O documento apresenta 10 questões sobre polinômios e números complexos. As questões abordam tópicos como derivadas de polinômios, raízes de equações polinomiais, representação gráfica de funções polinomiais e operações com números complexos.

1. MACVEST
Matemática E
LISTA I – POLINÔMIOS E NÚMEROS COMPLEXOS
01 (Unicamp 2009 – 2ª fase) Seja f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 um polinômio de grau n tal que
an ≠ 0 e a j ∈ℝ , para qualquer j entre 0 e n. Seja g(x) = na nxn-1+(n-1)an-1xn-2+...+2a2x+a1 o
polinômio de grau (n-1) em que os coeficientes a 1, a2,..., an são os mesmos empregados na
definição de f(x).
h f ( x +h)− f ( x)
a) Supondo que n=2, mostre que g ( x+ )= , para todo
2 h
x ∈ℝ e h ∈ℝ , h≠0.
b) Supondo que n = 3 e que a3=1, determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que:
f(1) = g(1) = f(-1) = 0
02 (Unesp 2008 – Meio do ano) As raízes da equação x4+a=0 são os vértices de um quadrado
no plano compexo. Se uma raíz é 1+i e o centro do quadrado é 0+0i, determine o valor de ª
03 (Unesp 2009 – Meio do ano) O gráfico representa uma função polinomial p(x)=ax³+bx+c,
com a, b e c coeficientes reais, definida em ℝ2 .
a) Calcule os valores dos coeficientes a, b e c.
b) Quais as raízes de p(x) com suas respectivas multiplicidades?
04 (Unesp 2010) Uma raiz da equação x³-(2a-1)x²-a(a+1)x+2a²(a-1)=0 é (a-1). Quais são as
outras duas raízes desta equação?
05 (Unesp 2011 – Meio do ano) Transforme o polinômio P (x )=x 5 + x 2− x−1 em um
produto de dois polinômios, sendo um deles do 3ª grau.
06 (Fuvest 2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem
crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A
diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o
1

2. coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
07 (Fuvest 2011)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo
1 1
z0 = − +i
1+i 2i
b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z 0⋅w tenha módulo igual a 5 √ 2 e tais que
as partes real e imaginária de z 0⋅w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo z 1 que é o simétrico de z0 com relação à
reta de equação y – x = 0.
08 (Fuvest 2011) As raízes da equação do terceiro grau
x³ – 14x² + kx – 64 = 0
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine:
a) As raízes da equação.
b) o valor de k.
09 (Fuvest 2012) O polinômio p ( x )=x 4 + ax3 +bx 2 + cx−8 em que a, b, c são números reais,
teo o número complexo 1+i como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes
reais, de menor grau, que possuam estes novos valores como raízes.
−1+i √ 3
10 (Fuvest 2009) A figura representa o número ω= no plano complexo, sendo
2
i= √−1 unidade imaginária. Nessas condições:
1
a) determine as partes real e imaginária de ω e de ω3 .
b) represente a resposta da alternativa a na figura.
c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0.
2