O documento resume os principais tópicos sobre logaritmos, incluindo a definição de logaritmo, propriedades, exemplos de cálculos e exercícios resolvidos.

2. Para aproveitar 100%
dessa aula você precisa
saber:
• Potenciação e Radiciação
• Introdução às Funções
• Função Afim
• Função quadrática
• Inequações do 1º e do 2º graus
• Função Exponencial

3. O que você
sabe sobre
logaritmos?

4. Para que
serve o
Logaritmo?

5. Logaritmo
Logaritmo de a na base b é o número
real x, tal que bx = a, com a e b positivos e
b diferente de 1.
log b a = x ⇔ b = a
x
Exemplos:
a ) log 3 9 = x ⇔ 3 = 9 ⇔ x = 2
x
b) log 2 8 = x ⇔ 2 = 8 ⇔ x = 3
x

6. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
Logaritmo

7. Tente fazer
sozinho!
Calcule :
a) log 36 6
b) log 0, 2 125

8. Solução
a ) log 36 6 = x b) log 0, 2 125 = x
36 = 6
x
0,2 x = 125
( 6 ) = ( 6)
2 x 1
2 2
  =5
3
x
6 = ( 6)
2x 1
2  10 
x
1 1
  =5
3
2x =
2 5
1 5 − x = 53
x=
4 x = −3

9. Voltando a definição de logaritmo, temos
que x é o logaritmo, b é base e a é o
logaritmando.
logaritmando
log b a = x
base
logaritmo
Dizemos que x é o logaritmo de a na base b

10. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
logaritmando
elementos base
logaritmo
Logaritmo

11. Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale
-2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

12. Exercício
Calcule:
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
b) O número cujo logaritmo em base 3 vale
-2.
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

13. Solução
a) O logaritmo de 4 na base 1/8.
log 18 4 = x
( 18 ) x
=4
−x
8 =2 2
−3 x
2 =2
− 3x = 2
x =−2
3

14. b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.
log 3 x = −2
−2
3 =x
x= 1
9
c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.
log x 1
4 = −1
x =1
−1
4
x=4

15. 2) Determine o domínio da função:
f ( x) = log x +1 ( x − 5 x + 6)
2

16. Solução
Restrições para a base
x+1>0 e x+1≠1 -
+
-1 0
x > -1 x≠0
Restrições para o logaritmando
x2 – 5x + 6 > 0
+ +
x2 – 5x + 6 = 0 2 - 3
x1 = 2 e x2 = 3
-1 0 2 3
S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [

17. Consequências da definição
1ª) log a 1 = 0 , pois a0 = 1.
2ª) log a a = 1 , pois a1 = a.
3ª) log a a = n , pois an = an.
n
4ª) a log a n
=n
5ª) log a x = log a y ⇔ x = y

18. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
logaritmando
elementos base
logaritmo
log a 1 = 0
log a a = 0
consequências log a a n = n
Logaritmo a log a n = n
log a x = log a y ⇔ x = y

19. Exercício
Classifique as sentenças como verdadeiras
ou falsas:
a ) log 5 1 = 1 e) log 7 3 = 3 7
b) log1 5 = 5 f ) log 3 3 = 7 7
c) log 5 1 = 0 g )2 log 2 5
=5
d ) log 5 1 = 0 h) 2 log 5 2
=5

20. Solução
a) log 5 1 = 1 falsa, pois 51 = 5
b) log1 5 = 5 falsa, pois 15 = 1
c) log 5 5 = 1 verdadeira, pois 51 = 5
d ) log 5 1 = 0 verdadeira, pois 50 = 1
e) log 7 3 = 3 falsa, pois 73 ≠ 37
7
f ) log 3 3 = 7 verdadeira
7
g )2 log 2 5
= 5 verdadeira
h) 2 log 5 2
= 5 falsa

21. Sistemas de Logaritmos
 Logaritmo decimal: apresenta base 10.
log10 x = log x
 Logaritmo neperiano: apresenta base e.
log e x = ln x

22. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
logaritmando
elementos base
logaritmo
log a 1 = 0
log a a = 0
consequências log a a n = n
Logaritmo a log a n = n
log a x = log a y ⇔ x = y
decimal
sistemas ln
neperiano
base e

23. Exercícios
Qual é o valor de cada uma das seguintes
expressões?
a ) log 5 5 + log 3 1 − log 10
b) ln e − 3 ln e + 2 ln 1
2 3

24. Solução
a ) log 5 5 + log 3 1 − log 10 =
1 + 0 − 1 =0
b) ln e − 3 ln 3 e + 2 ln 1 =
2
log e e − 3 log e e 3 + 2 log e 1 =
2 1
1
2 − 3. + 2.0 = 2 −1 + 0 = 1
3

25. Propriedades do logaritmo
1ª) Logaritmo do produto
log a ( b.c ) = log a b + log a c
Exemplo:
log 5 ( 5.25) = log 5 5 + log 5 25
log 5 ( 5.25) = 1 + 2 = 3

26. Propriedades do logaritmo
2ª) Logaritmo do quociente
b
log a   = log a b − log a c
c
Exemplo:
2
log( 0,2 ) = log  = log 2 − log 10
 10 
log 5 ( 0,2 ) = log 2 − 1

27. Propriedades do logaritmo
3ª) Logaritmo da potência
( )
log a b = c log a b
c
Exemplo:
log 7 a = 10 log 7 a
10

28. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
logaritmando
elementos base
logaritmo
log a 1 = 0
log a a = 0
consequências log a a n = n
Logaritmo a log a n = n
log a x = log a y ⇔ x = y
decimal
sistemas ln
neperiano
base e
produto log a (bc ) = log a b +log a c
propriedades quociente log a ( b c ) = log a b − log a c
potência log a b c = c log a b

29. Tente fazer sozinho!
Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
a ) log 6 =
b) log 1,5 =
c) log 5 =
d ) log 30 =
e) log 1 =
4
f ) log 3 1,8 =

30. Tente fazer sozinho!
Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,
em função de a e b:
a ) log 6 =
b) log 1,5 =
c) log 5 =
d ) log 30 =
e) log 1 =
4
f ) log 3 1,8 =

31. Solução
a ) log 6 = log( 2.3) = log 2 + log 3 = a + b
 15  3
b) log 1,5 = log  = log  = log 3 − log 2 = b − a
 10  2
 10 
c) log 5 = log  = log 10 − log 2 = 1 − a
2
d ) log 30 = log( 3.10 ) = log 3 + log 10 = b + 1
2
e) log 1 = log 1  = 2 log 1  = 2( log 1 − log 2 ) = 2( − a ) = −2a
   
4 2 2
1 1  18  1  2.32 
f ) log 3 1,8 = log(1,8) = log(1,8) = log  = log
 10 
1
3
3 3  10  3  

1
( 1
)
= log 2 + log 3 − log 10 = ( a + 2b − 1)
3
2
3

32. Mudança de base
Para mudar log a b para base c, usaremos
a fórmula:
log c b
log a b =
log c a
Exemplo: Mudando log 2 12 para base 10.
log 12
log 2 12 =
log 2

33. a>0eb>0
definição log b a = x ⇔ b x = a
b≠1
logaritmando
elementos base
logaritmo
log a 1 = 0 log a 1 = 0
log a a = 0
log a a n = n
consequências
log a 1 = 0
Logaritmo a log a n
=n
log a x = log a y ⇔ x = y
decimal
sistemas ln
neperiano
base e
produto log a (bc ) = log a b +log a c
propriedades quociente log a ( b c ) = log a b − log a c
potência log a b c = c log a b
Mudança log c a
log b a =
de base log c b

34. Exercício 1
Calcule o valor de:
log 4 3. log 5 4. log 3 5

35. Solução
log 4 3. log 5 4. log 3 5 =
log 3 log 4 log 5
. . =1
log 4 log 5 log 3

36. Exercício 2
(Fuvest - SP) Se x é um número real, x > 2 e
log 2 ( x − 2) − log 4 x = 1, então o valor de x é :
a) 4 - 2 3
b) 4 - 3
c) 2 + 2 3
d) 4 + 2 3
e) 2 + 4 3

37. Solução
log 2 ( x − 2) − log 4 x = 1 x − 4x + 4
2
2 =
2
log 2 x x
log 2 ( x − 2) − =1
log 2 4 x2 − 4x + 4
4=
log 2 x x
log 2 ( x − 2) − =1
2 4x = x − 4x + 4
2
2 log 2 ( x − 2 ) − log 2 x = 2 x 2 − 8x + 4 = 0
log 2 ( x − 2) − log 2 x = 2
2
x = 4±2 3
( )
log 2 x − 4 x + 4 − log 2 x = 2
2
 x2 − 4x + 4  Como x > 0, então
log 2 
 =2
 resposta letra D.
 x 

38. O que vimos nessa aula:
• Definição de logaritmo
• Consequências da definição
• Propriedades do logaritmo
• Mudança de base
• Como resolver equações e inequações
logarítmicas

39. Bibliografia
• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora
Ática – SP. Páginas: 224 a 255.
• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 103 a 131.
• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval –
Curso de Matemática. 3ª edição – 2003.
Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.