜es
co co

∂u ∂v ∂u ∂v
= e = −
∂x ∂y ∂y ∂x
sõ, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma fun¸õ dife-
a ca
renci´vel (num sentido complexo) de uma vari´vel complexa.
a a

Exerc´ 6
ıcio
Mostre que cada par de fun¸˜es de duas vari´veis a seguir satisfaz as
co a
Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
co

a) u(x, y) = x2 − y 2; v(x, y) = 2xy.

b) u(x, y) = ex cos y; v(x, y) = ex sen y.

c) u(x, y) = x3 + x2 − 3xy 2 − y 2 ; v(x, y) = 3x2 y + 2xy − y 3 .
x −y
d) u(x, y) = ; v(x, y) = .
x2 + y2 x2
+ y2
1 y
e) u(x, y) = ln (x2 + y 2); v(x, y) = arctg .
2 x

CEDERJ 64

Plano tangente, diferencial e gradiente
´
MODULO 1 – AULA 9

Aula 9 – Plano tangente, diferencial e
gradiente

Objetivos
• Aprender o conceito de plano tangente ao gr´fico de uma fun¸õ dife-
a ca
renci´vel de duas vari´veis.
a a

• Conhecer a nota¸õ cl´ssica para a melhor aproxima¸õ linear de uma
ca a ca
fun¸õ diferenci´vel – a diferencial.
ca a

• Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial.

As duas ultimas aulas apresentaram a no¸õ de diferenciabilidade de
´ ca
uma fun¸õ de v´rias vari´veis e as suas implica¸˜es imediatas. Foram aulas
ca a a co
teoricamente mais densas e, portanto, o car´ter um pouco mais simples que
a
esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudan¸a de ritmo.
c
Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um d´bito que ser´
e a
pago na pr´xima aula de exerc´
o ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que
toda fun¸õ de classe C 1 ´ diferenci´vel. Isto ´, ser de classe C 1 ´ uma
ca e a e e
condi¸õ suficiente para ser diferenci´vel. Diante disso, vocˆ deve conside-
ca a e
rar a questõ da necessidade dessa condi¸õ para a diferenciabilidade. Em
a ca
outras palavras, essa condi¸õ suficiente ´ tamb´m necess´ria? Muito bem,
ca e e a
adiantando a resposta: nõ! H´ fun¸˜es diferenci´veis cujas fun¸˜es deriva-
a a co a co
das parciais nõ sõ cont´
a a ınuas. Vocˆ ver´ um exemplo na pr´xima aula de
e a o
exerc´
ıcios. Promessa ´ d´
e ıvida!
Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula.

Plano tangente
Na defini¸õ de diferenciabilidade de uma fun¸õ f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,
ca ca
no ponto (a, b) ∈ A, subconjunto aberto de lR , a equa¸õ
2
ca
∂f ∂f
f (x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) + E(x, y)
∂x ∂y
desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge
para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a
aplica¸õ afim
ca
∂f ∂f
A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b),
∂x ∂y

95 CEDERJ


no caso de f ser diferenci´vel em (a, b), ´ aquela que, entre todas as aplica¸˜es
a e co
afins, d´ as melhores aproxima¸˜es aos valores da fun¸õ f , em alguma vizi-
a co ca
nhan¸a do ponto (a, b).
c
Mas, como sabemos, equa¸˜es do tipo
co

z = c + mx + ny

definem planos em lR 3 .
Isso nos motiva a estabelecer o seguinte.

Defini¸õ 9.1:
ca
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR , uma fun¸õ definida no subconjunto aberto
ca
2
A de lR , diferenci´vel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela
a
equa¸õ
ca
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b)
∂x ∂y
´ o plano tangente ao gr´fico da fun¸õ f , no ponto (a, b).
e a ca

Exemplo 9.1
Vamos calcular a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
ca a
x − xy − y no ponto (1, 1, −1).
2 2

Para isso, calculamos as derivadas parciais:
∂f ∂f
(x, y) = 2x − y, (x, y) = −x − 2y.
∂x ∂y
Substituindo (x, y) por (1, 1), obtemos:
∂f ∂f
(1, 1) = 1, (1, 1) = −3.
∂x ∂y
Assim, a equa¸õ procurada ´
ca e
∂f ∂f
z = f (1, 1) + (1, 1) (x − 1) + (1, 1) (y − 1);
∂x ∂y
z = −1 + (x − 1) − 3(y − 1);
z = x − 3y + 1.

CEDERJ 96

´
MODULO 1 – AULA 9

Exemplo 9.2
Vamos calcular a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
ca a
2xy − y que seja paralelo ao plano z = 2x + 4y.
2

∂f ∂f
Para que os planos z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) e
∂x ∂y
∂f ∂f
z = 2x + 4y sejam paralelos, ´ preciso que
e (a, b) = 2 e (a, b) = 4.
∂x ∂y
∂f ∂f
Como (x, y) = 2y e (x, y) = 2x − 2y, temos de achar os valores
∂x ∂y
a e b tais que 2b = 2 e 2a − 2b = 4. Portanto, o ponto que procuramos ´ e
(a, b) = (3, 1), e a equa¸õ do plano tangente procurado ´
ca e

z = f (3, 1) + 2(x − 3) + 4(x − 1);
z = 2x + 4y − 5.

Reta normal ao gr´fico
a
O espa¸o tridimensional lR 3 ´ munido de um produto que o torna
c e
muito especial. Dados v1 , v2 ∈ lR 3 , podemos efetuar o produto vetorial,
v1 × v2 , obtendo um terceiro vetor. Se v1 e v2 sõ linearmente independentes,
a
entõ v1 × v2 ´ perpendicular ao plano gerado por eles.
a e
v1 × v2

v1
v2

Isso est´ ligado ao fato de todo plano contido em lR 3 ter uma unica
a ´
dire¸õ ortogonal. Ou seja, dado um plano π ⊂ lR e um ponto (a, b, c) ∈ lR 3 ,
ca 3

existe uma unica reta r, tal que r ´ perpendicular a π e (a, b, c) ∈ r.
´ e
E ainda, se a equa¸õ cartesiana do plano tem a forma
ca

α x + β y + γ z = δ,

´ fćil obter uma equa¸õ param´trica da reta ortogonal:
e a ca e

r(t) = (α t + a, β t + b, γ t + c).

97 CEDERJ


Portanto, reescrevendo a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f , no
ca a
ponto (a, b, f (a, b)) como
∂f ∂f ∂f ∂f
(a, b) x + (a, b) y − z = (a, b) a + (a, b) b − f (a, b),
∂x ∂y ∂x ∂y
obtemos uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de f no ponto
ca e a
(a, b, f (a, b)):

∂f ∂f
r(t) = (a, b) t + a, (a, b) t + b, −t + f (a, b) .
∂x ∂y

Exemplo 9.3
Vamos calcular uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de
ca e a
f (x, y) = xy no ponto (−1, −2, 2).
Come¸amos calculando as derivadas parciais de f :
c
∂f ∂f
(x, y) = y e (x, y) = x,
∂x ∂y
ımos (x, y) por (−1, −2):
e substitu´
∂f ∂f
(1, −1) = −2 e (1, −1) = −1.
∂x ∂y
Aqui est´ uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de z = xy
a ca e a
no ponto (−1, −2, 1):

r(t) = (−2t − 1, −t − 2, 2 − t).

O pr´ximo tema ´ um cl´ssico da Matem´tica: a diferencial.
o e a a

Diferencial
Vocˆ deve ter notado que, em diversas situa¸˜es, usamos a termino-
e co
logia “melhor aproxima¸õ linear”, enquanto em outras usamos “a melhor
ca
aproxima¸õ afim”. Vamos esclarecer a diferen¸a que h´ entre uma e outra
ca c a
terminologia. No fundo, ´ uma questõ de referencial.
e a

CEDERJ 98

´
MODULO 1 – AULA 9

O termo linear ´ usado para caracterizar um tipo especial de fun¸˜es:
e co
as transforma¸˜es lineares. Uma transforma¸õ linear de um espa¸o vetorial
co ca c
V no espa¸o vetorial W (digamos, reais) ´ uma fun¸õ T : V −→ W , com as
c e ca
seguintes propriedades: ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ lR ,

• T (v + w) = T (v) + T (w);

• T (λv) = λ T (v).

Ou seja, T preserva as opera¸˜es que caracterizam V como um espa¸o
co c
vetorial, na imagem em W .
Em particular, as transforma¸˜es lineares de lR 2 em lR , tamb´m cha-
co e
2
madas funcionais lineares de lR , tˆm a forma geral
e

T (x, y) = α x + β y,

onde α e β sõ n´ meros reais.
a u
Isto ´, cada funcional linear de lR 2 ´ caracterizado unicamente por um
e e
par ordenado (α, β).
O gr´fico de um funcional linear de lR 2 ´ um plano contido em lR 3 que
a e
cont´m a origem, pois T (0, 0) = 0.
e
J´ uma aplica¸õ afim de lR 2 em lR tem a forma geral
a ca

A(x, y) = α x + β y + γ,

onde α, β e γ sõ n´ meros reais.
a u
O gr´fico de A ´ um plano contido em lR 3 que intersecta o eixo Oz na
a e
altura γ.
No caso das aplica¸˜es afins, temos um grau de liberdade a mais em
co
rela¸õ aos funcionais lineares, pois temos um n´mero extra γ para determi-
ca u
nar a aplica¸õ.
ca
Suponha que f : A ⊂ lR 2 −→ lR seja uma fun¸õ diferenci´vel em
ca a
(a, b). A aplica¸õ
ca
∂f ∂f
A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b)
∂x ∂y
´ a melhor aproxima¸õ afim da fun¸õ f , numa pequena vizinhan¸a do
e ca ca c
ponto (a, b).
H´ uma maneira cl´ssica de apresentar este tema, isto ´, a no¸õ de
a a e ca
diferencial. A terminologia usada ´ a de acr´scimos. Usando a nota¸õ de
e e ca

99 CEDERJ


acr´scimos, mudaremos a aplica¸õ afim para uma linear, que passar´ a ser
e ca a
chamada diferencial.
Coloquemos z = f (x, y). Nesses termos, x e y sõ as vari´veis indepen-
a a
dentes e z ´ a vari´vel dependente.
e a
Veja: se colocarmos h = x−a e k = y−b, podemos reescrever a equa¸õ
ca
que define a aplica¸õ afim A da seguinte maneira:
ca

∂f ∂f
A(a + h, b + k) − f (a, b) = (a, b) h + (a, b) k.
∂x ∂y

A f´rmula do lado direito da igualdade define um funcional linear nas
o
vari´veis h e k, os respectivos acr´scimos de x e de y, aplicados em (a, b):
a e

∂f ∂f
T (h, k) = (a, b) h + (a, b) k,
∂x ∂y

∂f ∂f
determinada unicamente pelo par ordenado (a, b), (a, b) .
∂x ∂y
∂f ∂f
Resumindo, dados os acr´scimos h e k, T (h, k) =
e (a, b) h+ (a, b) k
∂x ∂y
´ a melhor aproxima¸õ linear ao acr´scimo obtido na vari´vel z. Isto ´,
e ca e a e
T (h, k) ´ a melhor aproxima¸õ ao acr´scimo f (a + h, b + k) − f (a, b).
e ca e
Classicamente, denotam-se os acr´scimos em x e em y por dx e dy
e
(h = dx e k = dy). O acr´scimo real, f (a + dx, b + dy) − f (a, b), em z, ´
e e
denotado por ∆z, para diferenci´-lo do acr´scimento obtido com a diferencial,
a e
denotado por dz.
Assim, representamos a transforma¸õ linear T (h, k) por
ca

∂f ∂f
dz = dx + dy,
∂x ∂y

chamada diferencial da fun¸õ z = f (x, y).
ca
Como
∂f ∂f
E(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) h − (a, b) k
∂x ∂y
∂f ∂f
= f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) dx + (a, b) dy
∂x ∂y
= ∆z − dz,

denotamos dz ∆z para indicar que dz ´ uma aproxima¸õ de ∆z. Eles
e ca
diferem pelo erro E(h, k) que ´ tõ menor quanto mais h e k estiverem
e a
pr´ximos de zero.
o

CEDERJ 100

´
MODULO 1 – AULA 9

A(a + dx, b + dy) Esta figura ´ esquem´tica.
e a
Erro = |∆z − dz| Note que o dom´ ınio de f ,
f (a + dx, b + dy)
que est´ contido em lR 2 , foi
a
∆z dz representado como um
f (a, b) subconjunto de lR . Dessa
forma, o gr´fico de f , que ´
a e
uma superf´ ıcie, est´
a
representado por uma curva,
enquanto o gr´fico de A, que
a
´ um plano, est´
e a
(a, b) (a + dx, b + dy) representado por uma reta.
A pr´tica de representar
a
espa¸os de dimens˜es
c o
maiores por seus similares de
dimens˜es menores ´ comum
o e
em Matem´tica. Com isso
a
Veja como usar essa nota¸õ no seguinte exemplo.
ca facilita-se a visualiza¸õ e
ca
espera-se ajudar o
Exemplo 9.4 entendimento.

Vamos calcular a expressõ geral para a diferencial da fun¸õ
a ca

f (x, y) = 6 − x2 − y 2

e us´-la para calcular uma aproxima¸õ ao valor f (0.99, 1.02).
a ca

Para calcular a forma geral da diferencial, precisamos calcular as deri-
vadas parciais de f .

∂f −x ∂f −y
(x, y) = ; (x, y) = .
∂x 6 − x2 − y 2 ∂y 6 − x2 − y 2

Assim, se colocarmos z = f (x, y), a diferencial de f ´
e
x y
dz = − dx − dy
6 − x2 − y 2 6 − x2 − y 2
−x dx − y dy
dz = .
6 − x2 − y 2

Agora, vamos usar essa f´rmula para avaliar f (0.99, 1.02).
o
O ponto de referˆncia ´, nesse caso, (1, 1). Isto ´, a = 1, b = 1,
e e e
a + h = 0.99 e b + h = 1.02.
Calculada em (1, 1), a diferencial fica
1 1
dz = − dx − dy.
2 2
Os acr´scimos sõ: dx = 0.99 − 1 = −0.01 e dy = 1.02 − 1 = 0.02.
e a
Portanto,
0.01 − 0.02
dz = = −0.005.
2

101 CEDERJ


Como f (1, 1) = 2, f (0.99, 1.02) f (1, 1) + dz = 1.995.
Veja, usando uma m´quina de calcular, obtemos uma aproxima¸õ mais
a ca
acurada do valor f (0.99, 1.02), como 1.994868417. Nada mal para uma apro-
xima¸õ, vocˆ nõ acha?
ca e a
Chegamos ao ultimo tema da aula.
´

O vetor gradiente

A palavra dualidade ´ usada em circunstˆncias bem especiais, na Ma-
e a
tem´tica. Em geral, ela indica a existˆncia de uma bije¸õ entre certos
a e ca
conjuntos. Mas ´ mais do que isso.
e
Por exemplo, podemos dizer que h´ uma dualidade entre os s´lidos de
a o
Platõ, estabelecida pela rela¸õ entre n´ meros de v´rtices e n´ meros de
a ca u e u
faces. Veja, na tabela a seguir, o nome, o n´mero de v´rtices, o n´ mero de
u e u
arestas e o n´ mero de faces desses poliedros regulares.
u

Nome v´rtices
e arestas faces
Tetraedro 4 6 4
Hexaedro (cubo) 8 12 6
Octaedro 6 12 8
Dodecaedro 20 30 12
Icosaedro 12 30 20

Note que o nome do poliedro tem o prefixo grego que indica o n´mero
u
de faces. Assim, por exemplo, o hexaedro ´ o s´lido regular que tem seis
e o
´ o nosso popular cubo.
faces, todas quadradas. E
O hexaedro, ou cubo, ´ dual ao octaedro. Isso porque o cubo tem seis
e
faces e oito v´rtices (f = 6, v = 8), enquanto o octaedro tem oito faces e seis
e
v´rtices (f = 8, v = 6).
e
O dodecaedro ´ dual ao icosaedro. Assim, nõ ´ surpresa que, conhe-
e a e
cendo o dodecaedro, os gregos acabaram descobrindo o seu dual, o icosaedro.
Veja: se no centro de cada face do dodecaedro marcarmos um ponto, e li-
garmos todos esses pontos, obteremos um icosaedro inscrito no dodecaedro
original, e vice-versa.
Resta a pergunta: quem ´ o dual do tetraedro, o mais simples dos
e
s´lidos regulares? Ora, sem mais delongas, o tetraedro ´ auto-dual, pois ´ o
o e e
unico s´lido regular a ter o mesmo n´mero de faces e de v´rtices.
´ o u e

CEDERJ 102

´
MODULO 1 – AULA 9

Depois disso tudo, voltamos ` nossa aula.
a
H´ uma bije¸õ entre o espa¸o dos funcionais lineares de lR 2 e o pr´prio
a ca c o
2
lR , que associa o funcional definido por T (x, y) = α x + β y ao par
ordenado (α, β).
Isso ´ um outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espa¸o dos
e c
2 A palavra gradiente prov´m e
funcionais lineares de lR ´ um espa¸o vetorial e ´ chamado espa¸o dual.
e c e c do latim gradientis,
partic´ıpio de gradi, que
significa caminhar, assim
∂f ∂f como a palavra grau prov´m e
Isso nos faz olhar para o vetor (x, y), (x, y) , como o dual da
∂x ∂y de gradus, que significa
∂f ∂f passo, medida, hierarquia,
diferencial dz = (x, y) dx + (x, y) dy, num ponto gen´rico (x, y) do
e intensidade.
∂x ∂y
A palavra gradiente
dom´
ınio de f , e nome´-lo gradiente de f . Usamos a nota¸õ
a ca significa, na linguagem
comum, a medida da
∂f ∂f declividade de um terreno.
∇f (x, y) = (x, y), (x, y) . Significa, tamb´m, a medida
e
∂x ∂y da varia¸õ de determinada
ca
caracter´ ıstica de um meio,
tal como pressõ ou
a
Esse vetor desempenhar´ um papel importante de agora em diante.
a
temperatura, de um ponto
Com isso, chegamos ao fim desta aula. A seguir, uma lista com alguns para outro desse meio.
Como tal, nada mais ´ do e
exerc´
ıcios para vocˆ praticar o que acabou de aprender.
e que uma taxa de varia¸õ. ca
O s´ ımbolo ∇, usado para
representar esse vetor, ´ e
chamado nabla.
Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
Calcule a equa¸õ do plano tangente e uma equa¸õ param´trica da
ca ca e
reta normal ao gr´fico de f no ponto indicado.
a

(a) f (x, y) = x2 − 2y (1, 0, 1);

(b) f (x, y) = ln (x2 + y 2 ) (1, −1, ln 2);

(c) f (x, y) = sen xy (π, 1/2, 1);
2y
(d) f (x, y) = ex (1, 0, 1);

(e) f (x, y) = xy − y 3 (1, 1, 0).

Exerc´ 2
ıcio
Determine o plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = x2 + 3xy + y 2, que
a
´ paralelo ao plano z = 10x + 5y + 15.
e

103 CEDERJ


Exerc´ 3
ıcio
Calcule a diferencial (forma geral) das seguintes fun¸˜es:
co

(a) z = 2xy − x2 + y 2 ; (b) z = 1 − x2 − y 2;

x−y
(c) z = exy − 1; (d) z = ;
x+y

(e) w = xy + xz + yz; (f) w = ln (1 + x2 + y 2 + z 2 ).

Exerc´ 4
ıcio
Use uma diferencial para calcular uma aproxima¸õ ao n´mero
ca u
√ √
3
17 + 26.

Exerc´ 5
ıcio
Use a diferencial para calcular uma aproxima¸õ de f (2.997, 4.008),
ca
onde f (x, y) = x2 + y 2 .

Exerc´ 6
ıcio
Sabendo que o vetor gradiente de f (x, y), no ponto (1, 2), ´ ∇f (1, 2) =
e
(1, −1) e que f (1, 2) = 3, calcule o plano tangente ao gr´fico de f no ponto
a
(1, 2, f (1, 2)).

CEDERJ 104

Derivadas parciais de ordens superiores
´
MODULO 1 – AULA 15

Aula 15 – Derivadas parciais de ordens
superiores

Objetivos
• Usar a Regra da Cadeia para calcular derivadas parciais de
ordens superiores.

• Conhecer uma condi¸õ suficiente para a comutatividade das
ca
derivadas parciais.

Introdu¸õ
ca
Por que derivar mais do que uma vez?
Antes de responder a esta pergunta, vamos considerar alguns aspectos
da derivada. Vejamos: quando algu´m menciona o termo derivada, o que
e
ocorre a vocˆ? Digamos que tenha sido algo como “a derivada ´ a medida
e e
da mudan¸a da fun¸õ em torno de um certo ponto”. Bom! Em particular,
c ca
se a fun¸õ for constante, nõ h´ mudan¸a na fun¸õ e essa medida ´ nula,
ca a a c ca e
o que se encaixa nessa visõ geral.
a
Vocˆ aprendeu que, se a derivada de uma fun¸õ de uma vari´vel real ´
e ca a e
positiva ao longo de um intervalo, entõ essa fun¸õ ´ crescente
a ca e
nesse intervalo.
Resumindo: o estudo dos sinais da derivada, assim como o seu com-
portamento em torno de seus zeros, nos d´ informa¸˜es valiosas a respeito
a co
da fun¸õ.
ca
Mas veja: esse estudo de sinais da derivada nõ detecta a diferen¸a que
a c
h´ entre as duas fun¸˜es cujos gr´ficos estõ esbo¸ados a seguir, uma vez
a co a a c
que ambas sõ crescentes.
a

Figura 15.1 Figura 15.2

171 CEDERJ


Enquanto a derivada mede o crescimento do gr´fico da fun¸õ, sua
a ca
curvatura ´ detectada pela derivada segunda. Essa ´ uma motiva¸õ para
e e ca
considerarmos derivadas de ordens superiores.
H´ outras. Por exemplo, a F´rmula de Taylor, um tema que ainda
a o
exploraremos.
Agora, ao assunto da aula!

Parciais de parciais
Vocˆ aprendeu a calcular derivadas parciais de uma dada fun¸õ de duas
e ca
ou mais vari´veis. Essas derivadas sõ, elas pr´prias, fun¸˜es que podem
a a o co
ser, por sua vez, submetidas ao mesmo processo: derivar parcialmente as
derivadas parciais. Veja um exemplo.

Exemplo 15.1
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da fun¸õ
ca

f (x, y) = x3 y 2 − 3xy 4 .

Primeiro, as derivadas parciais:

∂f ∂f
(x, y) = 3x2 y 2 − 3y 4; (x, y) = 2x3 y − 12xy 3.
∂x ∂y

Agora, as parciais das parciais:

 ∂ ∂f


 ∂ 2f

 ∂x ∂x (x, y) = (x, y) = 6xy 2 ;

 ∂x2








 ∂
 ∂f ∂ 2f

 (x, y) = (x, y) = 6x2 y − 12y 3.
∂y ∂x ∂y∂x

 ∂


 ∂f ∂ 2f

 ∂x (x, y) = (x, y) = 6x2 y − 12y 3;

 ∂y ∂x∂y









 ∂ ∂f ∂ 2f

 (x, y) = (x, y) = 2x3 − 36xy 2.
∂y ∂y ∂y 2

CEDERJ 172

´

Nota¸˜es
co
No exemplo anterior vocˆ j´ conheceu a principal nota¸õ para as deri-
e a ca
∂ 2f
vadas de ordens superiores: significa que estamos derivando duas vezes
∂x2
em rela¸õ a x.
ca
∂ 2f
Note que significa: derive em rela¸õ a y e, depois, em rela¸õ a
ca ca
∂x∂y
x. Ou seja, essa nota¸õ deve ser lida da direita para a esquerda.
ca

∂ 2f
∂x∂y

A nota¸õ fy x = fy x tamb´m ´ muito util, especialmente quando
ca e e ´
lidamos com f´rmulas mais longas. Neste caso, a nota¸õ deve ser lida da
o ca
esquerda para a direita.

fy x
-

H´ uma terceira maneira de denotar as derivadas parciais de ordens
a
superiores, semelhante a esta ultima, usando n´ meros no lugar das vari´veis
´ u a
para indicar a vari´vel respectiva ` qual a deriva¸õ est´ sendo feita. Assim,
a a ca a

f1 , f2 , f1 1 , f1 2 , f2 2 ,

correspondem, respectivamente, a

fx , fy , fx x , fx y , fy y ,

por exemplo.
A vantagem dessa nota¸õ ´ que ela nõ enfatiza o nome da vari´vel
ca e a a
(x, ou y, u ou outra qualquer). Veja mais um exemplo, onde usamos as trˆs
e
nota¸˜es.
co

Exemplo 15.2
Vamos calcular as derivadas parciais at´ ordem dois da fun¸õ
e ca

f (x, y, z) = z exy − 3yz 2 .

Nõ ´ incomum, especialmente nos nossos manuscritos, omitirmos da
a e
nota¸õ o par ordenado (x, y) (ou a tripla (x, y, z), dependendo do caso),
ca

173 CEDERJ


deixando subentendido que a fun¸õ deve ser calculada num ponto gen´rico.
ca e
Assim, temos:
∂f ∂f ∂f
= yz exy ; = xz exy − 3z 2 ; = exy − 6yz.
∂x ∂y ∂z

Agora, as parciais de ordem dois:

∂ 2f
= y 2 z exy ; fx y = z exy + xyz exy ; f1 3 y exy ;
∂x2

∂ 2f
f2 1 = z exy + xyz exy ; fy y = x2 z exy ; = x exy − 6z;
∂z∂y

∂ 2f
fz x = y exy ; = x exy − 6z; f3 3 = −6y.
∂y∂z

Quem deriva uma, duas vezes, deriva muitas vezes
∂ 3f
As nota¸˜es se generalizam naturalmente. Por exemplo,
co indica
∂x2 ∂y
a derivada parcial da fun¸õ f em rela¸õ a y e, em seguida, em rela¸õ a x
ca ca ca
duas vezes.
Al´m disso, quando dizemos que f ´ uma fun¸õ de classe C k , significa
e e ca
que f admite as derivadas parciais de todas as ordens, at´ k, e todas essas
e
derivadas sõ fun¸˜es cont´
a co ınuas. Em particular, ´ conveniente usar a nota¸õ
e ca
fun¸õ de classe C 0 para indicar que a fun¸õ f ´ uma fun¸õ cont´
ca ca e ca ınua.

Atividade 15.4
Aqui est´ uma oportunidade de vocˆ testar essas diferentes nota¸˜es.
a e co
Seja f (x, y, z) = cos(xy 2 ) − sen (yz 2 ).
Calcule as seguintes derivadas parciais:
∂ 2f
; fyyz ; f321 .
∂x∂z

Uma condi¸õ suficiente para a comutatividade das de-
ca
rivadas parciais
Uma coisa deve ter chamado a sua aten¸õ, especialmente no exemplo
ca
∂ 2f ∂ 2f
15.2. As derivadas de ordem dois, de termos cruzados, como ∂x∂y e ∂y∂x ,
sõ iguais, apesar da diferente ordem de deriva¸õ.
a ca

CEDERJ 174

´

No entanto, nem toda fun¸õ tem essa propriedade. Veja o
ca
pr´ximo exemplo.
o

Exemplo 15.3
∂ 2f ∂ 2f
Veja agora uma fun¸õ f tal que
ca (0, 0) = (0, 0).
∂x∂y ∂y∂x
Na aula anterior, vimos que a fun¸õ definida por
ca

 x3 y



 2
 x + y2 , se (x, y) = (0, 0),




f (x) =








 0,
 se (x, y) = (0, 0),

admite derivadas direcionais em todas as dire¸˜es, na origem, e todas essas
co
derivadas sõ iguais a zero. Em particular,
a
∂f ∂f
(0, 0) = (0, 0) = 0.
∂x ∂y

Se (x, y) = (0, 0), temos:
∂f 3x2 y (x2 + y 2 ) − x3 y 2x x4 y + 3x2 y 3
(x, y) = = ;
∂x (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
∂f x3 (x2 + y 2 ) − x3 y 2y x5 − x3 y 2
(x, y) = = .
∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

Resumindo,

 x4 y + 3x2 y 3




 (x2 + y 2 )2 , se (x, y) = (0, 0),




∂f
(x, y) =
∂x 







 0,
 se (x, y) = (0, 0),

e 
 x5 − x3 y 2



 2
 (x + y 2 )2 , se (x, y) = (0, 0),




∂f
(x, y) =
∂y 







 0,
 se (x, y) = (0, 0),

175 CEDERJ


Portanto,

∂f ∂f
∂ 2f (0, y) − (0, 0) 0
(0, 0) = lim ∂x ∂x = lim = 0
∂y∂x y→0 y y→0 y

e
∂f ∂f x5
(x, 0) − (0, 0)
∂ 2f ∂y ∂y (x2 )2
(0, 0) = lim = lim = 1.
∂x∂y x→0 x x→0 x
∂ 2f ∂ 2f
Ou seja, pelo menos na origem, = .
∂y∂x ∂x∂y
O teorema que enunciaremos a seguir nos d´ uma condi¸õ suficiente
a ca
para que as derivadas de ordem dois, em rela¸õ as diferentes vari´veis,
ca ` a
comutem.

Teorema 15.1
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ de classe C 2 (ou seja, f admite deri-
ca
vadas parciais de ordem dois e essas fun¸˜es sõ todas contńuas), definida
co a ı
em um subconjunto aberto D de lR 2 . Entõ, ∀(x, y) ∈ D,
a

∂ 2f ∂ 2f
(x, y) = (x, y).
∂x∂y ∂y∂x

Em geral, os textos de C´lculo omitem a demonstra¸õ desse teorema.
a ca
Para provar esse resultado, usamos o Teorema do Valor M´dio, de maneira
e
semelhante ` que fizemos na aula Diferenciabilidade – continua¸õ, para
a ca
provar que, se a fun¸õ for de classe C 1 , entõ ela ´ diferenci´vel, por´m,
ca a e a e
em dose dupla. Vocˆ poder´ encontrar essa demonstra¸õ no livro C´lculo
e a ca a
Diferencial e Integral, Volume II, de Richard Courant (Editora Globo), a
partir da p´gina 55.
a
No entanto, vocˆ pode usar o teorema imediatamente. Aqui est´ uma
e a
oportunidade de fazer isso.

Atividade 15.5
Calcule todas as derivadas parciais, at´ ordem trˆs, da fun¸õ f (x, y) =
e e ca
2 −y
x e .
Veja: usando o Teorema 15.1, vocˆ poder´ concluir que fxxy = fxyx =
e a
fyxx , por exemplo. Isso far´ com que vocˆ calcule quatro derivadas parciais
a e
de ordem trˆs no lugar de oito, certo?
e

CEDERJ 176

´

Apresentaremos, agora, uma s´rie de exemplos com os quais vocˆ apren-
e e
der´ a usar a Regra da Cadeia para calcular derivadas parciais de ordens
a
superiores de fun¸˜es compostas.
co

Exemplo 15.4
Come¸aremos com uma composi¸õ de uma fun¸õ de duas vari´veis f (x, y)
c ca ca a
com uma curva α(t).
Seja f : lR 2 −→ lR uma fun¸õ de classe C 2 e seja g(t) = f (t2 +1, 2t3 ),
ca
a composi¸õ de f com α(t) = (t2 + 1, 2t3).
ca
d2 g
Vamos expressar g (t) = (t) em termos das derivadas parciais de
dt2
f . Observe que
g (t) = ∇f α(t) · α (t).

Assim,
∂f 2 ∂f 2
g (t) = (t + 1, 2t3 )(2t) + (t + 1, 2t3)(6t2 )
∂x ∂y
∂f 2 ∂f 2
g (t) = 2t (t + 1, 2t3 ) + 6t2 (t + 1, 2t3 ).
∂x ∂y
Muito bem! Antes de prosseguirmos, observe a fun¸õ obtida ap´s a
ca o
primeira deriva¸õ. Ela ´ formada por duas parcelas, sendo cada uma o
ca e
∂f 2
produto de duas fun¸˜es de t. Por exemplo, h(t) = 2t
co (t + 1, 2t3 ) ´
e
∂x
o produto da fun¸õ k(t) = 2t pela composi¸õ da fun¸õ derivada par-
ca ca ca
cial de f em rela¸õ a x com a curva α(t). Para calcularmos a pr´xima
ca o
derivada, temos de levar isso em conta. Ou seja, usaremos a Regra do Pro-
duto com mais uma aplica¸õ da Regra da Cadeia. Veja como derivar a
ca
primeira parcela,
∂f 2
h(t) = 2t (t + 1, 2t3 ).
∂x

∂f 2 ∂ 2f 2 ∂ 2f 2
h (t) = 2 (t + 1, 2t3 ) + 2t 2
(t + 1, 2t3 ) (2t) + (t + 1, 2t3 ) 6t2
∂x ∂x ∂y∂x

d ∂f 2
(t +1,2t3 )
dt ∂x
∂f 2 ∂ 2f 2 ∂ 2f 2
h (t) = 2 (t + 1, 2t3 ) + 4t2 (t + 1, 2t3 ) + 12t3 (t + 1, 2t3 ).
∂x ∂x2 ∂y∂x
∂f 2
Vamos denotar por j(t) = 6t2 (t + 1, 2t3), a segunda parcela. Aqui
∂y
est´ a derivada de j(t):
a

177 CEDERJ


∂f 2 ∂ 2f 2 ∂ 2f 2
j (t) = 12t (t +1, 2t3 )+6t2 (t + 1, 2t3 ) (2t) + (t + 1, 2t3 ) 6t2
∂y ∂x∂y ∂y 2

d ∂f 2
(t +1,2t3 )
dt ∂y

∂f 2 ∂ 2f 2 ∂ 2f 2
j (t) = 12t (t + 1, 2t3 ) + 12t3 (t + 1, 2t3) + 36t4 (t + 1, 2t3 ).
∂y ∂x∂y ∂y 2

F´rmulas enormes, nõ? No entanto, note que h´ muita repeti¸õ.
o a a ca
Podemos abreviar um pouco se usarmos a nota¸õ fxx , por exemplo. Para
ca
expressar a segunda derivada de g(t), usaremos que g (t) = h (t) + j (t).

g (t) = 2 fx (t2 + 1, 2t3 ) + 4t2 fxx (t2 + 1, 2t3 ) + 12t3 fxy (t2 + 1, 2t3 ) +
+12t fy (t2 + 1, 2t3 ) + 12t3 fyx (t2 + 1, 2t3 ) + 36t4 fyy (t2 + 1, 2t3 ).

Sabendo que f ´ de classe C 2 , podemos somar os termos fxy e fyx .
e
Al´m disso, deixaremos subentendido que as derivadas parciais sõ todas
e a
2 3
calculadas em α(t) = (t + 1, 2t ). Com isso, conseguimos uma expressõ
a
bem mais simples para g (t):

g (t) = 2 fx + 12t fy + 4t2 fxx + 24t3 fxy + 36t4 fyy .

Atividade 15.6
Suponha que f seja uma fun¸õ de classe C 2 , de duas vari´veis, e considere
ca a
g(t) = f (et , e−t ).
Expresse a derivada segunda g (t) em termos das derivadas parciais de
f , usando a nota¸õ fx , fxy e omitindo o fato de que essas derivadas parciais
ca
devem ser calculadas em (et , e−t ).
Uma vez isso feito, fa¸a f (x, y) = xy 2 , efetue a composi¸õ e derive a
c ca
fun¸õ obtida diretamente, comprovando seus c´lculos.
ca a

Exemplo 15.5
No caso de x e y serem, por sua vez, fun¸˜es de duas vari´veis, digamos
co a
u e v, podemos, novamente, aplicar a Regra da Cadeia para expressar as
derivadas parciais.
Mais uma vez omitiremos os pontos onde as parciais devem ser calcu-
ladas, por raz˜es de simplicidade.
o

CEDERJ 178

´

Digamos que z = f (x, y), x = g(u, v) e y = h(u, v) e que todas as
∂ 2z ∂ 2z
fun¸˜es envolvidas sejam de classe C 2 . Vamos expressar
co e em
∂u2 ∂v∂u
termos das outras derivadas parciais.
Come¸amos derivando a composta em rela¸õ a u:
c ca

zu = fx xu + fy yu .

Na pr´xima etapa, devemos observar que fx , xu , fy e yu sõ, cada
o a
uma delas, fun¸˜es de u e de v. Por exemplo, fx simboliza a composi¸õ
co ca
fx (x(u, v), y(u, v)).
Entõ, derivando novamente, em rela¸õ a u, obtemos:
a ca

zuu = (fxx xu + fxy yu ) xu + fx xuu + (fyx xu + fyy yu ) yu + fy yuu
zuu = fxx (xu )2 + 2 fxy xu yu + fyy (yu )2 + fx xuu + fy yuu .

Derivando zu em rela¸õ a v, temos:
ca

zuv = (fxx xv + fxy yv ) xu + fx xuv + (fyx xv + fyy yv ) yu + fy yuv
zuv = fxx xu xv + fxy (xu yv + xv yu ) + fyy yu yv + fx xuv + fy yuv .

Note que, nas f´rmulas anteriores, fxy deve ser calculado em (x(u, v), y(u, v)) =
o
(g(u, v), h(u, v)), por exemplo, e xuv deve ser calculado em (u, v).

Essas computa¸˜es causam um certo impacto, devido ao tamanho que
co
costumam alcan¸ar (e olhe que nõ estamos calculando derivadas de ordens
c a
maiores do que dois!). No entanto, uma vez acostumado com a nota¸õ ca
abreviada, vocˆ perceber´ uma imperativa l´gica em suas forma¸˜es.
e a o co

No pr´ximo exemplo usaremos, de maneira ainda informal, a linguagem
o
das equa¸˜es diferenciais. Uma equa¸õ diferencial parcial, EDP para os
co ca
´
ıntimos, ´ uma equa¸õ que envolve derivadas parciais. Uma solu¸õ de uma
e ca ca
EDP ´ uma rela¸õ que nõ cont´m derivadas e que satisfaz a equa¸õ em
e ca a e ca
todos os pontos do dom´ınio em questõ.
a

Exemplo 15.6
Vamos determinar os valores de a, b e c tais que a fun¸õ u(x, y) = a x2 +
ca
2
b xy + c y seja uma solu¸õ da equa¸õ
ca ca

uxx + uyy = 0.

179 CEDERJ


Veja: devemos calcular as derivadas correspondentes, substituir na
equa¸õ e descobrir se h´ alguma rela¸õ a que elas devam obedecer.
ca a ca

ux = 2a x + b y; uy = b x + 2c y;

uxx = 2a; uyy = 2c.

Portanto, se a = −c temos uxx + uyy = 0.
Na verdade, a fun¸õ polinomial
ca

u(x, y) = a x2 + b xy − a y 2 + d x + e y + f

´ uma solu¸õ de uxx + uyy = 0.
e ca
Para ver se vocˆ pegou mesmo a idía, determine os valores de a, b, c e
e e
d tais que a fun¸õ u(x, y) = a x + b x y + c xy 2 + d y 3 seja solu¸õ da EDP
ca 3 2
ca
uxx + uyy = 0.

Apresentamos agora, uma s´rie de exerc´
e ıcios para vocˆ praticar.
e

Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
Dizemos que uma fun¸õ de duas vari´veis ´ harmˆnica se ela satisfaz
ca a e o
a equa¸õ de Laplace
ca

∂ 2f ∂ 2f
∆f = + = 0.
∂x2 ∂y 2

Mostre que as seguintes fun¸˜es sõ harmˆnicas:
co a o

(a) f (x, y) = x3 − 3xy 2 − 2x2 + 2y 2 + 2xy;

(b) g(x, y) = ln (x2 + y 2 );

y
(c) h(x, y) = arctg ;
x

(d) k(x, y) = ex sen y + ey cos x.

CEDERJ 180

´

Exerc´ 2
ıcio 
 xy(x2 − y 2 )




 x2 + y 2 , se (x, y) = (0, 0);




Considere f (x, y)) =








 0,
 se (x, y) = (0, 0).

Mostre que fxy (0, 0) = −1 e fyx (0, 0) = 1.

Exerc´ 3
ıcio
∂ 2u ∂ 2u
A EDP = c2 , onde c ´ uma constante, ´ chamada equa¸õ
e e ca
∂t2 ∂x2
da onda e ´ uma das primeiras EDPs a serem estudadas. Mostre que as
e
fun¸˜es do tipo
co
u(x, t) = f (x + c t) + g(x − c t),

onde f e g sõ fun¸˜es de uma vari´vel real, de classe C 2 , sõ solu¸˜es para
a co a a co
a equa¸õ da onda.
ca

Exerc´ 4
ıcio
2
A EDP ∂w = k ∂ w , onde k ´ uma constante, ´ chamada equa¸õ do
∂t ∂x2
e e ca
calor, e ´ uma outra EDP bem conhecida. Mostre que as fun¸˜es do tipo
e co

2
w(x, t) = (a cos(cx) + b sen (cx)) e−kc t ,

onde a, b e c sõ constantes, sõ solu¸˜es para a equa¸õ do calor.
a a co ca

Exerc´ 5
ıcio
Seja g(u, v) = f (u + v, uv), onde f ´ uma fun¸õ de classe C 2 . Calcule
e ca
gu (1, 1) e gvu (1, 1), sabendo que fx (2, 1) = 3, fy (2, 1) = −3, fxx (2, 1) = 0,
fxy (2, 1) = 1 e fyy (2, 1) = 2.

Exerc´ 6
ıcio
Sejam z = z(x, y), x = eu cos v, y = eu sen v. Suponha que

∂ 2z ∂ 2z
+ 2 = 0.
∂x2 ∂y

∂ 2z ∂ 2z
Calcule + 2.
∂u2 ∂v

181 CEDERJ


Exerc´ 7
ıcio
Expresse g (t) em termos das derivadas parciais de f , sendo g(t) =
f (1 − t, t2 ).

Exerc´ 8
ıcio
Considere h(u, v) = f (u2 −v 2 , 2uv), onde f (x, y) ´ uma fun¸õ de classe
e ca
∂ 2h
C 2 . Expresse (u, v) em termos das derivadas parciais da fun¸õ f .
ca
∂u2
Exerc´ 9
ıcio
Seja v(r, θ) = u(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ. Mostre que

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2v
+ = + + 2, 2 .
∂x2 ∂y 2 ∂r 2 r ∂r r ∂θ

Exerc´ 10
ıcio
Encontre uma fun¸õ f de uma vari´vel tal que a fun¸õ u(x, y) da
ca a ca
2 2
forma u(x, y) = f (x + y ) satisfa¸a a equa¸õ de Laplace
c ca

∂ 2u ∂ 2u
+ .
∂x2 ∂y 2

CEDERJ 182

ınimos – 1a parte
M´ximos e m´
a
´

Aula 16 – M´ximos e m´
a Aqui est´ uma tradu¸õ
a ca
(livre) da poesia. Ela ´ a
e
The lowest trees have tops, primeira estrofe de uma
can¸õ de John Dowland
ca
the ant her gall,
(1563 - 1626), alaudista e
The fly her spleen, compositor inglˆs da ´poca
e e
the little spark his heat; de Shakespeare, cuja letra ´ e
atribu´ a Sir Edward Dyer.
ıda
And slender hairs cast shadows
As ´rvores mais baixas tˆm
a e
though but small, suas copas,
And bees have stings a formiguinha sua ardida
ferroada,
although they be no great;
A mosca pode incomodar,
Seas have their source, a pequenina fagulha pode
and so have shallow springs, queimar;
E mesmo cabelos fininhos
and love is love fazem sombras
in beggars and in kings. apesar de pequeninas;
Os mares tˆm suas fontes,
e
assim como os min´sculos
u
riachos,
e o amor ´ o amor
e
Objetivos tanto em mendigos como em
soberanos.
• Aprender as defini¸˜es e a nomenclatura.
co

• Localizar e classificar pontos extremos locais.

Introdu¸õ
ca
Encontrar os pontos extremos de uma fun¸õ lembra o trabalho de um
ca
detetive. A primeira etapa do trabalho consiste em localizar os suspeitos.
Quem faz esse papel na nossa hist´ria sõ os pontos cr´ticos.
o a ı
A importˆncia dessa etapa consiste em limitar a busca a um conjunto
a
relativamente pequeno.
A segunda etapa ´ mais sutil e depende muito da situa¸õ estudada. Por
e ca
exemplo, a natureza do dom´ ınio considerado pode introduzir complica¸˜es
co
deveras interessantes no problema.
Enquanto que no caso das fun¸˜es de uma vari´vel nosso detetive tinha
co a
uma unica dire¸õ a seguir, subindo e descendo em busca de pontos extremos,
´ ca
no contexto atual, das fun¸˜es com duas ou mais vari´veis, sua busca se
co a
estender´ aos mais profundos vales e as mais altas montanhas.
a `
Mas, calma! Estamos nos antecipando um pouco. Nesta aula nos ocu-
paremos das defini¸˜es e da an´lise local.
co a

183 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Figura 16.1

M´ximos e m´
a ınimos – defini¸˜es
co
Nesta etapa estabeleceremos as defini¸˜es para o caso das fun¸˜es de
co co
duas vari´veis, mas elas podem ser estendidas naturalmente para o caso das
a
fun¸˜es com mais vari´veis.
co a

Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ. Dizemos que (a, b) ∈ D ´
ca e
um ponto de m´ximo local de f se existe um n´ mero r 0 tal que, se
a u
||(x, y) − (a, b)|| r, entõ (x, y) ∈ D e
a

f (x, y) ≤ f (a, b) = M.

Neste caso, dizemos que M ´ um valor m´ximo local de f .
e a
Em outras palavras, queremos que haja uma vizinhan¸a em torno do
c
ponto (a, b) onde a fun¸õ est´ definida e, nesta vizinhan¸a, o valor da fun¸õ
ca a c ca
em (a, b) ´ o maior que ela atinge.
e

r
b

a D

Figura 16.2

Analogamente, definimos pontos de m´ ınimo local, assim como valor
m´
ınimo local, invertendo a desigualdade:

f (x, y) ≥ f (a, b) = m.

CEDERJ 184

M´ximos e m´
a
´

Exemplo 16.1
A fun¸õ f cujo gr´fico est´ esbo¸ado na figura a seguir admite um
ca a a c
ponto de m´ximo local, assim como um ponto de m´
a ınimo local.

Figura 16.3

Em certos problemas, queremos considerar apenas uma parte do dom´
ınio
da fun¸õ. Por isso, ´ conveniente introduzir a defini¸õ a seguir.
ca e ca
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ e seja A ⊂ D um subconjunto do
ca
dom´ınio de f . Dizemos que o ponto (a, b) ∈ A ´ um ponto m´ximo de f em
e a
A se, para todo (x, y) ∈ A,

f (x, y) ≤ f (a, b) = M.

Nesse caso, dizemos que M ´ o valor m´ximo de f em A.
e a
Em particular, se A = D, dizemos que (a, b) ´ um ponto de m´ximo
e a
absoluto da fun¸õ f e M ´ o valor m´ximo de f .
ca e a
Analogamente, definimos pontos de m´
ınimo de f em A e pontos de
m´
ınimo absolutos de f .

Exemplo 16.2
A fun¸õ f (x, y) = x2 + y 2 est´ definida em todo o espa¸o lR 2 e admite
ca a c
um ponto de m´ ınimo local e absoluto em (0, 0). Na verdade, neste caso o
ponto de m´
ınimo absoluto ´ unico.
e´
Veja que esta fun¸õ nõ admite pontos de m´ximo, sejam absolutos
ca a a
ou locais, pois ela assume valores arbitrariamente grandes.

185 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Figura 16.4

Vamos, agora, considerar a mesma fun¸õ f , por´m restrita a um sub-
ca e
conjunto pr´prio de seu dom´
o ınio. Seja

A = { (x, y) ∈ lR 2 ; 9x2 + 4y2 ≤ 36 }.

Figura 16.5 Como o ponto (0, 0) ∈ A, este ponto continua sendo o m´ ınimo de f ,
agora no conjunto A. A questõ que resta resolver ´: h´ um ponto m´ximo
a e a a
de f em A?
Bem, considerando a natureza da fun¸õ f , devemos buscar os pontos
ca
de A que estejam mais afastados da origem. Esses pontos sõ (0, 3) e (0, −3).
a
Veja o gr´fico.
a

A

Figura 16.6

Conclusõ: restrita ao conjunto A a fun¸õ f admite um ponto m´
a ca ınimo
em (0, 0), que tamb´m ´ um ponto m´
e e ınimo local, e dois pontos m´ximos em
a
(0, 3) e (0, −3). O valor m´ ınimo de f ´m A ´ f (0, 0) = 0 e o valor m´ximo
e e a
de f em A ´ f (0, 3) = f (0, −3) = 9.
e

CEDERJ 186

M´ximos e m´
a
´

Atividade 16.1
Usando o que vocˆ aprendeu no exerc´ anterior, determine os pontos
e ıcio
de m´ximo e de m´
a ınimo de f (x, y) = x + y 2 no conjunto
2

B = { (x, y) ∈ lR 2 ; 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5 }.

M´ximos e m´
a ınimos locais
Nesta se¸õ vamos concentrar nossos esfor¸os no estudo dos pontos
ca c
de m´ximo e de m´
a ınimo locais das fun¸˜es diferenci´veis. Observe que os
co a
pontos de m´ınimo da fun¸õ f sõ os pontos de m´ximo da fun¸õ g = −f .
ca a a ca
Portanto, as considera¸˜es que fizermos para os pontos de m´ximo terõ sua
co a a
formula¸õ correspondente para pontos de m´
ca ınimo.
Vamos a pergunta que est´ no ar: Como sabemos que chegamos a um
` a
ponto de m´ximo local? (Como sabemos que atingimos o alto do morro?)
a
Ora, isso ocorre quando nõ h´ mais como subir, nõ ´?
a a a e
Veja, esse fenˆmeno deve ser detectado pelas taxas de varia¸õ da
o ca
fun¸õ. Ou seja, num ponto (a, b), de m´ximo local da fun¸õ diferenci´vel
ca a ca a
f teremos, para cada vetor unit´rio u,
a
∂f
(a, b) = 0.
∂u
Em particular, ∇f (a, b) = 0.
Isso nos motiva a introduzir a seguinte defini¸õ:
ca
Se ∇f (a, b) = 0, dizemos que (a, b) ´ um ponto cr´tico ou estacion´rio
e ı a
da fun¸õ f .
ca
A observa¸õ que fizemos ´ que todo ponto extremo local de f ´ ponto
ca e e
estacion´rio de f . Vamos formular mais precisamente.
a

Teorema 16.1
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ diferenci´vel em (a, b) ∈ D, um
ca a
aberto de lR 2 , tal que (a, b) ´ um de m´ximo ou de m´
e a ınimo local de f . Entõ,
a

∇f (a, b) = 0.

Demonstra¸õ:
ca
∂f f (x, b) − f (a, b)
Sabemos que (a, b) = lim = h (a), onde h(x) =
∂x x→0 x−a
f (x, b), a restri¸õ de f a reta y = b, em alguma vizinhan¸a de x = a.
ca ` c

187 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Ora, como (a, b) ´ extremo local de f , a ´ extremo local de h. Como
e e
vimos no estudo das fun¸˜es de uma vari´vel, h (a) = 0. Assim,
co a

∂f
(a, b) = 0.
∂x

∂f
Analogamente, (a, b) = 0 e, portanto,
∂y

∇f (a, b) = 0.

Isso quer dizer que a busca pelos pontos extremos locais de uma fun¸õ
ca
deve ser feita no conjunto dos pontos estacion´rios de f , quando ela ´ uma
a e
fun¸õ diferenci´vel.
ca a
Nesse ponto, a pergunta mais natural para um matem´tico ´: serõ
a e a
todos os pontos estacion´rios m´ximos ou m´
a a ınimos locais?
Bem, vocˆ j´ deve ter antecipado a resposta: nõ!
e a a Veja o pr´ximo
o
exemplo.

Exemplo 16.3
Vamos analisar os pontos cr´
ıticos (ou estacion´rios) das fun¸˜es
a co

f (x, y) = λ x2 + µ y 2

nas quais λ µ = 0.
Come¸amos com a determina¸õ de tais pontos. Para isso, temos de
c ca
resolver a equa¸õ ∇f (x, y) = 0.
ca

∇f (x, y) = (2λ x, 2µ y) = (0, 0).

Ou seja, em cada caso, (0, 0) ´ o unico ponto cr´
e ´ ıtico.
Observe que, se λ µ 0, estas duas constantes tˆm o mesmo sinal. Se
e
as duas constantes forem positivas, (0, 0) ´ um ponto de m´
e ınimo local de f .
Se as duas constantes forem negativas, o ponto (0, 0) ´ um ponto de m´ximo
e a
local de f . Em ambos os casos, o gr´fico de f ´ um parabolíde.
a e o
No entanto, se λ µ 0, o ponto cr´ ıtico nõ ´ um ponto de m´
a e ınimo
nem ´ um ponto de m´ximo local de f . Neste caso, o gr´fico de f ´ um
e a a e
hiperbolíde e o ponto cr´
o ıtico ´ chamado ponto de sela.
e

CEDERJ 188

M´ximos e m´
a
´

λ 0, µ 0 λ 0, µ 0 λµ 0
Figura 16.7 Figura 16.8 Figura 16.9

As trˆs configura¸˜es apresentadas no exemplo anterior sõ t´
e co a ıpicas para
pontos estacion´rios. No entanto, h´ outras, como vocˆ poder´ constatar no
a a e a
pr´ximo exemplo.
o

Exemplo 16.4
As fun¸˜es f (x, y) = x3 − 3xy 2 e g(x, y) = 2xy(x2 − y 2 ) tˆm ponto
co e
cr´
ıtico na origem, pois

∇f (x, y) = (3x2 − 3y 2, −6xy);
∇g(x, y) = (6x2 y − 2y 3, 2x3 − 6x2 y).

Na verdade, em ambos os casos a origem ´ o unico ponto cr´
e ´ ıtico. No
entanto, nenhum deles o ponto ´ m´
e ınimo ou m´ximo local. Nem mesmo ser´
a a
um ponto de sela, do tipo hiperb´lico, apresentado no exemplo anterior. Veja
o
os gr´ficos.
a

f (x, y) = x3 − 3xy 2 g(x, y) = 2xy(x2 − y 2 )

Atividade 16.2
Aqui est´ uma oportunidade para vocˆ praticar. A fun¸õ f (x, y) =
a e ca
1 4 4 3 4 2 22
− y − y + y + − x tem seu gr´fico esbo¸ado na figura a seguir.
2
a c
3 9 3 9

189 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Figura 16.12

Determine seus pontos cr´
ıticos e classifique-os como pontos de m´ximo
a
ou de m´
ınimo locais ou como pontos de sela.

Teste da derivada segunda para fun¸˜es de duas vari´veis
co a
A ultima questõ que consideraremos nesta aula ser´ a seguinte: como
´ a a
podemos diferenciar pontos de sela de pontos de m´ ınimo ou de m´ximo lo-
a
cais? H´ algum crit´rio fćil de calcular que classifique o ponto cr´
a e a ıtico como
ponto de sela, de m´ximo ou de m´
a ınimo local, ou outros? Muito bem, a
resposta est´ na maneira como a fun¸õ se curva em torno do ponto. E o que
a ca
mede a curvatura ´ a derivada de ordem dois. Antes de enunciar o teorema,
e
vamos estabelecer algumas nota¸˜es.
co
Observe que ao lidarmos com uma fun¸õ de duas vari´veis, de classe
ca a
1
C , em cada ponto temos trˆs derivadas de segunda ordem:
e
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
(a, b), (a, b) e (a, b).
∂x2 ∂x∂y ∂y 2

O que determinar´, pelo menos em muitos casos, se o ponto cr´
a ıtico ´
e
de sela ou de m´ximo local ou de m´
a ınimo local ´ uma combina¸õ alg´brica
e ca e
desses n´ meros, que ´ chamado de hessiano da fun¸õ calculado no ponto.
u e ca
Aqui est´ a sua defini¸õ.
a ca
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ de classe C 2 , definida no aberto
ca
D de lR . Definimos uma fun¸õ H : D ⊂ lR 2 −→ lR colocando
2
ca

∂ 2f ∂ 2f
(x, y) (x, y)
∂x2 ∂x∂y
H(x, y) =
∂ 2f ∂ 2f
(x, y) (x, y)
∂x∂y ∂y 2

chamada hessiana da fun¸õ f .
ca

CEDERJ 190

M´ximos e m´
a
´

Essa nota¸õ, do determinante, se deve a tradi¸õ e ´ muito conveni-
ca ` ca e
ente. Podemos, tamb´m, usar a nota¸õ mais simples:
e ca
2
H(x, y) = fxx (x, y) fyy (x, y) − fxy (x, y) .

Esse determinante mede a curvatura do gr´fico da fun¸õ em torno
a ca
desse ponto cr´ ıtico. Isto ´, se ´ negativo, h´ duas dire¸˜es principais com
e e a co
curvaturas diferentes: uma para cima, outra para baixo. Se ´ positivo, ambas
e
curvaturas estõ para o mesmo lado. Se essas curvaturas principais, digamos
a
assim, estõ do mesmo lado plano tangente, o ponto cr´
a ıtico ´ ponto extremo
e
local. Se essas curvaturas sõ reversas, uma para cada lado do plano tangente,
a
entõ temos um ponto de sela.
a
Veja a formula¸õ completa no teorema a seguir.
ca

Teorema 16.2 (Teste das derivadas de ordem dois)
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma fun¸õ diferenci´vel em (a, b) ∈ D, um
ca a
2
aberto de lR , tal que (a, b) ´ um cr´tico de f , tal que H(a, b) = 0. Entõ,
e ı a
(a) se H(a, b) 0 e fxx (a, b) 0, o ponto (a, b) ´ ponto de m´
e ınimo
local de f ;
(b) se H(a, b) 0 e fxx (a, b) 0, o ponto (a, b) ´ ponto de m´ximo
e a
local de f ;
(c) se H(a, b) 0, o ponto (a, b) nõ ´ um ponto de m´ximo nem de
a e a
m´
ınimo local de f .

Observe que o teorema nõ afirma coisa alguma, caso H(a, b) = 0.
a
Nesse caso, devemos recorrer a uma an´lise direta da fun¸õ para concluir se
a ca
o ponto em questõ ´ de m´ximo ou de m´
a e a ınimo local de f .
A demonstra¸õ deste teorema ser´ adiada at´ a aula sobre F´rmula
ca a e o
de Taylor, onde observaremos como as derivadas de ordens superiores podem
ser usadas para se obter aproxima¸˜es polinomiais para a fun¸õ.
co ca

Terminaremos a aula com um exemplo do uso do teorema para analisar
os pontos cr´
ıticos de uma fun¸õ.
ca

Exemplo 16.5
Vamos determinar os pontos cr´
ıticos da fun¸õ
ca
πx πy
f (x, y) = sen , cos
2 2

191 CEDERJ

M´ximos e m´
a

e classific´-los usando o teste das derivadas de ordem dois.
a
Aqui est´ o c´lculo do gradiente:
a a
π πx π πy
∇f (x, y) = cos , − sen .
2 2 2 2
Note que, ∇f (x, y) = (0, 0) se, e somente se, x for um n´ mero inteiro ´
u ımpar
e y for um inteiro par. Isto ´, os pontos cr´
e ıticos da fun¸õ sõ os pontos
ca a

2k + 1, 2s , com k, s ∈ ∠
Z.

Os pontos da forma (3, 2), (5, 0), (−9, −4), e assim por diante. O
problema ´: quais deles sõ m´ximos locais? Quais sõ m´
e a a a ınimos? Haver´
a
ponto de sela? Muito bem, est´ na hora da hessiana!
a

∂ 2f ∂ 2f π2 πx
(x, y) (x, y) − sen 0
∂x2 ∂x∂y 4 2
H(x, y) = = .
2 2 2
∂ f ∂ f π πy
(x, y) (x, y) 0 − cos
∂x∂y ∂y 2 4 2

Assim,
π4 πx πy
H(x, y) = sen cos .
16 2 2
π4 πx
e ımpar e y ´ par, H(x, y) = ± , pois sen
Note que, se x ´ ´ e ´
e
16 2
πy
igual a 1 ou igual a −1, assim como cos . Realmente, como x ´ ´
e ımpar,
2
πx π πy
difere de por um m´ ltiplo de π, e como y ´ par,
u e difere de 0 por
2 2 2
um m´ ltiplo de π.
u
Portanto, sabemos que a an´lise do sinal do hessiano ser´ decisiva em
a a
todos os casos. Para isso, precisamos determinar os pontos cr´
ıticos nos quais
o hessiano ´ 1 (positivo) e os pontos cr´
e ıticos nos quais o hessiano ´ −1
e
(negativo).
Pontos de sela:
Os pontos de sela sõ aqueles onde o hessiano ´ negativo. Isso ocorrer´
a e a
πx πy
quando os sinais de sen e cos se alternarem. Ou seja, quando
2 2
a primeira coordenada for da forma 4n + 3 e a segunda coordenada for um
m´ ltiplo de 4. Aqui estõ alguns exemplos: (−1, 0), (3, 0), (7, 4).
u a
Al´m desses, os pontos cuja primeira coordenada ´ da forma 4m + 1
e e
e a segunda coordenada da forma 4r + 2 sõ pontos de sela. Veja alguns
a
exemplos: (1, 2), (5, 2), (9, 4).

CEDERJ 192

M´ximos e m´
a
´

Pontos de m´
ınimo local:
πx πy
Neste caso, queremos sen = −1 = cos . Isso ocorre quando
2 2
x ´ da forma 4j + 3 e y ´ da forma 4k + 2. Aqui estõ alguns exemplos: (3, 2),
e e a
(3, 6), (7, 10).

Pontos de m´ximo local:
a
πx πy
Neste caso, queremos sen = 1 = cos . Isso ocorre quando
2 2
x = 4j + 1 e y ´ m´ ltiplo de 4. Aqui estõ alguns exemplos: (1, 0), (5, 4),
e u a
(9, −8).
Isso parece mais complicado do que realmente ´. Veja, vamos dividir
e
o plano em quadrados, cada um de tamanho dois por dois, com v´rtices nos
e
pontos de coordenadas do tipo (´
ımpar, par), como um tabuleiro de xadrez.

Figura 16.13: Localiza¸õ dos pontos cr´
ca ıticos de f

Esses v´rtices sõ os pontos cr´
e a ıticos. As selas võ se alternando dois a
a
dois. Entre elas, nas linhas verticais do tipo y = · · · − 4, 0, 4, 8, . . . , aparecem
os pontos de m´ximo local. Ainda alternando com as selas, aparecem os
a
m´ınimos, nas linhas verticais do tipo y = · · · − 6, , −2, 2, 6, . . . . Veja o gr´fico
a
da fun¸õ assim como as curvas de n´
ca ıvel.

M M

m m

M M

m m

M M

Figura 16.14: Gr´fico de f
a
Figura 16.15
Curvas de n´ de f com a localiza¸õ
ıvel ca
dos pontos de m´ximo e de m´
a ınimo

193 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Realmente, denotamos os pontos de m´ximo com a letra M e os pontos
a
de m´ınimo com a letra m. Os pontos de sela sõ aqueles que aparecem nas
a
interseç˜es (em X) das curvas de n´ que sõ retas.
co ıvel a
Al´m disso, devido a natureza da fun¸õ f , os pontos de m´ximo local
e ca a
sõ, tamb´m, os pontos de m´ximo absolutos da fun¸õ, assim como os
a e a ca
pontos de m´ınimo.
Todos os exemplos que consideramos at´ agora apresentavam pontos
e
extremos isolados, mas isso nõ ocorre sempre. Por exemplo, se a fun¸õ ´
a ca e
constante ou tem por gr´fico uma superf´ cil´
a ıcie ındrica, ela poder´ ter fam´
a ılias
de pontos extremos. Veja o pr´ximo exemplo.
o

Exemplo 16.6
As duas fun¸˜es cujos gr´ficos estõ esbo¸ados nas figuras a seguir,
co a a c
apresentam pontos de m´ximo e de m´
a ınimos nõ isolados. Num exemplo,
a
temos duas fam´ ılias de c´
ırculos concˆntricos na origem, uma de pontos de
e
m´ximo e outra de pontos de m´
a ınimo, que se alternam uma ap´s a outra.
o
Note que a origem ´ o unico ponto de m´ximo isolado.
e ´ a
No outro exemplo, temos duas retas de m´ximos locais e uma reta de
a
m´
ınimos locais.


Coment´rios finais
a
Nesta aula vocˆ aprendeu as defini¸˜es da teoria de m´ximos e m´
e co a ınimos
de fun¸˜es de v´rias vari´veis. Al´m disso, vocˆ recebeu o kit b´sico para
co a a e e a
lidar com os pontos extremos locais das fun¸˜es de duas vari´veis. Isso ´,
co a e
se a fun¸õ ´ de classe C 2 , os pontos extremos locais estõ entre os pontos
ca e a
cr´
ıticos da fun¸õ. Al´m disso, o teste da derivada segunda pode ser muito
ca e
util. Nõ deixe de trabalhar os exerc´
´ a ıcios que serõ apresentados a seguir.
a
A pr´xima aula trar´ mais informa¸˜es sobre m´ximos e m´
o a co a ınimos.

CEDERJ 194

M´ximos e m´
a
´

Exerc´
ıcios
Exerc´ 1
ıcio
Determine os pontos de m´ximo e de m´
a ınimo da fun¸õ f (x, y) = (x −
ca
2 2
2) + (y + 1) , caso existam, em cada um dos conjuntos a seguir.

A = {(x, y) ∈ lR 2 ; 0 ≤ x ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 1 };

B = {(x, y) ∈ lR 2 ; 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 };

C = {(x, y) ∈ lR 2 ; 0 ≤ x ≤ 1, };

D = {(x, y) ∈ lR 2 ; 2x − 1 ≤ y ≤ 2x + 1 }.

Exerc´ 2
ıcio
Em cada uma das fun¸˜es a seguir, determine os pontos estacion´rios
co a
e classifique-os como m´ximos ou m´
a ınimo locais, ou como pontos de sela,
quando for o caso.

(a) f (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 6y + 6; (b) g(x, y) = −x2 − y 2 − 4x + 1;

(c) h(x, y) = y 2 − x2 + 2x + 4y − 4; (d) j(x, y) = xy + 2x − y − 2;

(e) k(x, y) = x3 + y 3 + 3xy; (f) l(x, y) = 4xy − 2x4 − y 2;

(g) m(x, y) = y 2 + sen x; (h) n(x, y) = xy e−x ;

1 1
(i) p(x, y) = + 2 + xy; considere x 0 e y 0.
x y

Exerc´ 3
ıcio
Seja g(x, y, z) = a x2 + b y 2 + d z 2 , com a, b e c constantes nõ nulas.
a
Mostre que (0, 0, 0) ´ o unico ponto cr´
e ´ ıtico de g. Determine a natureza
deste ponto cr´
ıtico nos casos em que as constantes a, b e c tˆm o mesmo sinal.
e
O que podemos afirmar sobre tal ponto cr´ ıtico no caso em que uma
dessas constantes tem sinal diferente das outras duas?

195 CEDERJ

M´ximos e m´
a

Exerc´ 4
ıcio
Dˆ um exemplo de uma fun¸õ f (x, y) que tenha uma fam´ de retas
e ca ılia
paralelas de pontos extremos locais, alternando-se: uma de m´ximos e a
a
seguinte de m´ınimos, mas que nõ tenha m´ximo nem m´
a a ınimo absolutos.
Basta esbo¸ar o gr´fico.
c a

Exerc´ 5
ıcio
Dˆ um exemplo de uma fun¸õ que tenha dois pontos de m´ximo abso-
e ca a
lutos, mais um ponto de m´ximo local, mas que nõ tenha m´
a a ınimo absoluto.
Basta esbo¸ar o gr´fico. Ser´ que todas as fun¸˜es com essa caracter´
c a a co ısticas
tˆm, necessariamente, um ponto do tipo sela?
e

CEDERJ 196

Livrocalculo2 miolo

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Destaque

Semelhante a Livrocalculo2 miolo

Mais de resolvidos

Livrocalculo2 miolo