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APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
1
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
LOGARITMOS
PROF. CARLINHOS
NOME: NO
:
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
2
LOGARITMOS = logos(razão) + arithmos(números)
DEFINIÇÃO
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1. Chama-se logaritmo de
a na base b o expoente x tal que bx
= a:
logb a = x bx
= a
Na sentença logb a = x temos:
a) a é o logaritmando;
b) b é a base do logaritmo;
c) x é o logaritmo de a na base b.
Exemplos:
a) log5 25 é o expoente x tal que 5x
= 25. Temos: 5x
= 25 5x
= 52
 x = 2.
Assim, log5 25 = 2.
b) log9 1 é o expoente x tal que 9x
= 1. Temos: 9x
= 1 9x
= 90
 x = 0. Assim, log91= 0.
CAMPO DE EXISTÊNCIA OU DOMÍNIO
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.(b>0 e b≠1)
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo. ( a>0)
Observação :
a) Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10. São os
chamados logaritmos decimais ou de Brigs.
Exemplos: log 2 = log10 2 log 3 = log10 3
b) Temos também os chamados logaritmos neperianos (John Napier), a base
desses logaritmos é o número irracinonal e = 2,71828...
Exemplos: loge 2 = ln 2 loge 3 = ln 3
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Sendo a>0 ,b>0 e b≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas
consequências da definição de logaritmo:
01log =b1log =bb mbm
b =log ab ab
=logcaca bb =⇔= loglog
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
3
Exemplos:
a) log8 8 = 1 b) log9 1 = 0 c) log3 34
= 4 log x = log 3 e) 7log
7
13
= 13
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule o valor expressão S = 3.log 0,001 + 2. log1/39 – log5625.
2) Encontre o domínio ( campo de existência ) das funções:
a) y = log3( 2x – 8 ) b) y = logx – 410 c) f(x) = logx (x+1)
3) Sabendo que 2 = 100,301
e 7 = 100,845
, calcule log 1,4.
4) Dados log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699, resolva a equação 2x
= 5.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
a) Logaritmo de um produto:
logb (m . n) = logb m + logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1.
Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3
b) Logaritmo de um quociente:
logb = logb m – logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1.
Exemplo:
log3 = log3 8 – log3 7
c) Logaritmo de uma potência
logb mn
= n. logb m, sendo m > 0, n e 0 < b 1.
Caso particular:
Exemplo: log
a
n
m
aa b
n
m
b
n m
b log.loglog ==
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
4
d) Cologaritmo
Chamamos de cologaritmo de um número positivo a numa base b (b>0, b≠1) e
indicamos cologb a o logaritmo inverso desse número a na base b.
(b>0, b≠1 e a>0)
EXEMPLO:
colog24 = -log24 = -2
e) Mudança de base
Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases
diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma
base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para
uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer
a mudança de uma base b para uma outra base c usa-se:
EXEMPLO
Passando para a base 5, log27, temos:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. Calcule:
a) log 6 b) log 5 c) log 2,5 d) log 7,2 e) log
2) Sendo log a = 4, log b = 6 e log c = -1, calcule log .
3) Encontre o valor de m,sabendo que log m = 3.log 2 + log 5 – log 4.
4) Sendo log = 0,3 e log 3 = 0,4 , calcule log26
a
a bb
1
logcolog =
:escrevertambémpodemos,loglog0log1log
1
logComo aaa
a
bbbbb −=−=−=
aa bb logcolog −=
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
2log
7log
7log
5
5
2 =
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
5
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
São as equações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos.
Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida,
verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de
existência estabelecidas.
Exemplo:
Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3.
Solução:
Condições de existência:
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos:
log2 x + log2 2x = 3 log2 (x . 2x) = 3
log2 2x2
= 3 23
= 2x2
8 = 2x2
x2
= 4 x = 2 ou x = -2
Testando os valores obtidos nas condições de existência estabelecidas, verificamos
que – 2 não satisfaz o campo de existência.
Logo:
V = {2}
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
É toda função f: *+ que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x:
f(x) = logb x
Exemplos:
a) f(x) = log3 x
b) g(x) = log1/3 x
Gráficos da função logarítmica
a) Função crescente (a > 1)
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
6
b) Função decrescente (0 < a < 1)
Observações:
a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).
b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.
c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente, pois:
x1 > x2 loga x1 > loga x2
d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente, pois:
x1 > x2 loga x1 < loga x2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Construa o gráfico e classifique as funções em crescente e decrescente:
a) f(x) = x b) y = x
2) Observe o gráfico a seguir. Nesse gráfico está representado o gráfico de f(x)= logb x.
Calcule o valor de f(1/27).
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Calcule:
a) log3 27 resp: 3 b) log5 125 resp: 3 c) log 10000 resp: 4 d) log ½ 32 resp: -5
d) log 0,01 resp: -2 e) log2 0,5 resp: -1 f) log4 32 resp: 5/4 g) log 0,5 16 resp: -4
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
7
2) Calcule o valor de a:
a) log a 81= 4 resp: 3 b) loga 4= -2 resp: -2 c) loga 1/3=-1 resp: 3 d) loga 8=3 resp: 2
3) Calcule o valor de S:
a) S = log2 1024 + log1/5 625 resp: 6
b) S = 4.log2 2 - 6.log 0,001+2.log1/3 1/27 resp: 14
4) Determine o domínio das funções:
a) y = log (-x2
+5x-4) resp: D={x∈ℜ/ 1<x<4} b) y = logx-510 resp: D={x∈ℜ/ x>5 e x≠6}
c) y = log x-2(x2
-4x-5) resp: D={ x∈ℜ/ x >5} d) y = log2(x2
-4) resp: D={x∈ℜ/x<-2 ou x>2}
e) y = log3x-5 2 resp: D = { x∈ℜ/ x>5/2 e x≠2 f) y = logx(x2
-4) resp: D = { x∈ℜ/ x > 2}
5) Sabendo que a equação para obtenção da magnitude de um terremoto é
dada por Ms=log (Af )+3,30, em que A é a amplitude da onda e f a freqüência.
Calcule:
a) a magnitude de um terremoto com amplitude de 1000 mícrons e 0,1 Hz de
freqüência. resp: 5,3 na escala Richter
b) a amplitude registrada no sismógrafo para um terremoto de 6,3 na escala
Richter com freqüência de 1 Hz. resp: 1000 mícrons
6) Resolva as equações: Use log 2 = 0,3 , log 5 = 0,7 e log 7 = 0,8
a) 4x
= 25 resp: 2,83 b) 5x
= 343 resp: 3,43 c) 10x
= 70 resp: 1,8
7) Dados log 2 = 0,30 , log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70 , calcule:
a)log 15 resp: 1,18 b) log 20 resp: 1,3 c) log 0,0002 resp: -3,7 d) log 30000 resp: 4,48
d)log 500 resp: 2,7 f) log 18 resp: 1,26 g) log 72 resp: 1,86 h) log 14,4 resp: 1,16
8) Calcule o valor da expressão A = 2.log 5 + log 20 – log 5. resp: 2
9) Sabendo que log 2 = 0,3 , log 3 = 0,5 e log 5 = 0,7. Calcule:
a) 152Log resp: 4 b) 306Log resp: 15/8
10) Resolva as equações:
a) log2 (2x+5) = log2 7 resp: 1 b) log2 (3x – 1 ) = 4 resp: 17/3
c) (log4 x)2
- 3.log4x – 4 = 0 resp: ¼ e 256 d) log3 (x + 1) + log3 (x – 1) = 1 resp: 2
e) log2 ( 3x + 5) – log2 (2x – 1) = 3 resp: 1 f) log ( 2x + 3 ) + log ( x + 2 ) = 2log x resp: ∅
g) log3 x + logx 3 = -2 resp: 1/3 h) log x = log 25 + colg 5 + log 2 resp: 10
APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS
8
11) (UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado, em
milhares de reais, pela função L(x) = log ( 100 + x ) + k, com k constante real.
a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k. resp: - 2
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual
a mil reais. resp: 900
12) Construa o gráfico das funções e classifique-as em crescente ou decrescente.
a) y = x
3
1log
b) f(x) = log5 x
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed.
FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único

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Apostila logaritmos

  • 1. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 1 ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: NO :
  • 2. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 2 LOGARITMOS = logos(razão) + arithmos(números) DEFINIÇÃO Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a: logb a = x bx = a Na sentença logb a = x temos: a) a é o logaritmando; b) b é a base do logaritmo; c) x é o logaritmo de a na base b. Exemplos: a) log5 25 é o expoente x tal que 5x = 25. Temos: 5x = 25 5x = 52 x = 2. Assim, log5 25 = 2. b) log9 1 é o expoente x tal que 9x = 1. Temos: 9x = 1 9x = 90 x = 0. Assim, log91= 0. CAMPO DE EXISTÊNCIA OU DOMÍNIO a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.(b>0 e b≠1) b) O logaritmando tem de ser um número real positivo. ( a>0) Observação : a) Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10. São os chamados logaritmos decimais ou de Brigs. Exemplos: log 2 = log10 2 log 3 = log10 3 b) Temos também os chamados logaritmos neperianos (John Napier), a base desses logaritmos é o número irracinonal e = 2,71828... Exemplos: loge 2 = ln 2 loge 3 = ln 3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sendo a>0 ,b>0 e b≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo: 01log =b1log =bb mbm b =log ab ab =logcaca bb =⇔= loglog
  • 3. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 3 Exemplos: a) log8 8 = 1 b) log9 1 = 0 c) log3 34 = 4 log x = log 3 e) 7log 7 13 = 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule o valor expressão S = 3.log 0,001 + 2. log1/39 – log5625. 2) Encontre o domínio ( campo de existência ) das funções: a) y = log3( 2x – 8 ) b) y = logx – 410 c) f(x) = logx (x+1) 3) Sabendo que 2 = 100,301 e 7 = 100,845 , calcule log 1,4. 4) Dados log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699, resolva a equação 2x = 5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS a) Logaritmo de um produto: logb (m . n) = logb m + logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1. Exemplo: log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3 b) Logaritmo de um quociente: logb = logb m – logb n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < b 1. Exemplo: log3 = log3 8 – log3 7 c) Logaritmo de uma potência logb mn = n. logb m, sendo m > 0, n e 0 < b 1. Caso particular: Exemplo: log a n m aa b n m b n m b log.loglog ==
  • 4. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 4 d) Cologaritmo Chamamos de cologaritmo de um número positivo a numa base b (b>0, b≠1) e indicamos cologb a o logaritmo inverso desse número a na base b. (b>0, b≠1 e a>0) EXEMPLO: colog24 = -log24 = -2 e) Mudança de base Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base b para uma outra base c usa-se: EXEMPLO Passando para a base 5, log27, temos: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. Calcule: a) log 6 b) log 5 c) log 2,5 d) log 7,2 e) log 2) Sendo log a = 4, log b = 6 e log c = -1, calcule log . 3) Encontre o valor de m,sabendo que log m = 3.log 2 + log 5 – log 4. 4) Sendo log = 0,3 e log 3 = 0,4 , calcule log26 a a bb 1 logcolog = :escrevertambémpodemos,loglog0log1log 1 logComo aaa a bbbbb −=−=−= aa bb logcolog −= b a a c c b log log log = 2log 7log 7log 5 5 2 =
  • 5. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 5 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS São as equações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos. Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas. Exemplo: Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3. Solução: Condições de existência: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos: log2 x + log2 2x = 3 log2 (x . 2x) = 3 log2 2x2 = 3 23 = 2x2 8 = 2x2 x2 = 4 x = 2 ou x = -2 Testando os valores obtidos nas condições de existência estabelecidas, verificamos que – 2 não satisfaz o campo de existência. Logo: V = {2} FUNÇÃO LOGARÍTMICA É toda função f: *+ que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x: f(x) = logb x Exemplos: a) f(x) = log3 x b) g(x) = log1/3 x Gráficos da função logarítmica a) Função crescente (a > 1)
  • 6. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 6 b) Função decrescente (0 < a < 1) Observações: a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0). b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente, pois: x1 > x2 loga x1 > loga x2 d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente, pois: x1 > x2 loga x1 < loga x2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Construa o gráfico e classifique as funções em crescente e decrescente: a) f(x) = x b) y = x 2) Observe o gráfico a seguir. Nesse gráfico está representado o gráfico de f(x)= logb x. Calcule o valor de f(1/27). EXERCICIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Calcule: a) log3 27 resp: 3 b) log5 125 resp: 3 c) log 10000 resp: 4 d) log ½ 32 resp: -5 d) log 0,01 resp: -2 e) log2 0,5 resp: -1 f) log4 32 resp: 5/4 g) log 0,5 16 resp: -4
  • 7. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 7 2) Calcule o valor de a: a) log a 81= 4 resp: 3 b) loga 4= -2 resp: -2 c) loga 1/3=-1 resp: 3 d) loga 8=3 resp: 2 3) Calcule o valor de S: a) S = log2 1024 + log1/5 625 resp: 6 b) S = 4.log2 2 - 6.log 0,001+2.log1/3 1/27 resp: 14 4) Determine o domínio das funções: a) y = log (-x2 +5x-4) resp: D={x∈ℜ/ 1<x<4} b) y = logx-510 resp: D={x∈ℜ/ x>5 e x≠6} c) y = log x-2(x2 -4x-5) resp: D={ x∈ℜ/ x >5} d) y = log2(x2 -4) resp: D={x∈ℜ/x<-2 ou x>2} e) y = log3x-5 2 resp: D = { x∈ℜ/ x>5/2 e x≠2 f) y = logx(x2 -4) resp: D = { x∈ℜ/ x > 2} 5) Sabendo que a equação para obtenção da magnitude de um terremoto é dada por Ms=log (Af )+3,30, em que A é a amplitude da onda e f a freqüência. Calcule: a) a magnitude de um terremoto com amplitude de 1000 mícrons e 0,1 Hz de freqüência. resp: 5,3 na escala Richter b) a amplitude registrada no sismógrafo para um terremoto de 6,3 na escala Richter com freqüência de 1 Hz. resp: 1000 mícrons 6) Resolva as equações: Use log 2 = 0,3 , log 5 = 0,7 e log 7 = 0,8 a) 4x = 25 resp: 2,83 b) 5x = 343 resp: 3,43 c) 10x = 70 resp: 1,8 7) Dados log 2 = 0,30 , log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70 , calcule: a)log 15 resp: 1,18 b) log 20 resp: 1,3 c) log 0,0002 resp: -3,7 d) log 30000 resp: 4,48 d)log 500 resp: 2,7 f) log 18 resp: 1,26 g) log 72 resp: 1,86 h) log 14,4 resp: 1,16 8) Calcule o valor da expressão A = 2.log 5 + log 20 – log 5. resp: 2 9) Sabendo que log 2 = 0,3 , log 3 = 0,5 e log 5 = 0,7. Calcule: a) 152Log resp: 4 b) 306Log resp: 15/8 10) Resolva as equações: a) log2 (2x+5) = log2 7 resp: 1 b) log2 (3x – 1 ) = 4 resp: 17/3 c) (log4 x)2 - 3.log4x – 4 = 0 resp: ¼ e 256 d) log3 (x + 1) + log3 (x – 1) = 1 resp: 2 e) log2 ( 3x + 5) – log2 (2x – 1) = 3 resp: 1 f) log ( 2x + 3 ) + log ( x + 2 ) = 2log x resp: ∅ g) log3 x + logx 3 = -2 resp: 1/3 h) log x = log 25 + colg 5 + log 2 resp: 10
  • 8. APOSTILA SOBRE LOGARITMOS-ELABORADA PELO PROFESSOR CARLINHOS 8 11) (UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado, em milhares de reais, pela função L(x) = log ( 100 + x ) + k, com k constante real. a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k. resp: - 2 b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. resp: 900 12) Construa o gráfico das funções e classifique-as em crescente ou decrescente. a) y = x 3 1log b) f(x) = log5 x Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único