O documento discute a história e a definição dos logaritmos, destacando as contribuições de John Napier e Henry Briggs. Ele também aborda aplicações práticas dos logaritmos em matemática, química e geologia, incluindo a resolução de problemas de juros compostos e a escala Richter. Exemplos e explicações detalhadas ajudam a ilustrar como os logaritmos são utilizados para facilitar cálculos complexos em diversas disciplinas.

1. Introdução aos Logaritmos

2. 1. Contexto Histórico

3. Os séculos XV e XVI foram marcados pela expansão comercial (grandes navegações e desenvolvimento da astronomia). A necessidade de aprimorar técnicas de navegação exigia métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos (da Astronomia – referencial para localização no mar, e do acúmulo de riquezas e dos juros gerados pelas viagens marítimas).

4. 2. Contribuições

5. O primeiro a introduzir o cálculo logarítmico foi o escocês John Napier em 1614, publicando o primeiro tratado sobre logaritmos: "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos". A palavra "LOGARITMO" também foi inventada por Napier a partir das palavras gregas "LOGOS" – razão – e "ARITMOS" – número.

6. Na mesma época, o suíço Jost Bürgi desenvolveu, independentemente, métodos com os mesmos fundamentos básicos, diferenciados pelo uso dos valores numéricos e da terminologia. Sendo sua idéia anterior ou não à de Napier, o fato é que a publicação de seus resultados só ocorreu em 1620.

7. Reconhecendo a enorme importância do método de Napier, Henry Briggs adaptou-o para valores mais fáceis de serem utilizados por meio da introdução dos logaritmos decimais , na forma como os conhecemos hoje. Ele elaborou a primeira tabela de logaritmos comuns que foi usada até o século 19.

8. Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação. Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos “duplicou” a vida dos astrônomos, alusão ao fato de que o trabalho de cálculo diminuíra tanto com a introdução dos logaritmos, que os astrônomos poderiam produzir o equivalente ao que produziam antes, se pudessem viver duas vidas.

9. 3. Definição de logaritmos A operação de logaritmação deriva da potenciação, como podemos ver no exemplo: 2 x = 8 => 2 x = 2 3 => x = 3 é o logaritmo de 8 na base 2, como na notação: log 2 8 = 3 , pois 2 3 = 8

10. Outros exemplos: 1) 3 x = 81 => 3 x = 3 4 => x = 4 é o logaritmo de 81 na base 3: log 3 81 = 4, pois 3 4 = 81 2) 2 x = 1/32 => 2 x = 2 -5 => x = -5 é o logaritmo de 1/32 na base 2: log 2 1/32 = -5, pois 2 -5 = 1/32

11. Exemplos impossíveis: 1) 4 x = -16 (não conseguimos transformar base negativa em positiva) 2) 0 x = 2 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base) 3) 5 x = 0 (não conseguimos transformar 0 em uma potência com outra base) 4) 1 x = 3 (para transformarmos 1 em uma potência com outra base teremos expoente 0, o que eliminaria a variável x da equação)

12. Definição: Considerando dois números reais, a e b, positivos com a ≠ 1, chamaremos logaritmo do número b na base a, o expoente x, de forma que a x = b. log a b = x ↔ a x = b (Condições de existência: b > 0 e 0 < a ≠ 1)

13. Observação: Os sistemas de logaritmos são definidos por suas bases: log a b => sistema de logaritmos de base a log 10 b ou log b => sistema de logaritmos de base 10 ou sistema de logaritmos decimais

14. Resolução: 1) log 6 36 log 6 36 = x => 6 x = 36 => 6 x = 6 2 => x = 2 2) log 10 0,01 log 10 0,01 = x => 10 x = => 10 x = 10 -2 => x = -2 3) log 2 log 2 = x => = 2 => 2 -2x = 2 . => 2 -2x = => -2x = => x = - 4) log a 64 = 6 log a 64 = 6 => a 6 = 64 => a = ± => a = ± 2, como a Condição de existência da base é a > 0 e a ≠ 1, a = 2

15. 4. Algumas Aplicações http://www.youtube.com/watch ? v=8fR5iOFtY2c&feature=player_embedded

16. Na Matemática Os logaritmos são utilizados na matemática para resolver equações exponenciais do tipo 5 2x – 7 . 5 x + 12 = 0 e também problemas de matemática financeira ou outros. Vejamos o exemplo: Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Resolução : Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i) t .

17. Na Matemática De acordo com a situação problema, temos: M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C * (1 + i) t 3500 = 500 * (1 + 0,035) t 3500/500 = 1,035 t 1,035 t = 7 Aplicando logaritmo log 1,035 t = log 7 t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica ) t * 0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7 O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

18. Na Química Poucas profissões dependem tanto de um bom cálculo das proporções quanto a do químico. É que as substâncias reagem nos tubos de ensaio em obediência a uma determinada proporção, e é preciso fazer cálculos para prever o resultado das misturas feitas em laboratório. Também se mede a velocidade das reações recorrendo a uma escala logarítmica e o cálculo do pH de uma solução define-se como um logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração, por exemplo, um líquido cuja concentração de H 3 O + é 4,8 . 10 -8 mol/l tem pH = 8 – log 4,8.

19. Na Química Vejamos outro exemplo: Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q 0 * e –rt , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Q = Q 0 * e –rt 200 = 1000 * e –0,02t 200/1000 = e –0,02t 1/5 = e –0,02t log e 1/5 = log e e -0,02t (aplicando definição) –0,02t = log e 1/5 –0,02t = log e 5 –1 –0,02t = –log e 5 –0,02t = –ln 5 * (–1) 0,02t = ln 5 t = ln 5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

20. Na Geologia O geólogo depende muito da matemática. Dentre as ferramentas mais utilizadas por ele estão as funções exponenciais e logarítmicas, que são usadas, por exemplo, para analisar o comportamento dos sedimentos nos rios. O cálculo com logaritmos mostra que parte de sedimentos afunda rapidamente e quanto continua empurrado pela correnteza. A escala Richter foi desenvolvida por Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de grandes proporções. Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus.

21. Na Geologia Um exemplo: Qual a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter? I = 6 Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: I = (2/3)log 10 (E/E 0 ), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h e E 0 : 7 x 10 -3 kW/h. 6 = (2/3)log 10 (E / 7 x 10 -3 ) 9 = log 10 (E / 7 x 10 -3 ) 10 9 = 10 log 10 (E / 7 x 10-3) (consequência da definição) 10 9 = E / 7 x 10 -3 E = 7 x 10 -3 x 10 9 E = 7 x 10 6 kW / h A energia liberada por um terremoto de 6 graus na escala Richter é de 7 x 10 6 kW/h.

22. Visualização de Cálculos e Gráficos Existem diversos softwares educativos livres, que fazem cálculos matemáticos e esboçam gráficos de funções, como o Graphmática . Propomos a utilização deste software de fácil utilização para obtenção de uma noção de funções logarítmicas através de cálculos e visualização de gráficos, favorecendo a construção do conhecimento e estimulando a capacidade de observação e da análise crítica.

23. Visualização de Cálculos e Gráficos Exemplo de Utilização:

24. Visualização de Cálculos e Gráficos Exemplo de Utilização: