Um determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Pode-se calcular o determinante de uma matriz de ordem 1 ou 2. Existem regras como a de Sarrus, Laplace e propriedades dos determinantes como ser nulo para matrizes com filas iguais ou proporcionais.
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
Apostila 001 determinantes
1. MATEMÁTICA
DETERMINANTES
1. INTRODUÇÃO 5. REGRA DE SARRUS
Determinante é um número real que se associa 1o ) Repetem-se as duas primeiras colunas à di-
a uma matriz quadrada. reita do determinante.
2o ) Multiplicam-se:
Determinante de uma matriz A de ordem 1. os elementos da diagonal principal e os e-
det A = |a11| = a11 lementos de cada paralela a essa diagonal,
Determinante de uma matriz A de ordem 2. conservando o sinal de cada produto obtido;
a11 a12 os elementos da diagonal secundária e os
det A = = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
a 21 a 22 elementos de cada paralela a essa diagonal,
invertendo o sinal de cada produto obtido.
2. MENOR COMPLEMENTAR DETERMI-
NANTE DA MATRIZ REDUZIDA −a 31 . a 22 . a13
Chama-se menor complementar Dij relativo a −a 32 . a 23 . a11
um elemento aij da matriz A, de ordem n, o determi- −a 33 . a 21 . a12
nante da matriz de ordem n − 1 , que se obtém a partir a11 a12 a13 a11 a12
de A, suprimindo sua linha de ordem i e sua coluna a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
de ordem j. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
Exemplo: a13 . a 21 . a 32
2 − 1 3 a12 . a 23 . a 31
Sendo A = 0 1 4 , temos:
5 − 2 1 a11 . a 22 . a 33
0 4 3o) e somam-se os resultados obtidos no 2o.
a) D11 = 1 4
=9 b) D12 = = −20
−2 1 5 1 passo, ou seja:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -
3. COFATOR
a31a22a13 -a32a23a11 - a33a21a12
Chama-se cofator do elemento aij, e se indica
6. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
por Aij o seguinte número:
Matriz com fila nula: o determinante dessa
A ij = (− 1) i + j⋅ Dij matriz é nulo.
Exemplo: Matriz triangular: o determinante é igual ao
produto dos elementos da sua diagonal
O cofator do elemento a21 da matriz
principal.
2 1 1
1 1 Multiplicação de uma fila por um número k
A = 3 5 4 é: A 21 = ( −1)2 +1 = ( −1)3 (1 ⋅ 3) = −3.
real: O determinante da nova matriz é igual
6 0 3 0 3
ao anterior, multiplicado pelo número k.
Troca de filas paralelas: o determinante da
4. TEOREMA DE LAPLACE
nova matriz é o anterior com sinal trocado.
O determinante de uma matriz quadrada de or- Filas paralelas iguais: o determinante é nu-
dem n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos ele- lo.
mentos de uma fila qualquer pelos respectivos Filas paralelas proporcionais: o determinan-
cofatores. te é nulo.
Exemplo: Matriz transposta: o determinante de uma
a) tomando como referência a 1a linha, de uma matriz A é igual ao determinante de sua
matriz de ordem 3, temos: transposta At.
det A = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 Decomposição de uma fila: se cada elemen-
b) tomando como referência a 2a coluna, de uma to de uma das filas de um determinante é
matriz de ordem 3, temos: uma soma de duas parcelas, então esse de-
det A = a12 . A12 + a22 . A22 + a32 . A32 terminante é a soma de dois outros deter-
minantes, que se obtêm substituindo essa
fila pelas primeiras e pelas segundas parce-
Editora Exato 5
2. las, respectivamente, e conservando inalte- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
radas as demais filas.
Teorema de Cauchy: em toda matriz qua- 3 5
drada de ordem n ≥ 2, a soma dos produtos 1 Calcule o determinante da matriz A = :
-2 -1
dos elementos de uma fila pelos cofatores Resolução:
dos correspondentes elementos de uma fila
paralela é zero.
Teorema de Jacobi: se a uma das filas de
uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adi-
3
( )
5
A -2 -1
cionarmos um múltiplo de outra fila parale-
la, obteremos uma matriz B tal que det B = 3. ( −1) − ( −2) .5 =
det A.
[ −3] − [ −10] =
Teorema de Binet: se A e B são duas matri-
−3 + 10 = 7
zes quadradas de ordem n, então det(A . B)
= det A . det B.
7. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA EXERCÍCIOS
1 t 1 (MACK-SP) Sendo A=(aij) uma matriz quadrada
A −1 = ⋅ (A ')
det A de ordem 2 e aij=j-J2, o determinante da matriz A
A’ é a matriz dos cofatores dos elementos de é:
A. a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
Existe A-1 se, e somente se, detA ≠ 0. c) 2
8. REGRA DE CHIÓ
x -x
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. 2 A solução da equação =0
A regra de Chió consiste em: -2 x
1o ) Sendo a11 = 1, eliminar a primeira linha e a) S = {−2, −0}
a primeira coluna de A; b) S = {0, 2}
2o ) de cada elemento que sobra em A, subtrair
c) S= {2}
o produto dos elementos que se situam nas extremi-
dades das perpendiculares à primeira linha e à pri- d) S= {0}
meira coluna de A, traçadas a partir do elemento e) S = {−2, 2}
considerado.
9. DETERMINANTE DE VANDERMONDE
2 1 3
Seja a matriz quadrada A de ordem n, n ≥ 2, 3 Sendo A = 1 -1
2 , então det A é:
definida por: -2 1 -1
1 1 1 ...1 a) 8 d) 10
b) –8 e) –10
a1 a2 a3 ...an
M= 2 2
a3 ...an
2 c) 0
a1 a2
2
…
…
…
…
a1 −1 an −1 an −1 ...an −1
n
2 3 n
4 (VUNESP) Considera as matrizes reais:
O determinante desse tipo de matriz é igual x2 0 4 z
ao produto de todas as diferenças possíveis A= e B=
2 y + z y − x
entre os elementos da linha de expoente u-
Se a A=Bt (transposta de B), o determinante da
nitário, com a condição de que, nas diferen-
x y −1
ças, o minuendo tenha índice maior que o
subtraendo. matriz M = z 1
1 é igual a:
4 5 2
det(M) = (a 2 − a1 )(a3 − a 2 )(a3 − a1 )...(an − an −1 )
a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
Editora Exato 6
3. 5 (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se di- e) 27x=y
vidirmos a 1.ª linha por 6 e multiplicarmos a 3.ª
coluna por 4, o novo determinante valerá:
1 2 1 0
a) 8 d) 36
1 1 −2 1
b) 18 e) 48 11 (MACK-SP) Se =0, então o valor de
c) 24 1 −1 2 −1
1 3 3 x
x é:
1 0
a) 0
6 (UFSC) Considera as matrizes −1 − 1 e
A= b) 1
1 1
c) –1
0 1 2 d) –0,6
B= e n=det(AB). Calcule 7n.
3 4 5 e) 0,6
7 Calcule o valor do determinante x 0 0
2 2 4 5 12 (CEFET) Dada a matriz = 0 0 x e a função
1 0 3 1 x
x x
0 4 1 2 real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar
1 0 −1 1 que f(-1) é igual a:
a) 16 d) –32 a) –2
b) –16 e) 64 b) –1
c) 32 c) 8
d) 2
e) –8
8 (UFRN) O determinante da matriz
1 7 281
GABARITO
A = 0 2 200 é igual a:
0 0 3
1 D
a) 6
b) 72 2 B
c) 81 3 B
d) 161
e) 200 4 B
5 A
9 (UFSCar-SP) Sejam: 6 01
1 1 0 3 1 0 0 0
7 C
0 −2 1 −2 −1 − 2 0 0
A= e B=
0 0 1 0 2 1 1 0 8 A
0 0
0 3
−3 5
4 3
9 D
Então, det (A.B) é igual a:
a) –36 10 D
b) 12 11 D
c) 6
d) 36 12 C
e) –6
10 (UFBA) Sendo
12 18 9 12 18 9
x = 21 17 15 e y = 63 51 45 , então:
32 60 14 32 60 14
a) x=y
b) x=3y
c) x=27y
d) 3x=y
Editora Exato 7