1) Logaritmo é um estudo matemático que depende de potenciação e suas propriedades, onde o valor numérico de um logaritmo é encontrado através do desenvolvimento de uma potência em logaritmo. 2) O logaritmo de um número N na base b é o expoente x ao qual devemos elevar b para obtermos N. 3) Quando a base do sistema de logaritmos é 10, usamos a expressão logaritmo decimal e escrevemos somente logN.

1. O que é Logaritmo: Logaritmo é um estudo da matemática que depende
maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois
para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma
potência transformá-la em um logaritmo.
a x = b ↔ x = log a b
Onde: a é a base
b é logaritmando
x é o valor do logaritmo.
Propriedades gerais de logaritmo:
Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar
várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para
números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham
sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
1. Ln(1)=0
2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
3. Ln(xk)=k.Ln(x)
4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
Uma simples explicação:
Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e
vou fazer uma pergunta:
- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?
Você deve estar pensando:
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!
Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos
começar de baixo.
O logaritmo serve para isso!
Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

2. Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.
Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2)
para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:
Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:
No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmando
é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2.
Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura
acima está escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO É
UM EXPOENTE.
Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção de
logaritmo (hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora):
Logaritmo de um número N, na base b, é o
número x ao qual devemos elevar a base b para
obtermos N.
Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escrito
acima dela para ir ao próximo capítulo de estudo.
Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devem
satisfazer para termos um logaritmo.

3. Mudança de Base:
Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases
diferentes para uma mesma base, então encolhe-se um deles e transforma no
outro. Assim, temos:
logb x = (logm x) / (logm b).
Propriedades operatórias dos logaritmos são:
1 – O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos:
logb (x.y) = logb x + logb y
2 – O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos:
logb (x / y) = logb x – logb y
3 – O logaritmo da potencia é igual ao expoente vezes o logaritmo:
logb xm = m . logb x
Logaritmo decimal:
No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste
ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso
sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais
avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a
partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e
escrevemos:
y = Log(x)
para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos
algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10
1. Log(1)=0
2. Log(0) não tem sentido
3. Log(10)=Log(101)=1
4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1
5. Log(100)=Log(10²)=2
6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2
7. Log(1000)=Log(10³)=3
8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3
9. Log(10n)=n
10. Log(10-n)=-n

4. A partir da propriedade
Log 10n=n
temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar
que para todo x real positivo vale a relação:
Log(10x) = x
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a
expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos
somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x ,
devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem
a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos),
cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de
logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da
natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde
a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é
denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a
mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) ,
podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos
decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século
XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela
definição de logaritmo que
101,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números
reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-
9), log20, etc.