1) O documento apresenta conceitos sobre matrizes, determinantes e números complexos. 2) Inclui exemplos de operações com matrizes e cálculo de determinantes. 3) Fornece definições matemáticas dessas estruturas algébricas.

1. DIRETORIA DE ENSINO CAMPINAS-OESTE 2011

2. MÓDULO 4 MATRIZES DETERMINANTES NÚMEROS COMPLEXOS PCOPs responsáveis: INÊS - AIRTON

3. "Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire

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5. Matrizes Qual o seu significado imediato? Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes) Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.

6. Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.

7. MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS

8. Operações entre duas matrizes O polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?

9. Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .

10. Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .

11. Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B

12. Matriz de compensação

13. a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?

14. MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES

15. Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. Obter a matriz A assim definida: A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j

16. Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com j Se o elemento cij= 1, devemos unir i com j

18. Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto, Camila acertou 12, errou 6 e deixou e as outras deixou em branco. Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.

20. Calcule quantos pontos cada um fez e coloque o resultado em uma matriz E2x1.

21. Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:

22. Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:

23. A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.

24. Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j. Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A

25. Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular

26. Qual é a inversa da matriz A = ? Qual é a inversa da matriz A = ?

27. DETERMINANTES A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.

28. Determinante de uma matriz ordem 1 O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real

29. O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz. Determinante de matriz de ordem 2

30. Determinante de matriz de terceira ordem O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais. Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

31. Calcular o determinante

32. Menor Complementar: Consideremos uma matriz M de ordem n≥2; Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.

33. Seja M= calculemos D11 e D32 , então D11= , então D32=

34. Complemento algébrico do elemento aij - Cofator Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij

35. Seja M = calculemos A11, A12, A13 A11= (-1) 1+1 = A12= (-1)1+2 = A13= (-1)1+3 =

36. Teorema Fundamental (de Laplace) O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores

37. Calcule o determinante da matriz abaixo 3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3