1. Aula 1: Revisão do secundário — Cálculo de
derivadas, Regras de derivação
Diana Aldea Mendes
ISCTE
3 de Fevereiro de 2009
1 Algumas regras de derivação
Em tudo que segue k representa um número real e u, v representam funções
reais de uma variável real.
• k0 = 0
• (ku)0 = ku0
• (u + v)0 = u0 + v0
¡ ¢0
• xk = kxk−1
¡ ¢0
• uk = kuk−1 u0
• (uv)0 = u0 v + uv 0
³ u ´0 u0 v − uv 0
• =
v v2
• (ex )0 = ex
• (eu )0 = u0 eu
1
• (ln x)0 =
x
u0
• (ln u)0 =
u
• (ax )0 = ax ln a, a > 0
• (au )0 = u0 au ln a, a > 0
• (sin x)0 = cos x
• (sin u)0 = u0 cos u
1

2. 1
• (arcsin x)0 = √
1 − x2
u0
• (arcsin u)0 = √
1 − u2
• (cos x)0 = − sin x
• (cos u)0 = −u0 sin u
1
• (arccos x)0 = − √
1 − x2
u0
• (arccos u)0 = − √
1 − u2
1
• (tan x)0 =
cos2 x
u0
• (tan u)0 =
cos2 u
1
• (arctan x)0 =
1 + x2
u0
• (arctan u)0 =
1 + u2
1
• (cot x)0 = −
sin2 x
u0
• (cot u)0 = −
sin2 u
1
• (arccot x)0 = −
1 + x2
u0
• (arccot u)0 = −
1 + u2
2 Exemplos
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções (utilizando as regras
de derivação conhecidas):
1. f (x) = 4x3 =⇒ f 0 (x) = 12x2
2. f (x) = (x − 1)2 =⇒ f 0 (x) = 2 (x − 1)
2 4
3. f (x) = =⇒ f 0 (x) = − 3
x2 x
2

3. 1 3
4. f (x) = √ =⇒ f 0 (x) = − √
5 5
x 3 5 x8
5. f (x) = x sin x =⇒ f 0 (x) = sin x + x cos x
6. f (x) = x3 ex =⇒ f 0 (x) = x2 ex (3 + x)
7. f (x) = cos2 x =⇒ f 0 (x) = −2 sin x cos x
(x − 1)2 2 (x − 1) (x + 2) − (x − 1)2
8. f (x) = =⇒ f 0 (x) =
x+2 (x + 2)2
1
9. f (x) = tan x =⇒ f 0 (x) =
cos2 x
10. f (x) = (x − 1)3 ln (sin x) =⇒ f 0 (x) = 3 (x − 1)2 ln (sin x)+(x − 1)3 cot x
4 ln3 x
11. f (x) = (ln x)4 =⇒ f 0 (x) =
x
¡ ¢
4 0 (x) = −
4(ln sin x3 + 3x3 cot x3 )
12. f (x) = =⇒ f
x ln (sin x3 ) (x ln (sin x3 ))2
Não esqueça que:
• ln A + ln B = ln AB
A
• ln A − ln B = ln
B
• A ln B = ln B A
• ln 1 = 0
• ln e = 1
• ln 0+ = −∞
• ln(+∞) = +∞
• eA eB = eA+B
eA
• = eA−B
eB
• e0 = 1
• e−∞ = 0
3

4. • e+∞ = +∞
√ √ √
• A + B 6= A + B
√ √ √
• AB = A B
√ ³√ ´n
• An = A
r √
A A
• =√
B B
³√ ´3 √
• A =A A
√
• m
An = An/m
A+B A B
• = +
C C C
A A A
• 6= +
B+C B C
• (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
¡ ¢
• a2 − b2 = (a − b) (a + b)
¡ ¢ ¡ ¢
• a3 − b3 = (a − b) a2 + ab + b2
¡ ¢ ¡ ¢
• a3 + b3 = (a + b) a2 − ab + b2
4