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Posições relativas entre retas e circunferências RETAS TANGENTES: Tem um único ponto em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é igual ao raio d c,t  = raio RETAS SECANTES: Tem dois pontos em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é menor que o raio d c,t  < raio RETAS EXTERNAS: Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é maior que o raio d c,t  > raio Circunferência
Posições relativas entre duas circunferências Circunferência Pontos comuns Posição relativa Distância entre os centros em função dos raios Figura 2 Secantes r 1  – r 2  < d < r 1  + r 2 1 Tangentes internas d = r 1  – r 2   1 Tangentes externas d = r 1  + r 2   0 Internas concêntricas d = 0 0 Internas não concêntricas d < r 1  – r 2 0 Externas d > r 1  + r 2
Ângulos em uma circunferência Ângulo central :  É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.   Ângulo inscrito :  É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.   Ângulo de segmento :  É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.   Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. Circunferência
Relações métricas na circunferência Circunferência Cruzamento de duas cordas: Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto: Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:
Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígono regular  é aquele que possui todos os lados ( l )  congruentes  e todos os ângulos congruentes.  Apótema  (a)  é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono. Raio da circunferência circunscrita  (r)  é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.  Circunferência
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo Quadrado Retângulo Paralelogramo Áreas: medidas de superfície
Área do triângulo Área do triângulo Área do triângulo sendo conhecido os três lados Área do triângulo equilátero Área do triângulo com o auxílio da trigonometria Áreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losango Trapézio Losango Áreas: medidas de superfície
Área de polígonos regulares ( l ) lado do polígono (a) apótema (n) número de lados do polígono (p) semiperímetro  Áreas: medidas de superfície l
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Resolução de triângulos retângulos a = hipotenusa b = cateto oposto ao ângulo   c = cateto adjacente ao ângulo   Resolução de triângulos quaisquer 30º 45º 60º sen cos tg
Seno e cosseno de ângulos obtusos É necessário saber que: sen 90º = 1  e  cos 90º = 0 Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos: sen  x  = sen (180º -  x ) Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos: cos  x  = - cos (180º -  x ) Resolução de triângulos quaisquer
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Circunferencias

  • 1. Circunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquer Slides Internet Esquadros de madeira – www.ser.com.br Trigonometria Circunferência Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos Áreas: medidas de superfície Resolução de triângulos quaisquer: resolução de triângulos retângulos
  • 2. Posições relativas entre retas e circunferências RETAS TANGENTES: Tem um único ponto em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é igual ao raio d c,t = raio RETAS SECANTES: Tem dois pontos em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é menor que o raio d c,t < raio RETAS EXTERNAS: Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é maior que o raio d c,t > raio Circunferência
  • 3. Posições relativas entre duas circunferências Circunferência Pontos comuns Posição relativa Distância entre os centros em função dos raios Figura 2 Secantes r 1 – r 2 < d < r 1 + r 2 1 Tangentes internas d = r 1 – r 2 1 Tangentes externas d = r 1 + r 2 0 Internas concêntricas d = 0 0 Internas não concêntricas d < r 1 – r 2 0 Externas d > r 1 + r 2
  • 4. Ângulos em uma circunferência Ângulo central : É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela. Ângulo inscrito : É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas. Ângulo de segmento : É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela. Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. Circunferência
  • 5. Relações métricas na circunferência Circunferência Cruzamento de duas cordas: Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto: Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:
  • 6. Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígono regular é aquele que possui todos os lados ( l ) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono. Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência. Circunferência
  • 7. Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo Quadrado Retângulo Paralelogramo Áreas: medidas de superfície
  • 8. Área do triângulo Área do triângulo Área do triângulo sendo conhecido os três lados Área do triângulo equilátero Área do triângulo com o auxílio da trigonometria Áreas: medidas de superfície
  • 9. Área do trapézio e do losango Trapézio Losango Áreas: medidas de superfície
  • 10. Área de polígonos regulares ( l ) lado do polígono (a) apótema (n) número de lados do polígono (p) semiperímetro Áreas: medidas de superfície l
  • 11. Área do círculo e do setor circular Círculo Setor circular Áreas: medidas de superfície l
  • 12. Resolução de triângulos retângulos a = hipotenusa b = cateto oposto ao ângulo  c = cateto adjacente ao ângulo  Resolução de triângulos quaisquer 30º 45º 60º sen cos tg
  • 13. Seno e cosseno de ângulos obtusos É necessário saber que: sen 90º = 1 e cos 90º = 0 Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos: sen x = sen (180º - x ) Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos: cos x = - cos (180º - x ) Resolução de triângulos quaisquer
  • 14. Lei dos senos e cossenos Lei dos senos: Lei dos cossenos: Resolução de triângulos quaisquer