1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre mecânica dos solos com o objetivo de auxiliar no ensino e aprendizado do tema. Está organizado em dez capítulos abordando propriedades de solos, classificação, permeabilidade, distribuição de pressões, compressibilidade, resistência ao cisalhamento, empuxos de terras, estabilidade de taludes e capacidade de carga superficial. Inclui também símbolos e fórmulas úteis para resolução dos exercícios.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento discute o conceito de função quadrática e parábola, incluindo suas propriedades e elementos como vértice, raízes e gráfico. Explica que uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c e que seu gráfico forma uma parábola, cuja concavidade depende do sinal de a e cujo vértice tem coordenadas xv = -b/2a e yv = -Δ/4a.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
O documento apresenta um índice com os títulos e páginas de vários capítulos e seções. Inclui exemplos numéricos e problemas resolvidos relacionados a fluxos, bombas, tubulações e hidráulica. Fornece detalhes sobre cálculos de perdas de carga, pressões, velocidades, potências e outros parâmetros hidráulicos.
O documento descreve as características e propriedades das funções quadráticas. Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que pode ter concavidade para cima ou para baixo. As raízes de uma função quadrática podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara, e dependem do sinal do discriminante ∆.
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre mecânica dos solos com o objetivo de auxiliar no ensino e aprendizado do tema. Está organizado em dez capítulos abordando propriedades de solos, classificação, permeabilidade, distribuição de pressões, compressibilidade, resistência ao cisalhamento, empuxos de terras, estabilidade de taludes e capacidade de carga superficial. Inclui também símbolos e fórmulas úteis para resolução dos exercícios.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento discute o conceito de função quadrática e parábola, incluindo suas propriedades e elementos como vértice, raízes e gráfico. Explica que uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c e que seu gráfico forma uma parábola, cuja concavidade depende do sinal de a e cujo vértice tem coordenadas xv = -b/2a e yv = -Δ/4a.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
O documento apresenta um índice com os títulos e páginas de vários capítulos e seções. Inclui exemplos numéricos e problemas resolvidos relacionados a fluxos, bombas, tubulações e hidráulica. Fornece detalhes sobre cálculos de perdas de carga, pressões, velocidades, potências e outros parâmetros hidráulicos.
O documento descreve as características e propriedades das funções quadráticas. Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, que pode ter concavidade para cima ou para baixo. As raízes de uma função quadrática podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara, e dependem do sinal do discriminante ∆.
O documento discute os colóides do solo, incluindo argilas, óxidos e hidróxidos de ferro e alumínio, e matéria orgânica. Ele descreve as propriedades dos colóides, como tamanho menor que 1 μm, carga superficial e capacidade de troca iônica. Também discute os principais tipos de argilas e como elas afetam a adsorção de cátions no solo.
1) O documento discute os conceitos de tensões nos solos, incluindo tensões devido ao peso próprio do solo, tensões efetivas de acordo com o princípio de Terzaghi, e tensões devido a cargas externas.
2) É apresentado o conceito de bulbos de tensões para descrever a propagação e distribuição de tensões em solos devido a cargas aplicadas.
3) São descritas soluções baseadas na teoria da elasticidade, como a solução de Boussinesq para carga concentrada, para estimar tensões em solos.
O documento discute tensões em vigas sob flexão, incluindo a decomposição de tensões, unidades de tensão, ensaio de tração, mecanismo de deformação em vigas sob flexão, e hipóteses básicas da teoria da flexão.
O documento resume os principais passos para realizar um teste de hipóteses estatísticas, incluindo: 1) Definir as hipóteses nula e alternativa; 2) Calcular a estatística do teste com base na amostra; 3) Determinar a região crítica com base no nível de significância; 4) Tomar uma decisão sobre aceitar ou rejeitar a hipótese nula de acordo com a regra de decisão. O documento fornece exemplos detalhados para ilustrar cada um desses passos.
Este documento apresenta a resolução de exercícios de cálculo de funções de várias variáveis. Os exercícios incluem encontrar funções para expressar relações geométricas e físicas, determinar domínios e conjuntos imagem de funções, e representar graficamente funções.
O documento discute conceitos básicos de funções do primeiro grau, incluindo: (1) definição de função do primeiro grau como f(x)=ax+b; (2) casos especiais como função linear, identidade e constante; (3) como determinar se uma função é crescente ou decrescente baseado no sinal de a; e (4) como traçar o gráfico de uma função do primeiro grau usando dois pontos.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
O documento discute funções do segundo grau, incluindo sua forma geral, estudo dos coeficientes, vértice e forma fatorada. Exemplos ilustram como calcular o vértice e transformar uma função em sua forma fatorada. Exercícios propõem problemas envolvendo funções quadráticas.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
O documento apresenta uma aula sobre espaços vetoriais. Define espaço vetorial como um conjunto não vazio com duas operações definidas: soma e multiplicação por escalar, que devem satisfazer propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elementos neutros. Em seguida, lista as propriedades que devem ser verificadas para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Por fim, propõe um exercício para verificar se um conjunto dado satisfaz as propriedades e portanto é um espaço vetorial.
1) O documento fornece uma tabela de derivadas e integrais comuns, incluindo fórmulas para derivadas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
2) Também apresenta regras úteis como a regra da cadeia, do produto, do quociente e L'Hospital, além de fórmulas para produtos notáveis, expoentes inteiros e fracionários, logaritmos, mudança de base e arco trigonométrico.
3) Por fim, lista identidades trigonométricas fundament
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
Este documento explica o conceito de potências, como representar multiplicações repetidas de um mesmo fator usando a notação de potência com base e expoente. Ele apresenta casos especiais como potências com expoente 1, 0 ou base 10, e regras para cálculos envolvendo potências como multiplicação, divisão, potência de potência, potência de produto, expoente negativo, base negativa ou fracionária. Por fim, fornece exemplos práticos para exercitar essas regras.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
O documento discute os sistemas de medidas e unidades, incluindo sistemas consuetudinários, sistemas MLT e FLT, o Sistema Britânico de Unidades e o Sistema Internacional. O Sistema Internacional é adotado internacionalmente e define as unidades básicas de metro, quilograma, segundo e outras.
1) O documento descreve uma adaptação curricular da disciplina de Física para o curso de Agronomia com o objetivo de estabelecer uma relação entre Física e Agronomia e favorecer a articulação entre os conteúdos.
2) A metodologia proposta envolve apresentar problemas relacionados à Agronomia para problematizar os alunos e depois ensinar os conceitos de Física necessários para entendê-los.
3) Os resultados mostraram uma melhora significativa no desempenho e aprovação dos alunos após a
O documento descreve um estudo da biodiversidade de macrorganismos no solo de uma área de capoeira na UFRA-Campus Capanema. Foram instaladas armadilhas do tipo "Pitfall" que capturaram 102 indivíduos de 12 ordens de invertebrados, principalmente formigas e mosquitos. O estudo mostrou grande variação de grupos faunísticos na área, com maior incidência de espécies de importância agrícola.
O documento discute os colóides do solo, incluindo argilas, óxidos e hidróxidos de ferro e alumínio, e matéria orgânica. Ele descreve as propriedades dos colóides, como tamanho menor que 1 μm, carga superficial e capacidade de troca iônica. Também discute os principais tipos de argilas e como elas afetam a adsorção de cátions no solo.
1) O documento discute os conceitos de tensões nos solos, incluindo tensões devido ao peso próprio do solo, tensões efetivas de acordo com o princípio de Terzaghi, e tensões devido a cargas externas.
2) É apresentado o conceito de bulbos de tensões para descrever a propagação e distribuição de tensões em solos devido a cargas aplicadas.
3) São descritas soluções baseadas na teoria da elasticidade, como a solução de Boussinesq para carga concentrada, para estimar tensões em solos.
O documento discute tensões em vigas sob flexão, incluindo a decomposição de tensões, unidades de tensão, ensaio de tração, mecanismo de deformação em vigas sob flexão, e hipóteses básicas da teoria da flexão.
O documento resume os principais passos para realizar um teste de hipóteses estatísticas, incluindo: 1) Definir as hipóteses nula e alternativa; 2) Calcular a estatística do teste com base na amostra; 3) Determinar a região crítica com base no nível de significância; 4) Tomar uma decisão sobre aceitar ou rejeitar a hipótese nula de acordo com a regra de decisão. O documento fornece exemplos detalhados para ilustrar cada um desses passos.
Este documento apresenta a resolução de exercícios de cálculo de funções de várias variáveis. Os exercícios incluem encontrar funções para expressar relações geométricas e físicas, determinar domínios e conjuntos imagem de funções, e representar graficamente funções.
O documento discute conceitos básicos de funções do primeiro grau, incluindo: (1) definição de função do primeiro grau como f(x)=ax+b; (2) casos especiais como função linear, identidade e constante; (3) como determinar se uma função é crescente ou decrescente baseado no sinal de a; e (4) como traçar o gráfico de uma função do primeiro grau usando dois pontos.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
O documento discute funções do segundo grau, incluindo sua forma geral, estudo dos coeficientes, vértice e forma fatorada. Exemplos ilustram como calcular o vértice e transformar uma função em sua forma fatorada. Exercícios propõem problemas envolvendo funções quadráticas.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
O documento apresenta uma aula sobre espaços vetoriais. Define espaço vetorial como um conjunto não vazio com duas operações definidas: soma e multiplicação por escalar, que devem satisfazer propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elementos neutros. Em seguida, lista as propriedades que devem ser verificadas para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Por fim, propõe um exercício para verificar se um conjunto dado satisfaz as propriedades e portanto é um espaço vetorial.
1) O documento fornece uma tabela de derivadas e integrais comuns, incluindo fórmulas para derivadas de funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
2) Também apresenta regras úteis como a regra da cadeia, do produto, do quociente e L'Hospital, além de fórmulas para produtos notáveis, expoentes inteiros e fracionários, logaritmos, mudança de base e arco trigonométrico.
3) Por fim, lista identidades trigonométricas fundament
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
Este documento explica o conceito de potências, como representar multiplicações repetidas de um mesmo fator usando a notação de potência com base e expoente. Ele apresenta casos especiais como potências com expoente 1, 0 ou base 10, e regras para cálculos envolvendo potências como multiplicação, divisão, potência de potência, potência de produto, expoente negativo, base negativa ou fracionária. Por fim, fornece exemplos práticos para exercitar essas regras.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
O documento discute os sistemas de medidas e unidades, incluindo sistemas consuetudinários, sistemas MLT e FLT, o Sistema Britânico de Unidades e o Sistema Internacional. O Sistema Internacional é adotado internacionalmente e define as unidades básicas de metro, quilograma, segundo e outras.
1) O documento descreve uma adaptação curricular da disciplina de Física para o curso de Agronomia com o objetivo de estabelecer uma relação entre Física e Agronomia e favorecer a articulação entre os conteúdos.
2) A metodologia proposta envolve apresentar problemas relacionados à Agronomia para problematizar os alunos e depois ensinar os conceitos de Física necessários para entendê-los.
3) Os resultados mostraram uma melhora significativa no desempenho e aprovação dos alunos após a
O documento descreve um estudo da biodiversidade de macrorganismos no solo de uma área de capoeira na UFRA-Campus Capanema. Foram instaladas armadilhas do tipo "Pitfall" que capturaram 102 indivíduos de 12 ordens de invertebrados, principalmente formigas e mosquitos. O estudo mostrou grande variação de grupos faunísticos na área, com maior incidência de espécies de importância agrícola.
separação magnética e eletrostática: Aplicação IndustrialRogério Papa
O documento descreve vários processos industriais de separação magnética e eletrostática, incluindo suas aplicações na mineração, reciclagem e indústrias alimentícias. Detalha como os separadores magnéticos removem materiais ferrosos em processos como beneficiamento de minério de ferro, reciclagem de plásticos e resíduos de construção civil. Também explica como a separação eletrostática é usada na indústria de areias monazíticas para obter terras raras.
O gráfico mostra que a velocidade da partícula varia linearmente com a posição x. Isso significa que a aceleração é constante. Para encontrar o valor da aceleração, basta calcular a inclinação da reta, que é dada pela variação de velocidade dividida pela variação de posição. Neste caso, a variação de velocidade é de 6 m/s e a variação de posição é de 4 m. Logo, a aceleração é de 6/4 = 1,5 m/s2.
Conclusão: a aceleração é constante
Microscopia de ultravioleta e fluorescênciaAline Arantes
O documento descreve os princípios da microscopia ultravioleta e fluorescência. Estes tipos de microscopia usam luz ultravioleta em vez de luz branca comum para permitir uma melhor resolução. Os fluoróforos são corantes que se ligam a estruturas celulares específicas e emitem luz visível quando excitados por luz ultravioleta, permitindo a visualização destas estruturas. A fluorescência múltipla usa vários fluoróforos para visualizar várias estruturas ao mesmo tempo.
Este documento descreve o ciclo do nitrogênio na natureza. O nitrogênio é essencial para a vida e é fixado no solo por bactérias em nódulos de raízes de leguminosas. Ele é transformado em diferentes formas através da amonificação, nitrificação e desnitrificação por bactérias do solo antes de ser absorvido por plantas.
Este documento é uma monografia apresentada para conclusão de curso de Administração na Universidade Federal de Mato Grosso. A monografia aborda o estudo da administração agrícola, revisando a literatura sobre o tema, caracterizando o setor agrícola, discutindo a administração rural moderna, a administração da produção, comercialização, armazenamento e marketing rural. O trabalho foi orientado pela professora Rosa de Almeida Freitas Albuquerque.
O documento discute o conceito e elaboração de receitas agronômicas. A receita agronômica é um documento legal que prescreve o uso correto de defensivos agrícolas e deve ser elaborada por profissionais habilitados. Ela deve conter informações como diagnóstico, produto recomendado, dose, época e modo de aplicação com base na leitura da rotulagem. A receita agronômica objetiva orientar o uso seguro e racional de defensivos para proteger a saúde e o meio ambiente.
O documento discute as ligações químicas entre átomos, especificamente as ligações iônicas que ocorrem quando um metal reage com um não-metal. Explica que os metais transferem elétrons para os não-metais, formando íons positivos e negativos que se atraem e formam cristais iônicos. Como exemplo, descreve a reação do sódio com o cloro para formar cloreto de sódio, representando a transferência de elétrons na fórmula de Lewis.
O documento discute a engenharia agronômica, incluindo suas principais áreas de atuação como produção vegetal, produção animal e processamento de produtos agropecuários. Também aborda as principais instituições do setor agro no Brasil e no mundo, além da importância econômica e social da agricultura no país.
Este documento resume las fórmulas para derivar varias funciones elementales comunes como constantes, funciones afines, potencias, raíces, sumas, productos, cocientes, funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas, así como las reglas de la cadena y derivada implícita.
1) A agricultura é uma das atividades humanas mais antigas e sua história está ligada ao desenvolvimento das civilizações.
2) As técnicas agrícolas evoluíram lentamente ao longo do tempo, desde práticas rudimentares até alcançar um alto grau de sofisticação tecnológica.
3) O agricultor moderno precisa de conhecimentos administrativos e econômicos para gerir melhor seu negócio diante da complexidade do agronegócio atual.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
1. O documento apresenta o projeto político-pedagógico do curso de Agronomia da Universidade Federal do Ceará, discutindo sua justificativa, pressupostos, princípios, missão, perfil do profissional e áreas de atuação.
2. O currículo é estruturado em núcleos de conteúdos básicos e profissionalizantes, com disciplinas obrigatórias e optativas. Inclui estágio supervisionado e trabalho de conclusão de curso.
3. O perfil do docente
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA Izion warek human
El documento presenta una guía de problemas resueltos de Física I que abarca temas de mecánica, movimiento ondulatorio y calor. La guía contiene problemas resueltos de cada tema junto con las fórmulas y conceptos fundamentales, y está organizada de acuerdo al programa teórico de Física I de la Universidad Nacional de Catamarca. Los problemas han sido tomados de diferentes textos y recreados para vincularlos con temas de geología.
O documento discute a Série de Fibonacci e o Número de Ouro. Apresenta como a Série de Fibonacci gera o Número de Ouro e como este está presente em muitos aspectos da natureza, arte, arquitetura e outros. Explica também como construir o Retângulo de Ouro geometricamente.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
O documento discute limites de funções. Aborda conceitos como limite de funções, propriedades dos limites, limites laterais, limites no infinito e infinitos, critérios para limites como o critério de Cauchy e o teorema do sanduíche. Também discute relação entre limites e sequências, limites de funções em espaços métricos e o critério de Stolz-Cesàro para limites de funções.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
Este documento fornece informações sobre funções logarítmica. Discute definições, propriedades, representações gráficas e aplicações de logaritmos e funções logarítmicas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
[1] A regra de L'Hôpital fornece um método para calcular limites indeterminados do tipo 0/0 e ∞/∞, derivando numerador e denominador e tomando o limite da razão das derivadas. [2] A demonstração mostra que diversos casos podem ser reduzidos a limites à esquerda quando x tende a 0, e aplica a regra nesses casos. [3] Exemplos ilustram a aplicação da regra e situações em que ela não se aplica.
O documento discute limites de funções reais de variável real. Apresenta a definição formal de limite, casos particulares como limites laterais e no infinito, propriedades dos limites e exemplos de cálculo de limites e resolução de indeterminações.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites infinitos e no infinito, teoremas do confronto e anulamento, e limites trigonométricos. Inclui 33 exercícios para calcular limites ou verificar a continuidade de funções.
2. As respostas fornecem os valores dos limites ou justificam a não existência para cada exercício, demonstrando o uso correto dos conceitos apresentados no documento.
3. Alguns exercícios pedem também a determinação de assíntotas ou verificação da extensão
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
A derivada de uma função constante é zero. A derivada de uma função potência é o expoente multiplicado pelo termo com o expoente subtraído um. A derivada de uma função multiplicada por uma constante é igual a essa constante multiplicada pela derivada da função.
Este documento apresenta um resumo do capítulo 1 - Limites do curso de Cálculo ministrado pelo professor Gustavo Viegas. O capítulo introduz os conceitos fundamentais de limites, incluindo limites num ponto, limites laterais, limites infinitos e assíntotas verticais, ilustrando cada tópico com exemplos.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
LIVRO MPARADIDATICO SOBRE BULLYING PARA TRABALHAR COM ALUNOS EM SALA DE AULA OU LEITURA EXTRA CLASSE, COM FOCO NUM PROBLEMA CRUCIAL E QUE ESTÁ TÃO PRESENTE NAS ESCOLAS BRASILEIRAS. OS ALUNOS PODEM LER EM SALA DE AULA. MATERIAL EXCELENTE PARA SER ADOTADO NAS ESCOLAS
livro para professor da educação de jovens e adultos analisarem- do 4º ao 5º ano.
Livro integrado para professores da eja analisarem, como sugestão para ser adotado nas escolas que oferecem a educação de jovens e adultos.
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Atividade - Letra da música "Tem Que Sorrir" - Jorge e MateusMary Alvarenga
A música 'Tem Que Sorrir', da dupla sertaneja Jorge & Mateus, é um apelo à reflexão sobre a simplicidade e a importância dos sentimentos positivos na vida. A letra transmite uma mensagem de superação, esperança e otimismo. Ela destaca a importância de enfrentar as adversidades da vida com um sorriso no rosto, mesmo quando a jornada é difícil.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
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Aula inicial física agronomia
1.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
CAMPUS CAPANEMA
EIXO TEMÁTICO INSTRUMENTALIZAÇÃO III
PROF. MSC. GERALDO SOUZA DE MELO
CAPANEMA – PA
2014
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL CH: 68 H
2. • Sistemas de Medidas e Unidades
(S.I).
• As Leis de Newton
• Gravitação
• Trabalho e Energia
• Impulso e Momento Linear
• Equilíbrio
• Calor
• Dilatação dos Corpos
• As Leis da Termodinâmica
• Propagação de Ondas
• A lei de Coulomb
• O campo elétrico
• A lei de Gauss
• Potencial elétrico
• Capacitância e Corrente
Elétrica.
• Resistência e Força
Eletromotriz
• Circuitos
• O Campo Magnético
• Corrente Alternada
• Natureza e Propagação da Luz
• Imagens formadas por uma
superfície
• Lentes e Instrumentos Óticos
• Aplicação da Física Nuclear na
Agricultura.
• Noções de biofísica.
EMENTA
3. REFERÊNCIAS
Hewitt, Paul G. (2002). Fundamentos de Física Conceitual, Ed. Bookman.
Tipler, Paul A.; MOSCA, Gene (2006). Física para Engenheiros e cientistas:
mecânica, oscilações, ondas e termodinâmica: vol. 1. 6.ed.
H. Moysés Nussenzveig (2004). Curso de Física Básica - 1 Mecânica Ed.
Edgard Blücher.
Walker, Jearl; Resnick, Robert; Halliday, David (2009). Fundamentos de
Física 1 – Mecânica , Ed. LTC.
Jewett Jr.; John W.; Raymond A. Serway (2011). Física para Engenheiros e
cientistas, vol 1 e 2. 8 ed.
4. CRONOGRAMA DAS AVALIAÇÕES
Dia 28/03/2014: 1º NAP
Dia 09/05/2014: 2º NAP
Dia 06/06/2014: NAF
Dia 15 e 16/07/2014: NAC
5. MÉTODO DE AVALIAÇÃO
PROVAS
• 1º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 1º NAP
• 2º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 2º NAP
• NAF (PROVA)
• NAC (PROVA)
6. SISTEMA DE AVALIAÇÃO
1º MÉDIA (M1):
2º MÉDIA (M2):
SE M2 ESTIVER ENTRE 4,0 E 5,9 O ALUNO ESTÁ APTO A FAEZR O
NAC.
3º MÉDIA (M3):
(1º NAP 2º NAP)
1 8
2
M APROVADO
+
= → ≥ →
(1º NAP 2º NAP+ NAF)
2 6
3
(1º NAP 2º NAP+ NAF)
2 4
3
M APROVADO
M REPROVADO
+
= → ≥ →
+
= → < →
( 2 NAC)
3 6
2
( 2 NAC)
3 6
2
M
M APROVADO
M
M REPROVADO
+
= → ≥ →
+
= →< →
7. LIMITES
NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
Considere que uma pessoa que observa o ângulo de elevação do topo de
uma árvore, da qual ela se aproxima, em uma mesma direção.
Observe que quando a distância d
dessa pessoa à árvore se aproxima de
zero, o ângulo θ se aproxima de 90o
.
Logo o ângulo de elevação θ é função da distância d (quanto menor a distância maior
é o ângulo de elevação), assim você pode escrever que θ = f (d ).
Podemos dizer então que “o ângulo de elevação θ tendeu ao limite 90o
quando a
distância d se aproximou de zero”.
Usando a representação matemática: ou
0
lim 90
d
θ
→
= °
0
lim ( ) 90
d
f d
→
= °
7
8. LIMITES
NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
Vamos considerar a seguinte função:
E analisar o seu comportamento, quando a variável x se
aproxima de um ponto a. A partir da tabela abaixo, vemos o
comportamento da função a medida que x se aproxima de 1
por valores menores e maiores que 1.
( )
( ) ( )
( )
3 2 1
; 1
1
x x
f x x
x
+ −
= ≠
−
8
9. NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
Nas duas situações a medida que x se aproxima cada vez
mais de 1, a função se aproxima cada vez mais de 5, ou seja,
é possível obter o valor da função tão próximo de 5 quanto
desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de
1. O gráfico abaixo mostra esse comportamento.
LIMITES
( )lim
x a
f x L
→
=
NOTAÇÃO
( )1
lim 3 2 5
x
x
→
+ =
9
10. PROPRIEDADES DOS LIMITES:
Vamos considerar k uma constante e as funções e ,
que possuem os seguintes limites:
Então usando as propriedades dos limites temos:
( )f x ( )g x
( ) ( )lim lim
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
( ) lim
x a
a k k
→
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
c f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
d f x g x f x g x L M
→ → →
− = − = −
( ) ( ) ( )lim lim
x a x a
b kf x k f x kL
→ →
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
e f x g x f x g x L M
→ → →
× = × = ×
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim
lim ; lim 0
lim
x a
x a x a
x a
f xf x L
f se g x
g x g x M
→
→ →
→
= = ≠
10
11. LIMITES LATERAIS
LIMITE A ESQUERDA:
Se f(x) tende para L1 quando x tende para a através de valores
menores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende
para a pela esquerda e indica-se por:
LIMITE A DIREITA:
Se f(x) tende para L2 quando x tende para a através de valores
maiores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende
para a pela direita e indica-se por:
( ) 1lim
x a
f x L−
→
=
( ) 2lim
x a
f x L+
→
=
11
12. LIMITES LATERAIS
Considere a função :
x
)x(f
1
= D(f) = R – {0}.
−∞=
→
)/1(lim
-
0x
x
+∞=
+
→
)/1(lim
0x
x
Limite a Esquerda:
Limite a Direita:
12
13. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOS
LIMITES
Para que o limite de uma função exista é preciso que os limites
laterais desta função existam e sejam iguais, desta forma o
limite de f(x) será igual aos limites laterais, caso contrário o
limite não existirá.
Exemplo: Seja a função f definida por
( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x L+ −
→ →
= =
( )lim
x a
f x L
→
=
( ) 2
2 1
; 1
1
x se x
f x x
x se x
− >
= ≠
<
( )1
) lim
x
a f x+
→
( )1
) lim
x
b f x−
→
Determine os limites laterais e mostre se o limite existe
13
14. LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
LIMITES INFINITOS:
Considere a função definida por:
Vamos analisar o comportamento da função quando x está se
aproximando de 3 pela direita e pela esquerda.
( )
( )
2
2
; 3
3
f x x
x
= ≠
−
( )
2
3
2
lim
3x x
+
→
= +∞
−
( )
2
3
2
lim
3x x
−
→
= +∞
−
14
15. LIMITE DE UMA FUNÇÃO
( )f x k=
( )lim lim
x a x a
f x k k
→ →
= =
Limites de Funções Constantes
( ) 1
1 1 0....n n
n np x b x b x b x b−
−= + + + +
( ) ( )lim
x a
p x p a
→
=
Exemplo:
( )2 0
lim4 4 lim 6 6
x x→ →
= − = −
( )2
2
lim 2
x
x x
→
+ − = ( )2 2
2
lim 2 2 2 2 4
x
x x
→
+ − = + − =
Exemplo:
Limites de Funções Polinomiais
2
2 2 2
lim lim lim2
x x x
x x
→ → →
+ −
15
16. Limites de Funções Racionais
( )
( )
( )
( ); 0
P x
f x Q x
Q x
= ≠
( )
( )
( )
lim lim
x a x a
P x
f x
Q x→ →
=
3 2
3 21
3 7 1
lim
5 2 3x
x x x
x x x→
− + −
=
− + +
Exemplo
3 2
3 2
3.1 1 7.1 1 8
5.1 2.1 1 3 7
− + −
=
− + +
x → ∞Quando uma técnica utilizada para calcular o limite da função racional é dividir
apenas os termos de maior grau dos dois polinômios.
6 5 3
5 3
2 7 2
lim
2 4x
x x x
x x→∞
− + +
=
− +
2
2
2 3
lim
3x
x x
x→∞
− −
= ÷
−
6
5
lim lim
x x
x
x
x→∞ →∞
= = ∞
2
2
lim lim1 1
x x
x
x→∞ →∞
= =
16
17. Limites de Funções Exponenciais
( ) x
f x b=
1 – Para b > 1 e x → -∞ :
lim 0x
x
b
→−∞
=
2 – Para b > 1 e x → +∞ :
lim x
x
b
→+∞
= +∞
3 – Para 0 < b < 1 e x → +∞ :
lim 0x
x
b
→+∞
=
lim x
x
b
→−∞
= +∞
4 – Para 0 < b < 1 e x → -∞ :
17
18. Limites de Funções Trigonométricas
( ) ( )sinf x x= ( ) ( )cosf x x=
e
( ) ( )limsin sin
x a
x a
→
= ( ) ( )limcos cos
x a
x a
→
=
Para as funções tangente, cotangente, secante e cossecante os limites
existem e podem ser calculados apenas nos pontos em que as funções
são definidas, logo.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin sin
lim lim ; cos 0
cos cosx a x a
x a
tg x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos cos
lim lim ; sin 0
sin sinx a x a
x a
cotg x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( ) ( )
( )
1 1
limsec lim ; cos 0
cos cosx a x a
x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( ) ( )
( )
1 1
limcossec lim ; sin 0
sin sinx a x a
x para a
x a→ →
= = ≠
18
19. LIMITES
• Em um experimento de adubação a resposta do crescimento
de uma planta (cm) pode ser dada por
Em que x > 0 (g/m) é a quantidade de fertilizante adicionada.
Calcule o limite de f(x) quando x tende para o infinito.
• O efeito combinado da temperatura e da umidade sobre o teor
de N do solo foi expresso por
Em que T é a temperatura anual média ºC. Calcule os limites
( )
20
5
x
f x
x
=
+
( ) 0,08
0,05 T
N T e−
=
0
lim
T
N
→
lim
T
N
→∞ 19
20. DERIVADAS
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por
f’(x), sendo calculada a partir do limite abaixo:
NOTAÇÃO
( )
( ) ( )
0
lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
( ) ( )i y f x′ ′= ( ) ( )xii D f x ( ) xiii D y
( )
dy
iv
dx
( ) ( )v y f t= &&
20
21. FUNÇÃO CONTANSTE
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ; tanf x c c cons te= →
( ) ( ) 0f x c f x′ ′ ′= → =
( ) ( )4 0f x f x′= → =
( ) ( )6 0f x f x′= − → =
( ) ( )
4
0
7
f x f x′= → =
Exemplo:
( ) ( )
5
0
2
f x f x′= − → =
21
22. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) n
f x x=
( ) 1n
f x n x −
′ =
( ) 3
f x x=
( ) 7
f x x−
=
( ) 3/4
f x x=
( ) 5/2
f x x−
=
Exemplo:
22
23. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA
FUNÇÃO
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( )g x c f x=
( ) ( )g x c f x ′′ =
( ) ( )g x c f x′ ′=
( ) 4
5f x x=
( ) 6
2f x x−
=
( ) 3/4
4f x x=
Exemplo:
23
24. DERIVADA DE UMA SOMA DE FUNÇÕES
Essa regra vale para a diferença de funções, assim como para
um número qualquer de funções que estejam sendo somadas
ou subtraídas.
Exemplo:
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( )f x g x h x= +
( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x= + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x′ ′′ ′ ′= + + + +
( ) 2
3 5 4f x x x= + − ( ) 6 4 2
2 4f x x x x−
= − + ( ) 3/4 5 3
2 6 4f x x x x= − +
24
25. DERIVADA DE UM PRODUTO DE FUNÇÕES
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( ).g x f x h x=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .g x f x h x f x h x′ ′ ′= +
( ) ( )( )2
3 5 4f x x x= + −
( ) ( )( )6 4
2 5f x x x= + −
Exemplo:
( ) ( )( )5 4
6 5f x x x= −
( ) ( )( )6 3
2 4f x x x= +
25
26. DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( )
( )
( )
( ); 0
f x
g x h x
h x
= ≠
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
. .f x h x f x h x
g x
h x
′ ′−
′ =
( )
2
1
x
f x
x
+
=
−
( )
( )2
5
3
f x
x
=
−
Exemplo:
26
27. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) x
f x a=
( ) ( )x
f x a ′′ =
( ) lnx
f x a a′ =
a e=
( ) ( )x
f x e ′′ =
( ) ln ; ln 1x
f x e e e′ = =
Um caso particular ocorre quando
( ) x
f x e′ =
27
28. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) logx
af x =
( ) ( )logx
af x ′′ =
( )
1
ln
f x
x a
′ =
( ) ( )lnf x x ′′ =
( )
1
; ln 1
ln
f x e
x e
′ = =
Um caso particular ocorre quando a e=
( )
1
f x
x
′ =
28
29. DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( ) ( )sin cosf x x f x x′= → =
( ) ( ) ( ) ( )cos sinf x x f x x′= → = −
( ) ( ) ( ) ( )2
secf x tg x f x x′= → =
29
30. DERIVADAS SUCESSIVAS
Dada a função y = f(x) derivável em um intervalo I qualquer,
então a sua derivada primeira será:
Se a função f’(x) for derivável, então existe a função chamada
de derivada segunda.
Logo se f(x) for uma função n vezes derivável podemos obter a
função chamada de derivada enésima de f(x).
( )y f x′ ′=
( )y f x′′ ′′=
( ) ;n
f x n númerodederivadas=
30
31. REGRA DA CADEIA
É uma regra usada para derivar funções compostas, por
exemplo:
Para isso devemos usar a seguinte relação:
Exemplo:
( )y f u x=
dy dy du
dx du dx
=
( )
72
5 2y x x= + +
5
3 2
2 1
x
y
x
+
= ÷
+
31
32. DERIVADAS
• A função descreve o nível de pH do solo como
função do tempo t em anos. Calcule g’(90).
• Sendo a qual descreve a proliferação de fungos
(milhões) em uma lavoura no tempo t (dias), calcule f’(4) e f’(8).
• A vazão de um canal horizontal de irrigação, considerando a
distância do jato igual a 30 cm é dada em função do diâmetro
do tubo d, sendo . Calcule Q’(9).
• A produção anual de matéria seca de certa variedade de trigo y
(g/m), em função da precipitação total média anual x (mm/ano)
é dada por . Calcule
( ) 0,05 10,73g t t= +
( ) 0,15
6 t
f t e=
( ) 2
375Q d d=
( ) ( )0,000664
3000 1 x
y x e−
= − ( )5y′
32
33. • A quantidade de chuva em função do dia climatológico é dada por
Calcule
A relação entre fertilidade da espiga f e temperatura do dossel x (ºC) no
caso do arroz pode ser aproximada por
Calcule f’(28)
A quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes
x colocadas na cova é dada pela equação
Calcule a produção em f’(6) e f’(10)
DERIVADAS
( )
173
1,91 0,66sin 2
365
N
r N π
−
= + ÷
( )200dr
dN
( ) ( )860,01 234,53lnf x x= −
( ) 3 2
12 /f x x x kg ha= − +
33
34. APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Na Física:
Velocidade e Aceleração Instantânea
Exemplo:
Dada a função espaço encontre a velocidade e a aceleração
instantânea.
( )
( )
( )
dS t
v t S t
dt
′= = ( )
( )
( )
dv t
a t v t
dt
′= = ( )
( ) ( )2
2
dS t d S td
a t
dt dt dt
= = ÷
( ) 3 2
4 2 12S t t t t= − +
34
35. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
É usada para calcular as variações de funções em
determinados pontos ou em determinados instantes de tempo,
dando informações mais precisas sobre o comportamento das
funções.
Exemplo:
A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t
horas, a colônia terá a população P(t), que obedece a lei
a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t.
c) Determine essa variação instantânea após 10 horas.
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
( )
( ) ( )
0
lim
x
f x x f xdy
f x
dx x∆ →
+ ∆ −
′= =
∆
( )
( ) ( )
0
lim
t
f t t f tdy
f t
dt t∆ →
+ ∆ −
′= =
∆
( ) 10000.1,2t
P t =
35
36. Exemplo:
Um rebanho é atingido por uma epidemia. O número de
indivíduos infectados em um tempo t dado em meses é
representado por:
a) Qual o número de infectados depois de 100 meses?
b) Encontre a lei que dá a variação do número de indivíduos
infectados em relação ao tempo t.
c) Determine essa variação instantânea após t = 4 e 8 meses.
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
( )
3
64
3
t
E t t= −
36
37. MÁXIMOS E MÍNIMOS
Dadas as funções:
x = 3 é um ponto de máximo local
f(3) = 4 valor máximo da função
( ) 2
6 5f x x x= − + − ( ) 2
5 4f x x x= − +
x = 5/2 é um ponto de mínimo local
f(5/2) = -9/4 valor mínimo da função
37
38. De forma geral temos uma função f(x) definida em um intervalo
[a,b].
Pontos de máximo locais: x2, x4 e x6.
Máximos locais de f(x) : f(x2), f(x4) e f(x6).
Pontos de mínimo locais: x1, x3 e x5.
Mínimos locais de f(x): f(x1), f(x3) e f(x5).
Os pontos entre um máximo e um mínimo são chamados de
pontos críticos.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
38
39. Para determinarmos os pontos máximos e mínimos de uma função
devemos primeiro calcular o seu ponto crítico, usando a seguinte
relação:
Esses pontos podem ser máximos ou mínimos, para verificarmos
isso devemos calcular a segunda derivada da função f(x) e substituir
os pontos críticos na .
DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
( ) 0f x′ =
( )f x′′
( )
( )
( )
0,
0,
0, inf
Se f x entãoo pontocríticoé pontodemínimo
Se f x entãoo pontocríticoé pontodemáximo
Se f x entãoo pontocríticoé pontode lexão
′′ >
′′ <
′′ =
39
40. Exemplo:
Exemplo:
A taxa na qual ocorre a fotossíntese na folha de uma planta é
representada por
Determine o tempo em que a produção de oxigênio é máxima.
DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
( ) 3 2
6 9 1f x x x x= − + +
( ) 3 215
18
2
f x x x x= − +
( ) ( )0,02 0,1
100 ;t t
P t e e t medidoemdias− −
= −
40
41. DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
• Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) a adição de
fósforo x, em que 0 ≤ x ≤ 210 (ppm P) é medido pela função
Calcule os pontos críticos e mostre quais são pontos de
máximo e mínimos e calcule os valores máximos e mínimos da
função.
( ) 3 2
0,008 0,006 0,06 6,7f x x x x= − + + +
41
42. INTEGRAL DEFINIDA
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é o perímetro
do polígono aproxima-se do comprimento do círculo 2πr e a
altura aproxima-se do raio r do círculo, logo podemos usar o
seguinte limite para calcular a área do círculo.
INTEGRAL
.
2
n n
Tn
l h
A = n nP nl=
. .
2 2
n n n n
n
l h p h
A n= =
n → +∞
limc n
n
A A
→∞
=
2. 2 .
lim
2 2
n n
c
n
p h r r
A r
π
π
→∞
= = =
42
43. Consideremos agora o problema de definir a área de uma região
plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não
negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b como
vemos abaixo.
INTEGRAL
1 1 2 2 3 3[ . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( )]n nA x f x x f x x f x x f x= ∆ + ∆ + ∆ + + ∆
1
. ( )
n
i i
i
A x f x
=
= ∆∑
( )if x
ix∆
43
44. A área A da figura é definida como o limite da soma das áreas
desses retângulos, chamada de soma de Riemann, quando n
tende ao infinito, isto é:
Ou
Usando a notação de Leibniz a área é dada pela integral
abaixo chamada de Integral Definida.
INTEGRAL
)](....)(.)(.)(.[lim 321 n
n
xfxxfxxfxxfxA ∆++∆+∆+∆=
∞→
∑=
∞→
∆=
n
i
i
n
xxfA
1
).(lim
∫=
b
a
dxxfA )(
44
46. PROPRIEDADES
Sejam f (x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e
k uma constante real. Então:
INTEGRAL
( )i dx x C= +∫
( ) ( ) ( )ii k f x dx k f x dx=∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iii f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )iv f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
( ) [ ( ). ( )] ( ). ( )v f x g x dx f x g x′ =∫
46
47. INTEGRAIS IMEDIATAS
INTEGRAL
∫ −≠+
+
=
+
1,
1
1
α
α
α
α
C
x
dxx
∫ += Cxtgdxx2
sec
dx x C= +∫
∫ +−= Cxgdxx cotseccos 2
Cxdx
x
+=∫ ln
1
Cxdxxtgx +=∫ sec.sec
∫ += C
a
a
dxa
x
x
ln
Cxdxgxx +−=∫ seccoscot.seccos
Cxdxx +−=∫ cossen
Cxdxx +=∫ sencos
x x
e dx e C= +∫
47
48. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b].
Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável
nesse intervalo, tal que F´(x) = f(x), para todo x de [a, b].
Então, temos:
Exemplos:
INTEGRAL
( )( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = − ∫
∫ =
2
0
2
dxx
2
( 2)x dx+ =∫
∫−
=−
1
1
2
)6( dxx
∫ =2
0
sen
π
dxx∫−
=
1
1
7dx
∫ =+−
2
0
2
)53( dxxx ∫ =−+− dxxxx )1775( 23
∫ =+ dxxx )cos3(sen
48
49. • O controle de N na cultura de algodão é importante para determinar a
produção e a qualidade da fibra. O efeito da aplicação de N na altura da
planta é dado por
Em que x é a quantidade de N aplicada, 0 ≤ x ≤ 150 m
moles/planta/semana, e f(x) descreve a porcentagem de uma altura máxima
atingida. Qual o aumento na porcentagem da altura quando as quantidades
de N variaram de 20 a 40 moles/planta/semana? E de 40 a 60
moles/planta/semana? Em qual dos intervalos se obteve melhor resposta
na aplicação de N?
• Estima-se que daqui a x dias a população P de bactérias irá variar a uma
taxa de
Se a população atual é de 300 bactérias, qual a população daqui a 9 dias?
INTEGRAL
( ) 0,155
46,2f x x=
3 2 ; /
dP
x bactérias dia
dx
= +
49
50. Métodos da Substituição
É usado para resolver integrais de funções compostas
Fazendo u = g(x), tem-se que du = g’(x) dx, substituindo na
expressão anterior, temos:
Exemplos:
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
( )( ) ( ) ( )( ).f g x g x dx F g x c′ = +∫
( )( ) ( ) ( ). ( )f g x g x dx f u du F u c′ = = +∫ ∫
2
2
1
x
dx
x+∫ ( ) ( )2
sin cosx x dx∫ ( )
7
3 7
dx
x +
∫
50
51. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
O método de integração por partes é um método usado para
integrar produtos de funções [f(x)g(x)] através da seguinte
equação.
Onde u = f(x) e v = g(x), as diferenciais são du = f’(x)dx e dv =
g’(x)dx. A escolha de u e dv deve ser feita de forma que a
integral inicial torne-se mais fácil de ser resolvida após as
substituições.
Exemplos:
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
udv uv vdu= −∫ ∫
ln x dx∫
2 t
t e dt∫ ( )sint
e t dt∫ ( )2
sinx x dx∫
51
52. CÁLCULO DE ÁREAS
O cálculo de área abaixo de uma curva pode ser feito por
integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem.
Exemplo:
( )
b
a
A f x dx= ∫
( )
2
0
cosA x dx
π
= ∫
52
53. Vamos considerar uma situação em que temos uma região que está
entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) e que f(x) ≥ g(x) para
todo x em [a,b].
Faça o gráfico de cada função no mesmo plano cartesiano e
identifique a região limitada.
Determine os limites de integração igualando as duas funções.
Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas
curvas.
CÁLCULO DE ÁREAS
( )( ) ( )
b
a
A f x g x dx= −∫
53
54. Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas
Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas
CÁLCULO DE ÁREAS
( ) ( ) 2
6f x x e g x x= + =
( ) ( )2 2
8f x x e g x x= − =
54
55. APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS
Cálculo do Trabalho
W = Trabalho
F = Força
dx = Deslocamento
Custo Total de Armazenamento
Q(t) = Quantidade de Produto
C(t) = Custo de Armazenagem
2
1
x
x
W Fdx= ∫
( ) ( )
0
. . ;
t
CustoT Armaz C t Q t dt reais= ∫
55
56. Taxas de Crescimento de População
Cálculo de Áreas
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS
( ) ( ) ( )
0 0 0
t P t
t P t
dP
P t f t dt ou f t dt
P
= =∫ ∫ ∫
( )
b
a
A f x dx= ∫
56