1. Universidade Aberta do Brasil - UAB
Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE
Licenciatura em Matem´atica - Quixeramobim (CE)
C´alculo II
Dicas de Resolu¸c˜ao da Tarefa 2
Quest˜ao 1: Note que temos a curva y = (
√
x)3
cuja derivada pode ser facilmente
calculada. ´E pedido que calculemos o comprimento dessa curva entre os pontos (0, 0) e
(4, 8); a varia¸c˜ao de x ´e obtida ao observarmos esses dois pontos. De posse da derivada
y e dos limites de integra¸c˜ao, aplicamos a f´ormula para o c´alculo do comprimento
dessa curva entre os pontos dados, que ´e:
⇒ L =
b
a
1 + [f (x)]2 dx
Quest˜ao 2: Esse item ´e similar ao anterior. Veja que temos a par´abola y2
= x,
cuja derivada pode ser calculada facilmente. ´E pedido o comprimento dessa par´abola
entre os pontos (4, 2) e (16, −4); a varia¸c˜ao de x pode ser encontrada simplesmente
observando-se os pontos dados. Com todas as informa¸c˜oes necess´arias, empregamos
a f´ormula:
⇒ L =
b
a
1 + [f (x)]2 dx
Quest˜ao 3: Temos a curva f(x) = 3
√
x3 − 1, com 1 ≤ y ≤ 8. A derivada f
pode ser calculada facilmente. ´E pedido mais uma vez o comprimento do arco, ent˜ao
empregamos a f´ormula:
⇒ L =
b
a
1 + [f (x)]2 dx
Exemplos similares `as quest˜oes 1, 2 e 3 foram trabalhadas no nosso 1o
encontro
presencial.
Quest˜ao 4: Temos a curva y2
= 10x, com 1 ≤ x ≤ 5. Devemos calcular a ´area
da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ao de y em torno do eixo x; a derivada de y pode
ser calculada facilmente. Ent˜ao, para o c´alculo da ´area da superf´ıcie, utilizamos a
seguinte f´ormula:
⇒ S = 2π
b
a
f(x) 1 + [f (x)]2 dx
Quest˜ao 5: Temos a curva x = y3
, com 2 ≤ y ≤ 5. Devemos calcular a ´area
da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ao de x em torno do eixo y; x pode ser encontrada
facilmente. Ent˜ao, para o c´alculo da ´area, empregamos a f´ormula:
⇒ S = 2π
b
a
f(y) 1 + [f (y)]2 dy
1

2. Quest˜ao 6: Veja que temos a equa¸c˜ao da elipse x2
+ y2
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= 1. Devemos calcular
a ´area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ao da elipse em torno do eixo y. Pode-
mos escrever essa equa¸c˜ao em fun¸c˜ao de x e aplicarmos a f´ormula da quest˜ao 5;
ou ainda parametrizar a equa¸c˜ao da elipse e aplicar a f´ormula correspondente. A
parametriza¸c˜ao pode ser encontrada em qualquer livro de C´alculo.
Quest˜ao 7: Temos a par´abola y2
= x, com 0 ≤ x ≤ 3. Um esbo¸c o da par´abola
nos auxilia na visualiza¸c˜ao de como devemos encontrar A(x) = πy2
. Em seguida,
calculamos a integral:
⇒ V =
b
a
A(x) dx
Quest˜ao 8: Aqui, calcularemos o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao de y =
2x+1 em torno do eixo y. Um esbo¸c o dessa reta nos auxilia na visualiza¸c˜ao de como
encontraremos A(y) = πx2
. Em seguida, calcularemos a integral:
⇒ V =
b
a
A(y) dy
Bons Estudos!
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