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MATEMÁTICA


                                                    DETERMINANTES
1. INTRODUÇÃO                                                                    5. REGRA DE SARRUS
      Determinante é um número real que se associa                                      1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à di-
a uma matriz quadrada.                                                           reita do determinante.
                                                                                        2o ) Multiplicam-se:
      Determinante de uma matriz A de ordem 1.                                              os elementos da diagonal principal e os e-
                    det A = |a11| = a11                                                     lementos de cada paralela a essa diagonal,
      Determinante de uma matriz A de ordem 2.                                              conservando o sinal de cada produto obtido;
                   a11 a12                                                                  os elementos da diagonal secundária e os
         det A =             = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
                   a 21 a 22                                                                elementos de cada paralela a essa diagonal,
                                                                                            invertendo o sinal de cada produto obtido.
2. MENOR   COMPLEMENTAR     DETERMI-
   NANTE DA MATRIZ REDUZIDA                                                                                           −a 31 . a 22 . a13
      Chama-se menor complementar Dij relativo a                                                                      −a 32 . a 23 . a11
um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi-                                                                   −a 33 . a 21 . a12
nante da matriz de ordem n − 1 , que se obtém a partir                                   a11   a12   a13 a11   a12
de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna                                       a 21 a 22   a 23 a 21 a 22
de ordem j.                                                                              a 31 a 32   a 33 a 31 a 32
Exemplo:                                                                                                              a13 . a 21 . a 32
                       2 − 1 3                                                                                       a12 . a 23 . a 31
                               
      Sendo        A = 0 1 4 ,              temos:
                        5 − 2 1                                                                                      a11 . a 22 . a 33
                               
                                                        0 4                            3o) e somam-se os resultados obtidos no 2o.
      a) D11 = 1         4
                             =9           b) D12 =             = −20
                   −2 1                                 5 1                      passo, ou seja:
                                                                                            det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -
3. COFATOR
                                                                                            a31a22a13    -a32a23a11 - a33a21a12
       Chama-se cofator do elemento aij, e se indica
                                                                                 6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
por Aij o seguinte número:
                                                                                          Matriz com fila nula: o determinante dessa
                    A ij = (− 1) i + j⋅ Dij                                               matriz é nulo.
Exemplo:                                                                                  Matriz triangular: o determinante é igual ao
                                                                                          produto dos elementos da sua diagonal
        O cofator do elemento a21 da matriz
                                                                                          principal.
       2 1 1
                                            1 1                                         Multiplicação de uma fila por um número k
  A = 3 5 4       é: A 21 = ( −1)2 +1             = ( −1)3 (1 ⋅ 3) = −3.
                                                                                          real: O determinante da nova matriz é igual
      6 0 3                                 0 3
                                                                                        ao anterior, multiplicado pelo número k.
                                                                                          Troca de filas paralelas: o determinante da
4. TEOREMA DE LAPLACE
                                                                                          nova matriz é o anterior com sinal trocado.
      O determinante de uma matriz quadrada de or-                                        Filas paralelas iguais: o determinante é nu-
dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele-                                        lo.
mentos de uma fila qualquer pelos respectivos                                             Filas paralelas proporcionais: o determinan-
cofatores.                                                                                te é nulo.
      Exemplo:                                                                            Matriz transposta: o determinante de uma
   a) tomando como referência a 1a linha, de uma                                          matriz A é igual ao determinante de sua
      matriz de ordem 3, temos:                                                           transposta At.
        det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13                                         Decomposição de uma fila: se cada elemen-
   b) tomando como referência a 2a coluna, de uma                                         to de uma das filas de um determinante é
      matriz de ordem 3, temos:                                                           uma soma de duas parcelas, então esse de-
        det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32                                         terminante é a soma de dois outros deter-
                                                                                          minantes, que se obtêm substituindo essa
                                                                                          fila pelas primeiras e pelas segundas parce-

Editora Exato                                                                5
las, respectivamente, e conservando inalte-                                 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
          radas as demais filas.
          Teorema de Cauchy: em toda matriz qua-                                                                                       3 5
          drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos                      1   Calcule o determinante da matriz A =                           :
                                                                                                                                       -2 -1
          dos elementos de uma fila pelos cofatores                          Resolução:
          dos correspondentes elementos de uma fila
          paralela é zero.
          Teorema de Jacobi: se a uma das filas de
          uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi-
                                                                                                        3
                                                                                                           ( )
                                                                                                           5
                                                                                                     A -2 -1

          cionarmos um múltiplo de outra fila parale-
          la, obteremos uma matriz B tal que det B =                         3. ( −1)  − ( −2) .5 =
                                                                                                 
          det A.
                                                                             [ −3] − [ −10] =
          Teorema de Binet: se A e B são duas matri-
                                                                             −3 + 10 = 7
          zes quadradas de ordem n, então det(A . B)
          = det A . det B.
7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA                                                                       EXERCÍCIOS
                    1          t                                         1   (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada
         A −1 =         ⋅ (A ')
                  det A                                                      de ordem 2 e aij=j-J2, o determinante da matriz A
      A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de                           é:
A.                                                                           a) 0                         d) 3
                                                                             b) 1                         e) 4
      Existe A-1 se, e somente se, detA ≠ 0.                                 c) 2
8. REGRA DE CHIÓ
                                                                                                                   x   -x
        Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2.                       2   A solução da equação                           =0
 A regra de Chió consiste em:                                                                                      -2 x
        1o ) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e                      a) S = {−2, −0}
 a primeira coluna de A;                                                     b) S = {0, 2}
       2o ) de cada elemento que sobra em A, subtrair
                                                                             c) S= {2}
o produto dos elementos que se situam nas extremi-
dades das perpendiculares à primeira linha e à pri-                          d) S= {0}
meira coluna de A, traçadas a partir do elemento                             e) S = {−2, 2}
considerado.
9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE
                                                                                            2     1        3
      Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2,                        3   Sendo A = 1 -1
                                                                                       
                                                                                                             
                                                                                                            2 ,   então det A é:
definida por:                                                                                -2   1       -1
                                                                                                            
                        1     1     1      ...1                            a) 8                                           d) 10
                                                                           b) –8                                          e) –10
                        a1    a2    a3    ...an 
                     M= 2            2
                                     a3    ...an 
                                                2                            c) 0
                        a1    a2
                                2                  
                            …

                                   …

                                       …


                                                …




                                                  
                       a1 −1 an −1 an −1 ...an −1 
                       
                         n
                               2     3         n 
                                                                         4   (VUNESP) Considera as matrizes reais:
          O determinante desse tipo de matriz é igual                                               x2 0                       4   z
          ao produto de todas as diferenças possíveis                                            A=   e B=
                                                                                                                  
                                                                                                   2 y + z y − x
          entre os elementos da linha de expoente u-
                                                                                Se a A=Bt (transposta de B), o determinante da
          nitário, com a condição de que, nas diferen-
                                                                                       x  y −1
          ças, o minuendo tenha índice maior que o
          subtraendo.                                                    matriz M =  z 1
                                                                                    
                                                                                               
                                                                                              1          é igual a:
                                                                                        4 5 2
         det(M) = (a 2 − a1 )(a3 − a 2 )(a3 − a1 )...(an − an −1 )                            
                                                                             a) –1                                          d) 2
                                                                             b) 0                                           e) 3
                                                                             c) 1




Editora Exato                                                        6
5   (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di-                      e) 27x=y
    vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª
    coluna por 4, o novo determinante valerá:
                                                                                        1 2 1     0
    a) 8                        d) 36
                                                                                        1 1 −2    1
    b) 18                       e) 48                               11 (MACK-SP) Se                   =0, então o valor de
    c) 24                                                                               1 −1 2 −1
                                                                                        1 3 3 x
                                                                        x é:
                                                   1    0
                                                                        a) 0
6   (UFSC) Considera as matrizes                   −1 − 1 e
                                                A=                    b) 1
                                                   1 1
                                                                      c) –1
      0 1 2                                                           d) –0,6
    B=            e n=det(AB). Calcule 7n.
      3 4 5                                                           e) 0,6


7   Calcule o valor do determinante                                                               x    0   0
                           2 2 4 5                                  12 (CEFET) Dada a matriz = 0 0 x  e a função
                                                                                                     
                           1 0 3 1                                                                x
                                                                                                       x   x 
                                                                                                              
                           0 4 1 2                                      real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar
                           1 0 −1 1                                     que f(-1) é igual a:
      a) 16                            d) –32                           a) –2
      b) –16                           e) 64                            b) –1
      c) 32                                                             c) 8
                                                                        d) 2
                                                                        e) –8
8   (UFRN)          O       determinante        da     matriz
        1      7 281 
                                                                                     GABARITO
    A = 0      2 200    é igual a:
        0      0 3 
                     
                                                                    1   D
    a) 6
    b) 72                                                           2   B
    c) 81                                                           3   B
    d) 161
    e) 200                                                          4   B
                                                                    5   A
9   (UFSCar-SP) Sejam:                                              6   01
         1 1        0 3            1     0   0    0
                                                                7   C
           0 −2      1 −2             −1 − 2   0    0
       A=                     e   B=
         0 0        1  0           2     1   1    0             8   A
         
         0 0                                       
                    0 3 
                                      −3 5
                                               4    3
                                                                   9   D
    Então, det (A.B) é igual a:
    a) –36                                                          10 D
    b) 12                                                           11 D
    c) 6
    d) 36                                                           12 C
    e) –6

10 (UFBA) Sendo
             12 18 9           12      18   9
       x = 21 17 15       e y = 63 51 45        , então:
           32 60 14             32     60 14
    a) x=y
    b) x=3y
    c) x=27y
    d) 3x=y
Editora Exato                                                   7

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Determinantes em matrizes quadradas: introdução, regras e propriedades

  • 1. MATEMÁTICA DETERMINANTES 1. INTRODUÇÃO 5. REGRA DE SARRUS Determinante é um número real que se associa 1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à di- a uma matriz quadrada. reita do determinante. 2o ) Multiplicam-se: Determinante de uma matriz A de ordem 1. os elementos da diagonal principal e os e- det A = |a11| = a11 lementos de cada paralela a essa diagonal, Determinante de uma matriz A de ordem 2. conservando o sinal de cada produto obtido; a11 a12 os elementos da diagonal secundária e os det A = = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 a 21 a 22 elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal de cada produto obtido. 2. MENOR COMPLEMENTAR DETERMI- NANTE DA MATRIZ REDUZIDA −a 31 . a 22 . a13 Chama-se menor complementar Dij relativo a −a 32 . a 23 . a11 um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi- −a 33 . a 21 . a12 nante da matriz de ordem n − 1 , que se obtém a partir a11 a12 a13 a11 a12 de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 de ordem j. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Exemplo: a13 . a 21 . a 32 2 − 1 3 a12 . a 23 . a 31   Sendo A = 0 1 4 , temos:  5 − 2 1 a11 . a 22 . a 33   0 4 3o) e somam-se os resultados obtidos no 2o. a) D11 = 1 4 =9 b) D12 = = −20 −2 1 5 1 passo, ou seja: det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - 3. COFATOR a31a22a13 -a32a23a11 - a33a21a12 Chama-se cofator do elemento aij, e se indica 6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES por Aij o seguinte número: Matriz com fila nula: o determinante dessa A ij = (− 1) i + j⋅ Dij matriz é nulo. Exemplo: Matriz triangular: o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal O cofator do elemento a21 da matriz principal.  2 1 1   1 1 Multiplicação de uma fila por um número k A = 3 5 4 é: A 21 = ( −1)2 +1 = ( −1)3 (1 ⋅ 3) = −3. real: O determinante da nova matriz é igual 6 0 3 0 3   ao anterior, multiplicado pelo número k. Troca de filas paralelas: o determinante da 4. TEOREMA DE LAPLACE nova matriz é o anterior com sinal trocado. O determinante de uma matriz quadrada de or- Filas paralelas iguais: o determinante é nu- dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele- lo. mentos de uma fila qualquer pelos respectivos Filas paralelas proporcionais: o determinan- cofatores. te é nulo. Exemplo: Matriz transposta: o determinante de uma a) tomando como referência a 1a linha, de uma matriz A é igual ao determinante de sua matriz de ordem 3, temos: transposta At. det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 Decomposição de uma fila: se cada elemen- b) tomando como referência a 2a coluna, de uma to de uma das filas de um determinante é matriz de ordem 3, temos: uma soma de duas parcelas, então esse de- det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32 terminante é a soma de dois outros deter- minantes, que se obtêm substituindo essa fila pelas primeiras e pelas segundas parce- Editora Exato 5
  • 2. las, respectivamente, e conservando inalte- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS radas as demais filas. Teorema de Cauchy: em toda matriz qua-  3 5 drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos 1 Calcule o determinante da matriz A =  :  -2 -1 dos elementos de uma fila pelos cofatores Resolução: dos correspondentes elementos de uma fila paralela é zero. Teorema de Jacobi: se a uma das filas de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi- 3 ( ) 5 A -2 -1 cionarmos um múltiplo de outra fila parale- la, obteremos uma matriz B tal que det B = 3. ( −1)  − ( −2) .5 =     det A. [ −3] − [ −10] = Teorema de Binet: se A e B são duas matri- −3 + 10 = 7 zes quadradas de ordem n, então det(A . B) = det A . det B. 7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA EXERCÍCIOS 1 t 1 (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada A −1 = ⋅ (A ') det A de ordem 2 e aij=j-J2, o determinante da matriz A A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de é: A. a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 Existe A-1 se, e somente se, detA ≠ 0. c) 2 8. REGRA DE CHIÓ x -x Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. 2 A solução da equação =0 A regra de Chió consiste em: -2 x 1o ) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e a) S = {−2, −0} a primeira coluna de A; b) S = {0, 2} 2o ) de cada elemento que sobra em A, subtrair c) S= {2} o produto dos elementos que se situam nas extremi- dades das perpendiculares à primeira linha e à pri- d) S= {0} meira coluna de A, traçadas a partir do elemento e) S = {−2, 2} considerado. 9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE 2 1 3 Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2, 3 Sendo A = 1 -1   2 , então det A é: definida por:  -2 1 -1    1 1 1 ...1  a) 8 d) 10   b) –8 e) –10  a1 a2 a3 ...an  M= 2 2 a3 ...an  2 c) 0  a1 a2 2  … … … …   a1 −1 an −1 an −1 ...an −1   n 2 3 n  4 (VUNESP) Considera as matrizes reais: O determinante desse tipo de matriz é igual  x2 0  4 z ao produto de todas as diferenças possíveis A= e B=   2 y + z y − x entre os elementos da linha de expoente u- Se a A=Bt (transposta de B), o determinante da nitário, com a condição de que, nas diferen- x y −1 ças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo. matriz M =  z 1   1 é igual a:  4 5 2 det(M) = (a 2 − a1 )(a3 − a 2 )(a3 − a1 )...(an − an −1 )   a) –1 d) 2 b) 0 e) 3 c) 1 Editora Exato 6
  • 3. 5 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di- e) 27x=y vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 1 2 1 0 a) 8 d) 36 1 1 −2 1 b) 18 e) 48 11 (MACK-SP) Se =0, então o valor de c) 24 1 −1 2 −1 1 3 3 x x é:  1 0 a) 0 6 (UFSC) Considera as matrizes  −1 − 1 e A=  b) 1  1 1   c) –1 0 1 2  d) –0,6 B=  e n=det(AB). Calcule 7n. 3 4 5  e) 0,6 7 Calcule o valor do determinante x 0 0 2 2 4 5 12 (CEFET) Dada a matriz = 0 0 x  e a função   1 0 3 1 x  x x   0 4 1 2 real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar 1 0 −1 1 que f(-1) é igual a: a) 16 d) –32 a) –2 b) –16 e) 64 b) –1 c) 32 c) 8 d) 2 e) –8 8 (UFRN) O determinante da matriz 1 7 281    GABARITO A = 0 2 200  é igual a: 0 0 3    1 D a) 6 b) 72 2 B c) 81 3 B d) 161 e) 200 4 B 5 A 9 (UFSCar-SP) Sejam: 6 01 1 1 0 3 1 0 0 0     7 C 0 −2 1 −2  −1 − 2 0 0 A= e B= 0 0 1 0 2 1 1 0 8 A  0 0     0 3   −3 5  4 3  9 D Então, det (A.B) é igual a: a) –36 10 D b) 12 11 D c) 6 d) 36 12 C e) –6 10 (UFBA) Sendo 12 18 9 12 18 9 x = 21 17 15 e y = 63 51 45 , então: 32 60 14 32 60 14 a) x=y b) x=3y c) x=27y d) 3x=y Editora Exato 7