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Álgebra II
                                     Luiz Manoel Figueiredo
                       Volume 2
                                     Marisa Ortegoza da Cunha
                                     Hernando Bedoya
                                     Ricardo Camelier




Material gratuitamente cedido pela

           Consórcio

           cederj
           Fundação CECIERJ
Alg lin2
IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
                                   UN




          UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
          SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
             INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
                    FACULDADE DE MATEMÁTICA




                           REITOR
            Prof. Dr. Alex Bolonha Fiúza de Mello

                     VICE-REITORA
           Profa. Dra. Regina Fátima Feio Barroso

       PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
            Prof. Dr. Licurgo Peixoto de Brito

  SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
             Profa. MSc. Selma Dias Leite

DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
                Prof. Dr. Geraldo Narciso

      DIRETOR DAFACULDADE DE MATEMÁTICA
           Prof. Dr. Geraldo Mendes de Araújo




           Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,
                para o uso restrito da Licenciatura em Matemática
                na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
Alg lin2
Álgebra II                 Volume 2


SUMÁRIO



          Aula 18   Transformações lineares ___________________________________________
                                                                                           7

          Aula 19
                    Propriedades das transformações lineares _________________________     17

          Aula 20
                    Núcleo e imagem de uma transformação linear ___________________        27

          Aula 21   Teorema de núcleo e imagem_____________________________________
                                                                                           37

          Aula 22   Representação matricial e uma transformação linear ______________      45

          Aula 23   A álgebra das transformações lineares _____________________________    55

          Aula 24   Transformações especiais de R 2 ___________________________________    65

          Aula 25   Transformações especiais de R 3 ___________________________________    75

          Aula 26   Operações lineares invesíveis ______________________________________   83

          Aula 27   Mudança de base ________________________________________________       91

          Aula 28   Exercícios de revisão ______________________________________________   99

          Aula 29   Autovetores e autovalores de matrizes _____________________________    109

          Aula 30   Autovetores e autovalores de matrizes – Casos especiais __________     117

          Aula 31   Polonômios característicos ________________________________________    125

          Aula 32   Cálculo de Autovalores e autovetores _____________________________     133

          Aula 33   Diagonalização de matrizes ______________________________________      143

          Aula 34
                    Cálculo de matrizes diagonalizáveis ______________________________     153

                    Matrizes ortogonais ______________________________________________
          Aula 35                                                                          161

          Aula 36   Propriedades das matrizes ortogonais ______________________________    171
Alg lin2
Transforma¸oes lineares
                                      c˜
                                                                                  AULA 18


          Aula 18 – Transforma¸oes lineares
                              c˜

Objetivos
Definir os conceitos de transforma¸ao matricial e linear;
                                 c˜
Apresentar v´rios exemplos de transforma¸oes lineares.
            a                           c˜


Introdu¸˜o
       ca
      Um dos conceitos centrais na Matem´tica ´ o de fun¸ao. De modo geral
                                          a    e        c˜
usa-se os termos fun¸ao, aplica¸ao e transforma¸ao como sinˆnimos.
                    c˜         c˜              c˜           o
      Uma fun¸ao ´ uma associa¸ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo
               c˜ e             c˜
todos os elementos de A, mas n˜o necessariamente todos os elementos de B,
                               a
e que associa cada elemento de A a somente um elemento de B. Esta maneira
                                 `
de ver uma fun¸ao somente como uma associa¸ao ´ uma vis˜o essencialmente
               c˜                           c˜ e         a
est´tica.
   a
     Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinˆmica,
                                                                  a
´ que uma fun¸ao ´ uma transforma¸ao, que ¨leva¨ elementos do conjunto
e             c˜ e                 c˜
A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em
elementos de B.
         ´
     Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma¸ao do que fun¸ao,
                                                      c˜            c˜
especialmente no caso das transforma¸oes lineares, que definiremos nesta
                                     c˜
aula. Em resumo, uma transforma¸ao de um espa¸o vetorial V em um espa¸o
                                c˜            c                      c
vetorial W ´ simplesmente uma fun¸ao de V em W .
           e                      c˜
      Como observamos, s˜o de interesse especial as transforma¸oes linea-
                         a                                    c˜
res. Comecaremos definindo transforma¸oes matriciais e depois as lineares.
                                      c˜
Veremos que para transforma¸oes de Rn em Rm , os dois conceitos s˜o equi-
                           c˜                                    a
valentes.




                                                                             7   CEDERJ
Transforma¸oes lineares
                                                    c˜


             Transforma¸oes matriciais
                       c˜
                   Uma transforma¸ao matricial ´ uma fun¸ao dada por T (x) = Ax, onde
                                 c˜            e        c˜
             A ´ uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent˜o a
               e                                                                 a
             aplica¸ao T : Rn → Rm dada por x → Ax ´ uma transforma¸ao matricial.
                   c˜                                e                c˜
             Exemplo 1
             Seja
                                                    2 1 3
                                            A=
                                                    1 2 0
             ent˜o A induz a transforma¸ao matricial T : R3 → R2 , dada por x → Ax.
                a                      c˜
                                           
                                          1
                                           
                  Por exemplo, se x =  −1 , ent˜o
                                                  a
                                          2
                                                          
                                                         1
                                         2 1 3                     7
                                Ax =                .  −1  =            .
                                         1 2 0                      −1
                                                         2
                                        
                                      x1
                                        
                   Em geral, se x =  x2 , ent˜o
                                               a
                                      x3
                                                   
                                                 x1
                                    2 1 3                   2x1 + x2 + 3x3
                         Ax =                .  x2  =                        .
                                    1 2 0                        x1 + 2x2
                                                 x3

             Exemplo 2
             Se
                                                  1 −1 2
                                         A=
                                                  2 1 −1

                     2
             eb=         . Encontre um x ∈ R3 , tal que Ax = b.
                     2
                                   
                                 x1
                                   
             Solu¸ao: Seja x =  x2 , ent˜o Ax = b, leva a
                 c˜                       a
                                 x3
                                                           
                                                         x1
                                       2 −1 2                     2
                                                     .  x2  =
                                       2 1 −1                       2
                                                         x3

CEDERJ   8
Transforma¸oes lineares
                                       c˜
                                                                                            AULA 18


            2x1 − x2 + 2x3 = 2                       2x1 − x2 = 2 − 2x3
                                      =⇒
            2x1 + x2 − x3 = 2                        2x1 + x2 = 2 + x3

     Somando as duas equa¸oes, obtemos
                         c˜
                                                          x3
                     4x1 = 4 − x3 ⇒ x1 = 1 −                 .
                                                          4

     Subtraindo as mesmas equa¸oes, obtemos
                              c˜
                                                       3x3
                      2x2 = 0 + 3x3 ⇒ x2 =                 .
                                                        2
                                          x3
                                                 
                                     1−    4
                                                
     Portanto, todo vetor x =        3x3
                                       2         , x3 ∈ R, ´ levado a b pela trans-
                                                            e
                                      x3
forma¸ao matricial T = Ax.
     c˜

                   
Exemplo 3      1 1
                   
Seja A = x =  2 1 . Determine a imagem de T = Ax.
               1 −1
                                                                                 
                                                                                a
                                                          x1                   
Solu¸ao: Temos que T : R2 → R3 . Seja u =
    c˜                                                           e seja T u =  b .
                                                          x2
                                                                                c
Ent˜o
   a                                                   
                        1 1                             a
                                          x1         
                       2 1 .                       = b 
                                            x2
                        1 −1                            c
                                  
              x1 + x 2 = a
                                   x1 + x 2 = a
                                   
               2x + x2 = b      =⇒      −x2 = b − 2a
              1
                                  
                                   
                x1 − x 2 = c           −2x2 = c − a
                                    
        
           x1 = b − a                x1 = b − a
                                     
            x2 = 2a − b           =⇒    x = 2a − b       ,
        
                                     2
                                     
             0 = c − a − 2b + 4a         0 = 3a − 2b + c
o que mostra que Ax = b tem solu¸ao quando 3a − 2b + c = 0. Portanto, a
                                  c˜
aplica¸ao dada pela matriz A leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0.
      c˜




                                                                                       9   CEDERJ
Transforma¸oes lineares
                                                    c˜




                                 T = Ax                             R3
                       R2




                       Figura 1: Aplica¸ao T leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0.
                                       c˜



              Transforma¸oes lineares
                        c˜
                   Dada uma matrix m × n A, vetores n × 1 u e v, e um escalar c, segue-se
              das propriedades da multiplica¸ao de matrizes que
                                            c˜

                                A(u + v) = Au + Av       e A(cu) = cAu .

                    De maneira geral, quando uma fun¸ao possui as duas propriedades
                                                    c˜
              acima, dizemos que ela ´ linear. Definiremos agora as transforma¸oes
                                       e                                       c˜
              lineares.
              Defini¸˜o 1
                   ca
              Uma transforma¸ao T ´ linear se:
                            c˜    e

                1. T (u + v) = T u + tv, para todos u e v no dom´
                                                                ınio de T .

                2. T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c.

                   Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma¸ao ´ linear
                                                                            c˜ e
              quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.
                    Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores
              primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u + v), o resultado
              ´ o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados
              e
              (T u + T v), isto ´ T (u + v) = T u + T v.
                                e
                    Se A ´ uma matriz, u e v s˜o vetores no dom´
                          e                    a                ınio de T = Ax e c ´ um
                                                                                    e
              escalar, ent˜o, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a
                          a
              soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o
              produto por escalar. Portanto, toda transforma¸ao matricial ´ linear.
                                                            c˜            e
                   Por outro lado, nem toda transforma¸ao linear de espa¸os vetoriais ´
                                                      c˜                c             e
              matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma¸oes
                                                                                  c˜

CEDERJ   10
Transforma¸oes lineares
                                           c˜
                                                                                           AULA 18


lineares de Rn em Rm s˜o sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23
                      a
onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa¸ao matricial
                                                              c˜
de uma transforma¸ao linear.
                   c˜
      Seja T : V → W uma transforma¸ao linear, onde V e W s˜o espa¸os
                                   c˜                      a      c
vetoriais, e seja v ∈ V . Ent˜o
                             a

                         T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W ,

onde 0V indica o vetor nulo do espa¸o vetorial v e 0W indica o vetor nulo do
                                    c
espa¸o vetoria W . Mostramos ent˜o que uma transforma¸ao linear T : V →
     c                            a                      c˜
W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W .
      Outra propriedade muito utilizada ´ a seguinte:
                                        e

                T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u) .

A dedu¸ao acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob-
       c˜
serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.
      Isto ´, se uma transforma¸ao T satisfaz
           e                   c˜

                           T (cv + du) = cT (u) + dT (v) ,

ent˜o ela ´ linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos
   a      e
T (u+v) = T u+T v (preserva¸ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0,
                              c˜
obtemos T (cu) = cT (u) (preserva¸ao do produto de vetores por escalares).
                                    c˜
      Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ acima, podemos mostrar
                                             ınio
que
                T (c1 v1 + · · · + ck vk ) = c1 T (v1 ) + · · · + ck T (vk ) ,

onde c1 , · · · , ck s˜o escalares e v1 , · · · , vk s˜o vetores no dom´
                      a                               a                ınio de T .

Exemplo 4
A transforma¸ao T : V → W dada por T (x) = 0W ´ linear. Esta trans-
             c˜                                    e
forma¸ao, chamada transforma¸ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo
     c˜                     c˜
de W .

Exemplo 5
Seja V um espa¸o vetorial qualquer, a transforma¸ao T : V → V dada por
                 c                                 c˜
T (u) = u ´ linear. Esta transforma¸ao ´ chamada indentidade. Se V = R n ,
          e                        c˜ e
ent˜o a transforma¸ao linear dada pela matriz In , identidade de ordem n, ´
   a                c˜                                                    e
a transforma¸ao identidade de R .
             c˜                  n




                                                                                     11   CEDERJ
Transforma¸oes lineares
                                                    c˜


              Exemplo 6
              Seja r ∈ R. Mostre que a transforma¸ao T : Rn → Rn dada por T (x) = rx ´
                                                 c˜                                  e
              uma transforma¸ao linear.
                             c˜
              Solu¸ao: Sejam u, v ∈ Rn e c, d escalares. Ent˜o
                  c˜                                        a

               T (cu + dv) = r(cu + dv) = rcu + rdv = c(ru) + d(rv) = cT (u) + dT (v) .

              Portanto T ´ uma transforma¸ao linear.
                         e               c˜
                    Se r = 0 ent˜o temos a transforma¸ao nula. Se r = 1 temos a trans-
                                 a                    c˜
              forma¸ao identidade. Se 0 ≤ r < 1 ent˜o dizemos que T ´ uma contra¸ao.
                    c˜                              a                e            c˜
              Se r > 1 ent˜o dizemos que T ´ uma dilata¸ao. A figura abaixo mostra a
                            a                e           c˜
              dilata¸ao T (x) = 2x.
                    c˜
                                              Tx = 2x




                                    Figura 2: Dilata¸ao T (x) = 2x.
                                                    c˜



              Exemplo 7
              A transforma¸ao T : R2 → R2 dada por T (x) = x + (1, 0) n˜o ´ linear. Para
                            c˜                                             a e
              ver isto, basta notar que ela n˜o leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta ´ uma
                                             a                                        e
              transla¸ao de vetores no R2 .
                      c˜
              Exemplo 8
                                                                          0 −1
              A transforma¸ao linear T : R2 → R2 dada pela matriz
                          c˜                                                     , isto ´
                                                                                        e
                                                                          1 0

                                          0 −1          x1          −x2
                                T (x) =             .         =           .
                                          1 0           x2           x1

              Como esta transforma¸ao ´ matricial, ent˜o ela ´ linear. Determinando a
                                   c˜ e                 a      e
              imagem de alguns vetores e representando em um gr´fico estes vetores e
                                                                   a
              suas imagens, podemos ver que esta transforma¸ao gira os vetores em torno
                                                            c˜
              da origem, no sentido anti-hor´rio, de um angulo de 900 . Isto ´ verdade.
                                            a             ˆ                  e
              Estudaremos com maiores detalhes transforma¸oes lineares especiais, como
                                                            c˜
              a rota¸ao de um angulo θ, nas aulas 25 e 26.
                    c˜        ˆ

CEDERJ   12
Transforma¸oes lineares
                                        c˜
                                                                                      AULA 18



                                                          T(u)
               v
                                                   T(v)
                   u




                   Figura 3: Rota¸ao de um angulo de 900 .
                                 c˜        ˆ



Exemplo 9
Seja Pn o espa¸o dos polinˆmios de grau menor ou igual a n. Definimos o
               c          o
operador deriva¸ao D : P → Pn−1 por
               c˜       n



           D(a0 + a1 t + · · · + an tn ) = a1 + 2a2 t + · · · + nan tn−1 .

Isto ´, D leva cada termo ak tk em kak tk−1 .
     e
       ´ a
       E f´cil ver que este operador ´ uma transforma¸ao linear. Note que ele
                                     e                c˜
´ a deriva¸ao de fun¸oes no sentido usual, restrito ao espe¸o dos polinˆmios.
e          c˜         c˜                                   c           o
Sabemos que para a deriva¸ao vale
                             c˜

                       D(cf1 + df2 ) = cD(f1 ) + dD(f2 ) ,

confirmando que D ´ uma transforma¸ao linear.
                 e               c˜
      Note que esta transforma¸ao ´ linear mas n˜o ´ matricial. N˜o h´
                                 c˜ e              a e               a a
uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda
transforma¸ao linear entre espa¸os de dimens˜o finita tˆm uma representa¸ao
            c˜                 c            a         e                c˜
matricial. H´ uma matriz A tal que se p ´ um polinˆmio e se [p]B ´ a
               a                             e          o              e
representa¸ao deste polinˆmio em uma base B escolhida de Pn , ent˜o A[p]B
           c˜            o                                        a
´ a representa¸ao de Dp nesta base.
e               c˜

Exemplo 10
Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos
de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada
seu dinheiro entre as 4 op¸oes do banco. Representamos a carteira de um
                           c˜
                                                         
                                                      xA
                                                     x 
                                                     B 
cliente por um vetor 4 × 1. Assim uma carteira x =        indica xA reais
                                                     xC 
                                                      xD
investidos na op¸ao A, xB reais investidos na op¸ao B etc.
                c˜                              c˜


                                                                                13   CEDERJ
Transforma¸oes lineares
                                                     c˜


                    Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou
              em yB reais por real aplicado etc, ent˜o o resultado total de cada cliente ser´
                                                    a                                       a
              calculado pela transforma¸ao linear T : R4 → R, dada por
                                         c˜
                                
                            xA
                           xB   
                                
                T (x) =         .   yA yB yC yD         = xA y a + xB y B + xC y C + xD y D .
                           xC   
                            xD



              Resumo
                                                                          ´
                    Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Li-
              near, que ´ o de Transforma¸ao Linear.
                        e                c˜
                   Vimos, inicialmente, as transforma¸oes matriciais. Em seguida, defini-
                                                     c˜
              mos transforma¸oes lineares.
                             c˜
                   Vimos diversos exemplos de transforma¸oes lineares, inclusive uma aplica¸ao
                                                        c˜                                 c˜
              a economia.
              `




CEDERJ   14
Transforma¸oes lineares
                                      c˜
                                                                                       AULA 18


Exerc´
     ıcios
  1. Seja T : R2 → R3 a transforma¸ao definida por T x = Ax, onde A =
                                   c˜
        1 2 2
                  . Encontre a imagem de
       −1 2 1
                                                   
                                 2               −1
                                                 
                          u =  −3        e u= 1 
                                 0                1

  2. Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma
     aplica¸ao de R4 em R6 por T (x) = Ax.
           c˜

  3. Para os valores da matriz A e vetor b nos ´
                                               ıtens abaixo, encontre, se for
     poss´
         ıvel, um vetor x tal que T x = b.

     (a)
                                       1 0 1                  2
                           A=                    ,     b=
                                       2 −1 3                 3

     (b)                                                    
                                 11 −1                       2
                                                            
                           A =  2 5 ,               b =  −3 
                                  1 6                        2

  4. Encontre todos os valores de x ∈ R4    que s˜o levados no vetor nulo pela
                                                 a
     transforma¸ao x → Ax, onde
               c˜
                                                  
                                  1 1         1  1
                                                  
                          A =  1 −1         −1 2  .
                                  1 2         3 −1

  5. Nos ´
         ıtens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar gra-
                                   2            3
     ficamente os vetores u =          , v =         , T u e T v. Fa¸a uma
                                                                   c
                                   1          −1
     descri¸ao geom´trica do efeito da aplica¸ao de T nos vetores de R 2 .
           c˜       e                        c˜

                    3 0                                       −1 0
     (a) T (x) =           .                 (c) T (x) =                .
                    0 3                                        0 −1

                    0, 5 0                                    0 0
     (b) T (x) =                   .         (d) T (x) =            .
                     0 0, 5                                   0 1



                                                                                 15   CEDERJ
Transforma¸oes lineares
                                                           c˜


                6. Seja T : R2 → R2 uma transforma¸ao linear. Se
                                                  c˜

                                          1            2               0        −1
                                 T(            )=            e T(          )=        ,
                                          0            1               1         3

                                      2                x1
                     determine T (            ) e T(        ).
                                      1                x2


              Respostas dos exerc´
                                 ıcios


                       −4        3
                1.           e        .
                       −8        4

                2. A deve ser uma matriz 6 × 4.
                                  
                               2−c
                                  
                3. (a) x =  c + 1 , para todo c ∈ R.
                                c
                     (b) N˜o h´ valor de x tal que T x = b.
                          a a
                                           3       3
                4. O espa¸o gerado por {(− 2 , −1, 2 , 1)} ´ levado no vetor nulo.
                         c                                 e

               5. (a) Dilata¸ao por um fator de 3.
                            c˜
                     (b) Contra¸ao por uma fator de 0, 5.
                               c˜
                      (c) Rota¸ao de 1800 .
                              c˜
                     (d) Proje¸ao sobre o eixo-y.
                              c˜




CEDERJ   16
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                               c˜
                                                                                    AULA 19




  Aula 19 – Propriedades das Transforma¸oes
                                       c˜
                                  Lineares

Objetivos
Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma¸oes lineares.
                                                   c˜
      Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun¸ao - as trans-
                                                              c˜
forma¸oes lineares, que s˜o fun¸oes definidas entre espa¸os vetoriais e com
      c˜                    a    c˜                      c
caracter´ısticas que as tornam muito uteis, em uma gama imensa de problemas
                                      ´
e situa¸oes da Matem´tica, F´
       c˜                a     ısica, Engenharia e Computa¸ao, entre outras
                                                           c˜
areas de estudo e trabalho.
´
     Nesta aula veremos v´rias propriedades das transforma¸oes lineares.
                          a                                 c˜
Em especial, veremos um fato muito importante, que ´ o seguinte: para de-
                                                   e
terminar uma transforma¸ao linear T : V → W , basta conhecer seus valores
                       c˜
em uma base qualquer de V .


Propriedades das transforma¸oes lineares
                           c˜
     Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
                       c                                     c˜
Valem as seguintes propriedades:

  (i) T (0V ) = 0W
      Em palavras: uma transforma¸ao linear leva o vetor nulo do dom´
                                   c˜                                  ınio
      ao vetor nulo do contra-dom´
                                 ınio. Esta propriedade j´ foi demonstrada
                                                         a
      na aula 18.

 (ii) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V
      Em palavras: A imagem do vetor oposto ´ o oposto da imagem do
                                            e
      vetor.
     Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v).

(iii) Se U ´ um subespa¸o de V ent˜o T (U ) ´ um subespa¸o de W .
           e           c          a         e           c
     Devemos mostrar que 0W ∈ T (U ) e que T (U ) ´ fechado para soma de
                                                  e
     vetores e multiplica¸ao por escalar.
                         c˜


                                                                              17   CEDERJ
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                                    c˜


                   Como U um subespa¸o de V , ent˜o 0V ∈ U . Pela propriedade (i),
                                          c      a
                   T (0V ) = 0W ∈ T (U ).
                   Sejam x, y ∈ T (U ). Existem u, v ∈ U tais que T (u) = x e T (v) = y.
                   Como U ´ subespa¸o de V , ent˜o u + v ∈ U . De T (u + v) ∈ T (U )
                             e         c           a
                   resulta que

                                     T (u + v) = T (u) + T (v) = x + y ∈ T (U ) .

                   Finalmente, sejam x ∈ T (U ) e α ∈ R. Existe u ∈ U tal que T (u) = x.
                   Como αu ∈ U , ent˜o T (αu) ∈ T (U ), o que resulta em
                                    a

                                              T (αu) = αT (u) = αx ∈ T (U ) ,

                   e podemos concluir que T (U ) ´ subespa¸o de W .
                                                 e        c

              (iv) Dados v1 , v2 , ..., vn ∈ V ,

                      T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) .

                   Em palavras: A imagem de uma combina¸ao linear de vetores de V
                                                           c˜
                   ´ uma combina¸ao linear das imagens desses vetores, com os mesmos
                   e            c˜
                   coeficientes.
                   Esta propriedade j´ foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma
                                     a
                   demonstra¸ao usando indu¸ao sobre n.
                             c˜               c˜
                   O caso n = 1 segue diretamente da defini¸ao de transforma¸ao linear,
                                                             c˜               c˜
                   pois T (α1 v1 ) = α1 T (v1 ). Vamos supor que a propriedade vale para
                   n = k, isto ´,
                               e

                      T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) .

                   Vamos provar que vale para n = k + 1 :

                             T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk + αk+1 vk+1 )
                             = T [(α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + (αk+1 vk+1 )]
                             T linear
                                =        T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + T (αk+1 vk+1 )
                             hip. ind.
                                =        α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + T (αk+1 vk+1 )
                             T linear
                                =        α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + αk+1 T (vk+1 ) ,

                   isto ´, vale a propriedade para n = k +1, o que conclui a demonstra¸ao.
                        e                                                             c˜


CEDERJ   18
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                  c˜
                                                                                                       AULA 19


 (v) Se {v1 , v2 , ..., vn } ´ um conjunto gerador de V ent˜o {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )}
                             e                             a
     ´ um conjunto gerador da imagem de T .
     e
     Demonstra¸ao. Seja {v1 , v2 , ..., vn } um conjunto gerador de V . Seja w
               c˜
     um vetor na imagem de T , isto ´, existe v em V tal que w = T (v). Ent˜o
                                        e                                      a
     existem escalares α1 , α2 , ..., αn tais que v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn .
     Podemos escrever:
      w = T (v) =
                                               (iv)
         = T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) =
         = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ).
     Logo, os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) geram a imagem de T .

(vi) Se T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) ∈ W s˜o LI ent˜o os vetores v1 , v2 , ..., vn ∈ V
                                            a        a
     s˜o LI.
      a
     Demonstra¸ao. Seja a combina¸ao linear
              c˜                 c˜

                         α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = oV .       (1)

     Vamos aplicar a transforma¸ao T a ambos os lados dessa igualdade:
                               c˜

                       T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = T (0V ) ⇒

                      α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) = 0W .
     Como os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) s˜o LI, conclu´
                                                     a            ımos que α1 =
     α2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combina¸ao linear
                                                                         c˜
     (1) s˜o iguais a zero, o que implica que os vetores v1 , v2 , ..., vn s˜o LI.
          a                                                                 a


Exemplo 11
Sejam V um espa¸o vetorial e u ∈ V . A aplica¸ao
               c                             c˜

                                Tu : V      →  V
                                     v      → v+u

e                 c˜                   ´ a
´ chamada transla¸ao definida por u. E f´cil verificar que, quando u = 0V ,
essa aplica¸ao n˜o ´ linear, pois Tu (0V ) = 0V + u = u = 0V , violando a
           c˜ a e
propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica¸ao ´ o
                                                                   c˜ e
operador identidade de V , que ´ linear.
                               e
Exemplo 12
A rec´
     ıproca da propriedade (vi) n˜o ´ verdadeira, isto ´, ´ poss´ termos um
                                 a e                   e e      ıvel
conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um


                                                                                                 19   CEDERJ
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                                c˜


              conjunto LD em W . Considere, por exemplo, o operador proje¸ao ortogonal
                                                                                c˜
              sobre o eixo x, definido em R , isto ´, a transforma¸ao linear tal que T (x, y) =
                                             2
                                                    e              c˜
              (x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (3, 4) s˜o
                                                                                             a
              LI, mas suas imagens coincidem: T (v1 ) = T (v2 ) = (3, 0). Logo, o conjunto
              {T (v1 ), T (v2 )} ⊂ R2 ´ LD. Essa situa¸ao ´ ilustrada na figura 1.
                                      e               c˜ e



                                     (3,4)         T(x,y)=(x,0)


                                     (3,1)


                                                                                   (3,0)
                                      (3,1)



                             Figura 1: v1 e v2 s˜o LI; T (v1 ) e T (v2 ) s˜o LD.
                                                a                         a



                   Uma caracter´ ıstica importante das transforma¸os lineares ´ que elas
                                                                 c˜           e
              ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma
              base do dom´ ınio. Isto ´, dada uma transforma¸ao linear T : V → W , se
                                      e                      c˜
              conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter
              a express˜o de T (v), para um vetor v gen´rico de V . O exemplo a seguir
                       a                                e
              mostra esse procedimento:
              Exemplo 13
              Seja T : R3 → R3 , linear, tal que
                   T (1, 0, 0) = (1, 1, 1);
                   T (0, 1, 0) = (2, −1, 1);
                  T (0, 0, 1) = (1, 0, 2).
              Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) ´ um vetor gen´rico de R 3 .
                                                           e             e

                     Os vetores v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) formam a base
              canˆnica de R3 . Assim, um vetor v = (x, y, z), gen´rico, de R3 , se escreve
                  o                                                   e
              (x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3 . Aplicando a propriedade (iv), temos:
               T (v) = T (x, y, z) =
                       = T (xv1 + yv2 + zv3 ) =
                       = xT (v1 ) + yT (v2 ) + zT (v3 ) =
                       = x(1, 1, 1) + y(2, −1, 1) + z(1, 0, 2) =
                       = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).
              Logo, T ´ dada por T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).
                        e

CEDERJ   20
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                c˜
                                                                                      AULA 19


      Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transforma¸ao
                                                                     c˜
linear ´ conhecida n˜o seja a canˆnica:
       e            a            o


Exemplo 14
Uma transforma¸ao linear T : R2 → R3 ´ tal que
              c˜                     e
     T (1, −1) = (1, 1, 2);
    T (2, 0) = (2, −1, 1).
Vamos determinar T (x, y), para (x, y) ∈ R2 .

      Primeiramente, verificamos que os vetores v1 = (1, −1) e v2 = (2, 0)
formam uma base de R2 . Neste caso, como s˜o dois vetores num espa¸o
                                              a                          c
bi-dimensional, uma forma r´pida de verificar que s˜o LI ´ calcular o deter-
                            a                     a     e
minante formado pelas suas coordenadas e constatar que ´ diferente de zero.
                                                       e
Deixamos isso com vocˆ, como exerc´ (!).
                      e            ıcio

     A seguir, escrevemos um vetor gen´rico do espa¸o como uma com-
                                       e           c
bina¸ao linear dos vetores dessa base:
    c˜

                                                                 a + 2b = x
       v = (x, y) = av1 + bv2 = a(1, −1) + b(2, 0) ⇒                        .
                                                                 −a = y

                                                         x+y
     Resolvendo o sistema, obtemos a = −y e b =           2
                                                             .   Portanto,

                                               x+y
                       (x, y) = −y(1, −1) +        (2, 0)
                                                2

     Usando a linearidade de T , obtemos

                   T (v) = T (x, y) =
                         = T (−yv1 + x+y v2 ) =
                                        2
                                       x+y
                         = −yT (v1 ) + 2 T (v2 ) =      .
                                          x+y
                         = −y(1, 1, 2) + 2 (2, −1, 1) =
                         = x, −x−3y , x−3y .
                                  2     2


     Logo, T ´ dada por T (x, y) = x, −x−3y , x−3y .
             e                          2      2



Exemplo 15
Em rela¸ao a transforma¸ao linear do exemplo 4, encontre v ∈ R2 tal que
        c˜ `           c˜
T (v) = (3, 1, 4).
     Queremos (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (3, 1, 4).


                                                                                21   CEDERJ
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                                               c˜




                                                                                   
                                                                         x=3
                                                                                    x=3
                                                                                    
                                      −x − 3y x − 3y                     −x−3y
                                 x,          ,           = (3, 1, 4) ⇒         =1 ⇒   −x − 3y = 2 .
                                         2      2                       x−3y
                                                                       
                                                                           2        
                                                                                    
                                                                          2
                                                                              =4      x − 3y = 8

                                                                          x=3
                                      Resolvendo o sistema, obtemos            5
                                                                                 .
                                                                          y = −3
                              Logo, o vetor procurado ´ (3, −5/3).
                                                      e


                              Exemplo 16
                              Dado um espa¸o vetorial V , um funcional linear definido em V ´ uma trans-
                                              c                                                   e
Note que o conjunto dos       forma¸ao linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R 2
                                    c˜
n´meros reais ´, ele mesmo,
 u            e
um espa¸o vetorial real.
       c
                              tal que f (1, 1) = 2 e f (2, 1) = 3. Vamos determinar f (x, y), para (x, y) ∈ R 2 .
                                   Novamente, come¸amos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for-
                                                     c
                              mam uma base de R2 . Escrevemos, ent˜o, um vetor gen´rico (x, y), como
                                                                     a                  e
                              combina¸ao linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo,
                                      c˜
                              obtemos
                                                 a + 2b = x           a = −x + 2y
                                                                ⇒                        ,
                                                  a+b = y              b = x−y
                              isto ´, (x, y) = (−x + 2y)(1, 1) + (x − y)(2, 1).
                                   e
                                      Ent˜o
                                         a

                              T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1)

                                                    = (−x + 2y).2 + (x − y).3 = x + y .

                                      Logo, T ´ dada por T (x, y) = x + y.
                                              e


                              Exemplo 17
                              Em rela¸ao ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar
                                      c˜
                              os vetores v de R2 tais que f (v) = 0. Isto ´, queremos (x, y) tal que f (x, y) =
                                                                          e
                              x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x, −x). Logo, h´        a
                              infinitos vetores de R que s˜o levados ao zero, pelo funcional f - a saber,
                                                     2
                                                             a
                              todo vetor do conjunto {(x, −x)|x ∈ R}.




  CEDERJ       22
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                    c˜
                                                                                         AULA 19


     Para finalizar, um exemplo no espa¸o dos polinˆmios:
                                      c           o
Exemplo 18
Seja T a transforma¸ao linear em P3 (R) dada por
                   c˜
     T (1) = 1 − t;
     T (1 + t) = t3 ;
     T (t + t2 ) = 3 − t2 ;
     T (t2 + t3 ) = 1 + t2 .
     Vamos determinar T (x + yt + zt2 + wt3 ), onde x + yt + zt2 + wt3 ´ um
                                                                       e
                                                                 3
polinˆmio qualquer de P3 (R) e, a seguir, calcular T (2 − 3t + 4t ).
     o
     Como nos exemplos anteriores, constatamos que {1, 1 + t, t + t2 , t2 + t3 }
´ uma base de P3 (R).
e
     A seguir, escrevemos o vetor gen´rico de P3 (R) nessa base:
                                     e
 x + yt + zt2 + wt3 = a.1 + b(1 + t) + c(t + t2 ) + d(t2 + t3 ) =
                    = (a + b) + (b + c)t + (c + d)t2 + dt3 .
     Obtemos, assim, o seguinte sistema:
                             
                              a+b=x
                             
                             
                              b+c=y
                                             ,
                              c+d=z
                             
                             
                             
                                d=w
que, resolvido, fornece a solu¸ao:
                              c˜
                           
                            a=x−y+z−w
                           
                           
                            b=y−z+w
                                       .
                            c=z−w
                           
                           
                           
                              d=w
     Escrevemos ent˜o:
                   a
x+yt+zt2 +wt3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t2 )+w(t2 +t3 ) .
Aplicamos a transforma¸ao T em ambos os lados dessa igualdade:
                      c˜
      T (x + yt + zt2 + wt3 )
  = T ((x − y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t + t2 )
      + w(t2 + t3 ))
  = (x − y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t + t2 )
      + w.T (t2 + t3 )
  = (x − y + z − w).(1 − t) + (y − z + w).t3 + (z − w).(3 − t2 ) + w.(1 + t2 )
  = (x − y + 4z − 3w) + (−x + y − z + w)t + (−z + 2w)t2 + (y − z + w)t3 .


                                                                                   23   CEDERJ
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                                             c˜


                   Logo, a transforma¸ao procurada ´ dada por:
                                     c˜            e

              T (x+yt+zt2 +wt3 ) = (x−y+4z−3w)+(−x+y−z+w)t+(−z+2w)t2 +(y−z+w)t3 .

                   Vamos, agora, calcular T (2 − 3t + 4t3 ). Temos x = 2; y = −3; z = 0 e
              w = 4. Ent˜o
                        a
                                T (2 − 3t + 4t3 ) = −7 − t + 8t2 + t3 .



              Resumo
                    Nesta aula estudamos as propriedades das transforma¸oes lineares. O
                                                                          c˜
              fato mais relevante ´ que podemos determinar uma transforma¸ao linear a
                                    e                                          c˜
              partir da sua aplica¸ao nos vetores de uma base, apenas. Assim, o n´mero de
                                  c˜                                              u
              informa¸oes necess´rias a respeito de uma transforma¸ao linear, para que a
                      c˜          a                                 c˜
              conhe¸amos completamente, ´ igual a dimens˜o do espa¸o vetorial no qual ela
                    c                       e      `       a         c
              ´ definida. Isso ´ uma especificidade das transforma¸oes lineares: nenhuma
              e                e                                   c˜
                        c˜                          c˜ a             ´
              outra fun¸ao permite uma manipula¸ao t˜o simples. E por essa qualidade,
              em particular, que as transforma¸oes lineares s˜o, por excelˆncia, as fun¸oes
                                                c˜           a            e            c˜
              usadas na Computa¸ao em geral.
                                   c˜




CEDERJ   24
Propriedades das Transforma¸oes Lineares
                                               c˜
                                                                                              AULA 19


Exerc´
     ıcios
  1. Seja T : R2 → R a transforma¸ao linear para a qual T (1, 1) = 3 e
                                       c˜
     T (0, 1) = −2. Encontre T (x, y), para (x, y) ∈ R2 .

  2. Um operador linear T , definido em P2 (R), ´ tal que T (1) = t2 , T (x) =
                                               e
                 2             2
     1 − t e T (t ) = 1 + t + t .

      (a) Determine T (a + bt + ct2 ), onde a + bt + ct2 ´ um vetor gen´rico
                                                         e             e
          de P2 (R).
      (b) Determine p ∈ P2 (R) tal que T (p) = 3 − t + t2 .

  3. Encontre T (x, y) onde T : R2 → R3 ´ definida por T (1, 2) = (3, −1, 5)
                                        e
     e T (0, 1) = (2, 1, −1).

  4. Determine T (x, y, z) onde T : R3 → R ´ dada por T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1, −2) =
                                           e
     1 e T (0, 0, 1) = −2.


Auto-avalia¸˜o
           ca
      Vocˆ dever´ assimilar o significado de cada propriedade vista. A pri-
          e      a
meira delas ´ extremamente util para rapidamente identificar algumas trans-
             e               ´
forma¸oes que n˜o s˜o lineares, por n˜o levarem o vetor nulo do dom´
       c˜        a a                  a                              ınio ao
vetor nulo do contra-dom´ ınio. A transla¸ao ´ o exemplo mais importante
                                          c˜ e
disso. Al´m disso, vocˆ deve se familiarizar com a t´cnica de encontrar uma
          e           e                             e
transforma¸ao linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do
            c˜
dom´ ınio. Veja que os exerc´
                            ıcios s˜o repetitivos: mudam o espa¸o e a base
                                   a                             c
considerada, mas a estrutura se repete. Caso vocˆ tenha alguma d´vida,
                                                    e                 u
entre em contato com o tutor da disciplina. E... vamos em frente!!


Respostas dos exerc´
                   ıcios
  1. T (x, y) = 5x − 2y

  2. (a) T (a + bt + ct2 ) = (b + c) + (−b + c)t + (a + c)t2
      (b) p = 2t + t2

  3. T (x, y) = (−x + 2y, −3x + y, 7x − y)

  4. T (x, y, z) = 8x − 3y − 2z



                                                                                        25   CEDERJ
Alg lin2
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                   u                               ca
                                                                                                AULA 20


        Aula 20 – N´ cleo e Imagem de uma
                   u
                       Transforma¸˜o Linear
                                 ca

Objetivos
Determinar o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear.
               u                                 c˜
Identificar o n´cleo de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do
               u                     c˜                        c
dom´ınio.
Identificar a imagem de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do
                                      c˜                       c
contra-dom´ınio.


     Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transforma¸ao linear. Nesta
                                                        c˜
aula definiremos o n´cleo de uma transforma¸ao linear e mostraremos que,
                    u                      c˜
tanto o n´cleo, como a imagem, possuem estrutura de espa¸o vetorial.
         u                                              c


N´ cleo de uma transforma¸˜o linear
 u                       ca
    Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
                    c                                           c˜
Chamamos de n´cleo de T , representado por N (T ), o seguinte conjunto:
              u

                        N (T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W } .
                                                                                Alguns textos usam a
                                                                                nota¸ao ker(T ), pois n´cleo,
                                                                                    c˜                 u
 Em palavras: o n´cleo de uma transforma¸ao linear ´ o subconjunto do
                 u                       c˜        e                            em inglˆs, ´ kernel.
                                                                                       e e

dom´
   ınio formado pelos vetores que s˜o levados ao vetor nulo do contra-
                                   a
dom´
   ınio.

                                                      Im
                       io                               ag
                   min                                     em
                 Do                                   0

                      cleo
                  Nu




                                  Figura 1:


Exemplo 19
   • Seja T : V → W a transforma¸ao linear nula, isto ´, a transforma¸ao tal
                                   c˜                   e             c˜
                               ´ f´cil ver que seu n´cleo ´ todo o espa¸o V .
     que T (v) = 0W , ∀v ∈ V . E a                  u     e            c


                                                                                      27      CEDERJ
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                                  u                               ca


                 • O n´cleo da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V ,
                       u                  c˜                            c
                   ´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V .
                   e

                 • A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 , ´ uma transforma¸ao
                           c˜                                       e               c˜
                   linear cujo n´cleo ´ o eixo dos y.
                                u     e


              Exemplo 20
              O n´cleo da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
                 u                  c˜

                                      T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y)

              ´ o conjunto {(x, y) ∈ R2 | T (x, y) = (0, 0, 0)}, isto ´
              e                                                       e
                                                                  
                                                                   x+y =0
                                                                  
                          (x + y, x − y, x − 2y) = (0, 0, 0) ⇒       x−y =0 .
                                                                  
                                                                  
                                                                     x − 2y = 0

              Esse sistema tem solu¸ao x = 0 e y = 0. Logo, N (T ) = {(0, 0)}.
                                   c˜


              Exemplo 21
              Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por
                                           c˜

                              T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) .

                    Ent˜o, N (T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)}. Isto ´, um
                        a                                                                  e
              vetor (x, y, z, t) de R pertence ao n´cleo de T se, e somente se,
                                     4
                                                    u
                                                                   
                                                                    2x = 0
                                                                   
                  (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (0, 0, 0) ⇒        x + 2y − z = 0       .
                                                                   
                                                                   
                                                                       x−y+z+t=0

              Esse sistema tem conjunto-solu¸ao {(0, k, 2k, −k); k ∈ R}, que ´ o n´cleo de T .
                                            c˜                               e u




CEDERJ   28
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                   u                               ca
                                                                                           AULA 20


Imagem de uma transforma¸˜o linear
                        ca
    Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
                      c                                        c˜
A imagem de T , representado por Im(T ), ´ o conjunto de todos os vetores
                                          e
de W da forma T (v), para algum v ∈ V , isto ´
                                             e

             Im(T ) = {w ∈ W | w = T (v), para algum v ∈ V }.
Exemplo 22
   • Se T : V → W ´ a transforma¸ao linear nula, isto ´, tal que T (v) =
                       e            c˜                 e
     0W , ∀v ∈ V , sua imagem ´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo
                              e
     de W .

   • A imagem da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V ,
                           c˜                             c
     ´ o espa¸o V .
     e       c

   • A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 ´ uma transforma¸ao
             c˜                                     e               c˜
     linear cuja imagem ´ o eixo dos x.
                        e
Exemplo 23
Vamos determinar a imagem da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
                                       c˜

                      T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) .

Queremos encontrar os vetores w = (a, b, c) ∈ R3 para os quais existe v =
(x, y) ∈ R2 tal que T (v) = w, isto ´, queremos que a equa¸ao
                                    e                     c˜

                 T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c)

tenha solu¸ao. Isso equivale a analisar as condi¸oes para que o sistema
          c˜                                    c˜
                               
                                x+y =a
                               
                                  x−y =b
                               
                               
                                  x − 2y = c

admita solu¸ao. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente:
           c˜
                        
                         x+y =a
                        
                                                                            Note que a representa¸ao
                                                                                                  c˜
                          y = (a − b)/2         ,
                        
                                                                           geom´trica de Im(T ) ´ um
                                                                                   e              e
                          0 = (a − 3b + 2c)/2                               plano passando pela origem.
                                                                            Vocˆ se lembra? Os
                                                                                 e
que admite solu¸ao se, e somente se, a − 3b + 2c = 0.
               c˜                                                           subespa¸os de R3 s˜o as
                                                                                     c         a
                                                                            retas e os planos passando
     Logo,                                                                  pela origem, al´m do
                                                                                           e
                                                                            subespa¸o nulo e do pr´prio
                                                                                     c             o
                 Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3 |a − 3b + 2c = 0} .               R3 .




                                                                                 29      CEDERJ
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                                  u                               ca


              Exemplo 24
              Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por
                                           c˜

                              T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) .

              Queremos determinar as condi¸oes para que um vetor (a, b, c), de R 3 seja a
                                            c˜
              imagem, por T , de algum vetor de R4 . Como no exemplo anterior, queremos
              que o sistema             
                                         2x = a
                                        
                                           x + 2y − z = b
                                        
                                        
                                           x−y+z+t=c
              admita solu¸ao. Escalonando, chegamos ao sistema equivalente
                         c˜
                                  
                                   x−y+z+t=c
                                  
                                     y+t=b+c−a                   ,
                                  
                                  
                                     −z − 2t = (3a − 2b − 4c)/2

              que ´ compat´ para quaisquer valores de a, b e c. Logo, todo vetor (a, b, c) ∈
                  e       ıvel
              R pertence a imagem de T , ou seja, Im(T ) = R3 .
               3
                          `

                    Vocˆ j´ deve ter se dado conta de que as transforma¸oes lineares pos-
                       e a                                             c˜
              suem propriedades realmente especiais, que n˜o encontramos nas demais
                                                             a
              fun¸oes. O n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear n˜o s˜o apenas
                 c˜        u                                    c˜        a a
              conjuntos: ambos apresentam estrutura de espa¸o vetorial, como mostrare-
                                                              c
              mos nos resultados a seguir.


              Teorema 1
              Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. O
                                c                                     c˜
              n´cleo de T ´ subespa¸o vetorial de V .
               u          e        c

              Demonstra¸ao.
                       c˜
                   Primeiramente, vemos que 0V ∈ N (T ), uma vez que T (0V ) = 0W .
              Portanto N (T ) = ∅.
                    Sejam v1 , v2 vetores no n´cleo de T . Isto ´, T (v1 ) = T (v2 ) = 0W , ent˜o
                                               u                e                              a
              T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0W + 0W = 0W . Logo, (v1 + v2 ) ∈ N (T ).
              Portanto, o n´cleo ´ fechado para a soma.
                            u      e
                   Sejam α ∈ R e v ∈ N (T ). Isto ´, T (v) = 0W , ent˜o T (αv) = αT (v) =
                                                  e                  a
              α0W = 0W . Logo, (αv) ∈ N (T ), o que mostra que o n´cleo ´ fechado para o
                                                                    u     e
              produto por escalar.



CEDERJ   30
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                    u                               ca
                                                                                          AULA 20


Teorema 2
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. A
                 c                                      c˜
imagem de T ´ subespa¸o vetorial de W .
            e        c

Demonstra¸ao.
         c˜
     A imagem de T n˜o ´ vazia, pois 0W ´ a imagem de 0V .
                    a e                 e
      Sejam w1 , w2 vetores na imagem de T . Isso significa que existem vetores
v1 e v2 em V , tais que T (v1 ) = w1 e T (v2 ) = w2 . Ent˜o o vetor (w1 + w2 )
                                                         a
pertence a imagem de T , pois ´ a imagem do vetor (v1 + v2 ). De fato, temos:
          `                       e
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + t(v2 ) = w1 + w2 .
      Finalmente, sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ). Isto ´, existe v ∈ V tal que
                                                 e
T (v) = w. Ent˜o, como T (αv) = αT (v) = αw, temos que (αw) ∈ Im(T ).
              a


     Uma vez provado que o n´cleo e a imagem s˜o subespa¸os vetoriais, o
                              u                a         c
pr´ximo passo ´ determinar a dimens˜o e obter uma base para cada um. E
  o           e                     a                                  ´
o que faremos nos exemplos seguintes.
Exemplo 25
Dada a transforma¸ao linear T : R3 → R3 dada por
                 c˜

                      T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) ,

determine uma base e a dimens˜o de seu n´cleo e de sua imagem.
                             a          u
       Vamos determinar o n´cleo de T .
                           u                   Queremos encontrar os vetores
(x, y, z) de R3 tais que
                                                         
                                                          x+y =0
                                                         
       T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (0, 0, 0) ⇒   x−z =0 ,
                                                         
                                                         
                                                           y+z =0

cujo conjunto-solu¸ao ´ {(k, −k, k); k ∈ R} = {k(1, −1, 1); k ∈ R}.
                  c˜ e
     Logo, o n´cleo de T ´ gerado pelo vetor (1, −1, 1). Ent˜o temos que
                u         e                                 a
dim N (T ) = 1 e uma base de N (T ) ´ {(1, −1, 1)}.
                                    e
     Vamos, agora, determinar a imagem de T . Queremos estabelecer as
condi¸oes que um vetor (a, b, c) de R3 deve satisfazer para que exista um
     c˜
vetor (x, y, z), em R3 , tal que T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (a, b, c).
Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece
                              
                               x+y =a
                              
                                 y+z =a−b .
                              
                              
                                 0=a−b−c


                                                                                    31   CEDERJ
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                                                       u                               ca


                                 Para que existam solu¸oes, devemos ter a − b − c = 0, que ´ a equa¸ao que
                                                        c˜                                        e      c˜
                                 caracteriza os vetores da imagem de T . Como a = b + c, um vetor da imagem
                                 pode ser escrito (b + c, b, c) = b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Logo, a imagem possui
                                 dimens˜o 2 e uma base para ela ´ {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
                                        a                           e

                                      Os dois pr´ximos exemplos “invertem”o processo: vamos determinar
                                                o
                                 uma transforma¸ao linear (ela n˜o ser´ unica) a partir do seu n´cleo ou de
                                                c˜              a     a´                        u
                                 sua imagem.

                                 Exemplo 26
                                 Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cuja imagem ´ gerada
                                                                c˜                            e
                                 pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).
                                      Vimos, na aula passada, que uma transforma¸ao linear fica completa-
                                                                                  c˜
                                 mente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu dom´
                                                                                                     ınio.
                                 Consideremos, por simplicidade, a base canˆnica de R3 e vamos determinar
                                                                            o
                                 as imagens dos vetores dessa base, por T :
                                       T (1, 0, 0) = (1, 2, 3)
 Note que a escolha de T               T (0, 1, 0) = (1, 1, 1)
  neste exemplo n˜o ´ de
                     a e
     forma alguma unica.
                      ´                T (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Poder´ıamos, por exemplo,
               ter escolhido            Note que o terceiro vetor deve ser levado a um que forme, com os dois
      T (1, 0, 0) = (1, 1, 1),   vetores dados no enunciado, um conjunto LD, uma vez que a dimens˜o da         a
    T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) e
      T (0, 0, 1) = (1, 2, 3).   imagem ´ 2. Ent˜o, como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), temos
                                           e       a
                                 T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) +
                                 z(0, 0, 0) = (x + y, 2x + y, 3x + y), que ´ a lei que define a transforma¸ao T .
                                                                             e                                c˜

                                 Exemplo 27
                                 Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cujo n´cleo ´ gerado pelos
                                                                c˜                      u     e
                                 vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).
                                        Aqui, tamb´m, vamos definir uma transforma¸ao linear numa base de
                                                   e                                    c˜
                                 R3 , mas esta base deve conter os vetores dados. Isto ´, vamos completar o
                                                                                           e
                                 conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} para que se torne uma base de R3 . Para isso, de-
                                 vemos escolher um vetor (x, y, z) tal que o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (x, y, z)}
                                 seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante
                                 formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero.
                                 Isto ´:
                                      e
                                                            1 2 3
                                                            1 1 1 = 0 ⇒ z = −x + 2y .
                                                            x y z

CEDERJ          32
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                        u                               ca
                                                                                        AULA 20


     Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1, 0, 0). Temos, ent˜o, uma
                                                                   a
base de R em cujos vetores iremos definir a transforma¸ao:
         3
                                                        c˜
        T (1, 2, 3) = (0, 0, 0)
        T (1, 1, 1) = (0, 0, 0)
        T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (por exemplo)
     Observe que a dimens˜o do n´cleo ´ 2; logo, o terceiro vetor da base
                            a        u     e
deve estar fora do n´cleo, ou seja, ter imagem n˜o nula.
                    u                           a
      Para finalizar, temos que escrever um vetor gen´rico do R3 como com-
                                                        e
bina¸ao linear dos vetores da base considerada e, enfim, determinar a ex-
    c˜
press˜o de T :
     a
                                                        
                                                         a+b+c=x
                                                        
     (x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0) ⇒   2a + b = y
                                                        
                                                        
                                                          3a + b = z
               ⇒ a = −y + z; b = 3y − 2z; c = x − 2y + z

Logo,

 T (x, y, z) = aT (1, 2, 3) + bT (1, 1, 1) + cT (1, 0, 0) =
                                                                              .
             = (−y + z)(0, 0, 0) + (3y − 2z)(0, 0, 0) + (x − 2y + z)(1, 0, 0)

        Assim, uma poss´ resposta ´ T (x, y, z) = (x − 2y + z, 0, 0).
                       ıvel       e


Resumo
      Nesta aula definimos o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear
                               u                                  c˜
T . Vimos que ambos s˜o subespa¸os vetoriais: o n´cleo, do dom´ de T e a
                      a            c              u            ınio
imagem, do contradom´ de T . Os exemplos visaram ajudar na assimila¸ao
                       ınio                                             c˜
da t´cnica para caracterizar o n´cleo e a imagem, determinar suas dimens˜es
    e                            u                                      o
e encontrar uma base para cada. Na pr´xima aula veremos um resultado
                                           o
importante que relaciona as dimens˜es do n´cleo, da imagem, e do dom´
                                     o       u                         ınio
de uma transforma¸ao linear.
                   c˜




                                                                                  33   CEDERJ
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                                   u                               ca


              Exerc´
                   ıcios
                1. Verifique se o vetor v ∈ V pertence ao n´cleo da transforma¸ao linear
                                                          u                  c˜
                   T : V → W , em cada caso:

                    (a) V =R3 ;     W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (4, −1, 3)
                    (b) V =R3 ;     W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (1, −1, 2)
                                                          a11 a12
                    (c) V = M2 (R); W = R; T                           = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ;
                                                          a21 a22
                                  1 −3
                        v=
                                  5  2

                                                          a11 a12
                    (d) V = M2 (R); W = R; T                           = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ;
                                                          a21 a22
                                  1  3
                        v=
                                  3 −5

                2. Seja T : P2 → P3 a transforma¸ao linear definida por T (p(t)) = tp(t).
                                                  c˜
                   Quais dos seguintes vetores est˜o na imagem de T ?
                                                  a

                    (a) t2
                    (b) 0
                    (c) t + 1
                    (d) t2 − 2t

                3. Determine a dimens˜o e uma base do n´cleo, a dimens˜o e uma base
                                     a                   u             a
                   da imagem da transforma¸ao linear T : R3 → R2 dada por
                                          c˜

                                         T (x, y, z) = (y − 2z, x − y − z).


                4. Seja T a transforma¸ao linear definida em M2 tal que T (v) = Av, para
                                      c˜
                                         2 3
                   v ∈ M2 , onde A =             . Determine a dimens˜o e encontre uma
                                                                     a
                                        −1 2
                   base da imagem, determine a dimens˜o e encontre uma base do n´cleo
                                                       a                          u
                   de T .

                5. A transforma¸ao T : P3 → P2 que associa cada polinˆmio p(t) ao po-
                                c˜                                           o
                   linˆmio obtido pela deriva¸ao, isto ´: T (p(t)) = p (t), ´ linear. Descreva
                      o                      c˜        e                    e
                   o n´cleo de T .
                       u

CEDERJ   34
N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
                   u                               ca
                                                                                    AULA 20


  6. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R4 cuja imagem seja
                                 c˜
     gerada pelos vetores (1, 0, 2, 3) e (1, 0, −1, 5).

  7. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R2 cujo n´cleo seja
                                  c˜                     u
     gerado pelo vetor (1, 0, 3).


Respostas dos exerc´
                   ıcios
  1. (a) pertence
      (b) n˜o pertence
           a
      (c) n˜o pertence
           a
      (d) pertence

  2. a); b); d)

  3. dim N (T ) = 1; uma base de N (T ) : {(3, 2, 1)} (H´ infinitas bases.)
                                                        a
     dim Im(T ) = 2 (Im(T ) = R ); uma base de Im(T ) : {(1, 0), (0, 1)}
                                  2

     (H´ infinitas bases.)
       a

                   0 0
  4. N (T ) =                ; dim N (T ) = 0; Im (T ) = M2 ; uma base para
                   0 0
                             1 0        0 1          0 0            0 0
     a imagem de T :                ,            ,              ,         .
                             0 0        0 0          1 0            0 1

  5. O n´cleo de T ´ formado pelos polinˆmios constantes de P3 .
        u          e                    o

  6. H´ infinitas solu¸oes.
      a              c˜

  7. H´ infinitas solu¸oes.
      a              c˜




                                                                              35   CEDERJ
Alg lin2
Teorema do N´cleo e da Imagem
                                         u
                                                                                                AULA 21


  Aula 21 – Teorema do N´ cleo e da Imagem
                        u

Objetivo
Apresentar o teorema do n´cleo e da imagem, algumas conseq¨ˆncias e exem-
                         u                                ue
plos.


      Na aula passada vimos que, se T : V → W ´ uma transforma¸ao li-
                                                   e               c˜
near, o n´cleo N (T ) ´ um subespa¸o vetorial de V e a imagem Im(T ) ´ um
          u           e           c                                  e
subespa¸o vetorial de W .
        c
      Nesta aula apresentaremos o teorema do n´cleo e da imagem, que re-
                                              u
laciona as dimens˜o de V , N (T ) e Im(T ).
                 a
Teorema 1
Sejam V e W espa¸os vetoriais de dimewns˜o finita. Seja T : V → W uma
                  c                     a
transforma¸ao linear, ent˜o
          c˜             a

                          dim V = dim N (T ) + dim Im(T ) .

Demonstra¸ao.
         c˜
      Seja p = dim Im(T ) e q = dim N (T ). Sejam {v1 , . . . , vq } uma base de
N (T ) e {w1 , w2 , . . . , wp } uma base de Im(T ).
       Existem {u1 , . . . , up } ⊂ V tais que w1 = T (u1 ), w2 = T (u2 ), . . . , wp =
T (up ). Vamos mostrar que o conjunto

                                {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up }

´ uma base de V , o que demonstra o teorema, pois ent˜o temos
e                                                    a

                     dim V = q + p = dim N (T ) + dim Im(T ) .

    Vamos iniciar provando que o conjunto {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI.
                                                                               e
Suponha que

                 α1 u1 + · · · + αp up + β1 v1 + · · · + βq vq = 0 (1) ,

onde os α´s e β´s s˜o escalares. Aplicando o operator T , temos
                   a

       α1 T (u1 ) + · · · + αp T (up ) + β1 T (v1 ) + · · · + βq T (vq ) = T (0) = 0 .

Como T (ui ) = wi , i = 1, . . . , p e T (vi ) = 0, i = 1, . . . , q, resulta que

                               α1 w1 + · · · + α p wp = 0 .


                                                                                          37   CEDERJ
Teorema do N´cleo e da Imagem
                                                       u


                   Mas {w1 , . . . , wp } ´ um conjunto L.I. (sendo base de Im(T )), portanto
                                          e
              α1 = · · · = αp = 0. Substituindo na equa¸ao (1), resulta
                                                          c˜

                                               β 1 v1 + · · · + β q vq = 0 .

              Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), ent˜o ´ um conjunto LI, o que implica
                                      e                        a e
              em β1 = · · · = βq = 0.
                          ımos que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI.
                    Conclu´                                             e
                   Vamos agora mostrar que esse conjunto gera V . Seja v ∈ V um vetor
              qualquer. Como T (v) ∈ Im(T ), ent˜o existem escalares α1 , . . . , αp tais que
                                                a

                            T (v) = α1 w1 + . . . + αp wp = α1 T (u1 ) + . . . + αp up .

              Podemos escrever esta equa¸ao como
                                        c˜

                    T (v − α1 u1 − . . . − αp up ) = 0 ⇒ v − α1 u1 − . . . − αp up ∈ N (T ) .

                    Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), existem β1 , . . . , βq tais que
                                            e

                                  v − α 1 u1 − . . . − α p up = β 1 v1 + . . . + β q vq ,

              ou seja
                                   v = α 1 u1 + . . . + α p up + β 1 v1 + . . . + β q vq

                    Isto mostra que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } gera o espa¸o V .
                                                                                    c                .

              Exemplo 28
              A proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x ´ a transforma¸ao T : R2 → R2 dada por
                       c˜                         e             c˜
              T (x, y) = (x, 0).
                                                                 (x,y)




                                                             (x,0)




                                 Figura 1: Proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x
                                                c˜

                    Temos que o n´cleo de T ´ formado pelos (x, y) tais que
                                 u          e

                                       T (x, y) = (x, 0) = (0, 0) ⇒ x = 0 .

CEDERJ   38
Teorema do N´cleo e da Imagem
                                    u
                                                                                       AULA 21


Ou seja, N (T ) = {(0, y)} que ´ gerado por {(0, 1)}. Portanto dim N (T ) = 1.
                               e
     A imagem de T ´
                   e

                          ImT = T (x, y) = (x, 0) ,

que ´ um espa¸o gerado por {(0, 1)}. Portanto, dim Im(T ) = 1.
    e        c
     Os valores de dim(T ) e Im(T ) confirmam o teorema do n´cleo e da
                                                           u
imagem, pois

            2 = dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) = 1 + 1 = 2 .


Exemplo 29
A transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
            c˜

                      T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) .

     Vimos no exemplo 20 da aula 20 que N (T ) = {(0, 0)}. Portanto,

dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ 2 = 0 + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 2 .

     Para confirmar isto, vamos calcular Im(T ). Seja (a, b, c) ∈ Im(T ).
Ent˜o
   a
                                                       
                                                        x+y =a
                                                       
       T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c) ⇒   x−y =b
                                                       
                                                       
                                                         x − 2y = c

Reduzindo este sistema, obtemos

                               x = a+b
                                    2
                               y = a−b
                                    2
                                         3b       a
                               0=c−      2
                                              −   2

Exemplo 30
No exemplo 21 da aula 20, vimos que a transforma¸ao linear T : R 4 → R3
                                                      c˜
dada por
              T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t)

tem n´cleo N (T ) = {0, k, 2k, −k)} que ´ gerado por {(0, 1, 2, −10}. Portanto
     u                                  e
dim N (t) = 1. Aplicando o teorema do n´cleo e da imagem, obtemos
                                          u

       dim R4 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 4 − 1 = 3 .


                                                                                 39   CEDERJ
Teorema do N´cleo e da Imagem
                                                  u


                   De fato, se (a, b, c) ∈ Im(T ) ent˜o
                                                     a
                                                                
                                                                 2x = a
                                                                
                  (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (a, b, c) ⇒   x + 2y − z = b     .
                                                                
                                                                
                                                                  x − y + z + t = cc

              N˜o ´ dif´ verificar que este sistema tem solu¸ao para qualquer valor de
                a e       ıcil                               c˜
              (a, b, c), o que demonstra que dim Im(T ) = 3.
                   Na pr´xima se¸ao veremos algumas aplica¸oes do teorema que acaba-
                        o        c˜                          c˜
              mos de provar para transforma¸oes injetoras e sobrejetoras.
                                           c˜


              Transforma¸oes injetoras e sobrejetoras
                        c˜

                   Vamos recordar algumas defini¸oes. Uma transforma¸ao T : V → W ´
                                                 c˜                    c˜               e
              sobrejetora quando Im(T ) = W . Como Im(T ) ´ subespa¸o de W , ent˜o, se W
                                                          e        c            a
              tem dimens˜o finita, temos que T ´ sobrejetora quando dim Im(T ) = dim W .
                          a                    e
                   Uma transforma¸ao ´ injetora quando
                                 c˜ e

                               T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ v1 = v2 ⇒ v1 − v2 = 0 .


                   No caso de transforma¸oes lineares, podemos dar outra caracteriza¸ao.
                                        c˜                                          c˜

              Proposi¸˜o 1
                     ca
              Uma transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, vale o seguinte
                            c˜           e

                                           T (v) = 0 ⇒ v = 0 .


              Demonstra¸ao.
                       c˜
                    Se T ´ injetora ent˜o claramente vale a propriedade acima, pois T (v) =
                         e             a
              0 e T (0) = 0 implica em v = 0 pela propriedade injetiva.
                   Se vale a propriedade acima, temos que

                      T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ T (v1 − v2 ) = 0 ⇒ v1 − v2 = 0 ⇒ v1 = v2 .



                    Assim, entre as tranforma¸oes lineares, as injetoras s˜o aquelas em
                                             c˜                           a
              que apenas o vetor nulo ´ levado no vetor nulo, isto ´ T ´ injetora quando
                                       e                           e e
              N (T ) = 0.

CEDERJ   40
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  • 1. Álgebra II Luiz Manoel Figueiredo Volume 2 Marisa Ortegoza da Cunha Hernando Bedoya Ricardo Camelier Material gratuitamente cedido pela Consórcio cederj Fundação CECIERJ
  • 3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ UN UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE MATEMÁTICA REITOR Prof. Dr. Alex Bolonha Fiúza de Mello VICE-REITORA Profa. Dra. Regina Fátima Feio Barroso PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Prof. Dr. Licurgo Peixoto de Brito SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Profa. MSc. Selma Dias Leite DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Prof. Dr. Geraldo Narciso DIRETOR DAFACULDADE DE MATEMÁTICA Prof. Dr. Geraldo Mendes de Araújo Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ, para o uso restrito da Licenciatura em Matemática na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
  • 5. Álgebra II Volume 2 SUMÁRIO Aula 18 Transformações lineares ___________________________________________ 7 Aula 19 Propriedades das transformações lineares _________________________ 17 Aula 20 Núcleo e imagem de uma transformação linear ___________________ 27 Aula 21 Teorema de núcleo e imagem_____________________________________ 37 Aula 22 Representação matricial e uma transformação linear ______________ 45 Aula 23 A álgebra das transformações lineares _____________________________ 55 Aula 24 Transformações especiais de R 2 ___________________________________ 65 Aula 25 Transformações especiais de R 3 ___________________________________ 75 Aula 26 Operações lineares invesíveis ______________________________________ 83 Aula 27 Mudança de base ________________________________________________ 91 Aula 28 Exercícios de revisão ______________________________________________ 99 Aula 29 Autovetores e autovalores de matrizes _____________________________ 109 Aula 30 Autovetores e autovalores de matrizes – Casos especiais __________ 117 Aula 31 Polonômios característicos ________________________________________ 125 Aula 32 Cálculo de Autovalores e autovetores _____________________________ 133 Aula 33 Diagonalização de matrizes ______________________________________ 143 Aula 34 Cálculo de matrizes diagonalizáveis ______________________________ 153 Matrizes ortogonais ______________________________________________ Aula 35 161 Aula 36 Propriedades das matrizes ortogonais ______________________________ 171
  • 7. Transforma¸oes lineares c˜ AULA 18 Aula 18 – Transforma¸oes lineares c˜ Objetivos Definir os conceitos de transforma¸ao matricial e linear; c˜ Apresentar v´rios exemplos de transforma¸oes lineares. a c˜ Introdu¸˜o ca Um dos conceitos centrais na Matem´tica ´ o de fun¸ao. De modo geral a e c˜ usa-se os termos fun¸ao, aplica¸ao e transforma¸ao como sinˆnimos. c˜ c˜ c˜ o Uma fun¸ao ´ uma associa¸ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo c˜ e c˜ todos os elementos de A, mas n˜o necessariamente todos os elementos de B, a e que associa cada elemento de A a somente um elemento de B. Esta maneira ` de ver uma fun¸ao somente como uma associa¸ao ´ uma vis˜o essencialmente c˜ c˜ e a est´tica. a Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinˆmica, a ´ que uma fun¸ao ´ uma transforma¸ao, que ¨leva¨ elementos do conjunto e c˜ e c˜ A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em elementos de B. ´ Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma¸ao do que fun¸ao, c˜ c˜ especialmente no caso das transforma¸oes lineares, que definiremos nesta c˜ aula. Em resumo, uma transforma¸ao de um espa¸o vetorial V em um espa¸o c˜ c c vetorial W ´ simplesmente uma fun¸ao de V em W . e c˜ Como observamos, s˜o de interesse especial as transforma¸oes linea- a c˜ res. Comecaremos definindo transforma¸oes matriciais e depois as lineares. c˜ Veremos que para transforma¸oes de Rn em Rm , os dois conceitos s˜o equi- c˜ a valentes. 7 CEDERJ
  • 8. Transforma¸oes lineares c˜ Transforma¸oes matriciais c˜ Uma transforma¸ao matricial ´ uma fun¸ao dada por T (x) = Ax, onde c˜ e c˜ A ´ uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent˜o a e a aplica¸ao T : Rn → Rm dada por x → Ax ´ uma transforma¸ao matricial. c˜ e c˜ Exemplo 1 Seja 2 1 3 A= 1 2 0 ent˜o A induz a transforma¸ao matricial T : R3 → R2 , dada por x → Ax. a c˜   1   Por exemplo, se x =  −1 , ent˜o a 2   1 2 1 3   7 Ax = .  −1  = . 1 2 0 −1 2   x1   Em geral, se x =  x2 , ent˜o a x3   x1 2 1 3   2x1 + x2 + 3x3 Ax = .  x2  = . 1 2 0 x1 + 2x2 x3 Exemplo 2 Se 1 −1 2 A= 2 1 −1 2 eb= . Encontre um x ∈ R3 , tal que Ax = b. 2   x1   Solu¸ao: Seja x =  x2 , ent˜o Ax = b, leva a c˜ a x3   x1 2 −1 2   2 .  x2  = 2 1 −1 2 x3 CEDERJ 8
  • 9. Transforma¸oes lineares c˜ AULA 18 2x1 − x2 + 2x3 = 2 2x1 − x2 = 2 − 2x3 =⇒ 2x1 + x2 − x3 = 2 2x1 + x2 = 2 + x3 Somando as duas equa¸oes, obtemos c˜ x3 4x1 = 4 − x3 ⇒ x1 = 1 − . 4 Subtraindo as mesmas equa¸oes, obtemos c˜ 3x3 2x2 = 0 + 3x3 ⇒ x2 = . 2  x3  1− 4   Portanto, todo vetor x =  3x3 2 , x3 ∈ R, ´ levado a b pela trans- e x3 forma¸ao matricial T = Ax. c˜   Exemplo 3 1 1   Seja A = x =  2 1 . Determine a imagem de T = Ax. 1 −1   a x1   Solu¸ao: Temos que T : R2 → R3 . Seja u = c˜ e seja T u =  b . x2 c Ent˜o a     1 1 a   x1    2 1 . = b  x2 1 −1 c    x1 + x 2 = a   x1 + x 2 = a  2x + x2 = b =⇒ −x2 = b − 2a  1    x1 − x 2 = c −2x2 = c − a     x1 = b − a  x1 = b − a  x2 = 2a − b =⇒ x = 2a − b ,    2  0 = c − a − 2b + 4a 0 = 3a − 2b + c o que mostra que Ax = b tem solu¸ao quando 3a − 2b + c = 0. Portanto, a c˜ aplica¸ao dada pela matriz A leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0. c˜ 9 CEDERJ
  • 10. Transforma¸oes lineares c˜ T = Ax R3 R2 Figura 1: Aplica¸ao T leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0. c˜ Transforma¸oes lineares c˜ Dada uma matrix m × n A, vetores n × 1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplica¸ao de matrizes que c˜ A(u + v) = Au + Av e A(cu) = cAu . De maneira geral, quando uma fun¸ao possui as duas propriedades c˜ acima, dizemos que ela ´ linear. Definiremos agora as transforma¸oes e c˜ lineares. Defini¸˜o 1 ca Uma transforma¸ao T ´ linear se: c˜ e 1. T (u + v) = T u + tv, para todos u e v no dom´ ınio de T . 2. T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c. Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma¸ao ´ linear c˜ e quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares. Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u + v), o resultado ´ o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados e (T u + T v), isto ´ T (u + v) = T u + T v. e Se A ´ uma matriz, u e v s˜o vetores no dom´ e a ınio de T = Ax e c ´ um e escalar, ent˜o, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a a soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transforma¸ao matricial ´ linear. c˜ e Por outro lado, nem toda transforma¸ao linear de espa¸os vetoriais ´ c˜ c e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma¸oes c˜ CEDERJ 10
  • 11. Transforma¸oes lineares c˜ AULA 18 lineares de Rn em Rm s˜o sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 a onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa¸ao matricial c˜ de uma transforma¸ao linear. c˜ Seja T : V → W uma transforma¸ao linear, onde V e W s˜o espa¸os c˜ a c vetoriais, e seja v ∈ V . Ent˜o a T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W , onde 0V indica o vetor nulo do espa¸o vetorial v e 0W indica o vetor nulo do c espa¸o vetoria W . Mostramos ent˜o que uma transforma¸ao linear T : V → c a c˜ W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W . Outra propriedade muito utilizada ´ a seguinte: e T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u) . A dedu¸ao acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob- c˜ serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade. Isto ´, se uma transforma¸ao T satisfaz e c˜ T (cv + du) = cT (u) + dT (v) , ent˜o ela ´ linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos a e T (u+v) = T u+T v (preserva¸ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, c˜ obtemos T (cu) = cT (u) (preserva¸ao do produto de vetores por escalares). c˜ Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ acima, podemos mostrar ınio que T (c1 v1 + · · · + ck vk ) = c1 T (v1 ) + · · · + ck T (vk ) , onde c1 , · · · , ck s˜o escalares e v1 , · · · , vk s˜o vetores no dom´ a a ınio de T . Exemplo 4 A transforma¸ao T : V → W dada por T (x) = 0W ´ linear. Esta trans- c˜ e forma¸ao, chamada transforma¸ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo c˜ c˜ de W . Exemplo 5 Seja V um espa¸o vetorial qualquer, a transforma¸ao T : V → V dada por c c˜ T (u) = u ´ linear. Esta transforma¸ao ´ chamada indentidade. Se V = R n , e c˜ e ent˜o a transforma¸ao linear dada pela matriz In , identidade de ordem n, ´ a c˜ e a transforma¸ao identidade de R . c˜ n 11 CEDERJ
  • 12. Transforma¸oes lineares c˜ Exemplo 6 Seja r ∈ R. Mostre que a transforma¸ao T : Rn → Rn dada por T (x) = rx ´ c˜ e uma transforma¸ao linear. c˜ Solu¸ao: Sejam u, v ∈ Rn e c, d escalares. Ent˜o c˜ a T (cu + dv) = r(cu + dv) = rcu + rdv = c(ru) + d(rv) = cT (u) + dT (v) . Portanto T ´ uma transforma¸ao linear. e c˜ Se r = 0 ent˜o temos a transforma¸ao nula. Se r = 1 temos a trans- a c˜ forma¸ao identidade. Se 0 ≤ r < 1 ent˜o dizemos que T ´ uma contra¸ao. c˜ a e c˜ Se r > 1 ent˜o dizemos que T ´ uma dilata¸ao. A figura abaixo mostra a a e c˜ dilata¸ao T (x) = 2x. c˜ Tx = 2x Figura 2: Dilata¸ao T (x) = 2x. c˜ Exemplo 7 A transforma¸ao T : R2 → R2 dada por T (x) = x + (1, 0) n˜o ´ linear. Para c˜ a e ver isto, basta notar que ela n˜o leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta ´ uma a e transla¸ao de vetores no R2 . c˜ Exemplo 8 0 −1 A transforma¸ao linear T : R2 → R2 dada pela matriz c˜ , isto ´ e 1 0 0 −1 x1 −x2 T (x) = . = . 1 0 x2 x1 Como esta transforma¸ao ´ matricial, ent˜o ela ´ linear. Determinando a c˜ e a e imagem de alguns vetores e representando em um gr´fico estes vetores e a suas imagens, podemos ver que esta transforma¸ao gira os vetores em torno c˜ da origem, no sentido anti-hor´rio, de um angulo de 900 . Isto ´ verdade. a ˆ e Estudaremos com maiores detalhes transforma¸oes lineares especiais, como c˜ a rota¸ao de um angulo θ, nas aulas 25 e 26. c˜ ˆ CEDERJ 12
  • 13. Transforma¸oes lineares c˜ AULA 18 T(u) v T(v) u Figura 3: Rota¸ao de um angulo de 900 . c˜ ˆ Exemplo 9 Seja Pn o espa¸o dos polinˆmios de grau menor ou igual a n. Definimos o c o operador deriva¸ao D : P → Pn−1 por c˜ n D(a0 + a1 t + · · · + an tn ) = a1 + 2a2 t + · · · + nan tn−1 . Isto ´, D leva cada termo ak tk em kak tk−1 . e ´ a E f´cil ver que este operador ´ uma transforma¸ao linear. Note que ele e c˜ ´ a deriva¸ao de fun¸oes no sentido usual, restrito ao espe¸o dos polinˆmios. e c˜ c˜ c o Sabemos que para a deriva¸ao vale c˜ D(cf1 + df2 ) = cD(f1 ) + dD(f2 ) , confirmando que D ´ uma transforma¸ao linear. e c˜ Note que esta transforma¸ao ´ linear mas n˜o ´ matricial. N˜o h´ c˜ e a e a a uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda transforma¸ao linear entre espa¸os de dimens˜o finita tˆm uma representa¸ao c˜ c a e c˜ matricial. H´ uma matriz A tal que se p ´ um polinˆmio e se [p]B ´ a a e o e representa¸ao deste polinˆmio em uma base B escolhida de Pn , ent˜o A[p]B c˜ o a ´ a representa¸ao de Dp nesta base. e c˜ Exemplo 10 Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada seu dinheiro entre as 4 op¸oes do banco. Representamos a carteira de um c˜   xA  x   B  cliente por um vetor 4 × 1. Assim uma carteira x =   indica xA reais  xC  xD investidos na op¸ao A, xB reais investidos na op¸ao B etc. c˜ c˜ 13 CEDERJ
  • 14. Transforma¸oes lineares c˜ Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou em yB reais por real aplicado etc, ent˜o o resultado total de cada cliente ser´ a a calculado pela transforma¸ao linear T : R4 → R, dada por c˜   xA  xB    T (x) =  . yA yB yC yD = xA y a + xB y B + xC y C + xD y D .  xC  xD Resumo ´ Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Li- near, que ´ o de Transforma¸ao Linear. e c˜ Vimos, inicialmente, as transforma¸oes matriciais. Em seguida, defini- c˜ mos transforma¸oes lineares. c˜ Vimos diversos exemplos de transforma¸oes lineares, inclusive uma aplica¸ao c˜ c˜ a economia. ` CEDERJ 14
  • 15. Transforma¸oes lineares c˜ AULA 18 Exerc´ ıcios 1. Seja T : R2 → R3 a transforma¸ao definida por T x = Ax, onde A = c˜ 1 2 2 . Encontre a imagem de −1 2 1     2 −1     u =  −3  e u= 1  0 1 2. Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma aplica¸ao de R4 em R6 por T (x) = Ax. c˜ 3. Para os valores da matriz A e vetor b nos ´ ıtens abaixo, encontre, se for poss´ ıvel, um vetor x tal que T x = b. (a) 1 0 1 2 A= , b= 2 −1 3 3 (b)     11 −1 2     A =  2 5 , b =  −3  1 6 2 4. Encontre todos os valores de x ∈ R4 que s˜o levados no vetor nulo pela a transforma¸ao x → Ax, onde c˜   1 1 1 1   A =  1 −1 −1 2  . 1 2 3 −1 5. Nos ´ ıtens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar gra- 2 3 ficamente os vetores u = , v = , T u e T v. Fa¸a uma c 1 −1 descri¸ao geom´trica do efeito da aplica¸ao de T nos vetores de R 2 . c˜ e c˜ 3 0 −1 0 (a) T (x) = . (c) T (x) = . 0 3 0 −1 0, 5 0 0 0 (b) T (x) = . (d) T (x) = . 0 0, 5 0 1 15 CEDERJ
  • 16. Transforma¸oes lineares c˜ 6. Seja T : R2 → R2 uma transforma¸ao linear. Se c˜ 1 2 0 −1 T( )= e T( )= , 0 1 1 3 2 x1 determine T ( ) e T( ). 1 x2 Respostas dos exerc´ ıcios −4 3 1. e . −8 4 2. A deve ser uma matriz 6 × 4.   2−c   3. (a) x =  c + 1 , para todo c ∈ R. c (b) N˜o h´ valor de x tal que T x = b. a a 3 3 4. O espa¸o gerado por {(− 2 , −1, 2 , 1)} ´ levado no vetor nulo. c e 5. (a) Dilata¸ao por um fator de 3. c˜ (b) Contra¸ao por uma fator de 0, 5. c˜ (c) Rota¸ao de 1800 . c˜ (d) Proje¸ao sobre o eixo-y. c˜ CEDERJ 16
  • 17. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ AULA 19 Aula 19 – Propriedades das Transforma¸oes c˜ Lineares Objetivos Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma¸oes lineares. c˜ Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun¸ao - as trans- c˜ forma¸oes lineares, que s˜o fun¸oes definidas entre espa¸os vetoriais e com c˜ a c˜ c caracter´ısticas que as tornam muito uteis, em uma gama imensa de problemas ´ e situa¸oes da Matem´tica, F´ c˜ a ısica, Engenharia e Computa¸ao, entre outras c˜ areas de estudo e trabalho. ´ Nesta aula veremos v´rias propriedades das transforma¸oes lineares. a c˜ Em especial, veremos um fato muito importante, que ´ o seguinte: para de- e terminar uma transforma¸ao linear T : V → W , basta conhecer seus valores c˜ em uma base qualquer de V . Propriedades das transforma¸oes lineares c˜ Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. c c˜ Valem as seguintes propriedades: (i) T (0V ) = 0W Em palavras: uma transforma¸ao linear leva o vetor nulo do dom´ c˜ ınio ao vetor nulo do contra-dom´ ınio. Esta propriedade j´ foi demonstrada a na aula 18. (ii) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V Em palavras: A imagem do vetor oposto ´ o oposto da imagem do e vetor. Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v). (iii) Se U ´ um subespa¸o de V ent˜o T (U ) ´ um subespa¸o de W . e c a e c Devemos mostrar que 0W ∈ T (U ) e que T (U ) ´ fechado para soma de e vetores e multiplica¸ao por escalar. c˜ 17 CEDERJ
  • 18. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ Como U um subespa¸o de V , ent˜o 0V ∈ U . Pela propriedade (i), c a T (0V ) = 0W ∈ T (U ). Sejam x, y ∈ T (U ). Existem u, v ∈ U tais que T (u) = x e T (v) = y. Como U ´ subespa¸o de V , ent˜o u + v ∈ U . De T (u + v) ∈ T (U ) e c a resulta que T (u + v) = T (u) + T (v) = x + y ∈ T (U ) . Finalmente, sejam x ∈ T (U ) e α ∈ R. Existe u ∈ U tal que T (u) = x. Como αu ∈ U , ent˜o T (αu) ∈ T (U ), o que resulta em a T (αu) = αT (u) = αx ∈ T (U ) , e podemos concluir que T (U ) ´ subespa¸o de W . e c (iv) Dados v1 , v2 , ..., vn ∈ V , T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) . Em palavras: A imagem de uma combina¸ao linear de vetores de V c˜ ´ uma combina¸ao linear das imagens desses vetores, com os mesmos e c˜ coeficientes. Esta propriedade j´ foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma a demonstra¸ao usando indu¸ao sobre n. c˜ c˜ O caso n = 1 segue diretamente da defini¸ao de transforma¸ao linear, c˜ c˜ pois T (α1 v1 ) = α1 T (v1 ). Vamos supor que a propriedade vale para n = k, isto ´, e T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) . Vamos provar que vale para n = k + 1 : T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk + αk+1 vk+1 ) = T [(α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + (αk+1 vk+1 )] T linear = T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + T (αk+1 vk+1 ) hip. ind. = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + T (αk+1 vk+1 ) T linear = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + αk+1 T (vk+1 ) , isto ´, vale a propriedade para n = k +1, o que conclui a demonstra¸ao. e c˜ CEDERJ 18
  • 19. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ AULA 19 (v) Se {v1 , v2 , ..., vn } ´ um conjunto gerador de V ent˜o {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )} e a ´ um conjunto gerador da imagem de T . e Demonstra¸ao. Seja {v1 , v2 , ..., vn } um conjunto gerador de V . Seja w c˜ um vetor na imagem de T , isto ´, existe v em V tal que w = T (v). Ent˜o e a existem escalares α1 , α2 , ..., αn tais que v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn . Podemos escrever: w = T (v) = (iv) = T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ). Logo, os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) geram a imagem de T . (vi) Se T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) ∈ W s˜o LI ent˜o os vetores v1 , v2 , ..., vn ∈ V a a s˜o LI. a Demonstra¸ao. Seja a combina¸ao linear c˜ c˜ α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = oV . (1) Vamos aplicar a transforma¸ao T a ambos os lados dessa igualdade: c˜ T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = T (0V ) ⇒ α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) = 0W . Como os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) s˜o LI, conclu´ a ımos que α1 = α2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combina¸ao linear c˜ (1) s˜o iguais a zero, o que implica que os vetores v1 , v2 , ..., vn s˜o LI. a a Exemplo 11 Sejam V um espa¸o vetorial e u ∈ V . A aplica¸ao c c˜ Tu : V → V v → v+u e c˜ ´ a ´ chamada transla¸ao definida por u. E f´cil verificar que, quando u = 0V , essa aplica¸ao n˜o ´ linear, pois Tu (0V ) = 0V + u = u = 0V , violando a c˜ a e propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica¸ao ´ o c˜ e operador identidade de V , que ´ linear. e Exemplo 12 A rec´ ıproca da propriedade (vi) n˜o ´ verdadeira, isto ´, ´ poss´ termos um a e e e ıvel conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um 19 CEDERJ
  • 20. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ conjunto LD em W . Considere, por exemplo, o operador proje¸ao ortogonal c˜ sobre o eixo x, definido em R , isto ´, a transforma¸ao linear tal que T (x, y) = 2 e c˜ (x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (3, 4) s˜o a LI, mas suas imagens coincidem: T (v1 ) = T (v2 ) = (3, 0). Logo, o conjunto {T (v1 ), T (v2 )} ⊂ R2 ´ LD. Essa situa¸ao ´ ilustrada na figura 1. e c˜ e (3,4) T(x,y)=(x,0) (3,1) (3,0) (3,1) Figura 1: v1 e v2 s˜o LI; T (v1 ) e T (v2 ) s˜o LD. a a Uma caracter´ ıstica importante das transforma¸os lineares ´ que elas c˜ e ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma base do dom´ ınio. Isto ´, dada uma transforma¸ao linear T : V → W , se e c˜ conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter a express˜o de T (v), para um vetor v gen´rico de V . O exemplo a seguir a e mostra esse procedimento: Exemplo 13 Seja T : R3 → R3 , linear, tal que T (1, 0, 0) = (1, 1, 1); T (0, 1, 0) = (2, −1, 1); T (0, 0, 1) = (1, 0, 2). Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) ´ um vetor gen´rico de R 3 . e e Os vetores v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) formam a base canˆnica de R3 . Assim, um vetor v = (x, y, z), gen´rico, de R3 , se escreve o e (x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3 . Aplicando a propriedade (iv), temos: T (v) = T (x, y, z) = = T (xv1 + yv2 + zv3 ) = = xT (v1 ) + yT (v2 ) + zT (v3 ) = = x(1, 1, 1) + y(2, −1, 1) + z(1, 0, 2) = = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z). Logo, T ´ dada por T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z). e CEDERJ 20
  • 21. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ AULA 19 Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transforma¸ao c˜ linear ´ conhecida n˜o seja a canˆnica: e a o Exemplo 14 Uma transforma¸ao linear T : R2 → R3 ´ tal que c˜ e T (1, −1) = (1, 1, 2); T (2, 0) = (2, −1, 1). Vamos determinar T (x, y), para (x, y) ∈ R2 . Primeiramente, verificamos que os vetores v1 = (1, −1) e v2 = (2, 0) formam uma base de R2 . Neste caso, como s˜o dois vetores num espa¸o a c bi-dimensional, uma forma r´pida de verificar que s˜o LI ´ calcular o deter- a a e minante formado pelas suas coordenadas e constatar que ´ diferente de zero. e Deixamos isso com vocˆ, como exerc´ (!). e ıcio A seguir, escrevemos um vetor gen´rico do espa¸o como uma com- e c bina¸ao linear dos vetores dessa base: c˜ a + 2b = x v = (x, y) = av1 + bv2 = a(1, −1) + b(2, 0) ⇒ . −a = y x+y Resolvendo o sistema, obtemos a = −y e b = 2 . Portanto, x+y (x, y) = −y(1, −1) + (2, 0) 2 Usando a linearidade de T , obtemos T (v) = T (x, y) = = T (−yv1 + x+y v2 ) = 2 x+y = −yT (v1 ) + 2 T (v2 ) = . x+y = −y(1, 1, 2) + 2 (2, −1, 1) = = x, −x−3y , x−3y . 2 2 Logo, T ´ dada por T (x, y) = x, −x−3y , x−3y . e 2 2 Exemplo 15 Em rela¸ao a transforma¸ao linear do exemplo 4, encontre v ∈ R2 tal que c˜ ` c˜ T (v) = (3, 1, 4). Queremos (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (3, 1, 4). 21 CEDERJ
  • 22. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜    x=3   x=3  −x − 3y x − 3y −x−3y x, , = (3, 1, 4) ⇒ =1 ⇒ −x − 3y = 2 . 2 2  x−3y  2   2 =4 x − 3y = 8 x=3 Resolvendo o sistema, obtemos 5 . y = −3 Logo, o vetor procurado ´ (3, −5/3). e Exemplo 16 Dado um espa¸o vetorial V , um funcional linear definido em V ´ uma trans- c e Note que o conjunto dos forma¸ao linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R 2 c˜ n´meros reais ´, ele mesmo, u e um espa¸o vetorial real. c tal que f (1, 1) = 2 e f (2, 1) = 3. Vamos determinar f (x, y), para (x, y) ∈ R 2 . Novamente, come¸amos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for- c mam uma base de R2 . Escrevemos, ent˜o, um vetor gen´rico (x, y), como a e combina¸ao linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo, c˜ obtemos a + 2b = x a = −x + 2y ⇒ , a+b = y b = x−y isto ´, (x, y) = (−x + 2y)(1, 1) + (x − y)(2, 1). e Ent˜o a T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1) = (−x + 2y).2 + (x − y).3 = x + y . Logo, T ´ dada por T (x, y) = x + y. e Exemplo 17 Em rela¸ao ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar c˜ os vetores v de R2 tais que f (v) = 0. Isto ´, queremos (x, y) tal que f (x, y) = e x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x, −x). Logo, h´ a infinitos vetores de R que s˜o levados ao zero, pelo funcional f - a saber, 2 a todo vetor do conjunto {(x, −x)|x ∈ R}. CEDERJ 22
  • 23. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ AULA 19 Para finalizar, um exemplo no espa¸o dos polinˆmios: c o Exemplo 18 Seja T a transforma¸ao linear em P3 (R) dada por c˜ T (1) = 1 − t; T (1 + t) = t3 ; T (t + t2 ) = 3 − t2 ; T (t2 + t3 ) = 1 + t2 . Vamos determinar T (x + yt + zt2 + wt3 ), onde x + yt + zt2 + wt3 ´ um e 3 polinˆmio qualquer de P3 (R) e, a seguir, calcular T (2 − 3t + 4t ). o Como nos exemplos anteriores, constatamos que {1, 1 + t, t + t2 , t2 + t3 } ´ uma base de P3 (R). e A seguir, escrevemos o vetor gen´rico de P3 (R) nessa base: e x + yt + zt2 + wt3 = a.1 + b(1 + t) + c(t + t2 ) + d(t2 + t3 ) = = (a + b) + (b + c)t + (c + d)t2 + dt3 . Obtemos, assim, o seguinte sistema:   a+b=x    b+c=y ,  c+d=z    d=w que, resolvido, fornece a solu¸ao: c˜   a=x−y+z−w    b=y−z+w .  c=z−w    d=w Escrevemos ent˜o: a x+yt+zt2 +wt3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t2 )+w(t2 +t3 ) . Aplicamos a transforma¸ao T em ambos os lados dessa igualdade: c˜ T (x + yt + zt2 + wt3 ) = T ((x − y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t + t2 ) + w(t2 + t3 )) = (x − y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t + t2 ) + w.T (t2 + t3 ) = (x − y + z − w).(1 − t) + (y − z + w).t3 + (z − w).(3 − t2 ) + w.(1 + t2 ) = (x − y + 4z − 3w) + (−x + y − z + w)t + (−z + 2w)t2 + (y − z + w)t3 . 23 CEDERJ
  • 24. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ Logo, a transforma¸ao procurada ´ dada por: c˜ e T (x+yt+zt2 +wt3 ) = (x−y+4z−3w)+(−x+y−z+w)t+(−z+2w)t2 +(y−z+w)t3 . Vamos, agora, calcular T (2 − 3t + 4t3 ). Temos x = 2; y = −3; z = 0 e w = 4. Ent˜o a T (2 − 3t + 4t3 ) = −7 − t + 8t2 + t3 . Resumo Nesta aula estudamos as propriedades das transforma¸oes lineares. O c˜ fato mais relevante ´ que podemos determinar uma transforma¸ao linear a e c˜ partir da sua aplica¸ao nos vetores de uma base, apenas. Assim, o n´mero de c˜ u informa¸oes necess´rias a respeito de uma transforma¸ao linear, para que a c˜ a c˜ conhe¸amos completamente, ´ igual a dimens˜o do espa¸o vetorial no qual ela c e ` a c ´ definida. Isso ´ uma especificidade das transforma¸oes lineares: nenhuma e e c˜ c˜ c˜ a ´ outra fun¸ao permite uma manipula¸ao t˜o simples. E por essa qualidade, em particular, que as transforma¸oes lineares s˜o, por excelˆncia, as fun¸oes c˜ a e c˜ usadas na Computa¸ao em geral. c˜ CEDERJ 24
  • 25. Propriedades das Transforma¸oes Lineares c˜ AULA 19 Exerc´ ıcios 1. Seja T : R2 → R a transforma¸ao linear para a qual T (1, 1) = 3 e c˜ T (0, 1) = −2. Encontre T (x, y), para (x, y) ∈ R2 . 2. Um operador linear T , definido em P2 (R), ´ tal que T (1) = t2 , T (x) = e 2 2 1 − t e T (t ) = 1 + t + t . (a) Determine T (a + bt + ct2 ), onde a + bt + ct2 ´ um vetor gen´rico e e de P2 (R). (b) Determine p ∈ P2 (R) tal que T (p) = 3 − t + t2 . 3. Encontre T (x, y) onde T : R2 → R3 ´ definida por T (1, 2) = (3, −1, 5) e e T (0, 1) = (2, 1, −1). 4. Determine T (x, y, z) onde T : R3 → R ´ dada por T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1, −2) = e 1 e T (0, 0, 1) = −2. Auto-avalia¸˜o ca Vocˆ dever´ assimilar o significado de cada propriedade vista. A pri- e a meira delas ´ extremamente util para rapidamente identificar algumas trans- e ´ forma¸oes que n˜o s˜o lineares, por n˜o levarem o vetor nulo do dom´ c˜ a a a ınio ao vetor nulo do contra-dom´ ınio. A transla¸ao ´ o exemplo mais importante c˜ e disso. Al´m disso, vocˆ deve se familiarizar com a t´cnica de encontrar uma e e e transforma¸ao linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do c˜ dom´ ınio. Veja que os exerc´ ıcios s˜o repetitivos: mudam o espa¸o e a base a c considerada, mas a estrutura se repete. Caso vocˆ tenha alguma d´vida, e u entre em contato com o tutor da disciplina. E... vamos em frente!! Respostas dos exerc´ ıcios 1. T (x, y) = 5x − 2y 2. (a) T (a + bt + ct2 ) = (b + c) + (−b + c)t + (a + c)t2 (b) p = 2t + t2 3. T (x, y) = (−x + 2y, −3x + y, 7x − y) 4. T (x, y, z) = 8x − 3y − 2z 25 CEDERJ
  • 27. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca AULA 20 Aula 20 – N´ cleo e Imagem de uma u Transforma¸˜o Linear ca Objetivos Determinar o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear. u c˜ Identificar o n´cleo de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do u c˜ c dom´ınio. Identificar a imagem de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do c˜ c contra-dom´ınio. Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transforma¸ao linear. Nesta c˜ aula definiremos o n´cleo de uma transforma¸ao linear e mostraremos que, u c˜ tanto o n´cleo, como a imagem, possuem estrutura de espa¸o vetorial. u c N´ cleo de uma transforma¸˜o linear u ca Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. c c˜ Chamamos de n´cleo de T , representado por N (T ), o seguinte conjunto: u N (T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W } . Alguns textos usam a nota¸ao ker(T ), pois n´cleo, c˜ u Em palavras: o n´cleo de uma transforma¸ao linear ´ o subconjunto do u c˜ e em inglˆs, ´ kernel. e e dom´ ınio formado pelos vetores que s˜o levados ao vetor nulo do contra- a dom´ ınio. Im io ag min em Do 0 cleo Nu Figura 1: Exemplo 19 • Seja T : V → W a transforma¸ao linear nula, isto ´, a transforma¸ao tal c˜ e c˜ ´ f´cil ver que seu n´cleo ´ todo o espa¸o V . que T (v) = 0W , ∀v ∈ V . E a u e c 27 CEDERJ
  • 28. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca • O n´cleo da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V , u c˜ c ´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V . e • A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 , ´ uma transforma¸ao c˜ e c˜ linear cujo n´cleo ´ o eixo dos y. u e Exemplo 20 O n´cleo da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por u c˜ T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) ´ o conjunto {(x, y) ∈ R2 | T (x, y) = (0, 0, 0)}, isto ´ e e   x+y =0  (x + y, x − y, x − 2y) = (0, 0, 0) ⇒ x−y =0 .   x − 2y = 0 Esse sistema tem solu¸ao x = 0 e y = 0. Logo, N (T ) = {(0, 0)}. c˜ Exemplo 21 Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por c˜ T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) . Ent˜o, N (T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)}. Isto ´, um a e vetor (x, y, z, t) de R pertence ao n´cleo de T se, e somente se, 4 u   2x = 0  (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (0, 0, 0) ⇒ x + 2y − z = 0 .   x−y+z+t=0 Esse sistema tem conjunto-solu¸ao {(0, k, 2k, −k); k ∈ R}, que ´ o n´cleo de T . c˜ e u CEDERJ 28
  • 29. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca AULA 20 Imagem de uma transforma¸˜o linear ca Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. c c˜ A imagem de T , representado por Im(T ), ´ o conjunto de todos os vetores e de W da forma T (v), para algum v ∈ V , isto ´ e Im(T ) = {w ∈ W | w = T (v), para algum v ∈ V }. Exemplo 22 • Se T : V → W ´ a transforma¸ao linear nula, isto ´, tal que T (v) = e c˜ e 0W , ∀v ∈ V , sua imagem ´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo e de W . • A imagem da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V , c˜ c ´ o espa¸o V . e c • A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 ´ uma transforma¸ao c˜ e c˜ linear cuja imagem ´ o eixo dos x. e Exemplo 23 Vamos determinar a imagem da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por c˜ T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) . Queremos encontrar os vetores w = (a, b, c) ∈ R3 para os quais existe v = (x, y) ∈ R2 tal que T (v) = w, isto ´, queremos que a equa¸ao e c˜ T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c) tenha solu¸ao. Isso equivale a analisar as condi¸oes para que o sistema c˜ c˜   x+y =a  x−y =b   x − 2y = c admita solu¸ao. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente: c˜   x+y =a  Note que a representa¸ao c˜ y = (a − b)/2 ,   geom´trica de Im(T ) ´ um e e 0 = (a − 3b + 2c)/2 plano passando pela origem. Vocˆ se lembra? Os e que admite solu¸ao se, e somente se, a − 3b + 2c = 0. c˜ subespa¸os de R3 s˜o as c a retas e os planos passando Logo, pela origem, al´m do e subespa¸o nulo e do pr´prio c o Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3 |a − 3b + 2c = 0} . R3 . 29 CEDERJ
  • 30. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca Exemplo 24 Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por c˜ T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) . Queremos determinar as condi¸oes para que um vetor (a, b, c), de R 3 seja a c˜ imagem, por T , de algum vetor de R4 . Como no exemplo anterior, queremos que o sistema   2x = a  x + 2y − z = b   x−y+z+t=c admita solu¸ao. Escalonando, chegamos ao sistema equivalente c˜   x−y+z+t=c  y+t=b+c−a ,   −z − 2t = (3a − 2b − 4c)/2 que ´ compat´ para quaisquer valores de a, b e c. Logo, todo vetor (a, b, c) ∈ e ıvel R pertence a imagem de T , ou seja, Im(T ) = R3 . 3 ` Vocˆ j´ deve ter se dado conta de que as transforma¸oes lineares pos- e a c˜ suem propriedades realmente especiais, que n˜o encontramos nas demais a fun¸oes. O n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear n˜o s˜o apenas c˜ u c˜ a a conjuntos: ambos apresentam estrutura de espa¸o vetorial, como mostrare- c mos nos resultados a seguir. Teorema 1 Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. O c c˜ n´cleo de T ´ subespa¸o vetorial de V . u e c Demonstra¸ao. c˜ Primeiramente, vemos que 0V ∈ N (T ), uma vez que T (0V ) = 0W . Portanto N (T ) = ∅. Sejam v1 , v2 vetores no n´cleo de T . Isto ´, T (v1 ) = T (v2 ) = 0W , ent˜o u e a T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0W + 0W = 0W . Logo, (v1 + v2 ) ∈ N (T ). Portanto, o n´cleo ´ fechado para a soma. u e Sejam α ∈ R e v ∈ N (T ). Isto ´, T (v) = 0W , ent˜o T (αv) = αT (v) = e a α0W = 0W . Logo, (αv) ∈ N (T ), o que mostra que o n´cleo ´ fechado para o u e produto por escalar. CEDERJ 30
  • 31. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca AULA 20 Teorema 2 Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. A c c˜ imagem de T ´ subespa¸o vetorial de W . e c Demonstra¸ao. c˜ A imagem de T n˜o ´ vazia, pois 0W ´ a imagem de 0V . a e e Sejam w1 , w2 vetores na imagem de T . Isso significa que existem vetores v1 e v2 em V , tais que T (v1 ) = w1 e T (v2 ) = w2 . Ent˜o o vetor (w1 + w2 ) a pertence a imagem de T , pois ´ a imagem do vetor (v1 + v2 ). De fato, temos: ` e T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + t(v2 ) = w1 + w2 . Finalmente, sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ). Isto ´, existe v ∈ V tal que e T (v) = w. Ent˜o, como T (αv) = αT (v) = αw, temos que (αw) ∈ Im(T ). a Uma vez provado que o n´cleo e a imagem s˜o subespa¸os vetoriais, o u a c pr´ximo passo ´ determinar a dimens˜o e obter uma base para cada um. E o e a ´ o que faremos nos exemplos seguintes. Exemplo 25 Dada a transforma¸ao linear T : R3 → R3 dada por c˜ T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) , determine uma base e a dimens˜o de seu n´cleo e de sua imagem. a u Vamos determinar o n´cleo de T . u Queremos encontrar os vetores (x, y, z) de R3 tais que   x+y =0  T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (0, 0, 0) ⇒ x−z =0 ,   y+z =0 cujo conjunto-solu¸ao ´ {(k, −k, k); k ∈ R} = {k(1, −1, 1); k ∈ R}. c˜ e Logo, o n´cleo de T ´ gerado pelo vetor (1, −1, 1). Ent˜o temos que u e a dim N (T ) = 1 e uma base de N (T ) ´ {(1, −1, 1)}. e Vamos, agora, determinar a imagem de T . Queremos estabelecer as condi¸oes que um vetor (a, b, c) de R3 deve satisfazer para que exista um c˜ vetor (x, y, z), em R3 , tal que T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (a, b, c). Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece   x+y =a  y+z =a−b .   0=a−b−c 31 CEDERJ
  • 32. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca Para que existam solu¸oes, devemos ter a − b − c = 0, que ´ a equa¸ao que c˜ e c˜ caracteriza os vetores da imagem de T . Como a = b + c, um vetor da imagem pode ser escrito (b + c, b, c) = b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Logo, a imagem possui dimens˜o 2 e uma base para ela ´ {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}. a e Os dois pr´ximos exemplos “invertem”o processo: vamos determinar o uma transforma¸ao linear (ela n˜o ser´ unica) a partir do seu n´cleo ou de c˜ a a´ u sua imagem. Exemplo 26 Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cuja imagem ´ gerada c˜ e pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1). Vimos, na aula passada, que uma transforma¸ao linear fica completa- c˜ mente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu dom´ ınio. Consideremos, por simplicidade, a base canˆnica de R3 e vamos determinar o as imagens dos vetores dessa base, por T : T (1, 0, 0) = (1, 2, 3) Note que a escolha de T T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) neste exemplo n˜o ´ de a e forma alguma unica. ´ T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) Poder´ıamos, por exemplo, ter escolhido Note que o terceiro vetor deve ser levado a um que forme, com os dois T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), vetores dados no enunciado, um conjunto LD, uma vez que a dimens˜o da a T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) e T (0, 0, 1) = (1, 2, 3). imagem ´ 2. Ent˜o, como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), temos e a T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(0, 0, 0) = (x + y, 2x + y, 3x + y), que ´ a lei que define a transforma¸ao T . e c˜ Exemplo 27 Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cujo n´cleo ´ gerado pelos c˜ u e vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1). Aqui, tamb´m, vamos definir uma transforma¸ao linear numa base de e c˜ R3 , mas esta base deve conter os vetores dados. Isto ´, vamos completar o e conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} para que se torne uma base de R3 . Para isso, de- vemos escolher um vetor (x, y, z) tal que o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (x, y, z)} seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero. Isto ´: e 1 2 3 1 1 1 = 0 ⇒ z = −x + 2y . x y z CEDERJ 32
  • 33. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca AULA 20 Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1, 0, 0). Temos, ent˜o, uma a base de R em cujos vetores iremos definir a transforma¸ao: 3 c˜ T (1, 2, 3) = (0, 0, 0) T (1, 1, 1) = (0, 0, 0) T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (por exemplo) Observe que a dimens˜o do n´cleo ´ 2; logo, o terceiro vetor da base a u e deve estar fora do n´cleo, ou seja, ter imagem n˜o nula. u a Para finalizar, temos que escrever um vetor gen´rico do R3 como com- e bina¸ao linear dos vetores da base considerada e, enfim, determinar a ex- c˜ press˜o de T : a   a+b+c=x  (x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0) ⇒ 2a + b = y   3a + b = z ⇒ a = −y + z; b = 3y − 2z; c = x − 2y + z Logo, T (x, y, z) = aT (1, 2, 3) + bT (1, 1, 1) + cT (1, 0, 0) = . = (−y + z)(0, 0, 0) + (3y − 2z)(0, 0, 0) + (x − 2y + z)(1, 0, 0) Assim, uma poss´ resposta ´ T (x, y, z) = (x − 2y + z, 0, 0). ıvel e Resumo Nesta aula definimos o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear u c˜ T . Vimos que ambos s˜o subespa¸os vetoriais: o n´cleo, do dom´ de T e a a c u ınio imagem, do contradom´ de T . Os exemplos visaram ajudar na assimila¸ao ınio c˜ da t´cnica para caracterizar o n´cleo e a imagem, determinar suas dimens˜es e u o e encontrar uma base para cada. Na pr´xima aula veremos um resultado o importante que relaciona as dimens˜es do n´cleo, da imagem, e do dom´ o u ınio de uma transforma¸ao linear. c˜ 33 CEDERJ
  • 34. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca Exerc´ ıcios 1. Verifique se o vetor v ∈ V pertence ao n´cleo da transforma¸ao linear u c˜ T : V → W , em cada caso: (a) V =R3 ; W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (4, −1, 3) (b) V =R3 ; W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (1, −1, 2) a11 a12 (c) V = M2 (R); W = R; T = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ; a21 a22 1 −3 v= 5 2 a11 a12 (d) V = M2 (R); W = R; T = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ; a21 a22 1 3 v= 3 −5 2. Seja T : P2 → P3 a transforma¸ao linear definida por T (p(t)) = tp(t). c˜ Quais dos seguintes vetores est˜o na imagem de T ? a (a) t2 (b) 0 (c) t + 1 (d) t2 − 2t 3. Determine a dimens˜o e uma base do n´cleo, a dimens˜o e uma base a u a da imagem da transforma¸ao linear T : R3 → R2 dada por c˜ T (x, y, z) = (y − 2z, x − y − z). 4. Seja T a transforma¸ao linear definida em M2 tal que T (v) = Av, para c˜ 2 3 v ∈ M2 , onde A = . Determine a dimens˜o e encontre uma a −1 2 base da imagem, determine a dimens˜o e encontre uma base do n´cleo a u de T . 5. A transforma¸ao T : P3 → P2 que associa cada polinˆmio p(t) ao po- c˜ o linˆmio obtido pela deriva¸ao, isto ´: T (p(t)) = p (t), ´ linear. Descreva o c˜ e e o n´cleo de T . u CEDERJ 34
  • 35. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear u ca AULA 20 6. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R4 cuja imagem seja c˜ gerada pelos vetores (1, 0, 2, 3) e (1, 0, −1, 5). 7. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R2 cujo n´cleo seja c˜ u gerado pelo vetor (1, 0, 3). Respostas dos exerc´ ıcios 1. (a) pertence (b) n˜o pertence a (c) n˜o pertence a (d) pertence 2. a); b); d) 3. dim N (T ) = 1; uma base de N (T ) : {(3, 2, 1)} (H´ infinitas bases.) a dim Im(T ) = 2 (Im(T ) = R ); uma base de Im(T ) : {(1, 0), (0, 1)} 2 (H´ infinitas bases.) a 0 0 4. N (T ) = ; dim N (T ) = 0; Im (T ) = M2 ; uma base para 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 a imagem de T : , , , . 0 0 0 0 1 0 0 1 5. O n´cleo de T ´ formado pelos polinˆmios constantes de P3 . u e o 6. H´ infinitas solu¸oes. a c˜ 7. H´ infinitas solu¸oes. a c˜ 35 CEDERJ
  • 37. Teorema do N´cleo e da Imagem u AULA 21 Aula 21 – Teorema do N´ cleo e da Imagem u Objetivo Apresentar o teorema do n´cleo e da imagem, algumas conseq¨ˆncias e exem- u ue plos. Na aula passada vimos que, se T : V → W ´ uma transforma¸ao li- e c˜ near, o n´cleo N (T ) ´ um subespa¸o vetorial de V e a imagem Im(T ) ´ um u e c e subespa¸o vetorial de W . c Nesta aula apresentaremos o teorema do n´cleo e da imagem, que re- u laciona as dimens˜o de V , N (T ) e Im(T ). a Teorema 1 Sejam V e W espa¸os vetoriais de dimewns˜o finita. Seja T : V → W uma c a transforma¸ao linear, ent˜o c˜ a dim V = dim N (T ) + dim Im(T ) . Demonstra¸ao. c˜ Seja p = dim Im(T ) e q = dim N (T ). Sejam {v1 , . . . , vq } uma base de N (T ) e {w1 , w2 , . . . , wp } uma base de Im(T ). Existem {u1 , . . . , up } ⊂ V tais que w1 = T (u1 ), w2 = T (u2 ), . . . , wp = T (up ). Vamos mostrar que o conjunto {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ uma base de V , o que demonstra o teorema, pois ent˜o temos e a dim V = q + p = dim N (T ) + dim Im(T ) . Vamos iniciar provando que o conjunto {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI. e Suponha que α1 u1 + · · · + αp up + β1 v1 + · · · + βq vq = 0 (1) , onde os α´s e β´s s˜o escalares. Aplicando o operator T , temos a α1 T (u1 ) + · · · + αp T (up ) + β1 T (v1 ) + · · · + βq T (vq ) = T (0) = 0 . Como T (ui ) = wi , i = 1, . . . , p e T (vi ) = 0, i = 1, . . . , q, resulta que α1 w1 + · · · + α p wp = 0 . 37 CEDERJ
  • 38. Teorema do N´cleo e da Imagem u Mas {w1 , . . . , wp } ´ um conjunto L.I. (sendo base de Im(T )), portanto e α1 = · · · = αp = 0. Substituindo na equa¸ao (1), resulta c˜ β 1 v1 + · · · + β q vq = 0 . Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), ent˜o ´ um conjunto LI, o que implica e a e em β1 = · · · = βq = 0. ımos que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI. Conclu´ e Vamos agora mostrar que esse conjunto gera V . Seja v ∈ V um vetor qualquer. Como T (v) ∈ Im(T ), ent˜o existem escalares α1 , . . . , αp tais que a T (v) = α1 w1 + . . . + αp wp = α1 T (u1 ) + . . . + αp up . Podemos escrever esta equa¸ao como c˜ T (v − α1 u1 − . . . − αp up ) = 0 ⇒ v − α1 u1 − . . . − αp up ∈ N (T ) . Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), existem β1 , . . . , βq tais que e v − α 1 u1 − . . . − α p up = β 1 v1 + . . . + β q vq , ou seja v = α 1 u1 + . . . + α p up + β 1 v1 + . . . + β q vq Isto mostra que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } gera o espa¸o V . c . Exemplo 28 A proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x ´ a transforma¸ao T : R2 → R2 dada por c˜ e c˜ T (x, y) = (x, 0). (x,y) (x,0) Figura 1: Proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x c˜ Temos que o n´cleo de T ´ formado pelos (x, y) tais que u e T (x, y) = (x, 0) = (0, 0) ⇒ x = 0 . CEDERJ 38
  • 39. Teorema do N´cleo e da Imagem u AULA 21 Ou seja, N (T ) = {(0, y)} que ´ gerado por {(0, 1)}. Portanto dim N (T ) = 1. e A imagem de T ´ e ImT = T (x, y) = (x, 0) , que ´ um espa¸o gerado por {(0, 1)}. Portanto, dim Im(T ) = 1. e c Os valores de dim(T ) e Im(T ) confirmam o teorema do n´cleo e da u imagem, pois 2 = dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) = 1 + 1 = 2 . Exemplo 29 A transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por c˜ T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) . Vimos no exemplo 20 da aula 20 que N (T ) = {(0, 0)}. Portanto, dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ 2 = 0 + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 2 . Para confirmar isto, vamos calcular Im(T ). Seja (a, b, c) ∈ Im(T ). Ent˜o a   x+y =a  T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c) ⇒ x−y =b   x − 2y = c Reduzindo este sistema, obtemos x = a+b 2 y = a−b 2 3b a 0=c− 2 − 2 Exemplo 30 No exemplo 21 da aula 20, vimos que a transforma¸ao linear T : R 4 → R3 c˜ dada por T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) tem n´cleo N (T ) = {0, k, 2k, −k)} que ´ gerado por {(0, 1, 2, −10}. Portanto u e dim N (t) = 1. Aplicando o teorema do n´cleo e da imagem, obtemos u dim R4 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 4 − 1 = 3 . 39 CEDERJ
  • 40. Teorema do N´cleo e da Imagem u De fato, se (a, b, c) ∈ Im(T ) ent˜o a   2x = a  (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (a, b, c) ⇒ x + 2y − z = b .   x − y + z + t = cc N˜o ´ dif´ verificar que este sistema tem solu¸ao para qualquer valor de a e ıcil c˜ (a, b, c), o que demonstra que dim Im(T ) = 3. Na pr´xima se¸ao veremos algumas aplica¸oes do teorema que acaba- o c˜ c˜ mos de provar para transforma¸oes injetoras e sobrejetoras. c˜ Transforma¸oes injetoras e sobrejetoras c˜ Vamos recordar algumas defini¸oes. Uma transforma¸ao T : V → W ´ c˜ c˜ e sobrejetora quando Im(T ) = W . Como Im(T ) ´ subespa¸o de W , ent˜o, se W e c a tem dimens˜o finita, temos que T ´ sobrejetora quando dim Im(T ) = dim W . a e Uma transforma¸ao ´ injetora quando c˜ e T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ v1 = v2 ⇒ v1 − v2 = 0 . No caso de transforma¸oes lineares, podemos dar outra caracteriza¸ao. c˜ c˜ Proposi¸˜o 1 ca Uma transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, vale o seguinte c˜ e T (v) = 0 ⇒ v = 0 . Demonstra¸ao. c˜ Se T ´ injetora ent˜o claramente vale a propriedade acima, pois T (v) = e a 0 e T (0) = 0 implica em v = 0 pela propriedade injetiva. Se vale a propriedade acima, temos que T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ T (v1 − v2 ) = 0 ⇒ v1 − v2 = 0 ⇒ v1 = v2 . Assim, entre as tranforma¸oes lineares, as injetoras s˜o aquelas em c˜ a que apenas o vetor nulo ´ levado no vetor nulo, isto ´ T ´ injetora quando e e e N (T ) = 0. CEDERJ 40