Este documento apresenta os conceitos básicos de determinantes de matrizes quadradas. Determinantes são números reais associados a matrizes que fornecem informações sobre sua inversibilidade e propriedades lineares. O documento descreve como calcular determinantes de matrizes de ordem 1 e 2, menores complementares, cofatores, o Teorema de Laplace e regras para manipular e calcular determinantes.

1. MATEMÁTICA
DETERMINANTES
1. INTRODUÇÃO 5. REGRA DE SARRUS
Determinante é um número real que se associa 1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à di-
a uma matriz quadrada. reita do determinante.
2o ) Multiplicam-se:
Determinante de uma matriz A de ordem 1. os elementos da diagonal principal e os e-
det A = |a11| = a11 lementos de cada paralela a essa diagonal,
Determinante de uma matriz A de ordem 2. conservando o sinal de cada produto obtido;
a11 a12 os elementos da diagonal secundária e os
det A = = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
a 21 a 22 elementos de cada paralela a essa diagonal,
invertendo o sinal de cada produto obtido.
2. MENOR COMPLEMENTAR DETERMI-
NANTE DA MATRIZ REDUZIDA −a 31 . a 22 . a13
Chama-se menor complementar Dij relativo a −a 32 . a 23 . a11
um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi- −a 33 . a 21 . a12
nante da matriz de ordem n − 1 , que se obtém a partir a11 a12 a13 a11 a12
de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
de ordem j. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
Exemplo: a13 . a 21 . a 32
2 − 1 3 a12 . a 23 . a 31
 
Sendo A = 0 1 4 , temos:
 5 − 2 1 a11 . a 22 . a 33
 
0 4 3o) e somam-se os resultados obtidos no 2o.
a) D11 = 1 4
=9 b) D12 = = −20
−2 1 5 1 passo, ou seja:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -
3. COFATOR
a31a22a13 -a32a23a11 - a33a21a12
Chama-se cofator do elemento aij, e se indica
6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
por Aij o seguinte número:
Matriz com fila nula: o determinante dessa
A ij = (− 1) i + j⋅ Dij matriz é nulo.
Exemplo: Matriz triangular: o determinante é igual ao
produto dos elementos da sua diagonal
O cofator do elemento a21 da matriz
principal.
 2 1 1
  1 1 Multiplicação de uma fila por um número k
A = 3 5 4 é: A 21 = ( −1)2 +1 = ( −1)3 (1 ⋅ 3) = −3.
real: O determinante da nova matriz é igual
6 0 3 0 3
  ao anterior, multiplicado pelo número k.
Troca de filas paralelas: o determinante da
4. TEOREMA DE LAPLACE
nova matriz é o anterior com sinal trocado.
O determinante de uma matriz quadrada de or- Filas paralelas iguais: o determinante é nu-
dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele- lo.
mentos de uma fila qualquer pelos respectivos Filas paralelas proporcionais: o determinan-
cofatores. te é nulo.
Exemplo: Matriz transposta: o determinante de uma
a) tomando como referência a 1a linha, de uma matriz A é igual ao determinante de sua
matriz de ordem 3, temos: transposta At.
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 Decomposição de uma fila: se cada elemen-
b) tomando como referência a 2a coluna, de uma to de uma das filas de um determinante é
matriz de ordem 3, temos: uma soma de duas parcelas, então esse de-
det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32 terminante é a soma de dois outros deter-
minantes, que se obtêm substituindo essa
fila pelas primeiras e pelas segundas parce-
Editora Exato 5

2. las, respectivamente, e conservando inalte- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
radas as demais filas.
Teorema de Cauchy: em toda matriz qua-  3 5
drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos 1 Calcule o determinante da matriz A =  :
 -2 -1
dos elementos de uma fila pelos cofatores Resolução:
dos correspondentes elementos de uma fila
paralela é zero.
Teorema de Jacobi: se a uma das filas de
uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi-
3
( )
5
A -2 -1
cionarmos um múltiplo de outra fila parale-
la, obteremos uma matriz B tal que det B = 3. ( −1)  − ( −2) .5 =
   
det A.
[ −3] − [ −10] =
Teorema de Binet: se A e B são duas matri-
−3 + 10 = 7
zes quadradas de ordem n, então det(A . B)
= det A . det B.
7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA EXERCÍCIOS
1 t 1 (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada
A −1 = ⋅ (A ')
det A de ordem 2 e aij=j-J2, o determinante da matriz A
A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de é:
A. a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
Existe A-1 se, e somente se, detA ≠ 0. c) 2
8. REGRA DE CHIÓ
x -x
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. 2 A solução da equação =0
A regra de Chió consiste em: -2 x
1o ) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e a) S = {−2, −0}
a primeira coluna de A; b) S = {0, 2}
2o ) de cada elemento que sobra em A, subtrair
c) S= {2}
o produto dos elementos que se situam nas extremi-
dades das perpendiculares à primeira linha e à pri- d) S= {0}
meira coluna de A, traçadas a partir do elemento e) S = {−2, 2}
considerado.
9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE
2 1 3
Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2, 3 Sendo A = 1 -1


2 , então det A é:
definida por:  -2 1 -1
 
 1 1 1 ...1  a) 8 d) 10
  b) –8 e) –10
 a1 a2 a3 ...an 
M= 2 2
a3 ...an 
2 c) 0
 a1 a2
2 
…
…
…
…
 
a1 −1 an −1 an −1 ...an −1 

n
2 3 n 
4 (VUNESP) Considera as matrizes reais:
O determinante desse tipo de matriz é igual  x2 0  4 z
ao produto de todas as diferenças possíveis A= e B=
 
2 y + z y − x
entre os elementos da linha de expoente u-
Se a A=Bt (transposta de B), o determinante da
nitário, com a condição de que, nas diferen-
x y −1
ças, o minuendo tenha índice maior que o
subtraendo. matriz M =  z 1


1 é igual a:
 4 5 2
det(M) = (a 2 − a1 )(a3 − a 2 )(a3 − a1 )...(an − an −1 )  
a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
Editora Exato 6

3. 5 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di- e) 27x=y
vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª
coluna por 4, o novo determinante valerá:
1 2 1 0
a) 8 d) 36
1 1 −2 1
b) 18 e) 48 11 (MACK-SP) Se =0, então o valor de
c) 24 1 −1 2 −1
1 3 3 x
x é:
 1 0
a) 0
6 (UFSC) Considera as matrizes  −1 − 1 e
A=  b) 1
 1 1
  c) –1
0 1 2  d) –0,6
B=  e n=det(AB). Calcule 7n.
3 4 5  e) 0,6
7 Calcule o valor do determinante x 0 0
2 2 4 5 12 (CEFET) Dada a matriz = 0 0 x  e a função
 
1 0 3 1 x
 x x 

0 4 1 2 real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar
1 0 −1 1 que f(-1) é igual a:
a) 16 d) –32 a) –2
b) –16 e) 64 b) –1
c) 32 c) 8
d) 2
e) –8
8 (UFRN) O determinante da matriz
1 7 281 
  GABARITO
A = 0 2 200  é igual a:
0 0 3 
 
1 D
a) 6
b) 72 2 B
c) 81 3 B
d) 161
e) 200 4 B
5 A
9 (UFSCar-SP) Sejam: 6 01
1 1 0 3 1 0 0 0
    7 C
0 −2 1 −2  −1 − 2 0 0
A= e B=
0 0 1 0 2 1 1 0 8 A

0 0   
 0 3 
 −3 5
 4 3
 9 D
Então, det (A.B) é igual a:
a) –36 10 D
b) 12 11 D
c) 6
d) 36 12 C
e) –6
10 (UFBA) Sendo
12 18 9 12 18 9
x = 21 17 15 e y = 63 51 45 , então:
32 60 14 32 60 14
a) x=y
b) x=3y
c) x=27y
d) 3x=y
Editora Exato 7