O documento discute logaritmos e exponenciais, definindo logaritmos como a função inversa da exponencial. Apresenta propriedades e operações com logaritmos, incluindo mudança de base e logaritmos decimais e neperianos. Explica a relação geométrica entre logaritmos naturais e áreas sob a curva y=1/x.

1. Logaritmo e Exponencial
Ana Maria Xavier
Pesquisadora Titular
Comissão Nacional de Energia Nuclear

2. A função f(x) = bx
é denominada função exponencial de base b, positiva,
sendo definida para todo número x real.
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático
escocês John Napier (1550-1617), motivado pela
necessidade de simplificar cálculos, tendo sido
aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630).
Por meio dos logaritmos, podem-se transformar as
operações de multiplicação em soma e de divisão em
subtração, entre outras transformações.
Na realidade, logaritmo é uma nova denominação para
expoente.

3. Quando se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, é o
mesmo que dizer que 23 = 8, ou seja,
log2 8 = 3
⇒
8 = 23
Assim, o logaritmo de um número real e positivo N, na base
b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve
elevar b para se obter N.
logb N = x
⇒ N = bx
x – logaritmo de N na base b
Pela definição de logaritmo, infere-se que somente os
números reais positivos possuem logaritmo.

4. Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são
números decimais onde a parte inteira é denominada
característica e a parte decimal é denominada mantissa.
A característica dos logaritmos decimais de números entre 1
e 10 é 0 (zero); para números entre 10 e 100 é 1 (um);
para números entre 100 e 1000 é 2 (dois) e assim
sucessivamente.
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 =103
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição
de logaritmo:
P1: O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb 1 = 0
porque b0 = 1.
P2: O logaritmo da própria base é sempre igual a 1, ou seja:
logb b = 1 , porque b1 = b.

6. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição
de logaritmo:
P3: O logaritmo da própria base elevada a uma potência é igual
ao valor dessa potência, ou seja,
logb bk = k ,
porque
bk = bk .
P4: Se logaritmos na mesma base de dois números reais são
iguais, esses números são também iguais, ou seja:
Se logb M = logb N
então
M = N.
P5: Quando o valor da base, b, é elevado ao logaritmo de M na
base b, o resultado é igual a M.
log M
b
b
=M

7. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
PO1 - Logaritmo de um Produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos
logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logb M + logb N
Exemplo: log 20 = log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010
+ 1 = 1,3010.
Observe que como a base não foi especificada, é
estipulado que ela seja igual a 10.

8. PO2 - Logaritmo de um Quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a
diferença entre os logaritmos do numerador da
fração e do denominador, ou seja:
logb (M/N) = logb M - logb N
Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100
= 0,3010 – 2,0000 = - 1,6990.
Do exposto anteriormente, podemos concluir que,
sendo log 0,02 = –1,6990, então
10-1,6990 = 0,02.

9. PO3 - Logaritmo de uma Potencia
O logaritmo de uma potência pode facilmente ser
demonstrável como sendo:
logb Mk = k . logb M.
uma vez que Mk = M.M.M.......k vezes, e o logaritmo de
um produto é a soma dos logaritmos dos fatores.
Exemplo: log 34 = log (3 . 3 . 3 . 3) = log 3 + log 3+ log 3 + log 3 =
= log 3 . ( 1 + 1 + 1+ 1) = 4 . log 3

10. PO4 - Mudança de Base
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade
de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja,
conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o
logaritmo de N numa base a
Exemplo:
log2 3 = log 3/log 2 = 0,4771/0,3010 = 1,5850

11. O logaritmo é a função inversa da função exponencial.
Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções
exponencial e logarítmica são crescentes e para
0 < a < 1, são decrescentes.

12. LOGARITMOS DECIMAIS
log(1)= 0
log(0) não existe
log(10) = log(101) = 1
log(1/10) = log(10-1) = -1
log(100) = log(102) = 2
log(1/100) = log(10-2) = -2
log(1000) = log(103) = 3
log(1/1000) = log(10-3) = -3
log(10n) = n
log(10-n)= -n

13. LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL
O logaritmo natural ou neperiano tem por base o
número irracional ε, o qual é definido como:
ε = lim n →∞ (1 + 1/n)n = 2,7182818......
A notação empregada para o logaritmo neperiano de
um número N, é ln N e significa
o logaritmo, na base ε, de N, ou seja:
log
ε
N = ln N

14. Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de
zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada
hipérbole eqüilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no
primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro
quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em ótica e
construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química,
estudos em economia, etc.

15. O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número
real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista
geométrico, como a área da região plana localizada sob
o gráfico da curva y = 1/x, acima do eixo y = 0, entre as
retas x = 1 e x = u, que está no desenho colorido de
vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u,
denotado por ln (u) .
ln (u) = área (1,u)

16. Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas
tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical
(que não possui área ou seja, possui área nula) e neste
caso tomaremos ln(1)=área(1,1). Assim:
ln (1) = 0
Quando os valores de u aumentam, esta função de u,
f(u), também tem seus valores aumentados, o que
significa que esta função é crescente
para valores de
u > 0.

17. Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades
operacionais que os demais logaritmos.
ln(1) = 0
ln(x.y) = ln(x) + ln(y)
ln(xk) = k ln(x)
ln(x/y) = ln(x) - ln(y)

18. Exemplos:
ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (34 ) = ln (5 . 34) =
ln(405)
ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/c)